Kwangmin Kim - FDA 9.0 — 공간 함수 데이터 (Spatial FDA) 개관

1 이 장의 위치와 목적

Chapter 1~7 의 모든 함수 데이터 분석은 iid 가정 하에 전개되었다 — 곡선 표본이 공간·시간 무관하게 독립적으로 추출. Chapter 8 은 시간 종속성 (함수 시계열) 을 도입했다. Chapter 9 는 또 다른 종속성 — 공간 종속성 — 을 다룬다.

1.1 함수 공간 데이터의 본성

공간 위치 \(s_k\) 에서 관측된 곡선들의 집합:

\[ \{X(s_k): k = 1, 2, \ldots, K\}, \]

각 \(X(s_k)\) 가 함수 (\(t \mapsto X(s_k; t)\)). 예시:

기상 관측소 — 각 위치의 일별 기온 곡선 (\(t\) = 시간 또는 날짜).
대기 모니터링 — 각 도시의 시간별 오염 곡선.
해양학 — 각 부이의 깊이별 수온 프로파일.
이온층 측정 — 각 ionosonde 의 시간별 이온화 곡선.

1.2 핵심 문제: 미관측 위치의 곡선 예측

함수 공간 데이터의 핵심 문제

관측된 곡선들 \(X(s_1), X(s_2), \ldots, X(s_N)\) 으로부터 미관측 위치 \(s_0\) 의 곡선 \(X(s_0)\) 를 예측.

이를 함수 크리깅 (functional kriging) 이라 한다.

스칼라 공간 통계의 표준 문제 (점 위치의 값 예측) 의 함수 일반화 — 단지 객체가 스칼라가 아닌 곡선.

1.3 직관: 공간 종속성의 의미

가까운 위치의 곡선들이 비슷, 멀어지면 차이가 커짐.

서울 vs 인천 — 일별 기온 곡선이 매우 비슷.
서울 vs 부산 — 약간 다름 (남북 차이).
서울 vs 도쿄 — 더 다름 (해양 효과).
서울 vs 뉴욕 — 거의 무관.

이 거리에 따른 의존성 감소 가 공간 통계의 핵심 가정 + 크리깅 가능성의 토대.

1.4 비유: 동네 공기 질의 미관측 추정

서울의 25 개 구 중 20 개 구에만 미세먼지 측정소. 5 개 구의 측정값을 추정하려면:

가장 가까운 측정소 의 값 사용 (단순 — kriging 의 가장 단순한 형태).
가까운 여러 측정소의 가중 평균 으로 추정 (kriging — 가까울수록 큰 가중).
지리·교통·풍향까지 고려 — 더 정교한 모형 (covariate-based kriging).

Ch.9 가 이 사고를 함수 (시간별 오염 곡선) 로 일반화 — 공간 가까운 측정소의 곡선 가중 평균.

1.5 이 포스트의 흐름

9.1 스칼라 공간 통계 — variogram, kriging, isotropy
    ↓
9.2 함수 공간장 — L²-valued stationary isotropic random field
    ↓
9.3 함수 크리깅 — predict X(s) from X(s_1), ..., X(s_N)
    ↓
9.4 평균 함수의 가중 추정 — gefogD 패키지의 토대
    ↓
9.5 R 패키지 geofd — Canadian temperature, Calgary 예측
    ↓
9.6 확장 — Delicado functional weights, ionosphere, change point

9.1 의 스칼라 토대가 핵심 — 모든 함수 일반화가 이 토대 위에서 유추.

2 스칼라 공간 통계의 핵심 (9.1)

2.1 지구통계학적 데이터

Geostatistical Data 의 표준 형태

\[ \{X(s_k), s_k \in S, k = 1, 2, \ldots, N\}, \]

\(S\) — 공간 도메인 (보통 \(\mathbb{R}^2\) 의 부분집합).
\(s_k\) — 관측 위치 (보통 불규칙 분포).
\(X(s_k)\) — 위치 \(s_k\) 의 측정값 (스칼라).

Random field: \(\{X(s): s \in S\}\) 가 위치 \(s\) 의 random variable family.

2.2 정상성과 등방성

공간 정상성과 등방성

Strict stationarity: \(\{X(s_1+h), \ldots, X(s_m+h)\} \stackrel{d}{=} \{X(s_1), \ldots, X(s_m)\}\) for any shift \(h\).
Second-order stationarity: \(E X(s)\) 와 \(\text{Cov}(X(s), X(s+h))\) 가 \(s\) 무관 (위치가 아닌 차이 \(h\) 에만 의존).
Isotropy (등방성): 공분산 \(C(h)\) 가 \(h\) 의 길이 \(\|h\|\) 에만 의존, 방향 무관.

2.3 직관: 정상성과 등방성의 의미

정상성 — 공간 전체에서 같은 random mechanism. 시계열의 정상성과 같은 사고.
등방성 — 공간의 모든 방향이 동등. 동서 방향과 남북 방향의 의존성이 동일.

이 두 가정으로 공분산이 한 변수 함수 \(C(h)\) 로 단순화 — 추정·해석 용이.

2.4 비유: 자연 현상의 대칭성

정상성 — 한 동네의 기온 패턴이 옆 동네와 같은 random mechanism.
등방성 — 동서로 1km 떨어진 측정소의 기온 차이 = 남북으로 1km 떨어진 측정소의 차이 (방향 무관).

자연 현상에서 정상성·등방성이 정확히 성립하지 않지만 유용한 근사.

2.5 Variogram 과 Semivariogram

공간 통계의 표준 도구:

\[ 2 \gamma(h) = \text{Var}[X(s + h) - X(s)] \quad (\text{variogram}), \]

\[ \gamma(h) = \frac{1}{2} \text{Var}[X(s + h) - X(s)] \quad (\text{semivariogram}). \]

Second-order stationarity 하 \(\gamma(h) = C(0) - C(h)\) — 분산 - 공분산.

2.6 직관: Variogram 이 거리에 따른 차이

\(h = 0\): \(\gamma(0) = 0\) (자기 자신과의 차이 0).
\(h\) 작음: \(\gamma\) 작음 (가까운 위치는 비슷).
\(h\) 큼: \(\gamma\) 큼 (멀어지면 차이 큼).
\(h \to \infty\): \(\gamma \to C(0)\) (분산, 무상관 한계).

Variogram 의 시각화로 공간 의존성의 감쇠 패턴 직관적 확인.

2.7 표준 공분산 함수

흔한 공분산 함수 (등방성)

\(C(h) = \sigma^2 \phi(h)\), \(\phi(0) = 1\).

Powered exponential:

\[ \phi(h) = \exp\left\{-(h/\rho)^p\right\}, \quad 0 < p \leq 2. \]

\(p = 1\): exponential.
\(p = 2\): Gaussian.

Matérn:

\[ \phi(h) = \frac{2^{1-\nu}}{\Gamma(\nu)} (h/\rho)^\nu K_\nu(h/\rho). \]

매끄러움 모수 \(\nu\) 로 함수의 매끄러움 조절.

2.8 직관: 매끄러움 모수의 효과

매끄러움	모수	결과
거친	\(p = 1\), \(\nu < 1/2\)	측정값이 거리에 따라 빠르게 변동
중간	\(p\) between, \(\nu = 1/2\) ~ \(3/2\)	자연스러운 매끄러움
매끄러운	\(p = 2\), \(\nu > 3/2\)	부드러운 변동

데이터의 본성 (예: 기온의 매끄러운 변화 vs 강수의 거친 변화) 에 맞는 모형 선택.

2.9 Semivariogram 의 표본 추정 (식 9.3)

\[ \widehat{\gamma}(d) = \frac{1}{|N(d)|} \sum_{N(d)} (X(s_k) - X(s_\ell))^2, \]

\(N(d)\) 는 거리 \(\approx d\) 의 위치 쌍 집합. 거리별 binning + 평균.

이를 모수 모형 (powered exponential 등) 에 적합하여 \(\sigma^2, \rho\) 추정.

3 크리깅 (Kriging)

3.1 동기

D. G. Krige (남아프리카 광산 엔지니어, 1919-2013) 의 이름. 미관측 위치 \(s\) 의 값을 관측값 \(X(s_1), \ldots, X(s_N)\) 의 선형 결합 으로 예측:

\[ \widehat{X}(s) = \mu + \sum_{k=1}^N w_k (X(s_k) - \mu). \]

3.2 가중치 결정

평균 제곱 예측 오차 \(E(\widehat{X}(s) - X(s))^2\) 를 최소화하는 가중치 \(w_1, \ldots, w_N\) 찾기.

Kriging 시스템 (식 9.6):

\[ \sum_{j=1}^N C(s_k - s_j) w_j = C(s_k - s), \quad k = 1, 2, \ldots, N. \]

\(N\) 개 일차 방정식 → \(N\) 개 미지수 \(w_j\). 행렬 \([C(s_k - s_j)]\) 가 비특이이면 유일한 해.

3.3 직관: 가중치의 의미

\(s\) 에 가까운 \(s_k\): 큰 가중치 (\(X(s_k)\) 가 \(X(s)\) 와 강한 상관).
\(s\) 에서 먼 \(s_k\): 작은 가중치 (또는 음수).
다른 \(s_k\) 와 매우 가까운 \(s_k\): 가중치가 둘로 분산 (정보 중복).

이는 가중 평균 의 일반화 — 단순 평균 (모두 \(1/N\)) 의 단점을 공간 정보로 보완.

3.4 비유: 학원 시험의 또래 효과

내 시험 점수를 예측할 때:

단짝 친구 (공부 환경 비슷) — 큰 가중치.
같은 반 친구 — 중간 가중치.
다른 학년 — 작은 가중치.

Kriging 도 같은 사고 — 공간적으로 가까운 (비슷한) 측정값에 큰 가중치.

3.5 평균의 크리깅 (Kriging the Mean)

iid 의 경우 \(\mu\) 의 표본 평균이 표준. 공간 데이터에서는 가중 평균 이 더 효율적:

\[ \widehat{\mu} = \sum_{k=1}^N w_k X(s_k), \quad \sum w_k = 1, \quad \min E(\widehat{\mu} - \mu)^2. \]

Lagrange multiplier 로 푼 해 (식 9.7):

\[ \sum_{j=1}^N C(s_k - s_j) w_j - r = 0, \quad k = 1, \ldots, N, \quad \sum_{j=1}^N w_j = 1. \]

\(N + 1\) 미지수 (\(w_1, \ldots, w_N, r\)).

3.6 직관: 왜 단순 평균이 안 되는가

iid 가정: 모든 관측이 같은 정보 → 단순 평균.

공간 데이터: 가까운 관측이 비슷한 정보 → 정보의 중복. 단순 평균은 그 중복을 무시 → 비효율.

해결: 가까운 관측에 작은 가중치, 멀리 떨어진 관측에 큰 가중치 → 독립 정보의 효율적 추출.

3.7 비유: 인구 조사의 가중치

서울 인구 조사 vs 전국 평균:

서울에 측정소 100 개 + 강원 1 개 — 단순 평균은 서울 패턴이 지배.
가중 평균: 서울 100 개의 가중치 합 = 강원 1 개의 가중치 — 지역 균형 회복.

Kriging the mean 도 같은 사고 — 측정소가 밀집한 지역의 곡선이 평균을 지배하지 않도록 가중치 보정.

4 함수 공간장 (9.2)

4.1 정의

Functional Spatial Field

각 위치 \(s \in S\) 에 random function \(X(s) \in L^2\) 가 대응:

\[ \{X(s; t): s \in S, t \in [0, 1]\}. \]

각 \(X(s)\) 가 제곱적분 가능: \(E\|X(s)\|^2 < \infty\).

Strict stationarity (식 9.1 의 함수 일반화) + isotropy + square integrability 가 표준 가정.

4.2 평균과 공분산

정상성 하:

\[ \mu(t) = E X(s; t) \quad \text{(s 무관)}, \]

\[ C(h; t, u) = \text{Cov}(X(s; t), X(s + h; u)) \quad \text{(s 무관)}. \]

중요: \(h \mapsto C(h; t, u)\) 는 \(t = u\) 일 때만 양정치 — \(t \neq u\) 의 경우는 분포의 의미만.

Isotropy 하 \(C(h; t, u) = C(\|h\|; t, u) = C(h; t, u)\) (\(h\) = 거리).

4.3 직관: 두 차원의 의존성

함수 공간장에는 두 종류의 의존성:

공간 의존 (\(s\), \(h\)): 다른 위치의 곡선들 사이.
시간 의존 (\(t\), \(u\)): 같은 곡선의 다른 시점들 사이.

스칼라 공간 통계 (Ch.9.1) 의 공분산 \(C(h)\) 가 함수 차원에서 이중 인덱스 \(C(h; t, u)\) 로 일반화.

4.4 비유: 음악과 지리의 결합

여러 도시의 라디오 방송 — 각 도시가 한 곡선 (시간별 음향).

공간 차원: 도시 사이 거리 → 음악 스타일의 차이.
시간 차원: 곡 안에서 시점 사이 (한 도시 내) → 멜로디의 시간 의존.

함수 공간장이 정확히 이 두 차원의 통합.

5 함수 크리깅 (9.3)

5.1 모형

위치 \(s_1, \ldots, s_N\) 의 곡선 \(X(s_1), \ldots, X(s_N)\) 으로부터 미관측 위치 \(s\) 의 곡선 \(X(s)\) 예측.

예측량:

\[ \widehat{X}(s) = \mu + \sum_{k=1}^N w_k (X(s_k) - \mu). \]

\(\mu\) 는 모집단 평균 함수. 각 곡선에 단일 가중치 \(w_k\) — 곡선을 분리 불가능 단위로 처리.

5.2 손실 함수

함수 노름의 평균 제곱:

\[ E\|\widehat{X}(s) - X(s)\|^2 = E \int (\widehat{X}(s; t) - X(s; t))^2 \, dt. \]

5.3 함수 공분산

스칼라 공분산의 함수 일반화 (식 9.8):

\[ C(s, s') = E[\langle X(s) - \mu, X(s') - \mu \rangle]. \]

이는 두 곡선의 함수 내적 (적분) 의 기댓값 — 한 스칼라 양.

5.4 Kriging 시스템

함수 공분산을 사용한 가중치 결정 시스템:

\[ \sum_{\ell=1}^N C(s_k, s_\ell) w_\ell = C(s_k, s), \quad k = 1, \ldots, N. \]

스칼라 케이스 (식 9.6) 와 형태 동일 — 단지 공분산이 함수 내적의 기댓값.

5.5 직관: 형식적 동등성의 우아함

스칼라와 함수의 kriging 식이 같은 형태 — 함수 객체로의 일반화의 우아함.

차이는 단지 공분산 \(C\) 의 정의 — 스칼라는 표본 공분산, 함수는 \(\langle X(s) - \mu, X(s') - \mu \rangle\) 의 기댓값.

이로써 모든 스칼라 kriging 알고리즘이 함수 일반화 가능 — geofd 패키지가 정확히 이 framework.

5.6 함수 공분산의 추정

Stationarity + isotropy 가정 하:

\[ C(s, s') = E \int (X(s; t) - \mu(t))(X(s'; t) - \mu(t)) \, dt = \int C(\|s - s'\|; t) \, dt, \]

\(C(h; t) = \text{Cov}(X(s + h; t), X(s; t))\) 가 시점 \(t\) 의 스칼라 공간 공분산.

스칼라 spatial kriging 의 도구를 각 \(t\) 에서 적용 후 적분 — 표준 절차.

5.7 비유: 시점별 사진의 평균

각 시점 \(t\) 에서 모든 도시의 측정값이 한 사진 (공간 분포).

시점 \(t\) 에서의 spatial kriging — 표준 스칼라 도구.
모든 \(t\) 의 결과를 적분 — 함수 객체로 통합.

함수 kriging = “시점별 sliced 스칼라 kriging 의 적분”.

5.8 Trace Variogram

geofd 패키지의 trace variogram (geofd 표준 도구):

\[ \widehat{\gamma}_{\text{trace}}(d) = \frac{1}{|N(d)|} \sum_{N(d)} \|X(s_k) - X(s_\ell)\|^2, \]

\(\| \cdot \|\) 가 함수 \(L^2\) 노름.

이는 식 (9.3) 의 함수 버전 — 차이의 함수 노름의 평균.

6 평균 함수의 가중 추정 (9.4)

6.1 동기

스칼라 kriging the mean (식 9.7) 의 함수 일반화. 가까운 위치의 곡선에 작은 가중치.

6.2 모형

가중 평균:

\[ \widehat{\mu}(t) = \sum_{k=1}^N w_k X(s_k; t), \]

각 곡선에 단일 가중치 \(w_k\) (\(t\) 무관).

6.3 가중치 결정

무편향성: \(E\widehat{\mu} = \mu\) 위해 \(\sum w_k = 1\).

MSE 최소화:

\[ E\|\widehat{\mu} - \mu\|^2 = E \int \left(\sum_k w_k X(s_k; t) - \mu(t)\right)^2 dt. \]

Lagrange multiplier 로 푼 시스템 (식 9.12):

\[ \sum_{k=1}^N w_k = 1, \quad \sum_{k=1}^N w_k C(s_k, s_n) - r = 0, \quad n = 1, \ldots, N. \]

\(N + 1\) 미지수.

6.4 직관: 단순 평균 vs 가중 평균

캐나다 35 개 기상 관측소 데이터:

남부 (밀집) — 토론토·오타와 등 가까운 관측소 다수.
북부 (희소) — 한정된 관측소.

단순 평균 (\(w_k = 1/35\)) — 남부 패턴 지배 (남부 가중치 합이 큼). 가중 평균 (kriging) — 북부에 큰 가중치, 남부에 작은 가중치 (일부는 음수도) → 국가 전체의 진짜 평균 추정.

6.5 비유: 인구 vs 면적 가중

GDP 계산에서:

인구 가중: 인구 많은 지역 (도시) 이 지배.
면적 가중: 면적 큰 지역 (시골) 이 지배.

목적에 따라 다른 가중. Kriging the mean 도 같은 사고 — 균형 잡힌 추정 이 목적.

7 R 패키지 geofd (9.5)

7.1 패키지 개요

geofd R 패키지

함수 공간 데이터의 표준 도구. 주요 기능:

Trace variogram 계산.
모수 variogram 모형 적합 (exponential, Matérn 등).
함수 kriging 가중치 계산.
평균 함수 추정.

요구 패키지: fda, fda.usc, maps.

7.2 Canadian Weather 응용

35 개 기상 관측소의 일별 기온 곡선. Calgary 를 제외 후 나머지 34 개로 Calgary 의 곡선 예측.

library(fda); library(fda.usc); library(geofd); library(maps)

data("CanadianWeather")
Temperature <- CanadianWeather$dailyAv[, , 1]
coordinates <- CanadianWeather$coordinates[, 2:1]
coordinates[, 1] <- -coordinates[, 1]   # 서경

place <- CanadianWeather$place

# Calgary 제외
i.0 <- which(place == "Calgary")
coord.0 <- coordinates[i.0, ]
Tempe.34 <- Temperature[, -i.0]
coord.34 <- coordinates[-i.0, ]

# Fourier 기저로 함수화
Day <- 1:365
nt <- nrow(Temperature)
K <- min(99, max(49, 1 + 4 * round(sqrt(nt))))
fourier.basis <- create.fourier.basis(rangeval = range(Day), nbasis = K)
temp.fd.34 <- Data2fd(argvals = Day, y = Tempe.34, basisobj = fourier.basis)
temp.fd.0 <- Data2fd(argvals = Day, y = Temperature[, i.0], basisobj = fourier.basis)

7.3 Trace Variogram 적합

# 함수 L2 거리 계산
L2norm.34 <- dist(t(temp.fd.34$coefs))^2

# Trace variogram (binned)
emp.trace.vari.34 <- trace.variog(coords = coord.34,
                                   L2norm = as.matrix(L2norm.34),
                                   bin = TRUE)

# Exponential 모형 적합
sigma2.0 <- quantile(emp.trace.vari.34$v, 0.75)
phi.0 <- quantile(emp.trace.vari.34$Eu.d, 0.75)
fit.vari.34 <- variofit(emp.trace.vari.34,
                        ini.cov.pars = c(sigma2.0, phi.0),
                        cov.model = "exponential")

# 시각화 (Figure 9.3)
plot(as.dist(emp.trace.vari.34$Eu.d), L2norm.34, col = "grey",
     xlab = "Geographical distances", ylab = "L2 distances",
     main = "Empirical variogram")
points(emp.trace.vari.34$u, emp.trace.vari.34$v, col = "black", pch = 19)
lines(fit.vari.34, col = "black", lwd = 2)

7.4 Kriging 가중치 계산

# 공분산 행렬 추정
hat.C.34 <- cov.spatial(emp.trace.vari.34$Eu.d,
                         cov.model = fit.vari.34$cov.model,
                         cov.pars = fit.vari.34$cov.pars)

geo.dist.0.34 <- as.matrix(dist(coordinates))[-i.0, i.0]
hat.C.0 <- cov.spatial(geo.dist.0.34,
                        cov.model = fit.vari.34$cov.model,
                        cov.pars = fit.vari.34$cov.pars)

# 평균 함수의 가중치
inv.hat.C.34 <- solve(hat.C.34)
v.34 <- apply(inv.hat.C.34, 1, sum)
w.m.34 <- v.34 / sum(v.34)

# Kriging 가중치
w0.k <- solve(hat.C.34, hat.C.0)
w.k <- w0.k + w.m.34 * (1 - sum(w0.k))

7.5 결과 해석 (Figure 9.4, 9.5)

Calgary 예측의 결과

Edmonton (Calgary 와 가장 가까움) — 가장 큰 가중치 ~ 0.7.
먼 관측소 — 가중치 ~ 0.
일부 가까운 관측소 — 약간 음수 가중치 (정보 중복 보정).
단순 평균 (\(1/34\)) 와 비교 — kriging 이 훨씬 작은 가중치 분포의 polarization.

Kriging 예측 곡선 (Figure 9.5) 가 진짜 Calgary 기온 곡선과 매우 비슷 — 알고리즘 효과 검증.

7.6 직관: 가까운 관측소의 압도적 가중치

지리적으로 가까울수록 기온 패턴이 비슷 — 자연스러움.

Edmonton 이 가장 가까운 관측소이므로 그 곡선이 Calgary 의 가장 좋은 예측. Kriging 이 이를 자동 발견 + 다른 관측소의 추가 정보로 보완.

7.7 비유: 동네의 기온 추정

내 동네에 측정소 없음 → 가장 가까운 동네 (예: 옆 동) 의 측정값 + 약간 떨어진 동네의 보정 → 정확한 추정.

8 확장 주제 (9.6)

8.1 Delicado et al. (2010) — Functional Weight Kriging

8.3 의 단일 가중치 (\(w_k\)) 대신 함수 가중치 \(w_k(t)\) — 시점별로 다른 가중치.

\[ \widehat{X}(s; t) = \sum_{k=1}^N w_k(t) X(s_k; t), \quad \sum_k w_k(t) = 1 \forall t. \]

기저 전개 \(w_k(t) = \sum_m b_{km} B_m(t)\) → 행렬 \(B = [b_{km}]\) 추정.

8.2 직관: 시점별 가중치의 가치

기온 곡선의 경우:

여름철 — Calgary 의 기온이 다른 도시와 비슷한 패턴.
겨울철 — Calgary 의 기온이 다른 도시와 다른 패턴 (대륙성 기후).

시점별 다른 가중치 가 이 시간 변동을 포착 — 단일 가중치보다 정확.

비용: 더 많은 모수 + 계산 복잡. 데이터가 충분히 풍부할 때만 가치.

8.3 평균 함수의 일반화

Ch.9 의 본문은 \(E X(s; t) = \mu(t)\) (위치 무관) 가정.

확장 (Caballero et al. 2013, Menafoglio et al. 2013):

\[ E X(s; t) = \sum_{\ell=1}^L \beta_\ell(t) f_\ell(s), \]

위치 의존 covariate \(f_\ell(s)\) + 시간 의존 계수 \(\beta_\ell(t)\).

8.4 직관: 공간 covariate 의 활용

위치별 특성 (위도, 고도, 해안성 등) 이 평균 곡선에 영향. 이를 covariate 로 모형에 포함하면 평균 추정 + kriging 모두 향상.

이는 표준 회귀의 covariate adjustment 의 spatial 함수 일반화.

8.5 이온층 글로벌 냉각 (Gromenko & Kokoszka 2013, 2016)

공간 응용의 대표 사례 — Roble & Dickinson (1989) 의 가설:

CO₂ 등 온실가스 증가가 지표 (troposphere) 의 온난화 와 이온층 (300km 상공) 의 냉각 동시 유발.

이온층 냉각 → 열적 수축 → 이온층 높이 감소.

8.6 데이터 + 어려움

81 개 ionosonde 관측소 (전세계).
임의 시점에 ≤ 40 개만 작동 (Figure 9.7).
큰 결측 + 공간 분포 불균형 + 태양 주기·계절·자기장의 영향.

표준 spatial functional kriging 으로는 부족 — 더 정교한 spatio-temporal 모형 필요.

8.7 모형 (식 9.13)

\[ Y(s; \tau) = \mu(s; \tau) + \varepsilon(s; \tau) + \theta(s; \tau), \]

평균 함수:

\[ \mu(s; \tau) = \beta_1 + \beta_2 \tau + \beta_3 \text{SRF}(\tau) + \beta_4 M(s; \tau). \]

\(\beta_2 \tau\) — 시간 추세.
\(\text{SRF}(\tau)\) — 태양 복사 (Solar Radio Flux), Figure 9.6.
\(M(s; \tau)\) — 자기장 영향.

검정: \(H_0: \beta_2 = 0\) (추세 없음).

결과: \(\beta_2\) 가 유의하게 음수 → 이온층 글로벌 냉각 가설 확증.

8.8 직관: 함수 데이터 + 공간 + 시간의 결합

이 응용의 의의:

3 차원 데이터 (공간 × 시간 × 함수) 의 분석 으로 천체 물리학의 깊은 결과 도출.

Ch.9 의 spatial functional kriging 에서 출발 → spatio-temporal mixed model 로 확장 → 함수 데이터 분석의 가장 인상적인 실세계 적용 중 하나.

8.9 Change Point Detection

Gromenko et al. (2016) — 공간 위치별 함수 시계열의 평균 변화점 검정.

데이터:

\[ X_n(s, t) = \mu_n(s; t) + \varepsilon_n(s; t), \]

\(n\) = 연도, \(s\) = 위치, \(t\) = 시점.

검정 가설:

\[ H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_N \quad \text{vs} \quad H_A: \mu_1 = \cdots = \mu_{n^*} \neq \mu_{n^* + 1} = \cdots = \mu_N. \]

검정 통계량 (식 9.13~9.15) — partial sum + FPCA + 공간 가중. 점근 분포가 Brownian bridge 의 가중 적분.

8.10 직관: 다차원 변화점

스칼라 시계열 변화점 — 한 시점의 평균 점프. 함수 시계열 변화점 (8.6) — 함수의 평균 점프. 공간 함수 변화점 — 공간 + 시간의 결합 점프 (예: 기후 변화).

Ch.8.6 의 검정의 공간 일반화. 더 복잡하지만 현대 환경 통계의 핵심 도구.

9 다른 공간 데이터 구조 (9.1 끝)

9.1 4 가지 공간 데이터 구조

구조	데이터 형태	예시
Geostatistical (Ch.9 의 초점)	점 위치의 측정값	기상 관측소
Regional	지역 (구역) 의 측정값	카운티별 사망률
Lattice	격자 위 측정값	위성 사진 픽셀
Spatial point process	사건 발생 위치	낙뢰, 지진

Ch.9 가 geostatistical 함수 데이터에 집중. 다른 구조의 함수 일반화는 활발한 연구 분야.

10 Chapter 9 의 통합 시각

10.1 한 줄 요약

공간 함수 데이터 (Spatial FDA) 는 위치별 곡선 X(s_k) 의 분석 framework — 스칼라 공간 통계 (variogram, kriging) 의 함수 일반화. 정상 + 등방 random field 가정 하 함수 크리깅이 미관측 위치 X(s) 를 가중 합 ∑w_k X(s_k) 로 예측 (식 9.6 의 함수 버전). 평균 함수도 가중 평균으로 추정 (식 9.12). R 패키지 geofd 가 표준 구현 (Canadian Weather Calgary 예측). 확장: Delicado 의 함수 가중치, Caballero 의 covariate-based 평균, 이온층 글로벌 냉각 (Gromenko-Kokoszka 2013, 2016) 의 spatio-temporal 응용, change point detection.

10.2 Ch.7·8 와의 비교

측면	Ch.7 (Sparse FDA)	Ch.8 (FTS)	Ch.9 (Spatial FDA)
iid 위반 방향	단위 차원 (sparse 관측)	시간 차원 (시계열)	공간 차원 (위치 종속)
핵심 도구	PACE (BLUP)	FAR(1), LRCF	Functional kriging, geofd
응용	종단 의학 (CATT)	사망률, 오염	기상, 이온층

Ch.7~9 가 iid 가정 위반의 세 다른 방향 — 각 방향의 도구는 다르지만 iid 의 한계를 극복하는 공통 패턴 공유.

10.3 후속 챕터와의 연결

챕터	Ch.9 의 도구를 어떻게 활용하는가
Ch.10~11 (Hilbert 공간)	Functional kriging 의 수학적 토대
Ch.12 (추론)	공간 함수 데이터의 점근 분포

Ch.9 는 응용 중심 — 이론적 깊이는 후속 챕터 + Cressie (1993), Cressie-Wikle (2011) 등 spatial statistics 표준 참고서.

10.4 실용 워크플로우

공간 함수 데이터 분석의 표준 단계

데이터 시각화 — 위치 지도 + 곡선 시각.
정상성·등방성 검정 — 시각적 (variogram) + 모수 검정.
Trace variogram 추정 (geofd::trace.variog).
모수 모형 적합 (geofd::variofit) — exponential, Matérn 등.
평균 함수 가중 추정 — Kriging the mean.
Functional kriging — 미관측 위치 곡선 예측.
시각화 — 가중치 도표 + 예측 곡선 vs 진짜 곡선.
검증 — Cross-validation (한 위치 leave-out).

11 관련 주제

선행 지식

FDA 1.0 — 개요
FDA 3.1~3.2 — L² 공간과 확률 함수, Karhunen-Loève 전개
FDA 7.0 — 희소 FDA 개관 — iid 가정 위반의 다른 방향
FDA 8.0 — 함수 시계열 (FTS) 개관 — 시간 종속성
스칼라 공간 통계 기초

후속 주제

관련 개념

Variogram 과 Semivariogram — Ch.9.1
Kriging (스칼라) — Ch.9.1 의 토대
Matérn 공분산 함수 — Ch.9.1
Cressie (1993) Statistics for Spatial Data — 공간 통계 표준 참고서
geofd R 패키지 — Spatial FDA 의 표준 도구
Gromenko & Kokoszka (2013) — 이온층 응용