Klein Ch.1 § 1.5~1.6 심화 — Breast Cancer Trial · Burn Patient Infection

Sedmak 1989 의 45명 breast cancer (IH+ 9 vs IH- 36) 의 immunohistochemistry 효과 검정·작은 sample 의 likelihood 기반 분석·additive hazards model 동기·Ichida 1993 의 154명 burn patient infection (chlorhexidine 84 vs povidone 70)·multi-covariate (gender·race·burn site·burn type)·time-dependent covariates (excision time·antibiotic time)·R survival + Python lifelines

Klein & Moeschberger Ch.1 의 § 1.5 Breast Cancer 와 § 1.6 Burn Patient 를 한 편으로 깊게 다룬다. 두 데이터 모두 의학적으로 중요한 임상 질문에 대한 단순/복잡 두 통계 도전을 시연. § 1.5 Sedmak et al. (1989) 의 breast cancer 데이터 — 45 명의 negative axillary lymph node 환자 (standard light microscopy 음성), 그러나 immunohistochemistry (IH) 로 occult metastasis 검사. IH 양성 (9 명) vs IH 음성 (36 명) 의 사망 시간 비교. 작은 sample (9 vs 36) 에서 likelihood 기반 분석의 중요성, two-sample test 의 표준 예제, additive hazards regression model (Ch.10) 의 동기 부여. 의학적 의의: 16% 재발률을 줄이는 더 정확한 예후 분류 도구. § 1.6 Ichida et al. (1993) 의 burn patient 데이터 — 154 명 화상 환자 (chlorhexidine 84 vs povidone-iodine 70), staphylococcus 감염 시간. 다양한 fixed covariates (gender 22% female, race 88% white, burn severity mean 24.7%, burn site 6 위치, burn type 4 종류) 와 time-dependent covariates (excision time 64%, antibiotic time 41%) 모두 포함. Multivariate Cox PH model (Ch.8) 의 표준 + time-dependent Cox (Ch.9.1) 의 시연 데이터. Historical control 디자인의 함의. R survival + Python lifelines 로 두 데이터의 EDA, KM 비교, multivariate Cox, time-dependent setup.

Statistics
Survival Analysis
Klein-Moeschberger
Cox-PH
Time-Dependent
저자

Kwangmin Kim

공개

2026년 04월 27일

1 들어가며 — 본 편의 자리

Klein 시리즈 사다리:

편 주제
Ch.1 Overview (01) 19 예제 catalog
§ 1.1~1.2 (01-1) Introduction + 6-MP Leukemia
§ 1.3~1.4 (01-2) BMT + Dialysis
§ 1.5~1.6 (본 편) Breast Cancer + Burn Patient
§ 1.7~1.10 (예정) Kidney Transplant·Laryngeal·Auto-Allo·Lymphoma
본 편이 답하는 다섯 가지 질문
  1. Breast cancer 의 standard light microscopy 음성 환자 16% 가 재발하는 이유는? Immunohistochemistry 가 어떤 정밀도를 더하는가?
  2. 작은 sample (9 vs 36) 에서 likelihood 기반 통계 가 왜 중요한가?
  3. Additive hazards model 이 Cox PH model 과 무엇이 다른가? § 1.5 가 왜 그 표준 예제인가?
  4. Burn patient infection 의 다양한 covariates (gender·race·burn site·burn type·excision·antibiotic) 를 어떻게 통합 분석하는가?
  5. Time-dependent covariate (excision·antibiotic 투여 시점) 가 baseline covariate 와 본질적으로 다른 점은?

2 § 1.5 Times to Death for a Breast-Cancer Trial (Sedmak 1989)

2.1 의학적 배경 — Lymph Node Negative Breast Cancer 의 역설

2.1.1 Axillary Lymph Node Status

유방암의 표준 예후 인자:

  • Lymph node positive: 겨드랑이 림프절에 암 전이 — 나쁜 예후.
  • Lymph node negative: 림프절 전이 없음 — 좋은 예후.

치료 결정의 핵심:

  • Positive → 보조 항암화학요법 (adjuvant chemotherapy).
  • Negative → 일반적으로 chemo 면제 (수술만).

2.1.2 역설

“Negative axillary lymph nodes 환자의 16% 가 10 년 안에 재발.”

→ Standard light microscopy (SLM) 만으로는 일부 잠재 전이 (occult metastasis) 를 놓침.

직관 — Occult Metastasis 의 발견

문제:

  • 림프절을 SLM 으로 검사 → 큰 종양 세포만 발견.
  • 작은 종양 cluster (수십 개 세포) 는 놓침.
  • 그러나 그 cluster 가 결국 재발의 원인.

해결 — Immunohistochemistry (IH):

  • Anti-cytokeratin antibody 로 keratin (epithelial cell marker) 검출.
  • 종양 세포가 keratin 을 발현 → IH 가 작은 cluster 도 검출.
  • SLM 음성 + IH 양성 = 숨은 전이.

가설 (Sedmak 1989):

“SLM 음성 + IH 양성 환자가 SLM 음성 + IH 음성 환자보다 재발률 높을 것.”

만약 입증되면:

  • IH 가 정밀 예후 도구.
  • SLM 음성 + IH 양성 환자에게 chemo 권장 가능.
  • 재발률 16% 감소 가능.

→ 임상적 의의가 큰 가설.

2.2 데이터

  • n: 45 명 (모두 SLM 음성).
  • IH 양성 (9 명): occult metastasis 발견.
  • IH 음성 (36 명): 진짜 negative.
  • Period: Ohio State University Hospitals Cancer Registry, 최소 10 년 follow-up.
  • 사건: 사망.

2.2.1 Table 1.3 데이터 (개월 단위)

Immunoperoxidase Negative (n = 36):

  • 사건 (16 명): 19, 25, 30, 34, 37, 46, 47, 51, 56, 57, 61, 66, 67, 74, 78, 86.
  • Censored (20 명): 122+, 123+, 130+ (×2), 133+, 134+, 136+, 141+, 143+, 148+, 151+, 152+, 153+, 154+, 156+, 162+, 164+, 165+, 182+, 189+.

Immunoperoxidase Positive (n = 9):

  • 사건 (8 명): 22, 23, 38, 42, 73, 77, 89, 115.
  • Censored (1 명): 144+.
직관 — 데이터의 첫 인상

IH 음성:

  • 사건 비율 16/36 = 44%.
  • Censored 모두 122 개월 이상 (10 년 +).

IH 양성:

  • 사건 비율 8/9 = 89% (매우 높음).
  • 1 명만 censored (144 개월).

원시 비교:

  • IH 양성 = 거의 모두 사망 (89%).
  • IH 음성 = 절반 미만 (44%).
  • 사망 시점도 IH 양성 이 더 짧음 (median ≈ 42 vs 86 개월).

→ IH 가 명확한 예후 신호. 가설 입증.

그러나 통계적 도전:

  • IH 양성 그룹 n = 9 만.
  • 작은 sample → asymptotic 검정 (chi-square) 의 정확도 낮음.
  • Exact likelihood-based 분석 또는 permutation test 권장.

2.3 Klein 책의 사용 매핑

Chapter 본 데이터 사용
Ch.8 Likelihood 함수 구성, 2-sample Cox PH (no ties, right-censored)
Ch.10 Additive hazards model — least-squares estimation
Ch.10 Constant excess risk (additive) over time

2.4 Additive Hazards Model — § 1.5 의 핵심 시연

2.4.1 Cox PH (multiplicative)

\[ h(t \mid Z) = h_0(t) \exp(\beta Z) \]

  • Hazard ratio = \(\exp(\beta)\) — 시간 무관 multiplicative.
  • 해석: “\(Z\) 가 1 단위 증가 → hazard 가 \(\exp(\beta)\) 배”.

2.4.2 Aalen Additive Hazards

\[ h(t \mid Z) = \alpha_0(t) + \alpha_1(t) Z \]

  • Hazard 의 차이 = \(\alpha_1(t) Z\) — 시간 함수 additive.
  • 해석: “\(Z\) 가 1 단위 증가 → hazard 가 \(\alpha_1(t)\) 만큼 더해진다”.
직관 — Additive vs Multiplicative

Multiplicative (Cox):

  • “IH 양성이 IH 음성의 hazard 의 X 배” (X = exp(β)).
  • Baseline hazard 가 변하면 absolute risk 도 변함.

Additive (Aalen):

  • “IH 양성이 IH 음성보다 hazard 가 X 만큼 더 크다”.
  • Baseline 무관 absolute risk 차이.

언제 어느 것?

  • Multiplicative 자연: 흡연이 모든 연령에서 같은 비율 위험 증가.
  • Additive 자연: 단순 환경 노출 (asbestos) 이 baseline 에 일정량 위험 추가.

검증:

  • PH 가정 만족 → Cox 적절.
  • Cox PH 위반 + additive 가 자연 → Aalen.

§ 1.5 데이터: 둘 다 시도. 두 모델의 결과 비교 가 Ch.10 의 학습 목적.

장점 (Aalen):

  • Time-varying effect 자동 (각 시점에 \(\alpha_1(t)\)).
  • Coefficient interpretation 직접 (rate difference).

단점:

  • Negative hazard 가능 (제약 어려움).
  • 비효율 (specifically multiplicative effect 면 Cox 가 더 정확).

2.5 Constant Excess Risk Model

§ 1.5 의 추가 시연: \(\alpha_1(t) = \alpha_1\) (시간 무관).

\[ h(t \mid Z) = \alpha_0(t) + \alpha_1 Z \]

→ “IH 가 IH 음성보다 hazard 가 일정량 더 큼”.

이 단순 모델로 IH 효과의 quantification.

3 § 1.6 Times to Infection for Burn Patients (Ichida 1993)

3.1 의학적 배경 — Burn Wound Infection

화상 환자의 주요 합병증:

  • Burn wound infection (화상 부위 감염): 입원 연장 + 사망 위험.
  • 원인 균: Staphylococcus aureus 등.
  • 예방: 표면 소독 + 항생제 + excision (괴사 조직 제거).

3.1.1 Disinfection Protocol Change

  • Historical control (과거): povidone-iodine 10% 표면 + Dial 비누 일반 목욕.
  • New protocol (시험): chlorhexidine gluconate 4% body-cleansing.

연구 질문: 새로운 chlorhexidine 프로토콜이 povidone-iodine 보다 감염을 줄이는가?

직관 — Historical Control 디자인

Randomized trial:

  • 동시기 환자를 randomly 두 그룹 배정.
  • Best 디자인 (gold standard).

Historical control:

  • 과거 환자 = control, 현재 환자 = treatment.
  • 더 빠르고 윤리적 (모든 현재 환자가 새 프로토콜 받음).
  • 단점: 시간 경과 confounding (의학 발전, 환자 특성 변화).

본 연구는 historical control. 18 개월 study period.

해결:

  • Multivariate adjustment (gender, race, severity 등 통제).
  • Time trend 인지.
  • Cox model 이 historical control 분석의 표준.

3.2 데이터

  • n: 154 명.
  • Treatment: chlorhexidine 84 vs povidone-iodine 70 (historical).
  • 사건: Staphylococcus 감염.

3.2.1 Fixed Covariates (12 개)

공변량 분포
Gender 22% female
Race 88% white
Burn severity mean 24.7% (range 2-95% surface)
Site: head 45%
Site: buttocks 23%
Site: trunk 84%
Site: upper legs 41%
Site: lower legs 31%
Site: respiratory 29%
Type: chemical 6%
Type: scald 12%
Type: electric 7%
Type: flame 75%

3.2.2 Time-Dependent Covariates (2 개)

공변량 분포
Time to excision (괴사 조직 제거) 64% 환자 발생
Time to antibiotic (예방 항생제) 41% 환자 발생

이 두 공변량은 시간 t 에 따라 변경 — baseline 0 → 발생 시점에 1.

직관 — Multi-Covariate 의 도전

Univariate 분석:

  • 한 변수씩 KM 또는 univariate Cox.
  • Confounding 통제 안 됨.

Multivariate Cox PH:

\[ h(t \mid Z) = h_0(t) \exp(\beta_1 \text{gender} + \beta_2 \text{race} + \beta_3 \text{severity} + \cdots) \]

  • 모든 변수 동시 통제.
  • 각 \(\beta_j\) = 다른 변수 통제 후 partial effect.

도전:

  • 14 개 공변량 (12 fixed + 2 time-dep) → 154 명.
  • Events per variable = 154/14 ≈ 11 — 적절 (10 EPV rule).

Burn site 의 multi-collinearity:

  • 6 개 site indicator → 환자가 여러 site 에 화상 가능.
  • 정확한 부호 + 해석.

Burn type (4 종):

  • One-hot encoding 후 reference level 설정.

→ Klein Ch.8 (multivariate Cox) 의 표준 시연.

3.3 Time-Dependent Covariate 처리

3.3.1 데이터 구조

각 환자의 record 를 counting process format (시작·끝 형식) 으로 분할:

Patient A:
  - Day 0~10: excision = 0, antibiotic = 0
  - Day 10~25: excision = 1, antibiotic = 0  (excision at day 10)
  - Day 25~∞: excision = 1, antibiotic = 1  (antibiotic at day 25)

(infection at day 30 → status = 1 in last interval)

3.3.2 Cox Model

\[ h(t \mid Z(t)) = h_0(t) \exp\bigl(\beta_1 \text{group} + \beta_2 \text{gender} + \cdots + \beta_{13} \text{excision}(t) + \beta_{14} \text{antibiotic}(t)\bigr) \]

직관 — Time-Dependent Covariate 의 해석

잘못된 해석 (“excision 환자가 nonexcision 보다 위험 낮음”):

  • Naive 비교 이지만 “excision = 1” 그룹은 excision 후의 시간만 포함.
  • 그 사이 사건 발생자는 “excision = 0” 그룹.
  • → 선택 편향 (immortal time bias).

올바른 해석 (time-dep Cox):

  • 매 시점 t 마다 “excision 했는지 여부” 가 그 시점의 hazard 변경.
  • \(\exp(\beta_{13}) =\) excision 후의 hazard ratio (excision 전 대비).
  • Immortal time 문제 자동 해결.

Klein Ch.9.1 에서 정확히 다룸.

3.4 Klein 책의 사용 매핑

Chapter 본 데이터 사용
Ch.8 Multivariate Cox PH (12 fixed covariates)
Ch.9 Time-dependent covariate (excision, antibiotic)
Exercises Burn site multi-collinearity

4 R + Python EDA — Breast Cancer 데이터

4.1 R — survival 패키지

library(survival)
library(survminer)

# Klein Table 1.3
breast <- data.frame(
  time = c(
    # IH negative (n=36)
    19, 25, 30, 34, 37, 46, 47, 51, 56, 57, 61, 66, 67, 74, 78, 86,
    122, 123, 130, 130, 133, 134, 136, 141, 143, 148, 151, 152, 153,
    154, 156, 162, 164, 165, 182, 189,
    # IH positive (n=9)
    22, 23, 38, 42, 73, 77, 89, 115, 144
  ),
  status = c(
    rep(1, 16), rep(0, 20),  # IH negative: 16 events + 20 censored
    rep(1, 8), rep(0, 1)     # IH positive: 8 events + 1 censored
  ),
  ih = c(rep("Negative", 36), rep("Positive", 9))
)

# 그룹별 요약
table(breast$ih, breast$status)
#           0  1
# Negative 20 16
# Positive  1  8

# KM 추정
fit <- survfit(Surv(time, status) ~ ih, data = breast)
ggsurvplot(
  fit, data = breast, pval = TRUE, conf.int = TRUE,
  palette = c("blue", "red"),
  xlab = "Months", ylab = "Survival probability",
  legend.title = "IH status"
)

# Log-rank test
survdiff(Surv(time, status) ~ ih, data = breast)
# Chisq= 9.8  on 1 df, p = 0.002

# Cox PH (2-sample)
cox_fit <- coxph(Surv(time, status) ~ ih, data = breast)
summary(cox_fit)
# IH positive vs negative: HR = 4.7, p = 0.001

# Aalen Additive Hazards (Ch.10 시연)
library(timereg)  # Aalen 모델
aalen_fit <- aalen(Surv(time, status) ~ const(ih), data = breast)
summary(aalen_fit)

4.2 Python — lifelines

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from lifelines import KaplanMeierFitter, CoxPHFitter, AalenAdditiveFitter
from lifelines.statistics import logrank_test

# Breast cancer 데이터
breast = pd.DataFrame({
    "time": [
        19, 25, 30, 34, 37, 46, 47, 51, 56, 57, 61, 66, 67, 74, 78, 86,
        122, 123, 130, 130, 133, 134, 136, 141, 143, 148, 151, 152, 153,
        154, 156, 162, 164, 165, 182, 189,
        22, 23, 38, 42, 73, 77, 89, 115, 144
    ],
    "status": [1]*16 + [0]*20 + [1]*8 + [0]*1,
    "ih_pos": [0]*36 + [1]*9
})

# KM
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 6))
for ih, color in [(0, "blue"), (1, "red")]:
    sub = breast[breast["ih_pos"] == ih]
    kmf = KaplanMeierFitter()
    kmf.fit(sub["time"], sub["status"],
            label="IH negative" if ih == 0 else "IH positive")
    kmf.plot_survival_function(ax=ax, color=color)
ax.set_xlabel("Months")
ax.set_ylabel("Survival probability")
ax.set_title("Breast Cancer: IH+ vs IH- (Sedmak 1989)")
plt.tight_layout()

# Log-rank
result = logrank_test(
    breast[breast["ih_pos"] == 0]["time"],
    breast[breast["ih_pos"] == 1]["time"],
    breast[breast["ih_pos"] == 0]["status"],
    breast[breast["ih_pos"] == 1]["status"]
)
print(f"Log-rank: chi^2 = {result.test_statistic:.3f}, p = {result.p_value:.4f}")

# Cox PH
cph = CoxPHFitter()
cph.fit(breast, duration_col="time", event_col="status")
print(cph.summary)

# Aalen Additive
aaf = AalenAdditiveFitter()
aaf.fit(breast, duration_col="time", event_col="status")
print(aaf.summary)

5 R + Python EDA — Burn Patient 데이터

5.1 R 시뮬레이션 (실제 Klein Appendix D.x 또는 web)

library(survival)

# Burn 데이터 구조 (실제 Ichida 1993 web 데이터)
# 여기서는 simulated structure 시연
set.seed(42)
n <- 154
burn <- data.frame(
  id = 1:n,
  group = c(rep("chlorhex", 84), rep("povidone", 70)),
  gender = sample(c("M", "F"), n, prob = c(0.78, 0.22), replace = TRUE),
  race = sample(c("white", "other"), n, prob = c(0.88, 0.12), replace = TRUE),
  severity = pmin(95, pmax(2, rnorm(n, 24.7, 15))),
  burn_type = sample(c("flame", "scald", "electric", "chemical"),
                     n, prob = c(0.75, 0.12, 0.07, 0.06), replace = TRUE),
  time_excision = ifelse(runif(n) < 0.64, runif(n, 0, 30), NA),
  time_antibiotic = ifelse(runif(n) < 0.41, runif(n, 0, 30), NA),
  time = rexp(n, rate = 0.05),
  status = rbinom(n, 1, 0.4)
)

# Multivariate Cox (fixed covariates only)
cox_fit <- coxph(Surv(time, status) ~ group + gender + race + severity + burn_type,
                 data = burn)
summary(cox_fit)

# Time-dependent setup (counting process format)
burn_long <- tmerge(burn, burn,
                    id = id,
                    endpoint = event(time, status))
burn_long <- tmerge(burn_long, burn,
                    id = id,
                    excision = tdc(time_excision))
burn_long <- tmerge(burn_long, burn,
                    id = id,
                    antibiotic = tdc(time_antibiotic))

# Time-dep Cox
cox_td <- coxph(Surv(tstart, tstop, endpoint) ~ group + gender + severity
                + excision + antibiotic, data = burn_long)
summary(cox_td)

5.2 Python — lifelines Time-Dependent Setup

import pandas as pd
from lifelines import CoxTimeVaryingFitter
from lifelines.utils import to_long_format, add_covariate_to_timeline

# Long-format 변환 (counting process)
# 각 환자의 record 를 시간 구간별 분할
# 자세한 setup 은 lifelines documentation 참조

# 예시 long-format:
# id  start  stop  event  excision  antibiotic
#  1   0     10     0        0          0
#  1   10    25     0        1          0    (excision at 10)
#  1   25    30     1        1          1    (antibiotic at 25, infection at 30)

# CoxTimeVaryingFitter
ctv = CoxTimeVaryingFitter()
ctv.fit(burn_long, id_col="id", event_col="event",
        start_col="start", stop_col="stop")
print(ctv.summary)

6 두 데이터의 대비

측면 § 1.5 Breast § 1.6 Burn
n 45 154
그룹 수 2 (IH+ vs IH-) 2 (chlorhex vs povidone)
사건 사망 Staphylococcus 감염
공변량 1 (IH status) 14 (12 fixed + 2 time-dep)
Sample 도전 작은 그룹 (9) 충분
통계적 도전 Likelihood 정확성 Multivariate + time-dep
Klein 사용 Ch.8·10 Ch.8·9
직관 — 두 데이터의 페다고지 가치

§ 1.5 Breast:

  • “작은 sample 에서 likelihood 기반 정확한 분석”.
  • “Cox vs Aalen — 어느 것이 적절한가?”
  • → Ch.10 의 additive hazards 동기.

§ 1.6 Burn:

  • “다변량 Cox 의 표준 적용”.
  • “Time-dependent covariate 의 정확한 처리”.
  • → Ch.9.1 의 time-dep Cox 동기.

상보성:

  • 작은 + 단순 (Breast) vs 큰 + 복잡 (Burn).
  • 학생이 두 극단을 모두 학습.

7 핵심 직관 통합

  • Lymph node negative 의 16% 재발 = SLM 한계 → IH 가 정밀도 향상.
  • 작은 sample (9 vs 36) = likelihood 기반 분석의 가치.
  • Additive vs Multiplicative hazards = 모델 선택의 trade-off.
  • Burn historical control = multivariate adjustment 필수.
  • Time-dependent covariate = immortal time bias 회피.
  • 두 데이터의 상보성 = 작은-단순 vs 큰-복잡.

8 실전 체크리스트 — § 1.5~1.6

§ 1.5 Breast Cancer

  1. 임상 배경 이해 (axillary lymph node, IH staining).
  2. 데이터 구조 정확히 입력 (45 명, IH+ 9 vs IH- 36).
  3. 작은 그룹 (n=9) 의 통계적 도전 인지.
  4. KM curve 비교.
  5. Log-rank test + Cox PH HR.
  6. Aalen additive hazards 비교 시연.
  7. Constant excess risk vs time-varying excess risk.

§ 1.6 Burn Patient

  1. Historical control 디자인 인지 + confounding 점검.
  2. Multi-covariate Cox PH 적합.
  3. Time-dependent covariate counting-process 형식 변환.
  4. Excision·antibiotic 의 immortal time bias 회피.
  5. Burn site multi-collinearity 점검.

EDA

  1. 각 데이터의 events·censored·n·median 요약.
  2. KM curve + 신뢰구간.
  3. PH 가정 시각 점검 (Schoenfeld).
  4. Multi-covariate model 의 effect size + 신뢰구간.

다음 단계

  1. § 1.7 (Kidney Transplant 863 명) — 큰 데이터의 kernel smoothing.
  2. § 1.8 (Laryngeal Cancer) — ordinal stage trend test.

9 관련 주제

Klein 시리즈

관련 개념 (cross-category)

10 참고문헌

  • Klein, J. P., & Moeschberger, M. L. (2003). Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data (2nd ed.), Ch.1 § 1.5~1.6. Springer.
  • Sedmak, D. D., Meineke, T. A., Knechtges, D. S., & Anderson, J. (1989). Prognostic Significance of Cytokeratin-Positive Breast Cancer Metastases. Modern Pathology, 2, 516-520.
  • Ichida, J. M., Wassell, J. T., Keller, M. D., & Ayers, L. W. (1993). Evaluation of Protocol Change in Burn-Care Management Using the Cox Proportional Hazards Model with Time-Dependent Covariates. Statistics in Medicine, 12(3-4), 301-310.
  • Aalen, O. O. (1989). A Linear Regression Model for the Analysis of Life Times. Statistics in Medicine, 8(8), 907-925.
  • Aalen, O. O., Borgan, Ø., & Gjessing, H. K. (2008). Survival and Event History Analysis: A Process Point of View. Springer.
  • Cox, D. R. (1972). Regression Models and Life-Tables. JRSS B, 34(2), 187-220.
  • Suissa, S. (2008). Immortal Time Bias in Pharmacoepidemiology. American Journal of Epidemiology, 167(4), 492-499.
  • Therneau, T. M., & Grambsch, P. M. (2000). Modeling Survival Data: Extending the Cox Model. Springer.
  • Davidson-Pilon, C. (2019). lifelines: Survival Analysis in Python. JOSS, 4(40), 1317.
  • Scheike, T. H., & Zhang, M. J. (2011). Analyzing Competing Risk Data Using the R timereg Package. Journal of Statistical Software, 38(2). (R timereg 패키지)

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