1 들어가며 — 본 편의 자리
Klein 시리즈 사다리:
| 편 | 주제 |
|---|---|
| Ch.1 Overview (01) | 19 예제 catalog + 표준 데이터 구조 |
| § 1.1~1.2 (본 편) | Introduction 본문 + 첫 핵심 데이터 (6-MP Leukemia) |
| § 1.3~1.10 (예정) | BMT·Dialysis·Breast·Burn 등 8 예제 |
| § 1.11~1.19 (예정) | 추가 예제 |
본 편이 답하는 다섯 가지 질문
- 시간-사건 데이터가 의학·공학·경제 같은 다른 분야 에서 같은 통계 도구로 분석되는 이유는?
- 중도절단의 3 유형 (right·left·interval) 과 절단의 2 유형 (left·right) 을 한 그림 으로 구분할 수 있는가?
- Freireich 1963 의 6-MP 임상시험 이 왜 생존분석의 표준 예제가 되었는가? 의학적·통계적·역사적 가치?
- Matched-pair 설계 가 분석의 어느 단계 (KM·log-rank·Cox) 에서 어떤 효과를 주는가?
- 6-MP 그룹의 압도적 censoring (12/21 = 57%) 이 효과 추론에 어떻게 활용되는가?
2 § 1.1 Introduction — 시간-사건 데이터의 본질
2.1 6 응용 분야의 통합
Klein 책 첫 단락:
“The problem of analyzing time to event data arises in a number of applied fields, such as medicine, biology, public health, epidemiology, engineering, economics, and demography.”
직관 — 같은 도구, 다른 분야
| 분야 | 사건 (event) | 시간 출발점 | censoring 발생 |
|---|---|---|---|
| 의학 | 사망·재발·완치 | 진단·치료 시점 | study 종료, follow-up 실패 |
| 생물학 | 폐사·번식·발달 단계 | 출생·실험 시작 | 실험 종료 |
| 역학 | 발병·감염 | 노출·등록 | follow-up 종료 |
| 공학 | 고장·파손 | 가동 시작 | inspection 종료 |
| 경제 | 실업·계약 종료·이탈 | 등록·고용 시작 | 추적 종료 |
| 인구학 | 결혼·출산·이주 | 출생·연령 시작 | survey cutoff |
공통 추상화:
- 데이터: \((T_i, \delta_i, Z_i)\).
- 모델 대상: \(S(t), h(t), F(t)\).
- 핵심 도구: KM, log-rank, Cox.
→ 같은 코드가 의학 임상시험·공학 reliability·고객 churn analysis 모두에 작동.
Klein 책의 focus 는 biology and medicine 이지만, 도구 자체는 분야 무관.
2.2 Censoring 의 3 유형 (Ch.3 에서 엄밀)
실제 사건 시점 T (모름) 관측 영역
| |
Right Censoring (가장 흔함):
Study 시작 관측 종료
|─────────────────────────────────|→ T (미관측)
↑ T ≥ c (c = 종료 시점)
Left Censoring (드물음):
Study 시작
T → ←(과거)──────────────|─────────────
↑ T 가 이 시점 이전임만 알려짐
Interval Censoring (정기 검진):
검진 1 검진 2
|─────T──────────────|
↑ ↑
T_L ≤ T ≤ T_U
직관 — 3 유형의 mental model
- Right: 시간이 “오른쪽” (큰 값) 으로 알 수 없음. “\(T \geq c\)”.
- Left: 시간이 “왼쪽” (과거) 에 발생했음만 안다. “\(T \leq c\)”.
- Interval: 시간이 두 검진 사이 어딘가. “\(T_L \leq T \leq T_U\)”.
오른쪽이 가장 흔한 이유: study 종료 시 미발생자는 모두 right censored.
좌측은 드물지만 발생: HIV 양성 진단된 환자의 감염 시점 (이미 과거).
구간은 정기 검진 기반 연구 (cancer screening): 사건이 두 검진 사이에 발생.
2.3 Truncation 의 2 유형
Left Truncation (delayed entry):
실제 시작 등록 시점 관측 종료
|─────●────────────────|─────────────|
↑ ↑
0 이 시점 이전 사건자는 표본에 포함 안 됨
Right Truncation:
실제 시작 관측 마감
|─────●─── 사건 발생 → 표본 포함 ✓ |
|─────────────── 사건 미발생 → 표본 제외 ✗
↑
관측 마감 후 사건자 표본 못 됨
직관 — Censoring vs Truncation 다시 정리
| Censoring | Truncation | |
|---|---|---|
| 본질 | 관측 불완전 | 표본 자체 편향 |
| 처리 | likelihood 에 부분 정보 | 조건부 분포 |
| 예제 | Right: 추적 종료 | Left: AIDS 진단 후 등록 |
Censoring 은 개체가 표본 안 에 있고 정보 일부만 부족.
Truncation 은 개체가 표본 자체에 들어올 자격 이 사건 발생에 의존.
수학적 차이:
- Censoring: \(L = \prod f(T_i)^{\delta_i} S(T_i)^{1-\delta_i}\).
- Left truncation: \(L = \prod \frac{f(T_i)^{\delta_i} S(T_i)^{1-\delta_i}}{S(L_i)}\) — denominator 가 truncation 보정.
Klein Ch.3 에서 정확히.
3 § 1.2 Acute Leukemia 6-MP Trial — 임상 시험 배경
3.1 연구 (Freireich et al. 1963)
- 저자: Emil J Freireich, Edmund A Gehan, Emil Frei III, et al.
- 출판: Blood (American Society of Hematology), 1963년 6월.
- 임상기관: 11 개 미국 병원의 협력 임상시험 (multi-center).
- 대상: 42 명의 급성 백혈병 (acute leukemia) 소아 환자.
3.2 의학적 배경
3.2.1 급성 백혈병의 1960 년대 치료 패러다임
1950 년대 말 ~ 1960 년대 초:
- Prednisone (corticosteroid): 백혈병 induction (관해 유도) 에 효과.
- 그러나 모든 환자가 결국 재발 (relapse).
- 의문: maintenance therapy (관해 유지 치료) 가 재발을 막을 수 있는가?
3.2.2 6-Mercaptopurine (6-MP)
- 분류: purine analog (퓨린 유사체).
- 메커니즘: DNA 합성에 필요한 purine 의 모방체. 백혈병 세포 분열 억제.
- 개발: Gertrude Elion (1988 노벨 의학상).
- 가설: 관해된 환자에게 6-MP 유지 → 재발 시간 지연.
직관 — Maintenance Therapy 라는 발상
당시 (1960 년) 의 임상 패러다임:
- “관해 = 치료 성공” → 환자 퇴원.
- 재발 시 → 다시 induction → 다시 관해 → 반복.
Freireich 의 발상 전환:
- 관해된 환자도 미세 잔존 백혈병 세포가 있을 것.
- 관해 동안에도 약을 유지 → 재발 지연 또는 예방.
오늘날의 표준 치료 패러다임 (induction → consolidation → maintenance) 의 출발점.
3.3 Matched-Pair 설계
임상시험 절차:
1. 11 미국 병원에서 환자 등록.
2. Prednisone 으로 induction → 관해 (complete or partial).
3. 같은 병원의 환자 2 명을 매칭:
- 같은 병원
- 같은 remission status (complete vs partial)
4. 매칭된 pair 안에서 무작위 배정:
- 한 명: 6-MP maintenance.
- 다른 한 명: placebo maintenance.
5. 재발 (사건) 또는 study 종료까지 추적.
직관 — Matched-Pair 설계의 가치
왜 매칭?
- 병원: 표준 치료 프로토콜 동일.
- Remission status: baseline 차이 통제 (complete remission > partial remission).
매칭의 효과:
- 변동 감소: pair 내 baseline 차이가 작음 → treatment effect 분리 명확.
- 혼란 변수 통제: 명시적 covariate 측정 없이도 통제.
- 검정력 증가: same n 에서 더 큰 statistical power.
무작위 배정 (within pair):
- Treatment assignment bias 회피.
- Causal inference 의 기반.
이는 Fisher 의 randomized block design 의 임상 버전.
3.4 Table 1.1 — 데이터 완전
원본 데이터 (월 단위, + = censored):
| Pair | Remission Status | Placebo | 6-MP |
|---|---|---|---|
| 1 | Partial | 1 | 10 |
| 2 | Complete | 22 | 7 |
| 3 | Complete | 3 | 32+ |
| 4 | Complete | 12 | 23 |
| 5 | Complete | 8 | 22 |
| 6 | Partial | 17 | 6 |
| 7 | Complete | 2 | 16 |
| 8 | Complete | 11 | 34+ |
| 9 | Complete | 8 | 32+ |
| 10 | Complete | 12 | 25+ |
| 11 | Complete | 2 | 11+ |
| 12 | Partial | 5 | 20+ |
| 13 | Complete | 4 | 19+ |
| 14 | Complete | 15 | 6 |
| 15 | Complete | 8 | 17+ |
| 16 | Partial | 23 | 35+ |
| 17 | Partial | 5 | 6 |
| 18 | Complete | 11 | 13 |
| 19 | Complete | 4 | 9+ |
| 20 | Complete | 1 | 6+ |
| 21 | Complete | 8 | 10+ |
3.5 첫 관찰
- Placebo (n = 21):
- 사건 (재발): 21/21 = 100%.
- Censored: 0.
- Range: 1~23 개월. 평균 ≈ 8.7.
- 6-MP (n = 21):
- 사건 (재발): 9/21 = 43%.
- Censored: 12/21 = 57%.
- Range: 6~35 개월. 평균 (관측만) ≈ 17.
직관 — Censoring 패턴의 비대칭성
Placebo 0 censored:
- 모든 placebo 환자가 study 안에서 재발.
- Treatment 가 약해서 재발이 일찍 발생.
6-MP 12 censored:
- 절반 이상이 study 종료까지 재발 안 함.
- Treatment 가 효과적이어서 재발 지연.
역설적 통찰:
- Censoring 비율이 그룹 차이의 강한 신호.
- 일반 회귀라면 censored 데이터를 버리거나 잘못 사용.
- 생존분석은 censoring 자체를 정보 로 활용.
→ 6-MP 의 효과는 단순 평균 비교 (8.7 vs 17) 보다 더 큼. 실제 KM 추정 사후 6-MP 의 median survival 이 alived 절반에 도달 안 할 수 있음.
3.6 Pair-Level 시각화 (직관)
Pair 1: P●1 ────────●6MP10 (6-MP 가 더 길게 생존)
Pair 2: P●22 ───●6MP7 (placebo 가 더 길게 — 예외)
Pair 3: P●3 ─────────────●6MP32+ (6-MP censored at 32)
Pair 4: P●12 ──────●6MP23
...대부분 pair 에서 6-MP 가 더 길게 생존 → 그룹 효과의 시각적 증거.
3.7 데이터 사용 매핑 (Klein 책 전체)
| Chapter | 사용 |
|---|---|
| Ch.4 | Kaplan-Meier·Nelson-Aalen 의 첫 비모수 추정 예제 |
| Ch.6.4 | Bayesian density estimation (Dirichlet process) 시연 |
| Ch.7.5 | Stratified log-rank test (matched pair stratification) |
| Ch.9.3 | Stratified Cox proportional hazards model |
이 데이터가 4 chapter 에 등장하는 이유:
- 단순 + 풍부: 작은 데이터지만 censoring·matching·effect 모두 포함.
- 역사적 가치: 의학적 의의 + 통계적 모범.
- Pedagogical: 손계산 가능 (21 + 21 점).
4 R + Python EDA
4.1 R — survival 패키지
library(survival)
library(survminer)
library(ggplot2)
# 데이터 (Klein Table 1.1)
leukemia <- data.frame(
pair = rep(1:21, each = 2),
group = rep(c("placebo", "6-MP"), 21),
remission = rep(c("Partial", "Complete", "Complete", "Complete", "Complete",
"Partial", "Complete", "Complete", "Complete", "Complete",
"Complete", "Partial", "Complete", "Complete", "Complete",
"Partial", "Partial", "Complete", "Complete", "Complete",
"Complete"), each = 2),
time = c(1, 10, 22, 7, 3, 32, 12, 23, 8, 22, 17, 6, 2, 16, 11, 34, 8, 32,
12, 25, 2, 11, 5, 20, 4, 19, 15, 6, 8, 17, 23, 35, 5, 6, 11, 13,
4, 9, 1, 6, 8, 10),
status = c(1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0,
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0)
)
# 그룹별 요약
table(leukemia$group, leukemia$status)
# 0 1
# 6-MP 12 9
# placebo 0 21
# Kaplan-Meier 추정
km_fit <- survfit(Surv(time, status) ~ group, data = leukemia)
print(km_fit)
# records n.max events median 0.95LCL 0.95UCL
# 6-MP 21 21 9 23 16 NA
# placebo 21 21 21 8 4 12
# KM curve
ggsurvplot(
km_fit, data = leukemia,
risk.table = TRUE, conf.int = TRUE,
pval = TRUE, palette = c("blue", "red"),
xlab = "Months", ylab = "Survival probability",
legend.title = "Group", legend.labs = c("6-MP", "placebo")
)
# Log-rank test (unstratified)
survdiff(Surv(time, status) ~ group, data = leukemia)
# Chisq = 16.79, p = 4.17e-05
# Stratified log-rank (matched pair 활용)
survdiff(Surv(time, status) ~ group + strata(pair), data = leukemia)4.2 Python — lifelines 패키지
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from lifelines import KaplanMeierFitter
from lifelines.statistics import logrank_test, multivariate_logrank_test
# 데이터
leukemia = pd.DataFrame({
"pair": np.repeat(range(1, 22), 2),
"group": ["placebo", "6-MP"] * 21,
"remission": np.repeat(
["Partial", "Complete", "Complete", "Complete", "Complete",
"Partial", "Complete", "Complete", "Complete", "Complete",
"Complete", "Partial", "Complete", "Complete", "Complete",
"Partial", "Partial", "Complete", "Complete", "Complete",
"Complete"], 2),
"time": [1, 10, 22, 7, 3, 32, 12, 23, 8, 22, 17, 6, 2, 16, 11, 34, 8, 32,
12, 25, 2, 11, 5, 20, 4, 19, 15, 6, 8, 17, 23, 35, 5, 6, 11, 13,
4, 9, 1, 6, 8, 10],
"status": [1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0,
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]
})
# 그룹별 요약
print(leukemia.groupby("group")["status"].agg(
events=lambda x: x.sum(),
censored=lambda x: (x == 0).sum(),
n=lambda x: len(x),
))
# events censored n
# 6-MP 9 12 21
# placebo 21 0 21
# Kaplan-Meier 추정
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 6))
for grp, color in [("placebo", "red"), ("6-MP", "blue")]:
sub = leukemia[leukemia["group"] == grp]
kmf = KaplanMeierFitter()
kmf.fit(sub["time"], sub["status"], label=grp)
kmf.plot_survival_function(ax=ax, color=color)
print(f"{grp}: median survival = {kmf.median_survival_time_}")
ax.set_xlabel("Months")
ax.set_ylabel("Survival probability")
ax.set_title("Acute Leukemia: 6-MP vs Placebo (Freireich 1963)")
ax.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig("freireich_km.png", dpi=100)
# Log-rank test
result = logrank_test(
leukemia[leukemia["group"] == "placebo"]["time"],
leukemia[leukemia["group"] == "6-MP"]["time"],
leukemia[leukemia["group"] == "placebo"]["status"],
leukemia[leukemia["group"] == "6-MP"]["status"]
)
print(f"Log-rank test: chi^2 = {result.test_statistic:.3f}, p = {result.p_value:.4e}")
# chi^2 = 16.79, p = 4.17e-05
# Pair-level 시각화 (strip plot)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 7))
for i, row in leukemia.iterrows():
color = "red" if row["group"] == "placebo" else "blue"
marker = "o" if row["status"] == 1 else "s"
y_pos = row["pair"] + (0.15 if row["group"] == "6-MP" else -0.15)
ax.scatter(row["time"], y_pos, c=color, marker=marker, s=80,
edgecolors="black", linewidths=0.5)
ax.set_xlabel("Time (months)")
ax.set_ylabel("Pair")
ax.set_yticks(range(1, 22))
ax.legend(["placebo (event)", "6-MP (event)", "censored"], loc="upper right")
plt.tight_layout()
plt.savefig("freireich_strip.png", dpi=100)4.3 EDA 결과 해석
4.3.1 Median Survival
- Placebo: 8 개월.
- 6-MP: 23 개월 (관측), 그러나 upper bound 가 무한 — 사후 12 명의 censored 가 23+ 이상.
직관 — Median Survival 해석
Placebo median 8 개월: 절반 환자가 8 개월 안에 재발.
6-MP median 23 개월: 절반이 23 개월까지 재발 안 함.
비율 차이: 6-MP 가 placebo 의 약 3 배 재발 지연.
Note: 6-MP 의 median 추정의 신뢰구간 [16, ∞] — 너무 많은 censored 로 upper bound 무한대.
이는 6-MP 의 효과가 너무 커서 study duration 이 짧다 는 의미. 더 긴 추적이 있으면 더 정확한 median 추정 가능.
4.3.2 Log-Rank Test
- Statistic: \(\chi^2 = 16.79\), df = 1.
- p-value: \(4.17 \times 10^{-5}\) (매우 유의).
→ 두 그룹의 생존 분포가 통계적으로 명확히 다름.
통계적 vs 의학적 의의
통계적 유의 (p < 0.001): “두 그룹이 다르다” 의 strong evidence.
의학적 의의:
- 1963 년 당시 standard of care 변경 의 evidence.
- Maintenance therapy 가 일반적이지 않던 시대 → 이 연구로 6-MP maintenance 표준화.
- 이후 다른 leukemia (ALL 소아) 의 maintenance 연구 표준 설계.
따라서 이 데이터는 single small study 가 어떻게 임상 표준을 바꾸는지의 모범.
5 Matched-Pair 설계의 통계적 함의
5.1 Within-Pair Variance Reduction
각 pair \(j\) 의 placebo 와 6-MP 의 baseline 가 매칭됨 → pair 내 차이가 treatment effect 만.
수학적:
\[ T_{j,\text{placebo}} - T_{j,\text{6-MP}} = \text{baseline}_j - \text{baseline}_j + \text{effect} + \epsilon_j = \text{effect} + \epsilon_j \]
- Baseline (병원·remission status) 가 cancel out.
- \(\epsilon_j\) = pair 내 random variation.
- Variance 가 unmatched 보다 작음.
5.2 Stratified Analysis 의 정당화
Matched-pair → 각 pair 를 별도 stratum.
Unstratified log-rank: 모든 pair 를 무시, 그룹별 비교.
Stratified log-rank (Ch.7.5): pair 를 stratum 으로 이용.
- 같은 pair 내 비교 정보 활용.
- 작은 pair 의 영향 averaging.
직관 — Stratified vs Unstratified Log-Rank
이 데이터에서:
- Unstratified: \(\chi^2 = 16.79, p = 4.17e-05\).
- Stratified by pair: 비슷한 결과.
이유: matched-pair design 이지만 pair 간 baseline 차이가 작음 (모두 prednisone induction 후 관해).
따라서 unstratified 와 stratified 결과 비슷. Pair stratification 의 가치는 매칭이 baseline 차이를 강하게 줄였을 때 명확.
복잡한 multi-center 임상시험 (병원 간 standard care 차이가 큼) 에서는 pair stratification 의 효과 큼.
6 6-MP 임상시험의 역사적 의의
6.1 1960 년대 임상시험의 표준 모델
- Multi-center: 11 병원 협력 — 일반화 가능성.
- Randomized: 무작위 배정 — bias 회피.
- Matched: 병원·remission status 매칭 — variance 감소.
- Maintenance hypothesis: 새로운 치료 패러다임 검증.
이 4 가지 요소가 이후 임상시험의 표준 청사진.
6.2 Statistical Methods 발전 동기
- Freireich 1963 의 데이터를 분석하기 위해:
- Kaplan-Meier (1958) 가 이미 있었으나 censoring 처리에 적용 시연.
- Mantel-Haenszel log-rank (1959, 1966) 의 표준 예제.
- Cox proportional hazards (1972) 의 motivation 데이터 중 하나.
→ 이 데이터가 현대 생존분석 도구 발전의 동기.
6.3 Gertrude Elion (6-MP 개발자)
- 1988 년 노벨 생리·의학상 수상 (rational drug design).
- 6-MP 외에도 azathioprine·acyclovir·AZT 개발에 기여.
- 6-MP 는 leukemia 외 IBD·이식 거부 반응 치료에도 사용.
직관 — 한 데이터셋의 무게
42 명의 작은 데이터지만:
- 의학사: maintenance therapy 표준 정립.
- 통계학: 4 개 핵심 도구의 표준 예제.
- 약물학: 6-MP 의 광범위 응용 (현재까지).
- 임상시험 설계: matched-pair multicenter 의 청사진.
→ 데이터의 크기 가 아닌 질 이 영향력 결정.
7 핵심 직관 통합
시간-사건 데이터의 통합 원리:
- 의학·공학·경제 — 같은 추상화 \((T_i, \delta_i, Z_i)\).
- 분야는 다르되 도구는 같음.
Censoring 의 정보 가치:
- Censoring 자체가 그룹 차이의 신호.
- 6-MP 12 censored vs placebo 0 censored 의 비대칭성이 효과의 강도를 시사.
Matched-Pair 의 통계적 함의:
- Variance reduction.
- Stratified analysis 의 정당화.
- Causal inference 의 기반.
역사적 가치:
- 한 작은 데이터셋이 의학 패러다임과 통계 도구를 동시에 발전.
8 실전 체크리스트 — § 1.1~1.2
§ 1.1 응용 분야 인식
- 시간-사건 데이터의 6 분야 응용 인지.
- Censoring 3 유형 (right·left·interval) 구분.
- Truncation 2 유형 (left·right) 구분.
- Censoring vs Truncation 의 본질적 차이.
§ 1.2 6-MP 데이터 분석
- 임상 배경 이해 (maintenance therapy 의 의의).
- Matched-pair 설계 의 이유 인지 (variance reduction + bias 통제).
- Table 1.1 의 21 pair × 2 데이터 정확히 로드.
- Censoring 패턴 의 비대칭성 (12 vs 0) 의 의미 해석.
- KM curve 그리고 두 그룹 비교.
- Log-rank test 로 통계적 유의성 검정.
- Stratified log-rank 로 pair 효과 확인.
EDA
- 그룹별 events·censored·n 요약.
- Median survival 비교.
- KM curve + confidence band 시각화.
- Pair-level strip plot (직관 시각화).
다음 단계
- § 1.3 (Bone Marrow Transplant) 으로 multistate model 예고.
- Ch.4 (KM·NA) 가 본 데이터의 첫 깊은 분석.
- Ch.7.5 (stratified log-rank) 가 matched-pair 의 정확한 분석.
9 관련 주제
Klein 시리즈
- Ch.1 Overview — Examples of Survival Data
- (다음) § 1.3~1.10 (예정) — BMT·Dialysis·Breast·Burn 등
입문 자료
관련 개념 (cross-category)
10 참고문헌
- Klein, J. P., & Moeschberger, M. L. (2003). Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data (2nd ed.), Ch.1 § 1.1~1.2. Springer.
- Freireich, E. J., Gehan, E. A., Frei, E. III, et al. (1963). The Effect of 6-Mercaptopurine on the Duration of Steroid-Induced Remissions in Acute Leukemia: A Model for Evaluation of Other Potentially Useful Therapy. Blood, 21(6), 699-716.
- Elion, G. B. (1989). Nobel Lecture: The Purine Path to Chemotherapy. Science, 244(4900), 41-47.
- Kaplan, E. L., & Meier, P. (1958). Nonparametric Estimation from Incomplete Observations. JASA, 53(282), 457-481.
- Mantel, N., & Haenszel, W. (1959). Statistical Aspects of the Analysis of Data from Retrospective Studies of Disease. JNCI, 22(4), 719-748.
- Mantel, N. (1966). Evaluation of Survival Data and Two New Rank Order Statistics Arising in Its Consideration. Cancer Chemotherapy Reports, 50(3), 163-170.
- Cox, D. R. (1972). Regression Models and Life-Tables. JRSS B, 34(2), 187-220.
- Therneau, T. M., & Grambsch, P. M. (2000). Modeling Survival Data: Extending the Cox Model. Springer.
- Davidson-Pilon, C. (2019). lifelines: Survival Analysis in Python. Journal of Open Source Software, 4(40), 1317.
- Hill, A. B. (1937, reprinted 1971). Principles of Medical Statistics (9th ed.). Lancet. (임상시험 설계 고전)
- Pocock, S. J. (1983). Clinical Trials: A Practical Approach. Wiley.