Kwangmin Kim - FDA 8.1~8.2 — 시계열 기초와 FAR(1) 함수 자기회귀 모형

1 두 절의 역할

이 포스트의 범위

절	주제	핵심 도구
8.1	스칼라 시계열의 핵심 개념	정상성, AR(1), 자기공분산, ACF, 예측
8.2	FAR(1) 함수 자기회귀 모형	$C_1 = \Phi C$, pseudo-inverse $C_p^+$, KL 기반 핵 추정 (8.5)

8.1 은 스칼라 시계열 분석의 핵심을 압축. 함수 시계열로 가기 전 토대가 되는 정상성·AR(1)·자기공분산 등의 표준 개념. 이미 시계열 배경이 있는 독자는 빠르게 훑고 넘어갈 수 있다.

8.2 는 Ch.8 의 가장 중요한 모형 — FAR(1) — 의 정의와 추정. 핵심 통찰: 스칼라 AR(1) 의 추정량 $\widehat{\varphi} = \widehat{\gamma}_1 / \widehat{\gamma}_0$ 의 함수 일반화는 $\widehat{\Phi} = \widehat{C}_1 \widehat{C}^{-1}$ 이지만, $C^{-1}$ 가 $L^2$ 전체에 정의되지 않는 본질적 어려움 으로 pseudo-inverse 우회. 모든 추정량의 양은 표준 함수 PCA 의 출력으로, pca.fd 한 번이면 핵 추정 가능.

두 절을 합치면 스칼라 직관에서 출발하여 함수 추정의 어려움과 해결책 까지의 자연스러운 흐름.

2 시계열의 기본 정의

2.1 표기 관례

시계열의 인덱스 표기

전통적 시계열 분석에서는 시간 인덱스를 $t$ 로 표기하지만, FDA 에서는 $t$ 가 함수의 도메인 인자 (예: $X(t)$ 의 $t$). 따라서 시간 인덱스는 $n$ 으로:

\[ x_n, \quad n = 1, 2, \ldots, N. \]

이는 표기 충돌을 피하는 FDA 컨벤션.

2.2 시계열의 일반 패턴

실제 데이터의 시계열은 다음 특성 중 하나 이상을 보임:

추세 (trend) — 평균이 시간에 따라 변함 (단조 증가/감소).
주기성 (periodicity) — 계절·주기 패턴.
점프 (abrupt changes) — 특정 시점에 평균/분산이 갑자기 변경.

2.3 직관: 시계열 분석의 목표

시계열 분석의 본질:

데이터를 생성하는 random mechanism 을 정량적으로 기술하고, 미래를 예측한다.

전형적 절차: 추세·주기·점프 같은 비정상 요소를 제거 → 정상 모형 으로 환원 → 예측·추론.

이는 Sparse FDA (Ch.7) 와 다른 접근 — Sparse 는 iid 가정 안에서 단위 부족 이 문제, 시계열은 iid 가정 자체 가 깨진 환경.

2.4 비유: 음악의 악보화

녹음된 음악을 분석할 때:

잡음 제거 (전처리) — 환경 소리, 마이크 노이즈 등 비신호 제거.
악보로 환원 (모형 식별) — 멜로디·리듬·화음의 패턴 추출.
다음 음 예측 (예측) — 곡의 진행을 예측.

시계열 분석도 같은 패턴 — 비정상 요소 제거 → 정상 모형 → 예측.

3 AR(1) — 가장 단순한 시계열 모형

3.1 정의

AR(1) 모형

\[ X_n - \mu = \varphi(X_{n-1} - \mu) + \varepsilon_n, \]

여기서:

$\mu$ — 평균 (시간 무관).
$\varphi$ — 자기회귀 계수.
$\{\varepsilon_n\}$ — 백색 잡음 (white noise):
- $E\varepsilon_n = 0$.
- $\text{Var}[\varepsilon_n] = \sigma^2$.
- $\text{Cov}(\varepsilon_n, \varepsilon_{n+h}) = 0$ for $h \neq 0$.

3.2 정상성 조건

AR(1) 의 정상 해 존재 조건

$|\varphi| < 1$ 일 때만 정상 해 존재.

$|\varphi| = 1$: random walk (비정상).
$|\varphi| > 1$: 폭발 (explosive), 비현실적.

3.3 직관: 자기회귀의 의미

식의 형태: $X_n - \mu = \varphi (X_{n-1} - \mu) + \text{잡음}$.

$\varphi > 0$: 양의 지속성. 평균보다 큰 값이 다음 시점에도 평균보다 큰 경향. 매끄러운 시계열.
$\varphi < 0$: 부호 교대. 양 → 음 → 양 진동. 고주파 변동.
$\varphi = 0$: 완전 무자기상관. $X_n = \mu + \varepsilon_n$ — 단순 iid 잡음.
$\varphi$ 가 1 에 가까움: 매우 강한 지속성. random walk 직전.

3.4 비유: 일상 상황의 자기회귀 강도

상황	$\varphi$
오늘 기온 vs 어제 기온	0.7~0.9 (강한 지속성)
오늘 주가 vs 어제 주가	0.99~1.0 (random walk 에 가까움)
오늘 주식 수익률 vs 어제 수익률	0~0.1 (거의 무관)
야간 광고 클릭 vs 주간 클릭	음수 가능 (역상관)

4 자기공분산과 자기상관

4.1 정의

정상 시계열의 자기공분산:

\[ \gamma_h = \text{Cov}(X_n, X_{n+h}), \quad h = 0, 1, 2, \ldots \]

자기상관:

\[ \rho_h = \frac{\gamma_h}{\gamma_0}. \]

$\rho_0 = 1$ (모든 시계열에서). $|\rho_h| \leq 1$.

4.2 대칭성

음의 lag 는 자동으로 결정:

\[ \gamma_{-h} = \text{Cov}(X_n, X_{n-h}) = \text{Cov}(X_{n-h}, X_n) = \gamma_h. \]

따라서 보통 비음 lag 만 표시.

4.3 직관: $\gamma_h$ 가 시계열의 “지문”

자기공분산 함수는 시계열의 의존 구조를 완전히 (가우스 가정 하) 결정. 다른 형태의 모형 (AR, MA, ARMA) 이 다른 $\gamma_h$ 패턴.

모형	$\gamma_h$ 패턴
백색 잡음	$\gamma_h = 0$ for $h > 0$
AR(1), $\varphi > 0$	지수 감쇠
AR(1), $\varphi < 0$	부호 교대 + 지수 감쇠
MA(1)	$\gamma_1 \neq 0$, $\gamma_h = 0$ for $h > 1$

ACF 패턴 시각화가 시계열 분석의 표준 진단 도구.

4.4 표본 추정

$x_1, \ldots, x_N$ 관측에서:

\[ \widehat{\gamma}_h = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N-h} (x_n - \bar{x})(x_{n+h} - \bar{x}), \quad \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N x_n. \]

(분모를 $N - h$ 로 나누는 변형도 흔함.)

표본 자기상관: $\widehat{\rho}_h = \widehat{\gamma}_h / \widehat{\gamma}_0$.

4.5 ACF 도표

표준 시각화: $h = 0, 1, 2, \ldots, K$ 에 대해 $\widehat{\rho}_h$ 막대 + 95% 신뢰 한계 (보통 $\pm 2/\sqrt{N}$).

한계 밖의 $\widehat{\rho}_h$ 가 통계적으로 유의한 자기상관.

4.6 비유: 메아리 차트

극장에서 한 번 박수친 후 메아리의 강도를 시간에 따라 측정. 메아리가 빠르게 감쇠 (AR(1) $\varphi$ 작음) vs 오래 지속 ($\varphi$ 큼). ACF 가 정확히 이 메아리의 시각화.

5 AR(1) 모수 추정

5.1 표본 자기공분산으로부터의 추정

스칼라 AR(1) 의 모수 관계:

\[ \gamma_1 = \varphi \gamma_0. \]

이는 (모형 식에서) $\text{Cov}(X_n, X_{n-1}) = \varphi \text{Var}[X_{n-1}]$ 에서 도출.

따라서:

\[ \widehat{\varphi} = \frac{\widehat{\gamma}_1}{\widehat{\gamma}_0}. \]

5.2 직관: 가장 간단한 모수 추정

이 추정량의 우아함:

자기공분산의 비율 = AR 계수의 추정.

표본 평균과 표준편차만 알면 $\widehat{\varphi}$ 가 즉시 계산 가능. 이 직관이 함수 일반화의 출발점 (8.2).

5.3 한 단계 예측

추정 후 한 단계 미래 예측:

\[ \widehat{X}_{n+1} = \widehat{\mu} + \widehat{\varphi}(X_n - \widehat{\mu}). \]

오차 항을 평균 0 으로 (예상값) 두고 추정 모수로 평가. 다단계 예측은 반복.

5.4 직관: 예측의 회귀 형태

$\widehat{X}_{n+1}$ 이 $X_n$ 의 선형 함수 — 표준 회귀의 예측 형태. AR(1) 가 본질적으로 “전 시점을 회귀자로 한 회귀 모형” 이기 때문.

6 정상성의 일반 정의 (Definition 8.1.1)

6.1 정의

시계열 모형의 정상성

시계열 모형 $\{X_n: n \in \mathbb{Z}\}$ 가 정상 (stationary) 이면:

\[ E[X_n] \quad \text{과} \quad \text{Cov}(X_n, X_{n+h}) \]

가 $n$ 에 의존하지 않는다.

6.2 정상성의 종류

종류	조건
Weak stationarity (위 정의)	1, 2 차 적률만 시간 무관
Strict stationarity	모든 결합 분포가 시간 무관

가우스 가정 하 두 정상성이 동등. 일반적으로 strict 가 더 강함.

6.3 직관: 시계열의 “한결같음”

정상 시계열 = 각 부분 구간이 같은 random mechanism 으로 생성된 것처럼 보임.

예: 1990년대 주가 곡선과 2010년대 주가 곡선이 같은 통계적 패턴 (평균·분산·자기상관) 을 보이면 정상.

6.4 정상성 위반의 흔한 형태

추세 — $E[X_n]$ 이 $n$ 에 따라 증가/감소.
계절성 — $E[X_n]$ 이 주기적 패턴.
이분산성 — $\text{Var}[X_n]$ 이 $n$ 에 따라 변경.
구조적 변화 — 특정 시점에 분포가 점프.

6.5 비유: 강물의 흐름

강의 한 지점에서 시간에 따라 측정한 수위가 정상 = 계절·날씨·연도와 무관하게 같은 변동 패턴. 댐 건설 후 수위 패턴이 변경 (구조적 변화) 또는 건기·우기 차이 (계절성) 가 있으면 비정상.

대부분의 자연·경제 시계열은 비정상 — 변환 (차분, log, normalize) 후 정상화 가 표준 전처리.

7 FAR(1) — 함수 자기회귀 모형의 정의

7.1 모형 식 (8.1)

FAR(1) 모형 (Functional Autoregressive of order 1)

$L^2$ 의 평균 0 함수 수열 $\{X_n: -\infty < n < \infty\}$ 가 다음을 만족하면 FAR(1):

\[ X_n = \Phi(X_{n-1}) + \varepsilon_n, \]

여기서:

$\Phi: L^2 \to \mathbb{L}^2$ — 자기회귀 연산자 (선형, 함수를 함수로 변환).
$\{\varepsilon_n\}$ — iid 평균 0 함수 잡음.

응용에서 $\Phi$ 는 적분 연산자:

\[ \Phi(x)(t) = \int \varphi(t, s) x(s) \, ds. \]

따라서:

\[ X_n(t) = \int \varphi(t, s) X_{n-1}(s) \, ds + \varepsilon_n(t). \]

7.2 일반 평균 함수의 경우

평균 0 가정을 풀면:

\[ X_n - \mu = \Phi(X_{n-1} - \mu) + \varepsilon_n. \]

$\widehat{\mu} = \bar{X}_N$ 으로 차감 후 평균 0 모형 추정.

7.3 스칼라 AR(1) 과의 비교

측면	스칼라 AR(1)	FAR(1)
$X_n$	$\mathbb{R}$ 의 스칼라	$L^2$ 의 함수
회귀계수	스칼라 $\varphi$	연산자 $\Phi$ (또는 핵 $\varphi(t, s)$)
정상성 조건	$\|\varphi\| < 1$	$\\|\Phi\\| < 1$ (8.8 절)
자기공분산	스칼라 $\gamma_h$	이변량 함수 $\gamma_h(t, s)$
예측	$\widehat{X}_{n+1} = \widehat{\varphi} X_n$	$\widehat{X}_{n+1} = \widehat{\Phi}(X_n)$

7.4 직관: 핵 φ(t, s) 의 의미

$\varphi(t, s)$ 가 두 시간 인덱스의 함수 — 약간 다른 두 시간 의미가 결합.

$t$ — 현 시점 곡선의 도메인 (오늘 곡선의 위치).
$s$ — 전 시점 곡선의 도메인 (어제 곡선의 위치).

해석: $\varphi(t_0, s_0)$ = “어제 시점 $s_0$ 의 값이 오늘 시점 $t_0$ 의 값에 주는 영향”.

7.5 Function-on-function 회귀 (Ch.5.3) 와의 차이

같은 핵 $\varphi(t, s)$ 형태이지만 회귀자와 반응이 다른 단위가 아닌 같은 곡선의 다른 시점:

측면	Ch.5.3 함수-on-함수 회귀	Ch.8.2 FAR(1)
회귀자	다른 단위의 $X_i(s)$	전 시점의 $X_{n-1}(s)$
반응	다른 단위의 $Y_i(t)$	현 시점의 $X_n(t)$
데이터 구조	단위 사이 (cross-sectional)	시간 사이 (longitudinal)
추정	LS / 거칠기 벌점	$C_1 = \Phi C$

수학적 구조가 비슷하지만 데이터의 본성이 다름 — 단위 vs 시간 의 구분.

7.6 비유: 일별 오염 곡선

도시의 시간별 오염 측정. 각 일자가 한 곡선 ($X_n(t)$, $t \in [0, 24]$ 시간). 어제 새벽의 오염이 오늘 새벽의 오염에 영향 — $\varphi(\text{오늘 새벽}, \text{어제 새벽})$ 양수.

오늘 출퇴근 시간의 오염은 어제 출퇴근 시간의 오염에 영향 — $\varphi(\text{오늘 출퇴근}, \text{어제 출퇴근})$ 큰 양수. 그러나 다른 시간대 사이 의 영향은 작을 수 있음 — $\varphi(\text{오늘 새벽}, \text{어제 출퇴근})$ 작음.

핵 $\varphi(t, s)$ 의 모양이 도시의 오염 동역학을 표현.

7.7 FAR(p) 일반화

추가 lag 를 포함:

\[ X_n = \Phi_1(X_{n-1}) + \Phi_2(X_{n-2}) + \cdots + \Phi_p(X_{n-p}) + \varepsilon_n. \]

스칼라 AR(p) 와 같은 형태. 실무에서는 FAR(1) 이 압도적으로 많이 사용 — 함수 차원에서 $p > 1$ 의 추정이 매우 어려움.

7.8 존재 조건 (8.8 절)

$\|\Phi\| < 1$ 이면 정상 해 존재 (Theorem 8.8.1).

응용에서 자주 쓰이는 더 강한 조건 — Hilbert-Schmidt 노름:

\[ \iint \varphi^2(t, s) \, dt \, ds < \infty. \]

자세한 내용은 8-4 포스트 (8.7~8.8) 에서 다룸.

8 FAR(1) 추정의 단계별 유도

8.1 출발: 스칼라 직관

스칼라 AR(1):

\[ \gamma_1 = \varphi \gamma_0 \implies \widehat{\varphi} = \frac{\widehat{\gamma}_1}{\widehat{\gamma}_0}. \]

함수 일반화의 목표: 같은 형태의 추정량을 함수 객체로.

8.2 Step 1: 함수 자기공분산 연산자

Lag-0 공분산 (보통의 공분산 연산자):

\[ C(x) = E[\langle X_n, x \rangle X_n]. \]

Lag-1 자기공분산 연산자:

\[ C_1(x) = E[\langle X_n, x \rangle X_{n+1}]. \]

8.3 Step 2: 핵심 식 $C_1 = \Phi C$ (식 8.2)

FAR(1) 모형 (8.1) 의 양변에 $\langle X_{n-1}, x \rangle$ 를 곱하고 기댓값:

\[ E[\langle X_{n-1}, x \rangle X_n] = E[\langle X_{n-1}, x \rangle \Phi(X_{n-1})] + E[\langle X_{n-1}, x \rangle \varepsilon_n]. \]

좌변 = $C_1^*(x)$ (lag-1 의 adjoint). 우변 첫 항 = $\Phi (C(x))$ (선형성). 우변 둘째 항 = 0 ($\varepsilon \perp X_{n-1}$).

따라서:

\[ \boxed{ C_1 = \Phi C \quad \text{(식 8.2)}. } \]

8.4 Step 3: 형식적 해

스칼라 직관 그대로:

\[ \Phi = C_1 C^{-1}. \]

8.5 Step 4: 핵심 어려움 — $C^{-1}$ 가 $L^2$ 전체에 정의 안 됨

$C$ 의 스펙트럼 분해:

\[ C(x) = \sum_{j=1}^\infty \lambda_j \langle x, v_j \rangle v_j. \]

$C^{-1}$ 의 후보:

\[ C^{-1}(y) = \sum_{j=1}^\infty \lambda_j^{-1} \langle y, v_j \rangle v_j. \]

이 합의 노름:

\[ \|C^{-1}(y)\|^2 = \sum_{j=1}^\infty \lambda_j^{-2} \langle y, v_j \rangle^2. \]

$\lambda_j \to 0$ 이므로 $\lambda_j^{-2} \to \infty$ — 모든 $y \in L^2$ 에 대해 수렴 보장 안 됨.

반례: $y = \sum_j \lambda_j v_j$ — 노름 $\sum \lambda_j^2 < \infty$ 이지만 $\|C^{-1}(y)\|^2 = \sum 1 = \infty$.

8.6 직관: 작은 λ 가 폭발하는 이유

함수 차원에서 항상 $\lambda_j \to 0$ (공분산 연산자가 nuclear). 그 역수 $\lambda_j^{-1} \to \infty$ — 조금이라도 $y$ 가 작은 $\lambda_j$ 의 PC 방향에 사영되면 $C^{-1}(y)$ 가 폭발.

이는 함수 회귀의 무한차원 다공선성 (Ch.4.3) 과 같은 본성 — 작은 $\lambda$ 가 추정의 안정성을 망친다.

8.7 비유: 약한 메아리의 증폭

극장의 메아리에서 강한 모드 (큰 $\lambda$) 는 잘 들리지만, 약한 모드 (작은 $\lambda$) 는 잡음에 묻힌다. 약한 모드를 강조하려고 증폭하면 (역수) 잡음이 함께 증폭되어 결과가 망가진다.

함수 자기회귀의 $C^{-1}$ 도 같은 패턴 — 작은 $\lambda$ 의 PC 방향을 정확히 다루려고 하면 잡음이 폭발.

8.8 Step 5: Pseudo-Inverse $C_p^+$

해결책: 첫 $p$ 개 PC 만 사용:

\[ C_p^+(y) = \sum_{j=1}^p \lambda_j^{-1} \langle y, v_j \rangle v_j. \]

이는 $L^2$ 전체에 정의되지만 진짜 역은 아님 (Problem 8.4) — $C_p^+(C(x)) \neq x$ in general.

8.9 직관: Pseudo-inverse 의 의미

진짜 역 $C^{-1}$ 가 무한차원에서 작동하지 못하므로, 유한차원으로 절단 — 첫 $p$ 개 PC 의 부분 공간에서만 역 정의.

이는 다른 함수 회귀 도구 (Ch.4.6, 5.5) 의 EFPC 절단과 같은 원리. 함수 차원의 보편적 정칙화 패턴.

8.10 Step 6: 표본 Pseudo-Inverse

표본 EFPC $\widehat{v}_j$ 와 고유값 $\widehat{\lambda}_j$:

\[ \widehat{C}_p^+(x) = \sum_{j=1}^p \widehat{\lambda}_j^{-1} \langle x, \widehat{v}_j \rangle \widehat{v}_j. \]

$\widehat{\lambda}_j > 0$ for $j \leq p$ 가정.

8.11 Step 7: 표본 Lag-1 자기공분산 연산자

\[ \widehat{C}_1(x) = \frac{1}{N-1} \sum_{k=1}^{N-1} \langle X_k, x \rangle X_{k+1}. \]

8.12 Step 8: 추정량 (식 8.4)

$\widehat{\Phi}_p \approx \widehat{C}_1 \widehat{C}_p^+$. 추가 차원 축소 (반응에도 EFPC 절단) 적용:

\[ X_{k+1} \approx \sum_{i=1}^p \langle X_{k+1}, \widehat{v}_i \rangle \widehat{v}_i. \]

대입:

\[ \widehat{\Phi}_p(x) = \frac{1}{N-1} \sum_{k=1}^{N-1} \sum_{j=1}^p \sum_{i=1}^p \widehat{\lambda}_j^{-1} \langle x, \widehat{v}_j \rangle \langle X_k, \widehat{v}_j \rangle \langle X_{k+1}, \widehat{v}_i \rangle \widehat{v}_i. \]

8.13 Step 9: 핵 함수 추정량 (식 8.5)

$\Phi$ 를 적분 연산자로 보면 핵:

\[ \boxed{ \widehat{\varphi}_p(t, s) = \frac{1}{N-1} \sum_{k=1}^{N-1} \sum_{j=1}^p \sum_{i=1}^p \widehat{\lambda}_j^{-1} \langle X_k, \widehat{v}_j \rangle \langle X_{k+1}, \widehat{v}_i \rangle \widehat{v}_j(s) \widehat{v}_i(t). } \]

8.14 직관: 모든 양이 PCA 출력

식 (8.5) 의 모든 양:

$\widehat{\lambda}_j$ — 추정 고유값.
$\widehat{v}_j$ — 추정 EFPC.
$\langle X_k, \widehat{v}_j \rangle$ — PC 점수.

이 셋이 표준 함수 PCA 의 출력. R 의 pca.fd 한 함수만 호출하면 모든 재료가 준비.

8.15 추정의 직관적 해석

식 (8.5) 의 구조 분석.

ψ̂(t, s) = (정규화) Σ_k Σ_j Σ_i (1/λ̂_j) × (X_k 의 j-PC 점수) × (X_{k+1} 의 i-PC 점수) × v̂_j(s) × v̂_i(t)

해석: $X_k$ 의 PC 점수와 $X_{k+1}$ 의 PC 점수의 cross product 의 시간 평균. PCA 좌표계에서 본 lag-1 의 cross-covariance.

8.16 비유: 댄스 파트너의 동기화

두 댄스 파트너의 시간별 동작을 PC 분해하면:

파트너 A 의 PC1 (큰 회전), PC2 (작은 회전), …
파트너 B 도 동일.

두 파트너의 동기화 정도 = A 의 PC 점수와 B 의 PC 점수의 cross product 평균. FAR(1) 의 핵 추정도 같은 사고 — 어제와 오늘의 PC 점수 사이의 동기화 패턴.

8.17 $p$ 의 균형

작은 $p$ — 안정적이지만 미세 패턴 놓침.
큰 $p$ — 작은 $\widehat{\lambda}_j$ 로 분모 폭발.

규칙: CPV 85~95% 또는 시각적 검증.

8.18 비교: 거칠기 벌점 vs 절단

함수 회귀 정칙화의 두 양식 (5장에서 본 패턴):

양식	함수 회귀 (Ch.5)	FAR(1) (Ch.8)
절단	EFPC + $p$ 선택	$\widehat{\Phi}_p$
벌점	거칠기 + $\lambda$ 선택	(FAR 에서는 흔하지 않음)

FAR(1) 에서는 절단이 표준 — 시계열 자기상관 구조가 PC 차원에서 더 자연스러움.

9 두 절의 통합 시각

9.1 한 줄 요약

**스칼라 AR(1) X_n = φ X_{n-1} + ε_n 의 추정량 φ̂ = γ̂_1/γ̂0 의 함수 일반화가 FAR(1) X_n(t) = ∫φ(t,s)X{n-1}(s)ds + ε_n(t) 의 Φ̂ ≈ Ĉ_1 Ĉ^{-1} 이지만, 함수 차원에서 C^{-1} 가 작은 λ_j 의 폭발로 정의되지 않으므로 첫 p 개 PC 만 사용한 pseudo-inverse C_p^+ 로 우회한다. 모든 추정량 (식 8.5) 의 양은 표준 함수 PCA 의 출력 (λ̂_j, v̂_j, 점수) 이므로 R 의 pca.fd 한 함수로 모든 재료 준비.**

9.2 Ch.4·5·6·7 와의 비교

측면	Ch.4·5·6·7 (iid)	Ch.8.2 (FTS)
데이터	iid 단위 표본	시간 종속 곡선 수열
모형	회귀, GLM, FPCA	FAR(1) 자기회귀
추정	LS, MLE, BLUP	$C_1 C_p^+$
정칙화	거칠기 벌점 / EFPC 절단	EFPC 절단 (pseudo-inverse)
R	refund, fdapace	fda::pca.fd + 수동 + ftsa

함수 시계열의 도구는 함수 회귀와 같은 정칙화 원리 (EFPC 절단) 이지만 다른 모형 구조 (자기회귀).

9.3 Ch.8 후속 절과의 연결

후속 절	8.1~8.2 의 도구를 어떻게 확장하는가
8.3 Hyndman-Ullah	KL 절단으로 점수의 단변량 시계열 로 환원 — FAR(1) 의 다른 형태의 일반화
8.4 다변량 예측	점수 벡터의 VAR — Hyndman-Ullah 의 일반화
8.5 LRCF	정상 FTS 의 표본 평균 분산
8.6 정상성 검정	8.1 의 정상성 정의의 검정
8.7 R 구현	8.2 의 핵 추정량 (8.5) 의 fda 구현
8.8 존재 조건	8.2 의 FAR(1) 정의의 수학적 토대

8.2 의 FAR(1) 가 Ch.8 의 핵심 모형, 후속 절들이 모두 이 모형의 추정·예측·검정·이론을 확장.

9.4 실용 워크플로우

FAR(1) 적합의 표준 단계

데이터 준비 — 시간 순서 곡선 수열, 함수 객체로 변환 (Data2fd).
EFPC 추정 — pca.fd(X_fd, nharm = p).
점수 추출 — pca_result$scores.
고유값 추출 — pca_result$values.
EFPC 함수 추출 — pca_result$harmonics.
수동 식 (8.5) 평가 — 격자 위에서 핵 추정.
시각화 — persp 또는 contour 로 핵 표면.
예측 — $\widehat{X}_{N+1}(t) = \int \widehat{\varphi}_p(t, s) X_N(s) \, ds$.

10 관련 주제

선행 지식

FDA 1.0 — 개요
FDA 3.1~3.2 — L² 공간과 확률 함수, Karhunen-Loève 전개
FDA 5.3~5.4 — 함수-on-함수 회귀와 refund 통합 구현 — 핵 $\psi(t,s)$ 의 다른 응용
FDA 8.0 — 함수 시계열 (FTS) 개관
스칼라 시계열 기초 (AR, ARIMA)

후속 주제

관련 개념

AR(1) 모형의 정상성 — 스칼라 원조
자기공분산과 자기상관 함수 (ACF) — 진단의 표준 도구
Karhunen-Loève 전개와 EFPC — 식 (8.5) 의 토대
Pseudo-Inverse (Moore-Penrose 의 일반화) — 함수 차원의 정칙화 도구
무한차원 다공선성 — Ch.4 의 같은 본성

측면	스칼라 AR(1)	FAR(1)
\(X_n\)	\(\mathbb{R}\) 의 스칼라	\(L^2\) 의 함수
회귀계수	스칼라 \(\varphi\)	연산자 \(\Phi\) (또는 핵 \(\varphi(t, s)\))
정상성 조건	\(\|\varphi\| < 1\)	\(\\|\Phi\\| < 1\) (8.8 절)
자기공분산	스칼라 \(\gamma_h\)	이변량 함수 \(\gamma_h(t, s)\)
예측	\(\widehat{X}_{n+1} = \widehat{\varphi} X_n\)	\(\widehat{X}_{n+1} = \widehat{\Phi}(X_n)\)

1 두 절의 역할

2 시계열의 기본 정의

2.1 표기 관례

2.2 시계열의 일반 패턴

2.3 직관: 시계열 분석의 목표

2.4 비유: 음악의 악보화

3 AR(1) — 가장 단순한 시계열 모형

3.1 정의

3.2 정상성 조건

3.3 직관: 자기회귀의 의미

3.4 비유: 일상 상황의 자기회귀 강도

4 자기공분산과 자기상관

4.1 정의

4.2 대칭성

4.3 직관: \(\gamma_h\) 가 시계열의 “지문”

4.4 표본 추정

4.5 ACF 도표

4.6 비유: 메아리 차트

5 AR(1) 모수 추정

5.1 표본 자기공분산으로부터의 추정

5.2 직관: 가장 간단한 모수 추정

5.3 한 단계 예측

5.4 직관: 예측의 회귀 형태

6 정상성의 일반 정의 (Definition 8.1.1)

6.1 정의

6.2 정상성의 종류

6.3 직관: 시계열의 “한결같음”

6.4 정상성 위반의 흔한 형태

6.5 비유: 강물의 흐름

7 FAR(1) — 함수 자기회귀 모형의 정의

7.1 모형 식 (8.1)

7.2 일반 평균 함수의 경우

7.3 스칼라 AR(1) 과의 비교

7.4 직관: 핵 φ(t, s) 의 의미

7.5 Function-on-function 회귀 (Ch.5.3) 와의 차이

7.6 비유: 일별 오염 곡선

7.7 FAR(p) 일반화

7.8 존재 조건 (8.8 절)

8 FAR(1) 추정의 단계별 유도

8.1 출발: 스칼라 직관

8.2 Step 1: 함수 자기공분산 연산자

8.3 Step 2: 핵심 식 \(C_1 = \Phi C\) (식 8.2)

8.4 Step 3: 형식적 해

8.5 Step 4: 핵심 어려움 — \(C^{-1}\) 가 \(L^2\) 전체에 정의 안 됨

8.6 직관: 작은 λ 가 폭발하는 이유

8.7 비유: 약한 메아리의 증폭

8.8 Step 5: Pseudo-Inverse \(C_p^+\)

8.9 직관: Pseudo-inverse 의 의미

8.10 Step 6: 표본 Pseudo-Inverse

8.11 Step 7: 표본 Lag-1 자기공분산 연산자

8.12 Step 8: 추정량 (식 8.4)

8.13 Step 9: 핵 함수 추정량 (식 8.5)

8.14 직관: 모든 양이 PCA 출력

8.15 추정의 직관적 해석

8.16 비유: 댄스 파트너의 동기화

8.17 \(p\) 의 균형

8.18 비교: 거칠기 벌점 vs 절단

9 두 절의 통합 시각

9.1 한 줄 요약

9.2 Ch.4·5·6·7 와의 비교

9.3 Ch.8 후속 절과의 연결

9.4 실용 워크플로우

10 관련 주제