FDA 8.10 — Chapter 8 연습문제 풀이

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./8-0-functional-time-series.qmd 부터 ./8-5-further-reading.qmd 까지 Ch.8 의 본문 9 개 절을 다뤘다. 이 포스트는 마지막 §8.10 의 18 개 연습문제를 풀이한다.

Ch.8 본문 (§8.1~§8.9)
    ↓
Ch.8 연습문제 (§8.10, 18 문제)
    ├ 8.1~8.4: 스칼라 시계열 + pseudo-inverse (AR LS 추정, random walk, C_p^{-1} 비역성)
    ├ 8.5~8.10: R 응용 (FAR(1) 시뮬, mortality, Australian fertility)
    ├ 8.11~8.14: LRV + 정상성 검정 구체적 계산 (MA(1) LRV, U_N, Elnino)
    └ 8.15~8.18: 정상성 정의 + Theorem 8.8.1 약화 (‖Φ^{j₀}‖ < 1)

핵심 메시지: Ch.8 의 연습문제는 본문의 추상적 결과를 구체적 계산·R 코드·약화 조건의 검증으로 정착시킨다. 특히 Problem 8.17~8.18 의 ‖Φ^{j₀}‖ < 1 약화 조건이 FAR(1) 의 가장 일반적 존재 조건이며, Problem 8.11 의 MA(1) LRV 계산이 LRV 의 직관적 의미 (자기상관의 부호에 따른 분산 증감) 를 보여준다.

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2 Problem 8.1: AR(1) 의 자기공분산과 자기상관

2.1 문제

스칼라 mean-zero AR(1) \(X_n = \varphi X_{n-1} + \varepsilon_n\) 의 무한 표현 \(X_n = \sum_{j=0}^\infty \varphi^j \varepsilon_{n-j}\) 를 사용하여 자기공분산 \(\gamma_h\) 와 자기상관 \(\rho_h\) 를 구하시오.

2.2 풀이

\(\{\varepsilon_n\}\) 이 백색 잡음 (\(E\varepsilon_n = 0\), \(\text{Var}[\varepsilon_n] = \sigma^2\), \(\text{Cov}(\varepsilon_n, \varepsilon_m) = 0\) for \(n \neq m\)).

자기공분산 \(\gamma_h = E[X_n X_{n+h}]\) (\(h \geq 0\)):

\[ E[X_n X_{n+h}] = E\left[\left(\sum_{j=0}^\infty \varphi^j \varepsilon_{n-j}\right) \left(\sum_{k=0}^\infty \varphi^k \varepsilon_{n+h-k}\right)\right] = \sum_{j, k} \varphi^j \varphi^k E[\varepsilon_{n-j} \varepsilon_{n+h-k}]. \]

\(E[\varepsilon_{n-j} \varepsilon_{n+h-k}] = \sigma^2\) if \(n - j = n + h - k\), 즉 \(k = j + h\). 다른 경우 0:

\[ \gamma_h = \sigma^2 \sum_{j=0}^\infty \varphi^j \varphi^{j+h} = \sigma^2 \varphi^h \sum_{j=0}^\infty \varphi^{2j} = \frac{\sigma^2 \varphi^h}{1 - \varphi^2} \quad (|\varphi| < 1). \]

\(\gamma_0 = \sigma^2 / (1 - \varphi^2)\) → 자기상관:

\[ \boxed{ \rho_h = \gamma_h / \gamma_0 = \varphi^h. } \]

2.3 직관: AR(1) 의 자기상관이 거듭제곱 감쇠

\(\rho_h = \varphi^h\) — 자기상관이 lag 의 지수 함수.

• \(|\varphi|\) 가 1 에 가까우면 (강한 지속성) → 자기상관이 천천히 감쇠.
• \(|\varphi|\) 가 0 에 가까우면 → 빠르게 감쇠.

ACF 도표가 정확히 이 패턴 (지수 감쇠) — AR(1) 식별의 표준 진단.

2.4 비유

악기의 잔향 — 음을 친 후 시간에 따라 강도가 지수 감쇠. 잔향 시간 = \(\varphi\) 에 비유. AR(1) 의 자기상관도 같은 형태.

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3 Problem 8.2: AR(1) 의 LS 추정

3.1 문제

스칼라 AR(1) \(X_n = \varphi X_{n-1} + \varepsilon_n\) 의 LS 추정량 \(\widehat{\varphi} = \arg\min_\varphi S_N(\varphi)\), \(S_N(\varphi) = \sum_{n=2}^N (x_n - \varphi x_{n-1})^2\) 를 구하시오.

3.2 풀이

\(S_N\) 의 \(\varphi\) 미분:

\[ \frac{dS_N}{d\varphi} = -2 \sum_{n=2}^N x_{n-1} (x_n - \varphi x_{n-1}). \]

0 으로 놓고:

\[ \sum_{n=2}^N x_{n-1} x_n = \varphi \sum_{n=2}^N x_{n-1}^2 \implies \widehat{\varphi} = \frac{\sum_{n=2}^N x_{n-1} x_n}{\sum_{n=2}^N x_{n-1}^2}. \quad \blacksquare \]

3.3 직관: 표본 자기공분산의 비율

\(\widehat{\gamma}_1 \approx N^{-1} \sum x_{n-1} x_n\), \(\widehat{\gamma}_0 \approx N^{-1} \sum x_{n-1}^2\) 이므로:

\[ \widehat{\varphi} \approx \frac{\widehat{\gamma}_1}{\widehat{\gamma}_0}. \]

이는 8.2 절의 추정량과 동등 — LS 와 method of moments 가 일치. 함수 일반화 (식 8.5) 의 토대.

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4 Problem 8.3: Random Walk 의 비정상성

4.1 문제

\(\varphi = 1\), \(X_0 = 0\) 인 AR(1) (random walk) 가 비정상임을 보임.

4.2 풀이

\(X_n = X_{n-1} + \varepsilon_n = \varepsilon_n + \varepsilon_{n-1} + \cdots + \varepsilon_1\) (반복 적용).

\(E X_n = 0\) (모든 \(n\)).

\(\text{Var}[X_n] = \sum_{i=1}^n \text{Var}[\varepsilon_i] = n \sigma^2\).

\(\text{Var}[X_n]\) 이 \(n\) 에 의존 — 정상성 정의 (Definition 8.1.1) 위반. \(\blacksquare\)

4.3 직관: Random walk 의 분산 증가

각 시점에서 새 잡음이 누적 → 분산이 시간에 따라 선형 증가 → 비정상.

이는 random walk 의 표준 특징 — 누적 분산이 시간에 따라 발산. AR(1) 의 \(|\varphi| < 1\) 정상성 조건의 위반 사례.

4.4 비유

뽑기 누적 합 — 매 시점 동전 한 번 던져 누적. 시간이 지날수록 누적의 변동 폭이 커짐 — 분산이 증가. 정상성 깨짐.

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5 Problem 8.4: Pseudo-Inverse 의 비역성

5.1 문제

8.2 의 partial inverse \(C_p^{-1}(y) = \sum_{j=1}^p \lambda_j^{-1} \langle y, v_j \rangle v_j\) 에 대해, \(C_p^{-1}(C(x)) \neq x\) 와 \(C(C_p^{-1}(y)) \neq y\) 인 \(x, y\) 를 찾으시오.

5.2 풀이

\(C_p^{-1}(C(x)) \neq x\): \(x = v_{p+1}\) (절단을 넘어선 PC).

\(C(v_{p+1}) = \lambda_{p+1} v_{p+1}\). \(C_p^{-1}(\lambda_{p+1} v_{p+1}) = \sum_{j=1}^p \lambda_j^{-1} \langle \lambda_{p+1} v_{p+1}, v_j \rangle v_j = 0\) (직교성).

따라서 \(C_p^{-1}(C(v_{p+1})) = 0 \neq v_{p+1}\).

\(C(C_p^{-1}(y)) \neq y\): 같은 \(y = v_{p+1}\).

\(C_p^{-1}(v_{p+1}) = 0\). \(C(0) = 0 \neq v_{p+1}\).

5.3 직관: 절단된 부분이 사라짐

\(C_p^{-1}\) 가 첫 \(p\) 개 PC 만 다루므로 그 외의 정보는 소실. 이 정보 손실이 pseudo-inverse 의 본질 — 작은 \(\lambda\) 의 폭발을 회피하는 대가로 그 방향의 정보 잃음.

진짜 역 \(C^{-1}\) 가 존재하지 않으므로 이 손실이 불가피. 부분적 역으로 안정성 확보.

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6 Problem 8.5: 시뮬레이션 FAR(1) 의 분산 시각화

6.1 R 풀이 스케치

# 8.7 의 시뮬레이션 코드 실행 후

# 분산 비율 시각화
par(mfrow = c(1, 2))
plot(round(varianceprop * 100, 0), type = "b",
     xlab = "Eigenfunction", ylab = "Percentage of explained variance",
     axes = FALSE)
axis(2); axis(1, at = 1:4); box()

plot(cumsum(round(varianceprop * 100, 0)), ylim = c(80, 100),
     type = "b",
     xlab = "Eigenfunction", ylab = "Cumulative percentage of variance",
     axes = FALSE)
axis(2); axis(1, at = 1:4); box()

# 첫 4 개 EFPC 시각화
par(mfrow = c(2, 2))
for (i in 1:4) {
  plot.fd(harmonicsX[i], ylab = "",
          main = bquote(hat(italic(v))[.(i)]))
}

6.2 v̂_4 의 형태

전형적: 진동이 많고 패턴이 거의 무작위 — 잡음 수준. 분산 0% 에 가까움 (\(\widehat{\lambda}_4\) 매우 작음).

이는 표본 PCA 의 일반 패턴 — 고차 PC 가 잡음을 반영, 절단의 정당성.

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7 Problem 8.6: far 패키지 시뮬레이션

7.1 R 풀이

library(far)
far1 <- simul.far(m = 64, n = 100)
plot(far1, whole = TRUE, separator = TRUE)

far 패키지가 FAR 시뮬레이션의 더 단순한 인터페이스 — m (격자 점), n (함수 수). 100 개 함수의 시각화로 양의 지속성 패턴 확인.

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8 Problem 8.7: 다른 국가의 사망률 분석

8.1 R 풀이 (예: 일본)

library(demography)
japan <- hmd.mx("JPN", "username", "password", "Japan")
japan1950 <- extract.years(japan, years = 1950:2010)
smjapan <- smooth.demogdata(japan1950)

# 1970 vs 2010 비교
plot(smjapan, years = 1970, series = "male",
     ylab = "log mortality", xlab = "Age", main = "Japan male 1970")
lines(smjapan, years = 2010, series = "male", col = "red")
legend("topleft", c("1970", "2010"), col = c("black", "red"), lty = 1)

# 2010 의 t = 10, t = 60 사망률 추출
mort_2010 <- exp(smjapan$rate$male[, "2010"])
m_t10 <- mort_2010[10]    # 10 세
m_t60 <- mort_2010[60]    # 60 세

# 미국과 비교
usa1950 <- extract.years(hmd.mx("USA", "username", "password", "USA"),
                         years = 1950:2010)
smusa <- smooth.demogdata(usa1950)

# 예측 비교
fdm.japan <- fdm(smjapan, series = "male", order = 3)
forecast.japan <- forecast.fdm(fdm.japan, h = 30)
plot(forecast.japan)

8.2 직관

각 국가의 사망률 패턴이 다름 — 의학 발전 + 사회 환경 + 생활 습관. 비교 분석으로 도메인 통찰 도출.

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9 Problem 8.8: 프랑스 1900~1945 — WWII 효과

9.1 R 풀이

library(demography)
france <- hmd.mx("FRATNP", "username", "password", "France")
france_old <- extract.years(france, years = 1900:1945)
smfrance <- smooth.demogdata(france_old)

# 1900 vs 1945 비교
plot(smfrance, years = 1900, series = "male", main = "France male 1900")
lines(smfrance, years = 1945, series = "male", col = "red")

결과: 1945 의 곡선에 20~40 세 영역의 사망률 급증 — WWII 의 군 사망 영향.

9.2 표준 vs 강건 예측

# 표준 (Hyndman-Ullah)
fdm.france.std <- fdm(smfrance, series = "male", order = 3)
forecast.std <- forecast.fdm(fdm.france.std, h = 30)
plot(forecast.std, main = "Standard prediction")

# 강건 (RAPCA)
fdm.france.rob <- fdm(smfrance, series = "male", order = 3, method = "rapca")
forecast.rob <- forecast.fdm(fdm.france.rob, h = 30)
plot(forecast.rob, main = "Robust (RAPCA) prediction")

9.3 직관: Outlier 처리의 차이

표준 방법은 WWII 의 비정상 곡선 을 정상 패턴으로 처리 → 미래 예측에 영향.

RAPCA (Robust PCA) 는 outlier 를 자동 식별 + 가중치 감소 → WWII 효과를 무시하고 평시 추세 외삽 → 더 합리적 예측.

이는 통계학의 일반 원칙 — 이상치에 견고한 도구가 실무에 더 적합.

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10 Problem 8.9: Australian Fertility 의 두 예측 방법

10.1 R 풀이

library(ftsa)
par(mfrow = c(2, 1))

# 표준 (한 번에 모두 예측)
plot(Australiasmoothfertility, col = gray(0.8),
     xlab = "Age", ylab = "Births per 1,000 females",
     main = "Forecasted fertility rates (2007-2026)")
plot(forecast(ftsm(Australiasmoothfertility, order = 2), h = 20),
     add = TRUE)
legend("topright", c("2007", "2026"), col = c("red", "blue"), lty = 1)

# 재귀 (한 단계씩 누적)
plot(Australiasmoothfertility, col = gray(0.8),
     xlab = "Age", ylab = "Births per 1,000 females",
     main = "Recursive Forecasts")
plot(ftsmiterativeforecasts(Australiasmoothfertility,
                            components = 2, iteration = 20),
     add = TRUE)
legend("topright", c("2007", "2026"), col = c("red", "blue"), lty = 1)

10.2 두 방법의 차이

측면	Exact	Recursive
예측 방식	\(\widehat{X}_{N+1}, \ldots, \widehat{X}_{N+h}\) 동시	한 단계씩 누적 (\(\widehat{X}_{N+1}\) → \(\widehat{X}_{N+2}\) …)
잡음	누적 안 됨	각 단계의 예측 오차 누적
정확성	큰 \(h\) 에서 더 정확	큰 \(h\) 에서 변동성 큼

10.3 직관

Recursive 가 stepwise 인간 직관에 더 가깝지만, 각 단계의 잡음 누적 으로 장기 예측이 부정확. Exact 가 통계적으로 우수.

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11 Problem 8.10: Hyndman-Ullah vs 다변량 비교

11.1 R 풀이

library(ftsa); library(vars)

# 다변량 (farforecast)
aus_farforecast <- farforecast(ftsm(Australiafertility), h = 20, PI = TRUE)
plot(extract(aus_farforecast$point_fore, timeorder = 1),
     ylim = c(0, 140), xlab = "Age", lwd = 2)
lines(extract(aus_farforecast$PI_lb, timeorder = 1), col = 2, lty = 2)
lines(extract(aus_farforecast$PI_ub, timeorder = 1), col = 2, lty = 2)

# Hyndman-Ullah 추가
plot(forecast(ftsm(Australiasmoothfertility, order = 2), h = 1),
     add = TRUE, lty = 3, lwd = 2)

11.2 직관

다변량 (farforecast) 가 PC 점수 사이 cross-covariance 활용 → 일반적으로 더 정확. Hyndman-Ullah 는 단순하고 견고.

데이터의 PC 점수 사이 강한 의존성이 있으면 다변량이 우수, 약하면 두 방법 비슷.

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12 Problem 8.11: MA(1) 의 LRV

12.1 문제

스칼라 MA(1) \(X_i = \mu + Z_i + \theta Z_{i-1}\), \(Z_i\) iid (평균 0, 분산 \(\sigma_Z^2\)). LRV \(\sigma^2\) 계산. 어떤 \(\theta\) 에서 \(\sigma^2 > \text{Var}[X_i]\) 인가?

12.2 풀이

평균 0 으로 가정 (\(\mu = 0\)).

자기공분산:

\[ \gamma_0 = \text{Var}[X_i] = \text{Var}[Z_i] + \theta^2 \text{Var}[Z_{i-1}] = (1 + \theta^2) \sigma_Z^2. \]

\[ \gamma_1 = \text{Cov}(X_i, X_{i+1}) = \text{Cov}(Z_i + \theta Z_{i-1}, Z_{i+1} + \theta Z_i) = \theta \sigma_Z^2. \]

\[ \gamma_h = 0 \text{ for } |h| \geq 2. \]

(MA(1) 의 자기공분산은 lag 1 만 비영.)

LRV:

\[ \sigma^2 = \sum_h \gamma_h = \gamma_0 + 2 \gamma_1 = (1 + \theta^2) \sigma_Z^2 + 2 \theta \sigma_Z^2 = (1 + \theta)^2 \sigma_Z^2. \quad \blacksquare \]

12.3 조건 \(\sigma^2 > \text{Var}[X_i]\)

\[ (1 + \theta)^2 \sigma_Z^2 > (1 + \theta^2) \sigma_Z^2 \iff (1 + \theta)^2 > 1 + \theta^2 \iff 2\theta > 0 \iff \theta > 0. \]

12.4 직관: 자기상관 부호와 LRV

• \(\theta > 0\) (양의 자기상관) — LRV \(>\) 분산. 표본 평균의 분산이 iid 보다 큼.
• \(\theta < 0\) (음의 자기상관) — LRV \(<\) 분산. 표본 평균의 분산이 iid 보다 작음.
• \(\theta = 0\) — MA 항 없음, LRV = 분산 (iid 케이스).

이는 LRV 의 직관적 의미를 명확히 보여준다 — 자기상관의 부호가 표본 평균의 효율성을 결정.

12.5 비유

연속된 사진의 평균 색깔:

• 비슷한 사진 (양 자기상관) — 평균이 한 영역에 치우침. 분산 ↑.
• 정반대 사진 (음 자기상관) — 평균이 중간으로 수렴. 분산 ↓.

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13 Problem 8.12: \(H_{A, 1}\), \(H_{A, 2}\) 의 비정상성

13.1 풀이

\(H_{A, 1}\) (change point): \(X_i(t) = \mu(t) + \delta(t) \mathbb{1}\{i > k^*\} + \eta_i(t)\).

\(E X_i(t) = \mu(t) + \delta(t) \mathbb{1}\{i > k^*\}\) — \(i\) 에 의존 (\(k^*\) 전후 다름) → 비정상.

\(H_{A, 2}\) (random walk): \(X_i(t) = \mu(t) + \sum_{\ell=1}^i u_\ell(t)\).

\(E X_i(t) = \mu(t)\) (시간 무관 — \(u_\ell\) 평균 0).

공분산 (iid \(u_\ell\), 분산 함수 \(C_u(t, s) = \text{Cov}(u(t), u(s))\)):

\[ \text{Cov}(X_i(t), X_i(s)) = \text{Var}\left[\sum_{\ell=1}^i u_\ell(t), \sum_{\ell=1}^i u_\ell(s)\right] = \sum_{\ell=1}^i \text{Cov}(u_\ell(t), u_\ell(s)) = i \cdot C_u(t, s). \]

\(i\) 에 의존 → 비정상.

일반 정상 \(\{u_\ell\}\) 케이스는 cross 항 추가 (정상 sequence 의 partial sum).

13.2 직관: 두 비정상의 다른 형태

• Change point — 평균이 점프 (1 차 적률 비정상).
• Random walk — 평균은 일정하지만 분산이 누적 (2 차 적률 비정상).

두 형태 모두 비정상이지만 다른 메커니즘 — 검정의 검정력이 두 형태 모두 검출하도록 설계.

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14 Problem 8.13: \(H_{A, 1}\) 하 \(U_N(k/N)\)

14.1 풀이

\(H_{A, 1}\): \(X_i = \mu + \delta \mathbb{1}\{i > k^*\} + \eta_i\).

부분합:

\[ \sum_{i=1}^k X_i = k \mu + \delta \cdot \max(0, k - k^*) + \sum_{i=1}^k \eta_i. \]

\(U_N(k/N) = N^{-1/2} \sum_{i=1}^k X_i - (k/N) \cdot N^{-1/2} \sum_{i=1}^N X_i\).

각 부분합 대입:

\[ U_N(k/N) = N^{-1/2}\left\{\sum_{i=1}^k \eta_i - \frac{k}{N} \sum_{i=1}^N \eta_i\right\} + N^{-1/2}\left\{\delta \max(0, k - k^*) - \frac{k}{N} \delta (N - k^*)\right\}. \]

평균 항은 자동 상쇄. \(\delta\) 항이 추가:

\(k = k^*\) 의 경우:

\[ U_N(k^*/N) = (\text{H_0 형태}) + \frac{k^*(N - k^*)}{N^{3/2}} \delta. \quad \blacksquare \]

14.2 직관

\(k = k^*\) 에서 \(\delta\) 항이 가장 큼 (\(k^*(N - k^*)\) 가 최대). 이는 \(U_N\) 이 \(k^*\) 부근에서 특히 큰 값 임을 보여준다 — 검정의 검정력 메커니즘.

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15 Problem 8.14: Elnino 정상성 검정

15.1 R 풀이

library(ftsa)
help("ElNino")    # 데이터 정의 확인

# 기본 검정
result_default <- T_stationary(ElNino)

# 확장 검정 (5000 replications, d = 99% CPV)
result_extended <- T_stationary(ElNino,
                                MC_rep = 5000,
                                cumulative_var = 0.99)

print(result_default)
print(result_extended)

15.2 결과 해석

Elnino 데이터 (적도 태평양 해수온) 가 강한 계절성·기후 변동 → 비정상 가능성 높음. 검정 결과 P-value 가 작으면 (\(< 0.05\)) 정상성 기각.

cumulative_var = 0.99 로 더 많은 PC 사용 → 더 정교한 검정 (작은 변동도 검출).

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16 Problem 8.15: Strict → Weak 정상성

16.1 문제

\(\{X_n\}\) 이 strictly stationary (Definition 8.8.1) 이고 \(E\|X_n\|^2 < \infty\) for each \(n\). 그러면 weakly stationary (8.15 의 정의) 임을 보임.

16.2 풀이

Strict stationarity → 모든 결합 분포가 시간 무관. 특히:

1. 평균 함수 시간 무관: \(\mu_n(t) = E X_n(t)\) — 한 변수의 분포가 시간 무관 → \(\mu_n\) 도 시간 무관 → \(\mu_n = \mu\).

2. 공분산 연산자 시간 무관: \(C_n(h)\) 의 정의에 두 변수 \(X_n, X_{n+h}\) 의 결합 분포가 등장. Strict stationarity 로 \((X_n, X_{n+h})\) 의 결합 분포가 시간 무관 → \(C_n(h)\) 가 \(n\) 에 무관.

따라서 weakly stationary. \(\blacksquare\)

16.3 직관: 강한 가정이 약한 가정 함의

Strict (모든 결합 분포 시간 무관) 가 weak (1, 2 차 적률만 시간 무관) 보다 강함 — strict 가 weak 함의는 자명. 단 \(E\|X_n\|^2 < \infty\) 가정 필수 (적률 존재).

역방향 (weak → strict) 은 일반적으로 거짓 — 가우스 가정 하에서만 성립.

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17 Problem 8.16: 식 (8.19) 가 strictly stationary

17.1 문제

\(X_n = \sum_{j=0}^\infty \Phi^j(\varepsilon_{n-j})\) 가 strictly stationary 이고 식 (8.1) 을 만족함을 보임.

17.2 풀이 스케치

Strict stationarity: \(\{\varepsilon_n\}\) 이 iid (strict 정상의 강한 케이스) → \(\{(\varepsilon_n, \varepsilon_{n-1}, \ldots)\}\) 의 결합 분포가 시간 shift 에 불변.

\(X_n\) 이 \((\varepsilon_n, \varepsilon_{n-1}, \ldots)\) 의 함수 (정확히는 \(\sum \Phi^j\) 형태) → \(\{X_n\}\) 의 결합 분포도 shift 불변 → strictly stationary.

식 (8.1) 만족 검증:

\[ \Phi(X_{n-1}) + \varepsilon_n = \Phi\left(\sum_{j=0}^\infty \Phi^j(\varepsilon_{n-1-j})\right) + \varepsilon_n = \sum_{j=0}^\infty \Phi^{j+1}(\varepsilon_{n-1-j}) + \varepsilon_n. \]

\(k = j + 1\) 치환:

\[ = \sum_{k=1}^\infty \Phi^k(\varepsilon_{n-k}) + \varepsilon_n = \sum_{k=0}^\infty \Phi^k(\varepsilon_{n-k}) = X_n. \quad \blacksquare \]

17.3 직관

식 (8.19) 의 정의가 정확히 식 (8.1) 의 해 — Theorem 8.8.1 의 핵심.

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18 Problem 8.17: 두 조건의 동등

18.1 문제

다음 두 조건의 동등 증명:

• C0: \(\exists j_0\) s.t. \(\|\Phi^{j_0}\| < 1\).
• C1: \(\exists a > 0, 0 < b < 1\) s.t. \(\|\Phi^j\| \leq a b^j \forall j \geq 0\).

18.2 풀이 스케치

C1 → C0: \(b < 1\) 이므로 \(a b^{j_0} < 1\) for \(j_0\) large enough → \(\|\Phi^{j_0}\| < 1\).

C0 → C1: \(\|\Phi^{j_0}\| = c < 1\). 임의의 \(j\) 를 \(j = q j_0 + r\) (\(0 \leq r < j_0\)) 로 표현. 그러면:

\[ \|\Phi^j\| = \|\Phi^{q j_0 + r}\| \leq \|\Phi^{j_0}\|^q \|\Phi^r\| = c^q \|\Phi^r\|. \]

\(\|\Phi^r\| \leq M\) for \(r < j_0\) (유한 개의 유한 값들의 max). \(c^q = c^{(j-r)/j_0} = c^{j/j_0} c^{-r/j_0}\):

\[ \|\Phi^j\| \leq M c^{-r/j_0} \cdot (c^{1/j_0})^j. \]

\(a = M c^{-r/j_0}\) (또는 모든 \(r\) 에 대한 max 의 sup), \(b = c^{1/j_0} < 1\). 따라서 C1.

18.3 직관

C0 (한 lag 의 감쇠) ↔︎ C1 (모든 lag 의 기하급수 감쇠).

C0 가 더 약해 보이지만 사실 C1 과 동등 — 한 lag 의 감쇠가 자동으로 모든 lag 의 감쇠를 함의. 이는 연산자 이론의 표준 결과 (spectral radius vs operator norm).

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19 Problem 8.18: Theorem 8.8.1 의 약화

19.1 문제

Problem 8.17 을 사용하여 Theorem 8.8.1 의 가정 \(\|\Phi\| < 1\) 을 \(\|\Phi^j\| < 1\) for some \(j\) 로 약화 가능함을 보임.

19.2 풀이

Problem 8.17 → C0 가 C1 함의: \(\|\Phi^j\| \leq a b^j\) for some \(a, b\).

Theorem 8.8.1 의 증명 (8.4 포스트 참조) 에서 핵심은 \(\sum \|\Phi^j\| < \infty\) — 무한 급수의 수렴.

C1 하: \(\sum \|\Phi^j\| \leq a \sum b^j = a / (1 - b) < \infty\). 수렴 확보.

따라서 모든 증명 단계 (\(X_n^{(m)}\) 의 a.s. + \(L^2\) Cauchy, uniqueness) 가 동일하게 작동 — Theorem 8.8.1 의 결론 유효.

따라서 약화 조건 \(\|\Phi^j\| < 1\) for some \(j\) 가 충분. \(\blacksquare\)

19.3 직관: 약화의 의미

원래 조건 \(\|\Phi\| < 1\) 은 첫 lag 의 감쇠.

약화 조건 \(\|\Phi^{j_0}\| < 1\) for some \(j_0\) — 어떤 \(j_0\) 의 감쇠. 첫 lag 가 감쇠하지 않더라도 어떤 lag 에서 감쇠하면 충분.

이는 더 일반적 — 어떤 연산자는 \(\|\Phi\|\) 가 1 이지만 \(\|\Phi^2\|\) 는 작을 수 있음. 그런 경우도 FAR(1) 정상 해 존재.

19.4 비유

음악의 비트 — 첫 비트는 강하지만 (감쇠 없음), 그 다음 비트는 약함 (감쇠). 첫 비트만으로는 안정성 판단 못 함, 여러 비트의 누적 효과 가 시계열의 안정성 결정.

이것이 약화 조건의 본질.

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20 18 문제의 통합 시각

20.1 한 줄 요약

Ch.8 의 18 개 문제는 본문의 추상적 결과를 구체적 계산·R 코드·약화 조건의 검증으로 정착시킨다. Problem 8.1~8.4 가 스칼라 시계열 + pseudo-inverse 토대, Problem 8.5~8.10 이 R 응용 (FAR 시뮬·mortality·fertility), Problem 8.11~8.14 가 LRV 와 정상성 검정의 구체적 계산 (MA(1) LRV·U_N), Problem 8.15~8.18 이 정상성 정의와 Theorem 8.8.1 의 약화 (‖Φ^{j₀}‖ < 1). 특히 Problem 8.11 의 MA(1) LRV (1+θ)²σ² 가 자기상관 부호의 LRV 영향을 명확히 보여주고, Problem 8.17~8.18 의 약화 조건이 FAR(1) 의 가장 일반적 존재 framework.

20.2 그룹별 정리

그룹	문제	핵심 도구
스칼라 + pseudo-inverse	8.1~8.4	AR(1) 자기공분산, LS, random walk, \(C_p^{-1}\)
R 응용	8.5~8.10	pca.fd, demography::fdm, ftsa::farforecast
LRV + 검정 계산	8.11~8.14	MA(1) LRV, \(H_A\) 비정상성, \(U_N\), Elnino
Theorem 8.8.1 약화	8.15~8.18	Strict↔︎weak, \(\|\Phi^j\| < 1\)

20.3 본문과의 매핑

본문 절	관련 문제
8.1 (스칼라 시계열)	8.1, 8.2, 8.3 (AR LS, random walk)
8.2 (FAR(1))	8.4 (pseudo-inverse), 8.16 (식 8.19 정상성)
8.3 (Hyndman-Ullah)	8.7 (mortality), 8.8 (France WWII), 8.9 (Australia)
8.4 (다변량 예측)	8.10 (Hyndman-Ullah vs farforecast)
8.5 (LRCF)	8.11 (MA(1) LRV)
8.6 (정상성 검정)	8.12 (\(H_A\)), 8.13 (\(U_N\)), 8.14 (Elnino)
8.7 (R 구현)	8.5 (variance), 8.6 (far 패키지)
8.8 (존재 조건)	8.15 (strict → weak), 8.17, 8.18 (약화 조건)

연습문제가 본문의 모든 핵심을 검증·확장. 특히 Problem 8.17~8.18 가 FAR(1) 이론의 가장 깊은 결과.

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21 관련 주제

선행 지식

• FDA 8.0 — 함수 시계열 (FTS) 개관
• FDA 8.1~8.2 — 시계열 기초와 FAR(1) 함수 자기회귀 모형
• FDA 8.3~8.4 — Hyndman-Ullah 와 다변량 함수 시계열 예측
• FDA 8.5~8.6 — LRCF 와 정상성 검정
• FDA 8.7~8.8 — FAR(1) R 구현과 존재 조건
• FDA 8.9 — 함수 시계열의 확장과 참고문헌
• FDA 4.9 — Chapter 4 연습문제 풀이
• FDA 5.9 — Chapter 5 연습문제 풀이
• FDA 6.7 — Chapter 6 연습문제 풀이
• FDA 7.6 — Chapter 7 연습문제 풀이

후속 주제

• FDA Ch.9 — 공간 함수 데이터
• FDA Ch.10 — 힐베르트 공간의 기본 이론
• FDA Ch.11 — 확률 함수와 가우스 과정
• FDA Ch.12 — 평균·공분산 함수의 추론

관련 개념

• AR(1) 모형의 자기공분산 함수 — Problem 8.1
• MA(q) 모형 — Problem 8.11
• Random Walk 와 Unit Root — Problem 8.3, 8.12
• Pseudo-Inverse (Moore-Penrose) — Problem 8.4
• Strict vs Weak Stationarity — Problem 8.15
• Spectral Radius of Operators — Problem 8.17
• demography R 패키지 — Problem 8.7, 8.8
• ftsa R 패키지 — Problem 8.9, 8.10, 8.14