1 정의
두 개의 \(n \times n\) Latin Square \(L_1, L_2\) 가 직교 한다는 것:
각 cell 에서 \((L_1, L_2)\) 의 값 쌍이 \(n^2\) 가지 모든 가능한 쌍을 정확히 한 번씩 포함한다.
여러 Latin Square 들이 모두 두 두 직교하면 Mutually Orthogonal (MOLS).
2 응용
2.1 다중 처치 통제
3 개 처치 요인을 모두 같은 \(n^2\) cells 에 배정. 각 처치 요인이 직교 통제.
n=4, two MOLS:
L1: L2:
A B C D α β γ δ
B A D C γ δ α β
C D A B δ γ β α
D C B A β α δ γ각 cell 에 두 처치 (L1, L2) 가 직교 배정. 한 cell 에 한 (Latin, Greek) 쌍, 모든 16 쌍 한 번씩.
2.2 Graeco-Latin Square Design
\(n\) 처치, 두 블록 차원 (행, 열) + 두 처치 차원 (Latin, Greek). \(n^2\) cells.
이는 4 차원 직교 통제 — 행, 열, Latin 처치, Greek 처치.
\(n = 4\) 의 Graeco-Latin Square: - \(n = 4\) 행 (block 1) - \(n = 4\) 열 (block 2) - \(n = 4\) Latin 처치 (실험 변수 1) - \(n = 4\) Greek 처치 (실험 변수 2)
총 4 차원의 직교 통제 + 16 cells. 자유도 효율 매우 높음.
이는 두 처치 변수의 상호 통제에 효과적. 단, 처치 수가 모두 \(n\) 이어야 함.
2.3 Hyper-Graeco-Latin Square
3 개 이상의 MOLS — 각 차원이 직교.
\(n = 4\) 의 3 MOLS 가능 (G-MON6-2). 5 차원 직교 통제.
3 \(n = 4\) 의 3 MOLS
\(GF(4)\) 기반:
L1: L2: L3:
0 1 2 3 0 2 3 1 0 3 1 2
1 0 3 2 2 0 1 3 3 0 2 1
2 3 0 1 3 1 0 2 1 2 0 3
3 2 1 0 1 3 2 0 2 1 3 0세 squares 모두 두 두 직교. 각 cell 에 4 차원의 직교 배정.
4 최대 MOLS 수
\(n \times n\) 의 최대 MOLS 수 = \(n - 1\) (이론적 최댓값).
이 최댓값에 도달하면 complete set of MOLS 또는 finite projective plane.
| \(n\) | MOLS 최댓값 | 도달? |
|---|---|---|
| 2 | 1 | (1 X 자명) |
| 3 | 2 | ✓ |
| 4 | 3 | ✓ |
| 5 | 4 | ✓ |
| 6 | 1 | ❌ (Euler’s conjecture 사례) |
| 7 | 6 | ✓ |
| 8 | 7 | ✓ |
| 10 | ≥ 2 | ❌ (\(n-1 = 9\) 안 됨) |
\(n = 6\) 은 단 한 개의 Latin Square 만 (직교 쌍 X). 1 + 1 = 2 도 안 됨.
5 Euler’s Conjecture (1782)
“\(n \equiv 2 \pmod{4}\) 인 경우 (\(n = 6, 10, 14, \ldots\)) 두 개의 직교 Latin Square 가 존재하지 않는다.”
5.1 증명 history
\(n = 6\) 사례: Tarry (1900) 가 모든 36×36 검색으로 확인. ✓ (Euler’s conjecture 의 일부 맞음)
\(n = 10, 14, ...\) 사례: Bose, Shrikhande, Parker (1959) 가 반례 발견 → Euler’s conjecture 거짓 입증.
자세한 내용은 G-MON6-3.
6 Ch.6 의 4 단계
G-MON6-0 개관 (현재 글)
│
▼
G-MON6-1 Definition + Maximum Number
│
▼
G-MON6-2 Construction (Order 4, 12)
│
▼
G-MON6-3 Pairwise Balanced (Euler 추측, Order 14, 26)
│
▼
G-MON7 (Bio-assays / Response Surface)7 응용
7.1 1. 임상 — 다요인 crossover
2 처치 요인의 동시 비교 (예: 약 종류 × dose). 각 환자가 4 시점 측정.
7.2 2. 농학 — 공장 효율
행 (시간), 열 (machine), 처치 (방법), 처치 (작업자) — 4 차원 직교.
7.3 3. 산업 — 다공정 결합
여러 공정 변수의 직교 검정.
7.4 4. 36 Officers Problem
Euler 의 원래 문제. 6 군대 × 6 계급의 36 장교를 6×6 격자에 배치 (각 행·열에 모든 군대·계급). 1959 년 결과로 \(n = 6\) 만 안 됨.
8 ML 매핑
ML 모델 비교에서 4 요인:
A = optimizer (4 가지)
B = scheduler (4 가지)
C = batch size (4 가지)
D = initialization (4 가지)\(4^4 = 256\) runs 가 full factorial. 너무 큼.
Hyper-Graeco-Latin Square (3 MOLS at \(n=4\)) 로 16 runs 만 사용: - 행 = optimizer, 열 = scheduler. - Latin = batch, Greek = initialization, third = additional factor.
각 cell 에 4 차원의 직교 배정. 16 runs 로 4 요인 효과 모두 추정.
이는 정통 DOE 의 가장 효율적 사례.
9 본 시리즈
G-MON6-0 개관 (현재 글)
G-MON6-1 Definition + Maximum Number
G-MON6-2 Construction (Order 4, 12)
G-MON6-3 Pairwise Balanced + Euler 추측
↓
G-MON7 (Bio-assay / RSM)10 관련 주제
선행 지식
후속 주제
11 더 읽을 거리
- Bose, R. C. (1938). “On the application of the properties of Galois fields to the problem of construction of hyper-Graeco-Latin squares.” Sankhyā 3: 323-338 — MOLS 원조.
- Bose, R. C., Shrikhande, S. S., Parker, E. T. (1960). “Further results on the construction of mutually orthogonal Latin squares.” Canadian Journal of Mathematics 12: 189-203.
- Hedayat, A., Sloane, N. J. A., Stufken, J. (1999). “Orthogonal Arrays.” Springer.
- Stinson, D. R. (2003). “Combinatorial Designs.” Springer.
- Beth, T., Jungnickel, D., Lenz, H. (1999). “Design Theory” (2 vols). Cambridge.