Klein Ch.1 § 1.19 심화 — Time to AIDS (Right Truncation) + Ch.1 시리즈 결산

1 들어가며 — Ch.1 의 마지막 + 시리즈 결산

Klein 시리즈 사다리 (Ch.1 완료):

편	주제
Ch.1 Overview (01)	19 예제 catalog
§ 1.1~1.2 (01-1)	Leukemia 6-MP
§ 1.3~1.4 (01-2)	BMT + Dialysis
§ 1.5~1.6 (01-3)	Breast + Burn
§ 1.7~1.8 (01-4)	Kidney + Laryngeal
§ 1.9~1.10 (01-5)	Auto/Allo + Lymphoma BMT
§ 1.11~1.12 (01-6)	Tongue + STD
§ 1.13~1.14 (01-7)	NLSY (causal vs predictive)
§ 1.15~1.16 (01-8)	Psychiatric + Channing (Left Truncation)
§ 1.17~1.18 (01-9)	Marijuana + Breast (Interval Censored)
§ 1.19 (본 편)	AIDS (Right Truncation) + Ch.1 결산

본 편이 답하는 다섯 가지 질문

1. Right truncation 이 left truncation (§ 1.16 Channing) 과 어떻게 mirror image 인가?
2. AIDS epidemic (1980s) 의 통계적 분석에서 right truncation 이 어떻게 자연 발생하는가?
3. Reverse-time KM 이 right-truncated data 의 survival function 을 어떻게 추정하는가?
4. Right truncation likelihood \(f(T_i)/F(R_i)\) 의 numerator/denominator 의미?
5. Ch.1 의 19 예제 가 Klein 13 chapter 의 5 가지 censoring/truncation 형태를 어떻게 망라하는가?

2 Right Truncation — Left Truncation 의 Mirror Image

2.1 Left vs Right Truncation 비교

Left Truncation (Channing § 1.16):

  실제 시작 ●────────●   ✗ 표본 제외 (입주 전 사망)
  실제 시작 ●─────────────●  ← 표본 포함 (입주 후 사망)
                ↑
                L_i (입주 시점) 이후 사건만 관측

Right Truncation (AIDS § 1.19):

  실제 시작 ●─────────● ← 표본 포함 (관측 기간 내 발병)
  실제 시작 ●─────────────●  ✗ 표본 제외 (관측 기간 후 발병)
                          ↑
                          R_i (관측 마감) 이전 사건만 관측

직관 — 두 truncation 의 대조

Left:

• “표본 진입 시점 (\(L\)) 이후 사건만 관측”.
• Channing: 입주 후 사망만.
• Length-biased: 오래 사는 사람이 표본에 등장 가능.

Right:

• “관측 마감 (\(R\)) 이전 사건만 관측”.
• AIDS: 1986-06-30 이전 발병만.
• Latent / asymptomatic 자가 표본 제외.

Likelihood:

• Left: \(L_i = \frac{f(T_i)^{\delta_i} S(T_i)^{1-\delta_i}}{S(L_i)}\).
• Right: \(L_i = \frac{f(T_i)}{F(R_i)}\).

Mirror image:

• Left: 분모가 \(S(L_i)\) (= \(1 - F(L_i)\)).
• Right: 분모가 \(F(R_i)\) (= \(1 - S(R_i)\)).
• 시간 방향만 반대.

Reverse-time analysis:

• Right truncation 을 \(\widetilde T = R - T\) 로 reverse 하면 left truncation 와 동등.
• 모든 left truncation 도구 적용 가능.

3 § 1.19 Time to AIDS (Lagakos 1988)

3.1 AIDS Epidemic 의 시대 배경

3.1.1 1980 년대 AIDS 발견 + 추적

1981     1983         1985             1987
 │        │            │                │
 │  AIDS  │ HIV virus  │ HIV blood test │
 │  보고  │ 발견       │ 도입            │
 │        │            │                │
 │  ←── HIV 잠복기 (latency) ──→         │
 │      평균 ~10 년                      │

• 1981: 미국 CDC 가 첫 AIDS cluster 보고.
• 1983-84: HIV 바이러스 발견 (Montagnier·Gallo).
• 1985: HIV blood antibody test 도입.
• 1985 이전: blood transfusion 으로 감염 가능 (검사 부재).

3.1.2 Lagakos 1988 의 데이터 출처

• n: 295 (258 adults + 37 children).
• 감염 경로:
  • Adults: contaminated blood transfusion (1985 이전).
  • Children: in utero 또는 birth 시 (mother → child).
• 시점 측정:
  • Time origin: 1978-04-01 (HIV 가 미국 blood supply 에 진입한 추정 시점).
  • Infection time: time origin 부터 감염까지의 years.
  • Induction time: 감염부터 AIDS 발병까지의 years.
• 추적: 1986-06-30 까지의 AIDS 발병.

직관 — Infection Time vs Induction Time

Infection time (\(X_i\)):

• Time origin (1978-04-01) 부터 감염까지의 시간.
• 예: \(X_i = 4.25\) → 1982 년 7 월에 감염.

Induction time (\(T_i\)):

• 감염 후 AIDS 발병까지의 시간 — 본 연구의 관심.
• 예: \(T_i = 5\) → 감염 후 5 년 만에 AIDS.

관측 마감:

• Calendar date 1986-06-30.
• 즉, \(X_i + T_i \leq R_i\) (where \(R_i = 1986\text{-}06\text{-}30 - 1978\text{-}04\text{-}01 = 8.25\) years).
• Adult: \(R_i = 8.25 - X_i\).
• 즉, AIDS 가 최대 \(R_i\) 안에 발병해야 표본 포함.

→ Right truncation: 실제 induction time \(T_i > R_i\) 인 사람은 표본 제외.

임상적 의미:

• “1986 년까지 발병 안 한 latent 환자” = 표본에 없음.
• 표본은 빨리 발병 한 사람에 편향.
• → 진짜 induction time 분포의 left tail 만 관측.

3.2 데이터 구조 — Table 1.10

Infection Time	Adult Induction	Child Induction
0.00	5
0.25	6.75
0.75	5, 5, 7.25
1.00	4.25, 5.75, 6.25, 6.5	5.5
…	…	…

• 각 row: 같은 infection time 에 감염된 환자들의 induction time 들.
• Adult row 가 더 풍부 (n=258).

직관 — 데이터의 패턴

Infection time 0.00 (1978-04-01):

• 매우 일찍 감염 → induction 5 년 (1983 발병).
• \(X + T = 5 < R = 8.25\) → 표본 포함.

Infection time 1.00 (1979-04-01):

• Induction 4.25, 5.75, 6.25, 6.5 — 모두 \(X + T < 8.25\).
• 그러나 \(T = 7.5\) 인 사람 (1979 감염, 1986-10 발병)? — 표본 제외 (\(X + T = 8.5 > 8.25\)).

→ Right truncation 의 자연 발생: 짧은 induction 만 관측.

Long induction 자 (예: 10 년):

• \(X + T = 11\) → \(R = 8.25\) 이전 발병 안 함.
• HIV+ 로 표본에 들어올 자격 없음.
• → 추정된 induction 분포가 진짜보다 shorter.

3.3 Right Truncation 의 likelihood

3.3.1 일반 right truncation

\[ L = \prod_i \frac{f(T_i)}{F(R_i)} \]

• \(f(T_i)\): induction time 의 unconditional density.
• \(F(R_i) = \Pr(T \leq R_i)\): \(R_i\) 까지 발병 확률 (truncation probability).
• 분모가 conditional 표본 추출 보정.

3.3.2 AIDS 에서 \(R_i\)

각 환자의 right truncation 시점:

\[ R_i = (1986\text{-}06\text{-}30 - \text{infection date}_i) = 8.25 - X_i \]

→ Infection time \(X_i\) 가 클수록 \(R_i\) 가 작음 → late infection 자가 더 strong selection 받음.

직관 — Late Infection 자의 selection

1985 년 감염자 (\(X_i = 7\)):

• \(R_i = 8.25 - 7 = 1.25\) years.
• 이 사람이 표본에 포함되려면 \(T_i \leq 1.25\) — 1.25 년 안에 AIDS 발병.
• Long induction (10 년) 은 절대 표본 제외.

1979 년 감염자 (\(X_i = 1\)):

• \(R_i = 7.25\) years.
• 거의 모든 induction time 표본 포함 가능.

→ 표본은 early infection + short induction 또는 late infection + very short induction 으로 편향.

무시 시 bias:

• 진짜 mean induction = 10 년.
• 관측된 mean induction = 5 년 (selection bias).
• → 매우 different conclusion.

3.4 Klein 사용

• Ch.3.4: Right truncation 정의 + likelihood 유도.
• Ch.5.3: Right-truncated data 의 reverse-time survival 추정.

3.5 Reverse-Time KM (Ch.5.3)

3.5.1 핵심 발상

Right truncation 을 reverse 하면 left truncation 과 같음.

원래 시간: \(T\) (induction).

Reverse 시간: \(\widetilde T = R_{\max} - T\).

• \(R_{\max}\): 최대 right truncation 시점.
• \(\widetilde T\) 가 클수록 원래 \(T\) 가 작음 (early event).

→ \(\widetilde T\) 의 left truncation 분석 = 원래 \(T\) 의 right truncation 분석.

3.5.2 Algorithm

1. Reverse: \(\widetilde T_i = R_{\max} - T_i\), \(\widetilde L_i = R_{\max} - R_i\).
2. Left-truncated KM on \((\widetilde L_i, \widetilde T_i)\): \(\widetilde S(\widetilde t)\) 추정.
3. Reverse back: \(S(t) = \widetilde S(R_{\max} - t)\).

직관 — Reverse-Time 의 우아함

문제: right truncation 의 직접 분석 어려움.

해결: time direction 을 뒤집음.

• Right trunc → left trunc.
• 모든 left trunc 도구 (KM with entry, Cox with start time) 적용.

비유:

• 영화를 거꾸로 재생 → 스토리는 같지만 시간 방향만 반대.
• 통계적 처리는 수학적으로 동등.

구현:

• R survfit(Surv(R_max - T, R_max - L, status) ~ 1) 후 결과 reverse.
• 또는 truncated.cdf package 직접 처리.

4 R + Python EDA — AIDS Data

4.1 R — survival + Reverse Time

library(survival)

# Lagakos 1988 데이터 시뮬레이션 (실제는 Klein web)
# Adult 258 + Child 37
set.seed(42)
n_adult <- 258
n_child <- 37

# Time origin: 1978-04-01
# Study end: 1986-06-30 → R_max = 8.25 years
R_max <- 8.25

# Adult
adult <- data.frame(
  group = "adult",
  infection_time = pmin(R_max, runif(n_adult, 0, 7.5)),
  induction = NA
)
# Induction time given right truncation
adult$R_i <- R_max - adult$infection_time
# Latent induction (truncated by R_i)
adult$induction <- pmin(adult$R_i, rweibull(n_adult, shape = 1.5, scale = 5))

# Child
child <- data.frame(
  group = "child",
  infection_time = pmin(R_max, runif(n_child, 0, 7.5)),
  induction = NA
)
child$R_i <- R_max - child$infection_time
child$induction <- pmin(child$R_i, rweibull(n_child, shape = 1.5, scale = 7))

aids <- rbind(adult, child)

# Naive KM (right truncation 무시) — 잘못
naive_fit <- survfit(Surv(induction, rep(1, nrow(aids))) ~ group, data = aids)
plot(naive_fit, col = c("blue", "red"), xlab = "Years from infection",
     ylab = "AIDS-free probability (NAIVE — biased)")

# Reverse-time KM (right truncation 보정)
aids$rev_time <- R_max - aids$induction
aids$rev_entry <- R_max - aids$R_i  # 항상 0 (since R_i = R_max - X)

# Wait, the formulation:
# Original: T ≤ R_i = R_max - X
# Reversed: R_max - T ≥ R_max - R_i = X  → entry = X
aids$rev_entry <- aids$infection_time

# Left-truncated KM on reversed time
rev_fit <- survfit(Surv(rev_entry, rev_time, rep(1, nrow(aids))) ~ group,
                   data = aids)
plot(rev_fit, col = c("blue", "red"))

# Then reverse back to original:
# S(t) = 1 - rev_S(R_max - t) (or 적절한 변환)

# 실제는 'truncatedSurv' 또는 'icenReg' 등 패키지 활용 권장
# library(truncatedSurv)
# fit <- truncated_KM(induction, R_i, type = "right")

4.2 Python — Reverse-Time 직접 구현

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from lifelines import KaplanMeierFitter

# 데이터 (R 와 동일)
rng = np.random.default_rng(42)
R_max = 8.25

n_adult, n_child = 258, 37

adult_inf = np.minimum(R_max, rng.uniform(0, 7.5, n_adult))
adult_ind = np.minimum(R_max - adult_inf,
                        rng.weibull(1.5, n_adult) * 5)

child_inf = np.minimum(R_max, rng.uniform(0, 7.5, n_child))
child_ind = np.minimum(R_max - child_inf,
                        rng.weibull(1.5, n_child) * 7)

aids = pd.DataFrame({
    "group": ["adult"] * n_adult + ["child"] * n_child,
    "infection_time": np.concatenate([adult_inf, child_inf]),
    "induction": np.concatenate([adult_ind, child_ind]),
})
aids["R_i"] = R_max - aids["infection_time"]
aids["status"] = 1  # all events (right truncation 는 latent 미관측)

# Naive KM
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
for grp, color in [("adult", "blue"), ("child", "red")]:
    sub = aids[aids["group"] == grp]
    kmf = KaplanMeierFitter()
    kmf.fit(sub["induction"], sub["status"], label=grp)
    kmf.plot_survival_function(ax=axes[0], color=color)
axes[0].set_title("Naive (right truncation 무시)")
axes[0].set_xlabel("Years from infection")
axes[0].set_ylabel("AIDS-free probability")

# Reverse-time analysis
aids["rev_time"] = R_max - aids["induction"]
aids["rev_entry"] = aids["infection_time"]  # = R_max - R_i

# Left-truncated KM on reversed time
for grp, color in [("adult", "blue"), ("child", "red")]:
    sub = aids[aids["group"] == grp]
    kmf = KaplanMeierFitter()
    kmf.fit(durations=sub["rev_time"],
            event_observed=sub["status"],
            entry=sub["rev_entry"],
            label=grp)
    # Reverse back
    rev_S = kmf.survival_function_
    original_t = R_max - rev_S.index.values
    original_F = 1 - rev_S.values  # F(t) of original
    axes[1].step(original_t, 1 - original_F.flatten(),
                 where="post", color=color, label=grp)

axes[1].set_title("Reverse-time KM (right truncation 보정)")
axes[1].set_xlabel("Years from infection")
axes[1].set_ylabel("AIDS-free probability")
axes[1].legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig("aids_reverse_km.png", dpi=100)

직관 — Naive vs Corrected 의 차이

Naive (right truncation 무시):

• 관측된 induction 만으로 KM.
• Median induction ≈ 5 년 (실제 10 년 보다 짧음).
• “AIDS 가 빨리 발병한다” 는 잘못된 결론.

Corrected (reverse-time):

• 진짜 induction 분포 추정.
• Median induction ≈ 10 년.
• HIV 의 long latency 정확히 추정.

임상·공중보건 의의:

• 1988 년 시점: HIV 잠복기에 대한 정확한 추정 필요.
• Naive 분석 → 짧은 잠복기 → “곧 발병” 패닉.
• Corrected 분석 → 긴 잠복기 → 더 정확한 epidemic projection.

이 데이터가 right truncation 보정의 임상적 중요성 의 historical 증거.

5 Ch.1 시리즈 결산

5.1 19 예제 + 5 censoring/truncation 형태 통합

형태	정의	예제
Right censoring	사건 후 사건 시점만 부분 정보 (\(T \geq c\))	§ 1.2~1.10 (대부분), § 1.13~1.14
Left censoring	사건이 관측 시작 전 (\(T \leq c\))	§ 1.17 (Marijuana, “쓴 적 있으나 시점 모름”)
Interval censoring	사건이 두 시점 사이 (\(L \leq T \leq R\))	§ 1.18 (Breast Cancer cosmetic)
Left truncation	표본 진입에 사건 시점 제약 (\(T > L\))	§ 1.15 (Psychiatric admission), § 1.16 (Channing)
Right truncation	표본 진입에 사건 시점 제약 (\(T < R\))	§ 1.19 (AIDS)

직관 — 5 형태의 통일 framework

Censoring (data 의 incompleteness):

• Right cens: 사건 시점이 알려진 경계 너머.
• Left cens: 사건이 관측 시작 이전에 발생.
• Interval cens: 사건이 두 검진 사이.

Truncation (sample 의 selection bias):

• Left trunc: 사건 시점이 entry 시점 이후여야 표본 포함.
• Right trunc: 사건 시점이 cutoff 시점 이전이어야 표본 포함.

Likelihood 의 통일:

\[ L_i = \begin{cases} f(T_i) & \text{exact event} \\ S(c_i) & \text{right cens} \\ 1 - S(L_i) & \text{left cens} \\ S(L_i) - S(R_i) & \text{interval cens} \end{cases} \]

Truncation 시 분모로 보정:

• Left trunc: \(/ S(L_i)\).
• Right trunc: \(/ F(R_i)\).

Counting process format (R Surv(start, stop, event)):

• 5 형태 모두 표현 가능.
• Modern survival analysis 의 표준.

Klein Ch.3.3 + Ch.3.4 가 이 통일 framework 의 정전 정리.

5.2 Ch.1 의 19 예제와 Klein 13 chapter 매핑 (확장)

§	데이터	n	핵심 (censoring/truncation)	핵심 도구 (chapter)
1.2	Leukemia 6-MP	42	Right cens	KM, log-rank (4·7)
1.3	BMT (AML/ALL)	137	Right cens, time-dep	Multistate, competing risks (4·9)
1.4	Kidney Dialysis	119	Right cens	PH violation, weighted log-rank (7·9)
1.5	Breast Cancer	45	Right cens	Aalen additive (10)
1.6	Burn	154	Right cens, time-dep	Multivariate Cox, time-dep (8·9)
1.7	Kidney Transplant	863	Right cens	Kernel smoothing (6)
1.8	Laryngeal Cancer	90	Right cens	Trend test, AFT (7·12)
1.9	Auto/Allo BMT	101	Right cens	Cox 진단 4 도구 (11)
1.10	Lymphoma BMT	43	Right cens	Stratified test, functional form (7·11)
1.11	Tongue Cancer	80	Right cens	Crude vs adjusted
1.12	STD Reinfection	877	Right cens	Variable selection
1.13	Pneumonia	3,470	Right cens	Causal inference
1.14	Weaning	927	Right cens	Cohort life table, predictive (5·8)
1.15	Psychiatric	26	Right cens, left trunc	One-sample vs standard, excess mortality (6·7·9)
1.16	Channing	462	Right cens, left trunc	Conditional survival, length-biased (3·4·7·9)
1.17	Marijuana	191	Doubly censored	Turnbull NPMLE (5)
1.18	Breast cosmetic	94	Interval cens	Turnbull NPMLE, ic_sp (5)
1.19	AIDS	295	Right trunc	Reverse-time KM (5)

직관 — Ch.1 의 페다고지 가치

19 예제 = Klein 13 chapter 의 모든 도구 + 5 censoring/truncation 형태.

• Standard right censoring: § 1.2~1.14 (15 예제).
• Special censoring: § 1.17 (left), § 1.18 (interval).
• Truncation: § 1.15, 1.16 (left), § 1.19 (right).

학습 자원:

• 학생이 Ch.1 의 19 예제로 Klein 13 chapter 의 모든 도구를 시연.
• 단일 데이터로 multiple chapters 의 도구 학습 (BMT 가 6 chapter 등장).
• 5 censoring/truncation 형태 모두 시연.

임상 도메인의 폭:

• 백혈병·BMT (혈액 종양).
• 유방암·후두암·설암 (고형 종양).
• 신부전 투석·이식.
• 화상.
• 정신 질환.
• 영아 건강 (NLSY).
• AIDS.

→ Klein 책이 survival analysis 의 의학 응용 catalog.

본 시리즈 (Ch.1, 10 편) 가 그 catalog 의 종합.

5.3 Ch.1 의 핵심 학습

본 시리즈를 마친 독자는:

1. 시간-사건 데이터의 본질 을 이해 (vs 일반 회귀).
2. 5 censoring/truncation 형태 를 구분.
3. 표준 데이터 구조 \((T_i, \delta_i, Z_i)\) 와 counting process format 의 관계.
4. 각 데이터의 통계적 도전 식별.
5. Klein 13 chapter 의 도구 와 어느 데이터로 시연되는지 매핑.
6. R + Python 양쪽에서 기본 분석 가능.
7. 임상 도메인 의 다양성 을 인지.

→ Klein Ch.2 (Basic Quantities and Models) 으로 자연스럽게 진행.

6 R + Python EDA 종합 — 5 형태의 통일

5 형태의 R 코드 통일

library(survival)

# Right censoring (가장 흔함)
Surv(time, status)

# Left censoring
Surv(time, status, type = "left")

# Interval censoring
Surv(left, right, type = "interval2")

# Left truncation
Surv(start, stop, status)  # counting process

# Right truncation (직접 지원 제한적)
# Reverse-time approach 필요

7 Python lifelines 통일

from lifelines import KaplanMeierFitter

kmf = KaplanMeierFitter()

# Right censoring
kmf.fit(durations, event_observed)

# Left truncation
kmf.fit(durations, event_observed, entry=L)

# Interval censoring (제한적, R 권장)
# Right truncation (수동 reverse-time)

R 의 survival 가 5 형태 모두 풍부하게 지원, Python 은 right cens + left trunc 위주.

8 핵심 직관 통합

• Right truncation = “관측 마감 이전 사건만 표본 포함” (left trunc 의 mirror).
• Reverse-time KM = right trunc 를 left trunc 로 변환 후 분석.
• AIDS data = HIV 잠복기 추정의 historical case.
• Naive vs corrected = right truncation 무시는 induction time 과소추정.
• 5 censoring/truncation 형태 = 통일 likelihood framework.
• Counting process format = modern survival analysis 의 표준.
• Ch.1 의 19 예제 = Klein 13 chapter 도구의 종합 catalog.

9 실전 체크리스트 — § 1.19 + Ch.1 결산

§ 1.19 AIDS

1. HIV epidemic 1980s 배경 인지.
2. Infection time vs induction time 분리.
3. Right truncation 정의 (\(T < R\)).
4. R_i = R_max - X_i 의 calculation.
5. Likelihood: \(f(T)/F(R)\).
6. Reverse-time KM 적용.
7. Naive vs corrected 결과 비교.

Ch.1 결산

8. 5 censoring/truncation 형태 인지.
9. 19 예제 매핑 (chapter 도구).
10. 임상 도메인 의 다양성 학습.
11. 표준 데이터 구조 와 counting process format.
12. R + Python 도구 활용.

다음 단계 (Ch.2)

13. \(S(t), h(t), H(t)\) 의 정확한 정의.
14. Survival function 의 4 표현 동등성.
15. Parametric models (exponential, Weibull, log-logistic).
16. Mean residual life function.

10 관련 주제

Klein 시리즈

• Ch.1 Overview
• (이전) § 1.17~1.18 — Marijuana · Breast Cancer (Interval)
• (다음) Ch.2 — Basic Quantities and Models (예정)

관련 개념 (cross-category)

• Right Truncation in Survival Analysis
• Reverse-Time Kaplan-Meier
• HIV Epidemic Statistical Analysis
• Truncation vs Censoring (Unified Framework)
• Counting Process Format

11 참고문헌

• Klein, J. P., & Moeschberger, M. L. (2003). Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data (2nd ed.), Ch.1 § 1.19. Springer.
• Lagakos, S. W., Barraj, L. M., & De Gruttola, V. (1988). Nonparametric Analysis of Truncated Survival Data, with Application to AIDS. Biometrika, 75(3), 515-523.
• Kalbfleisch, J. D., & Lawless, J. F. (1989). Inference Based on Retrospective Ascertainment: An Analysis of the Data on Transfusion-Related AIDS. JASA, 84(406), 360-372.
• CDC (1981). Pneumocystis Pneumonia — Los Angeles. Morbidity and Mortality Weekly Report, 30(21), 250-252. (첫 AIDS 보고)
• Barré-Sinoussi, F., Chermann, J. C., Rey, F., et al. (1983). Isolation of a T-Lymphotropic Retrovirus from a Patient at Risk for AIDS. Science, 220(4599), 868-871. (HIV 발견)
• Wang, M. C. (1991). Nonparametric Estimation from Cross-Sectional Survival Data. JASA, 86(413), 130-143. (Length-biased / truncation)
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