FDA 8.7~8.8 — FAR(1) 의 R 구현과 존재 조건

1 두 절의 역할

이 포스트의 범위

절	주제	핵심 도구
8.7	FAR(1) 의 R 구현	fda::pca.fd, 식 (8.5) 의 수동 평가
8.8	FAR(1) 의 존재 조건	Theorem 8.8.1 (‖Φ‖ < 1), Hilbert-Schmidt 충분 조건

8.7 은 8.2 의 FAR(1) 추정 framework 의 R 실습 — fda 패키지의 pca.fd 로 EFPC + 점수를 추출한 후 식 (8.5) 의 핵 추정량을 수동 평가. 진짜 핵 \(\varphi(t, s) = \alpha t s\) 와 추정 표면 (\(p = 1, 2, 3\)) 의 비교를 통해 절단 차원 \(p\) 의 효과를 시각적으로 확인.

8.8 은 FAR(1) 모형의 수학적 토대 — Theorem 8.8.1 가 ‖Φ‖ < 1 의 단순한 조건이 unique strictly stationary solution 의 존재를 보장. 증명은 스칼라 AR(1) 의 \(X_n = \sum \varphi^j \varepsilon_{n-j}\) 의 직접 일반화이며, Cauchy 수열의 수렴으로 존재성을 도출. 응용에서 더 흔한 충분 조건은 Hilbert-Schmidt 노름 \(\iint \varphi^2(t, s) dt ds < 1\) — 적분 핵의 직접 점검 가능.

두 절을 합치면 이론적 토대 (8.8) + 실무 구현 (8.7) 의 균형 — FAR(1) 모형의 완전한 실용 framework.

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2 R 구현의 목표

2.1 두 단계 작업

1. FAR(1) 시뮬레이션 — 알려진 핵 \(\varphi(t, s)\) 에서 N 개 함수 수열 생성.
2. 추정 — 시뮬레이션된 데이터에서 식 (8.5) 의 핵 추정량 평가, 진짜 핵과 비교.

2.2 직관: 시뮬레이션의 가치

실제 데이터에서는 진짜 모수가 미지 — 추정이 잘 됐는지 직접 검증 불가. 시뮬레이션은:

• 알려진 진짜 모수에서 데이터 생성.
• 추정 후 진짜와 추정 비교.
• 추정 알고리즘의 정확성 + 한계 검증.

2.3 비유: 사격 연습장

실전 사격은 표적이 안 보이거나 (실데이터 = 진짜 모수 미지). 사격 연습장에서는 표적이 명확히 보임 (시뮬레이션 = 진짜 모수 알려짐). 연습으로 자신의 사격 능력 (알고리즘) 의 정확도 를 측정 후 실전에 적용.

통계학의 시뮬레이션 검증도 같은 사고 — 알고리즘의 견고성 검증.

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3 시뮬레이션 설정

3.1 진짜 핵

\(\varphi(t, s) = \alpha t s\), \(\alpha = 9/4\).

이 핵의 Hilbert-Schmidt 노름:

\[ \|\Phi\|_S^2 = \iint \varphi^2(t, s) \, dt \, ds = \alpha^2 \iint t^2 s^2 \, dt \, ds = \alpha^2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{(9/4)^2}{9} = \frac{81/16}{9} = \frac{9}{16}. \]

따라서 \(\|\Phi\|_S = 3/4 < 1\) — 정상 해 존재 보장 (Theorem 8.8.1 + Example 8.8.1 충분 조건).

3.2 직관: 핵의 형태

\(\varphi(t, s) = \alpha t s\) 가 매우 단순한 핵 — 두 시간 인덱스의 곱. \(t = 0\) 또는 \(s = 0\) 에서 0, \((t, s) = (1, 1)\) 에서 최대.

이 형태가 추정의 검증 용이한 단순 케이스 — 추정이 이 단순 형태를 잘 재현하면 알고리즘 정상.

3.3 잡음 함수

\[ \varepsilon_n(t) = Z_{n1} \sin(\pi t) + \frac{1}{2} Z_{n2} \cos(2\pi t), \]

\(Z_{n1}, Z_{n2} \sim N(0, 1)\) 독립.

3.4 직관: 두 항의 의미

• 첫 항 \(Z_{n1} \sin(\pi t)\) — 가장 큰 잡음 모드. \(t \in [0, 1]\) 에서 양의 단봉 형태.
• 둘째 항 \(\frac{1}{2} Z_{n2} \cos(2\pi t)\) — 절반 진폭. \(t = 0, 1\) 에서 1, \(t = 1/2\) 에서 -1 의 진동 형태.

두 모드의 결합으로 잡음의 변동 구조가 결정. EFPC 가 정확히 이 두 모드를 회복 해야 추정이 정확.

3.5 Burn-in 기간

50 개 함수를 먼저 생성 후 폐기, 그 후 \(N = 200\) 개 사용. 이는 시뮬레이션의 표준 절차 — 초기 transient 효과 제거.

3.6 직관: Burn-in 의 필요

FAR(1) \(X_n = \Phi(X_{n-1}) + \varepsilon_n\) 시뮬레이션 시 초기값 \(X_0\) 가 임의 (보통 0). \(n\) 이 증가하면서 정상 분포로 수렴하지만, 처음 몇 개는 정상에서 벗어남.

Burn-in 으로 정상 분포의 표본만 사용 — 분석의 정확성 확보. 50 개는 ‖Φ‖ = 3/4 의 감쇠 속도 \(0.75^{50} \approx 5.7 \times 10^{-7}\) — 충분히 작음.

3.7 비유: 자동차의 워밍업

엔진 시동 후 정상 온도까지 몇 분 필요 — 그 사이의 데이터는 정상 운행과 다름. 데이터 분석에서는 워밍업 (burn-in) 시간을 제외한 데이터만 사용.

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4 R 시뮬레이션 코드

4.1 데이터 생성

library(fda)

m <- 100              # 각 함수의 평가 점 (m + 1 = 101)
burnin <- 50          # 초기 폐기
N <- 200              # 분석 대상
N1 <- N + burnin      # 총 생성

alpha <- 9/4

# 0 으로 채워진 행렬 (각 열이 한 함수)
X <- matrix(0, m + 1, N1)
epsilon <- matrix(0, m + 1, N1)

# 첫 함수의 잡음 초기화
epsilon[, 1] <- rnorm(1) * sin(pi * (0:m / m)) +
                0.5 * rnorm(1) * cos(2 * pi * (0:m / m))

# FAR(1) 재귀 시뮬레이션
for (i in 2:N1) {
  # 새 잡음 생성
  epsilon[, i] <- rnorm(1) * sin(pi * (0:m / m)) +
                  0.5 * rnorm(1) * cos(2 * pi * (0:m / m))

  # X_n(t) = α (1/m)² Σ_{k=1}^m k * X_{n-1}(t_k) * (t_n) + ε_n
  X[, i] <- alpha * (1/m)^2 * sum((1:m) * X[2:(m+1), i-1]) * (0:m / m) +
            epsilon[, i]
}

# Burn-in 제거
X <- X[, -(1:burnin)]

4.2 직관: 적분의 이산 근사

이론적 모형: \(X_n(t) = \int \varphi(t, s) X_{n-1}(s) \, ds + \varepsilon_n(t)\).

\(\varphi(t, s) = \alpha t s\) 대입:

\[ X_n(t) = \alpha t \int s X_{n-1}(s) \, ds + \varepsilon_n(t). \]

이산 격자 \(s_k = k/m\) (\(k = 0, 1, \ldots, m\)) 에서 적분 ≈ \((1/m) \sum_k s_k X_{n-1}(s_k) = (1/m^2) \sum_k k X_{n-1}(s_k)\).

코드의 alpha * (1/m)^2 * sum((1:m) * X[2:(m+1), i-1]) 가 정확히 이 적분의 이산 근사 (격자 폭 \(1/m\), 합 \(\sum k X_k\)).

4.3 시뮬레이션 결과의 시각화

# 마지막 10 개 함수
last <- 10
plot.ts(c(X[, (N - last + 1) : N]),
        ylim = c(min(X[, (N - last) : N]) - 0.5,
                 0.5 + max(X[, (N - last) : N])),
        axes = FALSE, xlab = "", ylab = "", lwd = 2)
axis(2)
axis(1, tick = FALSE, labels = FALSE)
abline(h = 0)
abline(v = seq(0, last * (m + 1), by = m + 1), lty = 2)
box()

전형적 결과: 양의 지속성 (positive persistence) — 함수가 평균 (0) 위 또는 아래에 여러 시점 동안 머무름. 스칼라 AR(1) \(\varphi > 0\) 와 같은 패턴.

4.4 직관: 함수 차원의 양의 지속성

스칼라 AR(1), \(\varphi > 0\): 양의 값이 다음 시점에도 양 → 매끄러운 시계열.

FAR(1), 양의 핵: 양의 곡선이 다음 시점에도 양 (위치 무관 평균이 양). 한 함수가 평균에서 위로 벗어나면 다음 함수도 위로 벗어나는 경향.

이는 함수 시계열의 매끄러움 패턴이 개별 곡선의 매끄러움 + 곡선 사이 시간 매끄러움 의 결합임을 보여준다.

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5 함수 객체로 변환

5.1 Spline 기저 평활

basisfd <- 10        # 함수당 기저 함수 수
basis <- create.bspline.basis(c(0, 1), nbasis = basisfd, norder = 4)
fdX <- Data2fd(argvals = 0:m / m, X, basis)

5.2 직관: 평활의 두 단계

원시 데이터 (격자 위 값) → 함수 객체로 변환:

1. B-spline 기저 정의 — 10 개의 cubic spline.
2. Data2fd 적합 — 격자 데이터에 기저 계수 LS 적합.

이는 데이터 처리의 표준 첫 단계 — 후속의 모든 함수 PCA·자기공분산 계산이 함수 객체 위에서 작동.

5.3 함수 PCA

p <- 4              # EFPC 수
fdXpca <- pca.fd(fdX, nharm = p)

eigenvalues <- fdXpca$values        # 고유값
scoresX <- fdXpca$scores             # N × p 점수 행렬
harmonicsX <- fdXpca$harmonics       # EFPC 함수
varianceprop <- fdXpca$varprop       # 분산 설명 비율

round(varianceprop * 100, 0)        # 출력: 71 25 4 0

5.4 결과 해석

• PC1: 71% — 첫 모드 (\(\sin(\pi t)\) 와 비슷) 가 잡음의 대부분 설명.
• PC2: 25% — 둘째 모드 (\(\cos(2\pi t)\) 와 비슷).
• PC3: 4% — 미세 변동.
• PC4: 0% — 거의 무의미.

첫 두 PC 가 96% — 잡음의 두 항이 정확히 EFPC 로 회복.

5.5 직관: EFPC 가 진짜 모드를 발견

진짜 잡음 \(\varepsilon_n = Z_{n1} \sin + \frac{1}{2} Z_{n2} \cos\) 의 두 모드:

• \(\sin(\pi t)\) — 분산 \(\text{Var}(Z_{n1}) \cdot 1 = 1\).
• \(\cos(2\pi t) / 2\) — 분산 \(1/4\).

비율 \(1 : 1/4 = 4 : 1\) — 0.8 vs 0.2. 71% vs 25% 비율도 약 3:1 — 시뮬레이션 잡음 + FAR(1) 자기상관의 결합 효과로 약간 다르지만 패턴 일치.

EFPC 가 진짜 잡음 모드를 자동 발견 — 함수 PCA 의 핵심 강점 검증.

5.6 비유: 음악의 주파수 분해

음악을 푸리에 분석하면 가장 큰 진폭의 주파수가 자동 추출 (베이스, 멜로디, 화음 등). 함수 PCA 도 같은 사고 — 데이터의 가장 두드러진 변동 모드 자동 추출.

미리 모드를 알지 못해도 알고리즘이 발견 — 무지도 학습 (unsupervised) 의 표준.

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6 핵 추정량의 평가 (식 8.5)

6.1 진짜 핵

# 진짜 핵 평가 (이산 격자)
phi <- 9/4 * (0:m / m) %*% t(0:m / m)   # outer product

# 시각화
persp((0:m / m), (0:m / m), z = phi,
      xlab = "t", ylab = "s", zlab = "",
      theta = 30, phi = 30, ticktype = "detailed",
      main = "True kernel φ(t, s) = (9/4) t s")

6.2 추정 핵: 식 (8.5)

식 (8.5) 의 직접 평가:

# 다양한 p 에 대한 추정 (p = 1, 2, 3)
for (npc in 1:3) {

  # vivj: v_j(s_k) v_i(t_l) 의 곱 행렬
  vivj <- matrix(0, p * (m + 1), p * (m + 1))
  for (j in 1:npc) {
    for (i in 1:npc) {
      vivj[1:(m+1) + (m+1)*(i-1), 1:(m+1) + (m+1)*(j-1)] <-
        eval.fd(evalarg = 0:m/m, harmonicsX[i]) %*%
        t(eval.fd(evalarg = 0:m/m, harmonicsX[j]))
    }
  }

  # phip: 추정 핵 (격자 위)
  phip <- matrix(0, m+1, m+1)
  for (k in 1:(N-1)) {
    temp <- matrix(0, m+1, m+1)
    for (j in 1:npc) {
      temp1 <- matrix(0, m+1, m+1)
      for (i in 1:npc) {
        temp1 <- temp1 +
          scoresX[k+1, i] * vivj[1:(m+1) + (m+1)*(i-1),
                                  1:(m+1) + (m+1)*(j-1)]
      }
      temp <- temp + (eigenvalues[j])^(-1) * scoresX[k, j] * temp1
    }
    phip <- phip + temp
  }
  phip <- (1/(N-1)) * phip

  # 시각화
  persp((0:m / m), (0:m / m), z = phip,
        xlab = "t", ylab = "s", zlab = "",
        theta = 30, phi = 30, ticktype = "detailed",
        main = paste0("p = ", npc))
}

6.3 직관: 식 (8.5) 의 4 중 합

식 (8.5) \(\widehat{\varphi}_p(t, s) = (1/(N-1)) \sum_k \sum_j \sum_i \widehat{\lambda}_j^{-1} \langle X_k, \widehat{v}_j \rangle \langle X_{k+1}, \widehat{v}_i \rangle \widehat{v}_j(s) \widehat{v}_i(t)\) 의 구조:

• \(k\) 합: 시간에 대한 평균 (1 부터 N-1 까지).
• \(j\) 합: lag-0 (\(X_k\)) 의 PC 차원.
• \(i\) 합: lag-1 (\(X_{k+1}\)) 의 PC 차원.
• \(\widehat{v}_j(s) \widehat{v}_i(t)\): 격자 위의 텐서 곱.

코드의 vivj 가 \(\widehat{v}_j(s) \widehat{v}_i(t)\) 의 모든 \((i, j)\) 쌍의 곱을 미리 계산 — 효율적 평가를 위한 caching.

6.4 Figure 8.11 의 결과

추정 핵 표면의 비교

\(p\)	결과	해석
True \(\varphi(t, s) = (9/4) t s\)	매끈한 표면, 모서리 (\(t = 1, s = 1\)) 에서 최대	진짜 핵
\(p = 1\)	한 PC 의 곱 형태 — 모서리 회복 약함	차원 부족
\(p = 2\)	두 PC 사용 — 모서리 형태 명확	거의 정확
\(p = 3\)	세 PC — 미세 노이즈 추가	\(p = 2\) 와 비슷

\(p = 2\) 가 충분 — 진짜 핵의 패턴을 잘 잡음. \(p = 3\) 은 노이즈 더 들어옴.

6.5 직관: \(p\) 의 균형 시각화

\(p\) 가 작으면 (1) — 핵의 단순 구조만 잡음, 모서리 형태 부족. \(p\) 가 적절 (2) — 진짜 모드를 충분히 표현. \(p\) 가 크면 (3+) — 작은 \(\widehat{\lambda}_j\) 가 분모로 들어가 잡음 확대.

이는 차원 선택 (model selection) 의 표준 트레이드오프 — bias vs variance.

6.6 비유: 사진의 픽셀 해상도

같은 풍경을 다른 해상도로 표현:

• 저해상도 (작은 \(p\)) — 전체 형태만, 디테일 손실.
• 적절 해상도 (중간 \(p\)) — 형태 + 주요 디테일.
• 고해상도 (큰 \(p\)) — 모든 디테일 + JPEG 압축 노이즈.

핵 추정의 \(p\) 도 같은 사고 — 데이터의 정보량에 맞는 적절한 차원 선택.

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7 FAR(1) 의 존재 조건 (8.8)

7.1 동기

8.2 에서 FAR(1) 모형 \(X_n = \Phi(X_{n-1}) + \varepsilon_n\) 을 정의했지만:

이 식을 만족하는 정상 함수 수열이 정말 존재하는가?

스칼라 AR(1) 의 경우 \(|\varphi| < 1\) 이 정상 해 존재 조건. 함수 일반화 — 연산자 노름 \(\|\Phi\| < 1\) 이 같은 역할.

7.2 Strict Stationarity (Definition 8.8.1)

Strict Stationarity 의 정의

수열 \(\{X_n: -\infty < n < \infty\}\) 가 strictly stationary 이면, 임의의 \(d\) 와 시점 \(n_1, n_2, \ldots, n_d\) 에 대해:

\[ [X_{n_1 + h}, X_{n_2 + h}, \ldots, X_{n_d + h}] \quad \text{의 분포가 } h \text{ 에 의존하지 않는다.} \]

7.3 Weak vs Strict Stationarity

종류	조건
Weak (covariance) stationarity	1, 2 차 적률만 시간 무관
Strict stationarity	모든 결합 분포 시간 무관

Strict 가 더 강함. 가우스 가정 하 두 정상성 동등.

7.4 직관: 결합 분포의 시간 불변

Strict stationarity 의 강한 형태:

시계열의 어떤 부분 구간을 보아도 같은 random mechanism 에서 생성된 것처럼 보임.

이는 8.6 에서 본 정상성 검정의 귀무가설의 정확한 정의.

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8 Theorem 8.8.1 (FAR(1) 의 존재)

8.1 정리

FAR(1) 의 존재와 일관성

\(\|\Phi\| < 1\) 이면, FAR(1) 식 \(X_n = \Phi(X_{n-1}) + \varepsilon_n\) 의 unique strictly stationary solution 이 존재. 이 해는:

\[ X_n = \sum_{j=0}^\infty \Phi^j(\varepsilon_{n-j}). \]

급수는 a.s. 와 squared mean 두 의미에서 수렴:

\[ \left\|X_n - \sum_{j=0}^m \Phi^j(\varepsilon_{n-j})\right\| \xrightarrow{a.s.} 0, \]

\[ E\left\|X_n - \sum_{j=0}^m \Phi^j(\varepsilon_{n-j})\right\|^2 \to 0. \]

8.2 스칼라 AR(1) 과의 일관성

스칼라: \(X_n = \sum_{j=0}^\infty \varphi^j \varepsilon_{n-j}\). 함수: \(X_n = \sum_{j=0}^\infty \Phi^j(\varepsilon_{n-j})\).

같은 형태 — \(\varphi^j\) → \(\Phi^j\), 곱 → 연산자 작용.

8.3 직관: 무한 메아리의 누적

해 \(X_n = \sum_{j=0}^\infty \Phi^j(\varepsilon_{n-j})\) 의 의미:

• \(j = 0\): 현 시점의 잡음 \(\varepsilon_n\).
• \(j = 1\): 한 시점 전 잡음의 메아리 \(\Phi(\varepsilon_{n-1})\).
• \(j = 2\): 두 시점 전 잡음의 두 번 메아리 \(\Phi^2(\varepsilon_{n-2})\).
• …

\(\|\Phi\| < 1\) → \(\|\Phi^j\| \leq \|\Phi\|^j \to 0\) — 메아리가 시간에 따라 감쇠 → 무한합이 수렴.

8.4 비유: 콘서트홀의 메아리

피아노 음의 메아리:

• 직접 도달: 가장 큰 소리.
• 한 번 벽에 반사: 약간 작아진 메아리.
• 두 번 반사: 더 작아진 메아리.
• …

벽이 충분히 흡수 (감쇠 < 1) 하면 메아리들의 합이 유한 — 안정적 음향. 흡수 안 되면 (≥ 1) 무한 누적 → 카오스.

FAR(1) 의 ‖Φ‖ < 1 도 같은 본질 — 시계열 메아리의 감쇠 가 정상 해의 토대.

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9 증명의 단계 (스케치)

9.1 Step 1: A.S. 수렴

부분합 \(X_n^{(m)} = \sum_{j=0}^m \Phi^j(\varepsilon_{n-j})\) 가 a.s. Cauchy.

핵심 부등식 (\(b = \|\Phi\|\), \(\|\Phi^j\| \leq b^j\)):

\[ E\left(\sum_{j=0}^\infty \|\Phi^j\| \|\varepsilon_{n-j}\|\right)^2 \leq \sum_{j, k=0}^\infty \|\Phi^j\| \|\Phi^k\| E\|\varepsilon_0\|^2 \leq E\|\varepsilon_0\|^2 \left(\sum_{j=0}^\infty b^j\right)^2 < \infty. \]

\(\sum b^j = 1/(1-b) < \infty\) (\(b < 1\)) — 기하급수의 수렴.

이로부터 \(\sum_{j=0}^\infty \|\Phi^j(\varepsilon_{n-j})\| < \infty\) a.s. → \(X_n^{(m)}\) 이 a.s. Cauchy → 한계 \(X_n\) 존재.

9.2 직관: 기하급수 수렴이 핵심

증명의 본질:

‖Φ‖ < 1 이면 ‖Φ^j‖ 가 기하급수적으로 감쇠 → 무한합이 수렴.

이는 스칼라 케이스와 정확히 같은 메커니즘 — \(|\varphi^j| = |\varphi|^j \to 0\) 의 함수 일반화.

9.3 Step 2: \(L^2\) 수렴 (squared mean)

\(L^2(\Omega, L^2([0, 1]))\) 의 Hilbert space 구조 사용.

부분합의 차의 \(L^2\) 노름:

\[ E\left\|\sum_{j=m}^{m'} \Phi^j(\varepsilon_{n-j})\right\|^2 = \sum_{j=m}^{m'} E\|\Phi^j(\varepsilon_{n-j})\|^2 \leq E\|\varepsilon_0\|^2 \sum_{j=m}^{m'} b^{2j}. \]

(잡음의 독립성으로 cross 항이 0; Lemma 12.1.1.)

\(\sum b^{2j}\) 의 tail → 0 (\(b^2 < 1\)). 따라서 \(X_n^{(m)}\) 이 \(L^2\) Cauchy → 한계 \(X_n \in L^2\).

9.4 직관: 두 종류 수렴의 의미

• A.s. 수렴 — 거의 모든 sample path 가 수렴. 개별 실현 (realization) 의 형태.
• \(L^2\) 수렴 — 분포의 평균 제곱 차가 0 으로 수렴. 분포의 형태.

두 수렴이 모두 보장되어 \(X_n\) 이 잘 정의된 random function. 이는 함수 차원의 표준 — 분포와 sample path 의 두 관점 모두 확인.

9.5 Step 3: Uniqueness

다른 strictly stationary 해 \(\{X_n'\}\) 이 있다고 가정. 식의 반복:

\[ X_n' = \sum_{j=1}^m \Phi^j(\varepsilon_{n-j}) + \Phi^{m+1}(X_{n-m+1}'). \]

차의 한계:

\[ E\|X_n' - X_n^{(m)}\| \leq \|\Phi^{m+1}\| E\|X_0'\| \leq b^{m+1} E\|X_0'\| \to 0. \]

따라서 \(X_n' = \lim X_n^{(m)} = X_n\) a.s. — 두 해 일치.

9.6 직관: Uniqueness 의 메커니즘

다른 해의 차이 = \(\Phi^{m+1}\) 의 작용 — \(\|\Phi\| < 1\) 로 \(m \to \infty\) 일 때 자동 0. 이는 시간에 따라 초기 조건의 영향이 감쇠 하는 기하학적 의미.

9.7 비유: 두 친구의 약속 장소

두 친구가 같은 약속에 같은 길을 따라 가지만 출발 지점이 다름. 충분히 시간이 지나면 (감쇠 < 1) 두 사람이 같은 지점에 도달 → 출발 지점의 차이가 사라짐.

FAR(1) 의 uniqueness 도 같은 사고 — 다른 초기 조건의 차이가 시간에 따라 사라짐 → 정상 해는 유일.

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10 약화 조건과 일반화

10.1 더 약한 조건

\(\|\Phi^j\| < 1\) for some \(j \geq 0\) 가 \(\|\Phi\| < 1\) 보다 약하지만 같은 결론.

스칼라의 경우 \(|\varphi^j| < 1 \iff |\varphi| < 1\) — 두 조건 동등. 함수의 경우 일반적으로 \(\|\Phi^j\|\) 가 \(\|\Phi\|^j\) 보다 작을 수 있음 — 더 약한 조건이 의미 있음.

10.2 직관: 노름의 부등식

\(\|\Phi^2\| \leq \|\Phi\|^2\) 이 항상 성립하지만 등호는 아닐 수 있음. 어떤 연산자에서는 \(\Phi^2\) 가 \(\Phi\) 보다 더 빨리 감쇠 — \(\|\Phi^2\| \ll \|\Phi\|^2\).

이런 경우 \(\|\Phi\| \geq 1\) 이라도 \(\|\Phi^j\| < 1\) for some \(j\) 가능 — 정상 해 존재.

실무에서는 \(\|\Phi\| < 1\) 의 직접 확인이 더 단순하므로 이를 사용.

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11 Example 8.8.1: Hilbert-Schmidt 충분 조건

11.1 적분 핵 연산자

응용에서 \(\Phi\) 가 적분 연산자:

\[ \Phi(x)(t) = \int \varphi(t, s) x(s) \, ds. \]

11.2 충분 조건

Hilbert-Schmidt 충분 조건

핵 \(\varphi(t, s)\) 가 다음을 만족하면 FAR(1) 정상 해 존재:

\[ \iint \varphi^2(t, s) \, dt \, ds < 1. \]

이는 \(\|\Phi\|_S^2 < 1\) (\(\|\Phi\|_S\) 는 Hilbert-Schmidt 노름).

\(\|\Phi\| \leq \|\Phi\|_S\) (operator norm ≤ HS norm) 이므로 \(\|\Phi\|_S < 1 \Rightarrow \|\Phi\| < 1\) — Theorem 8.8.1 의 충분 조건.

11.3 직관: HS 노름이 더 강함

두 노름의 관계:

• Operator norm \(\|\Phi\| = \sup_{\|x\| = 1} \|\Phi(x)\|\) — 가장 큰 작용 강도.
• HS norm \(\|\Phi\|_S = \sqrt{\iint \varphi^2}\) — 모든 작용 강도의 합.

\(\|\Phi\| \leq \|\Phi\|_S\) 는 표준 결과. HS 노름이 더 큼 (또는 같음).

따라서 \(\|\Phi\|_S < 1\) 이 더 강한 조건이지만 — 적분 핵에서 직접 점검 가능:

\[ \iint \varphi^2(t, s) \, dt \, ds < 1. \]

이는 단순 적분 — 핵의 명시적 형태가 있으면 즉시 확인.

11.4 Section 8.7 예시의 검증

\(\varphi(t, s) = (9/4) t s\):

\[ \iint \left(\frac{9}{4}\right)^2 t^2 s^2 \, dt \, ds = \frac{81}{16} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9}{16} < 1. \checkmark \]

따라서 FAR(1) 정상 해 존재 보장 — 8.7 의 시뮬레이션이 valid.

11.5 직관: 실무 적용의 단순함

\(\|\Phi\|\) 의 직접 계산은 일반적으로 어려움 (sup 의 정의 + spectral radius).

HS 노름은 단순 이중 적분 — 명시적 핵에 즉시 적용 가능. 따라서 실무에서 HS 충분 조건이 표준 검증 도구.

만약 \(\iint \varphi^2 \geq 1\) 이라도 정상 해가 존재할 수 있음 (operator norm 이 더 작을 수 있음) — 더 정교한 분석 필요.

11.6 비유: 두 종류의 “강도” 측정

• Operator norm = “가장 큰 한 방 의 강도” (어떤 입력에서 가장 큰 출력).
• HS norm = “모든 방향의 평균 강도” (모든 입력에 대한 종합).

평균이 가장 큰 한 방보다 작거나 같음 — \(\|\Phi\| \leq \|\Phi\|_S\). HS 가 더 보수적 (더 큰 값) 이지만 계산이 단순.

11.7 일반 응용

대부분의 함수 시계열 모형 (\(X_n(t) = \int \varphi(t, s) X_{n-1}(s) ds + \varepsilon_n(t)\)) 에서:

1. 핵 \(\varphi\) 의 명시적 형태 또는 추정.
2. \(\iint \varphi^2\) 계산.
3. < 1 이면 정상 해 존재 (충분 조건).

이 단순 절차가 FAR(1) 의 실무 검증.

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12 두 절의 통합 시각

12.1 한 줄 요약

8.7 은 FAR(1) 의 R 구현 — fda 패키지로 핵 φ(t,s) = (9/4)ts 시뮬레이션 (N=200, 50 burn-in), pca.fd 로 EFPC + 점수 추출 후 식 (8.5) 의 4 중 합으로 핵 추정 (p=1,2,3 비교, p=2 가 충분). 8.8 은 FAR(1) 의 수학적 토대 — Theorem 8.8.1 ‖Φ‖ < 1 → unique strictly stationary solution X_n = Σ Φ^j(ε_{n-j}) (a.s. + L² 수렴, 기하급수 감쇠 메커니즘). Hilbert-Schmidt 충분 조건 ∫∫φ²(t,s)dtds < 1 이 적분 핵의 단순 검증 도구이며, 8.7 의 9/16 < 1 로 시뮬레이션의 정상 해 존재 보장.

12.2 Ch.8 전반부 (8.1~8.6) 와의 비교

측면	8.1~8.6	8.7~8.8
8.1~8.2	시계열 + FAR(1) 모형	수학적 토대 + R 시뮬레이션
8.3~8.4	예측 (Hyndman-Ullah, VAR)	(간접) — 추정의 토대
8.5~8.6	LRCF + 정상성 검정	(정상성 검정의 데이터 검증)

8.7~8.8 가 Ch.8 전반부의 이론적 마무리 + 실무 구현. 정상성 (8.6, 8.8) + 추정 (8.2, 8.7) 의 표준 framework 완성.

12.3 Ch.8 후속 절과의 연결

후속 절	8.7~8.8 의 도구를 어떻게 활용하는가
8.9 참고문헌	Bosq (2000), Horváth & Kokoszka (2012) — FAR 이론
8.10 연습문제	시뮬레이션, 추정, 존재 조건의 응용

8.8 의 Theorem 8.8.1 + Example 8.8.1 가 FAR(1) 의 수학적 완결.

12.4 실용 워크플로우

FAR(1) 적합의 통합 워크플로우

1. 데이터 시각화 + 정상성 검정 (8.6).
2. EFPC 추정 — pca.fd(X_fd, nharm = p).
3. CPV 시각화 — \(p\) 선택.
4. 식 (8.5) 평가 — 8.7 의 코드 패턴.
5. 추정 핵 시각화 — persp 표면.
6. 존재 조건 검증 — \(\iint \widehat{\varphi}^2 < 1\) (HS 충분 조건).
7. 예측 — \(\widehat{X}_{N+1}(t) = \int \widehat{\varphi}(t, s) X_N(s) \, ds\).
8. 잔차 진단 — 백색 잡음 검정.

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13 관련 주제

선행 지식

• FDA 1.0 — 개요
• FDA 3.1~3.2 — L² 공간과 확률 함수, Karhunen-Loève 전개
• FDA 8.0 — 함수 시계열 (FTS) 개관
• FDA 8.1~8.2 — 시계열 기초와 FAR(1) 함수 자기회귀 모형
• FDA 8.3~8.4 — Hyndman-Ullah 와 다변량 함수 시계열 예측
• FDA 8.5~8.6 — LRCF 와 정상성 검정

후속 주제

• FDA 8.10 — Chapter 8 연습문제 풀이
• FDA Ch.9 — 공간 함수 데이터
• FDA Ch.10 — 힐베르트 공간의 기본 이론
• FDA Ch.11 — 확률 함수와 가우스 과정

관련 개념

• fda R 패키지의 pca.fd — 함수 PCA 의 표준 도구
• Hilbert-Schmidt 연산자와 노름 — 8.8 의 토대
• Cauchy 수열과 완비 공간 — Theorem 8.8.1 증명의 도구
• 기하급수의 수렴 — 증명의 핵심
• Strict vs Weak Stationarity — 8.8 의 정상성 정의
• Bosq (2000) Linear Processes in Function Spaces — FAR 이론의 표준 참고서