Klein Ch.1 § 1.7~1.8 심화 — Kidney Transplant · Laryngeal Cancer

OSU 1982-1992 의 863 명 kidney transplant 데이터·큰 sample 의 kernel hazard smoothing·continuous covariate (age) discretization·race × gender 4 그룹·Kardaun 1983 의 90 명 laryngeal cancer·TNM stage I~IV ordinal·trend test·ANOVA-style Cox·stage × age interaction·linear combination contrasts·parametric AFT·log-logistic·deviance residuals

Klein & Moeschberger Ch.1 의 § 1.7 Kidney Transplant 와 § 1.8 Laryngeal Cancer 를 한 편으로 깊게 다룬다. 두 데이터는 sample size 의 양 극단 (863 vs 90) 에서 서로 상보적 통계 도구를 동기 부여. § 1.7 Ohio State University Transplant Center 의 863 명 kidney transplant (1982-1992, max follow-up 9.47 년). 4 race × gender 그룹 (white M 432, black M 92, white F 280, black F 59), 사망률 13.9~23.7%, 이식 시 나이 9.5 개월 ~ 74.5 세 (mean 42.8). 큰 sample 이기에 가능한 kernel hazard smoothing 의 표준 시연 데이터 — bandwidth 선택과 kernel 종류 (Gaussian·Epanechnikov·biweight) 의 영향을 비교 (Ch.6). Continuous covariate (age) 를 discretization 해 risk group 으로 나누는 방법론 (Ch.8) 의 표준. § 1.8 Kardaun (1983) 의 네덜란드 90 명 laryngeal cancer 환자 (1970-1978 진단). TNM 분류 기반 4 stage (I=T1N0M0 33명, II=T2N0M0 17명, III=T3N0M0+TxN1M0 27명, IV 그 외 13명) 의 ordinal 구조. Trend test (Ch.7.4 — stage 가 클수록 hazard 증가), global Cox + local tests + ANOVA-style 분해 + age interaction (Ch.8), linear combination contrasts 로 stage 간 차이 검정. Additive hazards (Ch.10), parametric accelerated failure-time + log-logistic + deviance residuals (Ch.12). R survival + muhaz (kernel) + eha (parametric) + Python lifelines 와 scikit-survival 으로 두 데이터 EDA 와 표준 분석.

Statistics
Survival Analysis
Klein-Moeschberger
Kernel-Smoothing
AFT
저자

Kwangmin Kim

공개

2026년 04월 27일

1 들어가며 — 본 편의 자리

Klein 시리즈 사다리:

편 주제
Ch.1 Overview (01) 19 예제 catalog
§ 1.1~1.2 (01-1) Introduction + 6-MP Leukemia
§ 1.3~1.4 (01-2) BMT + Dialysis
§ 1.5~1.6 (01-3) Breast Cancer + Burn
§ 1.7~1.8 (본 편) Kidney Transplant + Laryngeal Cancer
§ 1.9~1.10 (예정) Auto/Allo BMT + Lymphoma BMT
본 편이 답하는 다섯 가지 질문
  1. Sample size 의 영향 — 863 명 (kidney) 과 90 명 (laryngeal) 에서 어떤 도구가 가능/불가능?
  2. Kernel hazard smoothing — 비모수 hazard 추정에서 bandwidth 선택의 trade-off 는?
  3. Continuous covariate 의 모델링 — age (연속) 를 binning vs linear vs spline 어느 것이 적절한가?
  4. TNM ordinal stage — K-sample test (자유도 K-1) 와 trend test (자유도 1) 의 차이?
  5. Parametric AFT + log-logistic — Cox PH 와 무엇이 다르고 언제 더 자연스러운가?

2 § 1.7 Kidney Transplant Death (OSU 1982-1992)

2.1 의학적 배경 — Kidney Transplant 환자의 장기 추적

2.1.1 신장 이식의 표준화

  • 1980 년대: cyclosporine 도입으로 이식 성공률 급증.
  • OSU Transplant Center: 1982-1992 의 10 년간 표준화된 protocol.
  • 환자 follow-up: 사망 또는 Columbus 외 이주 (lost to follow-up) 시까지.
직관 — 큰 sample 의 가치

863 명 = Klein 책의 가장 큰 데이터 중 하나.

큰 sample 이 가능하게 하는 분석:

  • Kernel hazard smoothing: 작은 데이터에서는 noise 가 커 smoothing 의미 작음. 큰 sample 에서 진짜 hazard 패턴 추출.
  • Continuous covariate (age 9.5 개월 ~ 74.5 세) 의 정밀 모델링.
  • 다중 그룹 (4 race × gender 조합) 동시 비교.
  • Subgroup 분석 (각 race 의 age effect 등).

작은 데이터 (45 명 breast cancer) 에서는 불가능한 분석.

2.2 데이터 구조

Group n 사망 사망률
White Male 432 73 16.9%
Black Male 92 14 15.2%
White Female 280 39 13.9%
Black Female 59 14 23.7%
Total 863 140 16.2%
  • Period: 1982-1992.
  • Max follow-up: 9.47 년.
  • Continuous covariate: 이식 시 나이 (9.5 개월 ~ 74.5 세, mean 42.8).
  • Censoring: lost to follow-up (Columbus 이주) + 1992-06-30 까지 alive.
직관 — 그룹별 사망률 패턴

Black Female (23.7%) vs White Female (13.9%):

  • 같은 성별, 다른 race → race 효과 의심.
  • 그러나 sample size (BF=59 vs WF=280) 차이 → 정밀도 다름.

Male vs Female:

  • WM 16.9% vs WF 13.9% → 남성이 약간 높음.
  • BM 15.2% vs BF 23.7% → 흑인 여성이 가장 높음 (역설).

원인 가능성:

  • Confounding by age, baseline disease severity, comorbidities.
  • Multivariate Cox 로 통제 후 race × gender 효과 평가.

작은 데이터에서는 이런 detailed subgroup 분석 불가능.

2.3 Kernel Hazard Estimation (Klein Ch.6)

2.3.1 비모수 hazard 추정의 어려움

KM 의 jump 는 hazard 의 incremental contribution:

\[ \hat\Lambda(t) = \sum_{t_j \leq t} \frac{d_j}{n_j} \]

그러나 hazard 자체 (rate) 는 jump 의 derivative — 잡음이 많음.

2.3.2 Kernel Smoothing

매 시점 \(t\) 에 가까운 사건들의 가중 평균:

\[ \hat h(t) = \frac{1}{b} \sum_j K\Bigl(\frac{t - t_j}{b}\Bigr) \cdot \frac{d_j}{n_j} \]

  • \(K(\cdot)\) = kernel 함수 (Gaussian, Epanechnikov, biweight).
  • \(b\) = bandwidth (smoothing parameter).
직관 — Bandwidth 의 Trade-off

\(b\) 작음 (under-smoothing):

  • hazard 곡선이 noisy.
  • Local detail 보존.
  • Variance 큼.

\(b\) 큼 (over-smoothing):

  • hazard 곡선이 부드러움.
  • Detail 손실.
  • Bias 큼.

최적 \(b\):

  • Cross-validation.
  • Plug-in estimator.
  • Visual judgement.

Boundary effect (관찰 시작·종료 근처):

  • Kernel 이 영역 밖을 reach → bias.
  • Boundary kernel 또는 reflection 으로 보정.

2.3.3 Kernel 함수의 종류

Kernel \(K(u)\) 특성
Gaussian \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-u^2/2}\) 무한 support, smooth
Epanechnikov \(\frac{3}{4}(1 - u^2)_+\) 유한 support, optimal MSE
Biweight \(\frac{15}{16}(1 - u^2)^2_+\) 유한 support, smoother
Uniform \(\frac{1}{2} \mathbb{1}_{|u| \leq 1}\) 단순, 거친 곡선

→ 보통 Epanechnikov 가 default. Boundary 처리 중요.

2.4 Continuous Covariate Discretization (Klein Ch.8)

2.4.1 Age 의 모델링 옵션

옵션 1: Linear (\(\beta \cdot\) age):

  • 단순.
  • “1 세 증가 → hazard 가 \(\exp(\beta)\) 배” 가정.
  • 중년 (40대) 과 노년 (70대) 의 영향이 같다고 가정 (의학적으로 이상).

옵션 2: Binning (4 categories: <30, 30-50, 50-65, 65+):

  • 각 그룹의 dummy variable.
  • 비선형 관계 표현.
  • Cutpoint 선택의 자의성.

옵션 3: Spline (B-spline 또는 restricted cubic spline):

  • 부드러운 비선형 관계.
  • Cutpoint 자의성 적음.
  • Degrees of freedom 결정.
직관 — Discretization 의 정보 손실

Continuous → Categorical:

  • 정보 손실 (within-bin variation 무시).
  • 그러나 해석 단순 (각 그룹의 baseline + effect).
  • 임상적 cutoff (예: 65 세 = “노년”) 와 일치 시 자연.

Linear vs Binning:

  • Linear: 효율적이지만 가정 강함.
  • Binning: 가정 약함, 효율 손실.

검증:

  • Martingale residual (Ch.11) 으로 functional form 점검.
  • “Residual vs covariate” plot 이 패턴 보이면 → 비선형 필요.

§ 1.7 Klein 책 Ch.8 에서 age 의 discretization 방법론 시연.

2.5 Klein 책 사용 매핑

Chapter 본 데이터 사용
Ch.6 Kernel hazard smoothing — bandwidth 와 kernel 선택 효과
Ch.8 Continuous covariate (age) discretization 방법론

→ 큰 sample 이 두 분석 모두를 가능하게 함.

3 § 1.8 Laryngeal Cancer Death (Kardaun 1983)

3.1 의학적 배경 — TNM 분류

3.1.1 Larynx (후두) 암

  • 위치: 인후 (목소리 상자).
  • 위험 요인: 흡연, 알코올.
  • 치료: 방사선·수술·chemotherapy.
  • 예후: stage 와 환자 나이에 강하게 의존.

3.1.2 TNM 분류 (American Joint Committee 1972)

  • T (Tumor): 원발 종양 크기·침습.
    • \(T_1\): 작음, 한 부위.
    • \(T_2\): 인접 부위 침습.
    • \(T_3\): 성대 고정.
    • \(T_4\): 후두 외 침습.
  • N (Nodes): 림프절 침범.
    • \(N_0\): 없음.
    • \(N_1\): 단일 림프절.
  • M (Metastasis): 원격 전이.
    • \(M_0\): 없음.

3.1.3 Stage 분류 (4 단계)

Stage TNM 조합 환자 수 의미
I \(T_1 N_0 M_0\) 33 가장 가벼움
II \(T_2 N_0 M_0\) 17 약간 진행
III \(T_3 N_0 M_0\) 또는 \(T_x N_1 M_0\) 27 림프절 또는 큰 종양
IV 그 외 (TIS 제외) 13 가장 심각
직관 — Ordinal Stage 의 통계적 함의

Nominal vs Ordinal:

  • Nominal (예: race): 4 그룹, 순서 없음.
  • Ordinal (예: stage): 4 그룹, 순서 있음 (I < II < III < IV).

검정의 차이:

  • K-sample test (자유도 \(K-1 = 3\)): “그룹들 사이에 차이가 있는가?”
  • Trend test (자유도 1): “stage 가 클수록 hazard 증가하는가?”

Trend test 가 더 강력 (검정력 큼) — 정확한 alternative 가설을 사용.

Stage I~IV 가 “작은 → 큰 hazard” 순서일 가설 자체가 정보 → 1 자유도로 충분.

3.2 Klein 책 사용 매핑

Chapter 본 데이터 사용
Ch.7.4 Trend test (ordinal stage)
Ch.8 Global Cox test + local tests + ANOVA-style + age interaction
Ch.8 Linear combination contrasts
Ch.10 Additive hazards model
Ch.12 Parametric AFT (accelerated failure-time)
Ch.12.5 Log-logistic AFT + deviance residuals

→ 6 가지 도구의 표준 시연 (Ch.7·8·10·12).

3.3 Trend Test 자세히 (Ch.7.4)

3.3.1 K-Sample Log-Rank

각 그룹의 observed - expected 차이의 quadratic form:

\[ Q = (O - E)^T V^{-1} (O - E) \sim \chi^2_{K-1} \]

  • 모든 그룹 간 차이 검정.
  • 자유도 \(K-1 = 3\).

3.3.2 Trend Log-Rank

Stage \(j \in \{1, 2, 3, 4\}\) 의 score \(w_j = j\) (또는 다른 ordinal score) 사용:

\[ Z = \frac{\sum_j w_j (O_j - E_j)}{\sqrt{V}} \sim N(0, 1) \]

  • “Score 와 hazard 의 단조 관계” 검정.
  • 자유도 1.
직관 — 검정력 비교

같은 데이터에서:

  • K-sample: \(\chi^2_3\), p = 0.01.
  • Trend: \(\chi^2_1\), p = 0.001.

Trend 가 더 작은 p-value → 더 강력.

이유:

  • Trend 는 정확한 ordering hypothesis 사용.
  • K-sample 은 “어느 ordering 이든 차이 있음” — 정보 손실.

조건:

  • Stage 가 진짜 ordinal (확실한 ordering).
  • Hazard 가 monotone.

만약 stage III 이 stage IV 보다 hazard 가 큼 (역순) → trend test 가 K-sample 보다 약함.

3.4 ANOVA-Style Cox + Age Interaction (Ch.8)

3.4.1 Global Test

전체 stage effect 검정:

\[ H_0: \beta_{II} = \beta_{III} = \beta_{IV} = 0 \text{ (stage I 기준)} \]

→ Likelihood ratio test 또는 Wald test.

3.4.2 Local Tests

각 stage 의 effect 개별 검정.

\[ H_0^{(j)}: \beta_j = 0 \]

3.4.3 Age Interaction

\[ h(t \mid Z) = h_0(t) \exp(\beta_{\text{stage}} \cdot \text{stage} + \beta_{\text{age}} \cdot \text{age} + \beta_{\text{int}} \cdot \text{stage} \times \text{age}) \]

직관 — Stage × Age Interaction 의 의미

가능한 interaction:

  • Stage IV 의 age effect > Stage I 의 age effect = “고령 환자가 stage IV 에서 특히 위험 증가”.
  • Or 반대 = “고령 stage I 도 stage IV 와 비슷하게 위험” — biology 변화.

임상적 의미:

  • Treatment 결정 시 age + stage 함께 고려.
  • 단일 age effect 가 모든 stage 에 동일하지 않음.

검정:

  • Likelihood ratio test on \(\beta_{\text{int}}\).
  • Significant → stage 별 age slope 다르게 보고.

3.5 Linear Combination Contrasts

특정 가설 검정:

\[ H_0: \beta_{IV} - \beta_{II} = 0 \quad \text{(stage IV 와 II 같다)} \]

또는:

\[ H_0: \beta_{II} + \beta_{III} - 2 \beta_{I} = 0 \quad \text{(II 와 III 평균이 I 의 hazard 와 같다)} \]

검정: Wald test 형태.

\[ W = \frac{(c^T \widehat\beta)^2}{c^T \widehat{\text{Var}}(\widehat\beta) c} \]

\(c\) = contrast vector.

3.6 Parametric AFT (Ch.12)

3.6.1 Cox PH vs AFT

Cox PH:

\[ h(t \mid Z) = h_0(t) \exp(\beta Z) \]

  • Hazard 비례.
  • \(h_0\) 는 비모수.

AFT (Accelerated Failure-Time):

\[ \log T_i = \alpha + \beta Z_i + \sigma W_i \]

  • \(T\) 의 log 가 linear regression.
  • \(W\) 의 분포가 모수적 (extreme value, normal, logistic).
  • \(\sigma\) = scale parameter.
직관 — AFT 가 자연스러운 경우

Cox 해석: “Z 가 hazard 를 X 배” — rate.

AFT 해석: “Z 가 lifetime 을 X 배” — time scale 이 stretched/compressed.

수식:

\[ T(Z) = T(0) \cdot \exp(-\beta Z) \]

  • \(\beta > 0\): \(Z\) 클수록 lifetime 짧음.
  • “Acceleration factor” \(\exp(-\beta Z)\).

자연스러운 응용:

  • 공학 reliability: 온도가 높으면 lifetime 단축 (Arrhenius equation).
  • 의학 stage: stage IV 가 stage I 의 lifetime 의 1/X 배.

본 데이터 (laryngeal): stage 의 효과가 lifetime 단축으로 자연스럽게 해석.

3.7 Log-Logistic AFT + Deviance Residuals

3.7.1 Log-Logistic 분포

\(T\) 의 log 가 logistic 분포:

\[ \log T = \alpha + \beta Z + \sigma W, \quad W \sim \text{Logistic}(0, 1) \]

특성:

  • Hazard 가 비단조 가능 (early increase, then decrease).
  • Median lifetime 추정 직접.
  • Cancer survival 에 자연.

3.7.2 Deviance Residuals

Cox 의 martingale residual 보다 대칭에 가깝게 변환:

\[ r_i^{\text{deviance}} = \text{sign}(r_i^{\text{martingale}}) \sqrt{-2 \cdot r_i^{\text{martingale}} - \delta_i \log(\delta_i - r_i^{\text{martingale}})} \]

  • 절댓값 작음 → 모델 적합.
  • 절댓값 큼 → outlier 후보.
  • 분포가 standard normal 에 근사.

3.8 의학사적 의의

  • Kardaun (1983) 의 90 명 데이터셋이 survival textbook 의 표준.
  • TNM stage + age 를 활용한 prognostic model 의 모범.
  • Modern oncology 의 stage-stratified treatment 의 통계적 근거.

4 R + Python EDA — Kidney Transplant 데이터

4.1 R — survival + muhaz (kernel)

library(survival)
library(survminer)
library(muhaz)

# Kidney transplant 데이터 (시뮬레이션)
set.seed(42)
n <- 863
groups <- c(rep("WM", 432), rep("BM", 92), rep("WF", 280), rep("BF", 59))
event_rates <- c(WM = 0.169, BM = 0.152, WF = 0.139, BF = 0.237)

kidney <- data.frame(
  group = groups,
  age = pmin(74.5, pmax(0.79, rnorm(n, 42.8, 15))),
  time = rexp(n, rate = 0.05),
  status = sapply(groups, function(g) rbinom(1, 1, event_rates[g]))
)

# KM by group
fit <- survfit(Surv(time, status) ~ group, data = kidney)
ggsurvplot(fit, data = kidney, pval = TRUE,
           xlab = "Years", ylab = "Survival probability",
           legend.title = "Group")

# Kernel hazard estimate (Ch.6)
# Overall hazard
hazard_est <- muhaz(kidney$time, kidney$status,
                    bw.method = "local", bw.smooth = 1)
plot(hazard_est, xlab = "Years", ylab = "Hazard rate")

# Bandwidth 변화 효과
par(mfrow = c(1, 3))
for (bw in c(0.5, 1.0, 2.0)) {
  h <- muhaz(kidney$time, kidney$status, bw.smooth = bw, bw.method = "global")
  plot(h, main = paste("bw =", bw), xlab = "Years", ylab = "Hazard")
}

# Continuous age 의 discretization (Ch.8)
kidney$age_group <- cut(kidney$age,
                        breaks = c(-Inf, 30, 50, 65, Inf),
                        labels = c("<30", "30-50", "50-65", "65+"))
fit_age <- survfit(Surv(time, status) ~ age_group, data = kidney)
ggsurvplot(fit_age, data = kidney, pval = TRUE,
           xlab = "Years", ylab = "Survival",
           legend.title = "Age group")

# Cox with age (linear)
cox_lin <- coxph(Surv(time, status) ~ group + age, data = kidney)

# Cox with age (binned)
cox_bin <- coxph(Surv(time, status) ~ group + age_group, data = kidney)

# Cox with age (spline)
cox_spline <- coxph(Surv(time, status) ~ group + pspline(age, df = 3),
                    data = kidney)

# Compare via AIC
AIC(cox_lin, cox_bin, cox_spline)

4.2 Python — lifelines + scikit-survival

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from lifelines import KaplanMeierFitter, CoxPHFitter, NelsonAalenFitter

# 데이터 (시뮬레이션)
rng = np.random.default_rng(42)
n_per_group = {"WM": 432, "BM": 92, "WF": 280, "BF": 59}
event_rates = {"WM": 0.169, "BM": 0.152, "WF": 0.139, "BF": 0.237}

groups, ages, times, statuses = [], [], [], []
for g, n in n_per_group.items():
    age = np.clip(rng.normal(42.8, 15, n), 0.79, 74.5)
    t = rng.exponential(scale=20, size=n)
    s = rng.binomial(1, event_rates[g], n)
    groups.extend([g] * n)
    ages.extend(age)
    times.extend(t)
    statuses.extend(s)

kidney = pd.DataFrame({"group": groups, "age": ages,
                       "time": times, "status": statuses})

# KM by group
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 6))
for grp, color in zip(["WM", "BM", "WF", "BF"], ["blue", "green", "red", "orange"]):
    sub = kidney[kidney["group"] == grp]
    kmf = KaplanMeierFitter()
    kmf.fit(sub["time"], sub["status"], label=grp)
    kmf.plot_survival_function(ax=ax, color=color)
ax.set_xlabel("Years")
ax.set_ylabel("Survival probability")
plt.tight_layout()

# Kernel hazard via NelsonAalen + smoothing
naf = NelsonAalenFitter()
naf.fit(kidney["time"], kidney["status"])
hazard_smooth = naf.smoothed_hazard_(bandwidth=1.0)
plt.figure()
naf.plot_hazard(bandwidth=1.0)
plt.xlabel("Years")
plt.ylabel("Hazard rate")
plt.title("Smoothed hazard (bandwidth=1.0)")

# Cox with continuous age
cph = CoxPHFitter()
cph.fit(kidney.assign(group_dummy=pd.get_dummies(kidney["group"]).values.argmax(axis=1)),
        duration_col="time", event_col="status",
        formula="group + age")
print(cph.summary)

5 R + Python EDA — Laryngeal Cancer 데이터

5.1 R 직접 입력

library(survival)
library(survminer)

# Klein Table 1.x (Kardaun 1983) — 일부 변수만 시뮬레이션
# 실제로는 KMsurv::larynx 데이터셋 사용
library(KMsurv)
data(larynx)
str(larynx)
# stage, time, age, diagyr, delta

# KM by stage
fit <- survfit(Surv(time, delta) ~ stage, data = larynx)
ggsurvplot(fit, data = larynx, pval = TRUE,
           xlab = "Years", ylab = "Survival",
           legend.title = "Stage")

# K-sample log-rank
survdiff(Surv(time, delta) ~ stage, data = larynx)

# Trend test (ordinal score)
larynx$stage_score <- as.numeric(larynx$stage)
# Logrank with linear trend
library(survMisc)
ten_obj <- ten(Surv(time, delta) ~ stage, data = larynx)
trend(ten_obj, score = c(1, 2, 3, 4))

# Cox PH (stage as factor)
cox_fit <- coxph(Surv(time, delta) ~ factor(stage) + age, data = larynx)
summary(cox_fit)

# ANOVA-style decomposition
anova(cox_fit, test = "Chisq")

# Stage × age interaction
cox_int <- coxph(Surv(time, delta) ~ factor(stage) * age, data = larynx)
anova(cox_fit, cox_int, test = "Chisq")  # interaction LRT

# Linear combination contrast: stage IV - stage II
library(multcomp)
contrast <- glht(cox_fit, linfct = "factor(stage)4 - factor(stage)2 = 0")
summary(contrast)

# Parametric AFT (Ch.12)
aft_logn <- survreg(Surv(time, delta) ~ factor(stage) + age,
                    data = larynx, dist = "lognormal")
summary(aft_logn)

aft_loglog <- survreg(Surv(time, delta) ~ factor(stage) + age,
                      data = larynx, dist = "loglogistic")
summary(aft_loglog)

# AIC 비교
AIC(aft_logn, aft_loglog, cox_fit)

# Deviance residuals (Ch.12.5)
deviance_resid <- residuals(aft_loglog, type = "deviance")
plot(deviance_resid, ylab = "Deviance residual", main = "Log-logistic AFT")
abline(h = c(-2, 2), col = "red", lty = 2)

5.2 Python — lifelines + scikit-survival

from lifelines import KaplanMeierFitter, CoxPHFitter
from lifelines.fitters import WeibullAFTFitter, LogLogisticAFTFitter, LogNormalAFTFitter
from lifelines.statistics import multivariate_logrank_test

# Larynx 데이터 (KMsurv::larynx 와 동등)
larynx = pd.DataFrame({
    "stage": [1]*33 + [2]*17 + [3]*27 + [4]*13,
    "time": rng.uniform(0.5, 10, 90),  # 시뮬레이션
    "delta": rng.binomial(1, 0.5, 90),
    "age": rng.normal(64, 10, 90),
})

# KM by stage
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 6))
for s in [1, 2, 3, 4]:
    sub = larynx[larynx["stage"] == s]
    kmf = KaplanMeierFitter()
    kmf.fit(sub["time"], sub["delta"], label=f"Stage {s}")
    kmf.plot_survival_function(ax=ax)
ax.set_xlabel("Years")
ax.set_ylabel("Survival")
plt.tight_layout()

# K-sample log-rank
result = multivariate_logrank_test(larynx["time"], larynx["stage"], larynx["delta"])
print(f"K-sample log-rank: chi^2 = {result.test_statistic:.3f}, p = {result.p_value:.4f}")

# Cox with stage as dummy + age
larynx_dummy = pd.get_dummies(larynx, columns=["stage"], drop_first=True)
cph = CoxPHFitter()
cph.fit(larynx_dummy, duration_col="time", event_col="delta")
print(cph.summary)

# Parametric AFT — log-logistic
llaft = LogLogisticAFTFitter()
llaft.fit(larynx_dummy, duration_col="time", event_col="delta")
print(llaft.summary)

# Log-normal AFT
lnaft = LogNormalAFTFitter()
lnaft.fit(larynx_dummy, duration_col="time", event_col="delta")
print(lnaft.summary)

# AIC 비교
print(f"Cox AIC: {cph.AIC_partial_:.1f}")
print(f"Log-logistic AIC: {llaft.AIC_:.1f}")
print(f"Log-normal AIC: {lnaft.AIC_:.1f}")

6 두 데이터의 대비

측면 § 1.7 Kidney § 1.8 Laryngeal
n 863 90
그룹 수 4 (race × gender) 4 (TNM stage I~IV)
그룹 성격 Nominal Ordinal
사건 사망 사망
핵심 covariate Age (continuous) Stage (ordinal) + age
통계 도전 Kernel smoothing + continuous discretization Trend test + AFT + interaction
Klein 사용 Ch.6, 8 Ch.7.4, 8, 10, 12
직관 — Sample Size 의 효과

§ 1.7 (n = 863):

  • 큰 데이터 → kernel smoothing 가능.
  • Multivariate Cox + age (continuous) 정밀.
  • Subgroup 분석 (race × gender) 가능.

§ 1.8 (n = 90):

  • 작은 데이터 → smoothing 거친 결과.
  • 그러나 ordinal structure 가 정보 추가 → trend test 효율.
  • Parametric AFT 가 비모수보다 안정 (n 작을 때).

규칙:

  • n 큼 → 비모수 + flexible (kernel, spline).
  • n 작음 → 모수 + parsimony (AFT, ordinal score).

이는 일반 통계의 trade-off 와 동일.

7 핵심 직관 통합

  • 큰 sample (863) = kernel hazard smoothing 가능.
  • Continuous covariate (age) = linear vs binning vs spline 의 trade-off.
  • Ordinal stage = K-sample 보다 trend test 가 강력.
  • Stage × age interaction = 임상적으로 의미 있는 effect modifier.
  • Linear combination contrast = 특정 가설 정밀 검정.
  • AFT vs Cox = lifetime 해석 (acceleration factor) 의 자연스러움.
  • Log-logistic = non-monotonic hazard 표현.
  • Deviance residuals = AFT 모델의 진단 도구.

8 실전 체크리스트 — § 1.7~1.8

§ 1.7 Kidney Transplant

  1. 큰 sample (863) 의 분석적 가능성 인지.
  2. 4 group (race × gender) 사망률 패턴 파악.
  3. Kernel hazard estimate (Ch.6) — bandwidth 와 kernel 선택.
  4. Continuous age 의 모델링 (linear / binning / spline) 비교.
  5. Martingale residual 로 functional form 점검.

§ 1.8 Laryngeal Cancer

  1. TNM stage 의 ordinal 성질 인지.
  2. Trend test (Ch.7.4) — K-sample 보다 강력한 이유.
  3. Global Cox + local tests + ANOVA-style (Ch.8).
  4. Stage × age interaction 검정 (LRT).
  5. Linear combination contrasts 로 specific hypothesis.
  6. Parametric AFT (log-logistic) 적합 (Ch.12).
  7. Deviance residuals 로 모델 진단 (Ch.12.5).

EDA

  1. KM by group + log-rank.
  2. Hazard estimate (kernel smoothing).
  3. Cox + AFT + AIC 비교.
  4. Residual 진단 (martingale, deviance, score).

다음 단계

  1. § 1.9 (Auto vs Allo BMT) — Cox diagnostics 의 표준.
  2. § 1.10 (Lymphoma BMT) — Karnofsky score 와 functional form.

9 관련 주제

Klein 시리즈

관련 개념 (cross-category)

10 참고문헌

  • Klein, J. P., & Moeschberger, M. L. (2003). Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data (2nd ed.), Ch.1 § 1.7~1.8. Springer.
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  • Cox, D. R. (1972). Regression Models and Life-Tables. JRSS B, 34(2), 187-220.
  • Hess, K. R., Serachitopol, D. M., & Brown, B. W. (1999). Hazard Function Estimators: A Simulation Study. Statistics in Medicine, 18(22), 3075-3088.
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  • Armitage, P. (1955). Tests for Linear Trends in Proportions and Frequencies. Biometrics, 11(3), 375-386.
  • Davidson-Pilon, C. (2019). lifelines: Survival Analysis in Python. JOSS, 4(40), 1317.
  • Pölsterl, S. (2020). scikit-survival: A Library for Time-to-Event Analysis Built on Top of scikit-learn. JMLR, 21(212), 1-6.

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