Kwangmin Kim - Youden 과 Lattice 설계 — 두 차원 incomplete block

1 Youden Square

정의: Youden Square

Latin Square 의 incomplete 버전. 행이 BIB 블록, 열이 어떤 일관된 패턴을 가짐.

\(v\) 처치, \(b = v\) 블록 (행), \(k\) cells/블록, \(r = k\) 열.

2 예시 — \(v = 7, k = 3\)

       Col1  Col2  Col3
Row1:   1     2     4
Row2:   2     3     5
Row3:   3     4     6
Row4:   4     5     7
Row5:   5     6     1
Row6:   6     7     2
Row7:   7     1     3

각 행 (블록) 에 3 처치, 각 열에 모든 7 처치 정확히 1 번. BIB + 직교 열 통제.

직관: Youden = BIB + 열 통제

표준 BIB 는 행 (블록) 만 통제. Youden square 는 행 + 열 둘 다 통제.

이는 시간 효과 (열 = 시점) 와 환자 효과 (행 = 환자) 를 모두 통제하는 임상 crossover 의 표준 형태.

3 분석

\[ Y_{ijl} = \mu + \tau_l + \beta_i + \gamma_j + \varepsilon_{ijl} \]

\(\beta_i\): 행 (블록).
\(\gamma_j\): 열.
\(\tau_l\): 처치.

ANOVA: 처치 (BIB-adjusted), 행, 열, error.

Source	\(df\)
Row (block)	\(b-1\)
Column	\(k-1\)
Treatment (adjusted)	\(v-1\)
Error	\(bk - b - k - v + 2\)
Total	\(bk - 1\)

4 Lattice Design

정의: Lattice Design

처치 수 \(v = k^2\) 일 때의 incomplete block design.

Square lattice: \(v = k^2\), blocks 의 group 으로 정렬.
Triple lattice: 3 replicate 의 균형.
Rectangular lattice: \(v = k(k+1)\).

5 \(v = 9 = 3^2\) Square Lattice

3×3 격자에 처치 1~9 배치:

1 2 3
4 5 6
7 8 9

블록 = 행 또는 열:

5.1 Replicate 1 (행 블록)

Block 1: {1, 2, 3}
Block 2: {4, 5, 6}
Block 3: {7, 8, 9}

5.2 Replicate 2 (열 블록)

Block 4: {1, 4, 7}
Block 5: {2, 5, 8}
Block 6: {3, 6, 9}

각 처치가 두 replicate 에 등장. 임의의 두 처치는 같은 행 또는 같은 열에 등장.

5.3 Triple Lattice (Replicate 3)

대각선 방향: - Block 7: {1, 5, 9} - Block 8: {2, 6, 7} - Block 9: {3, 4, 8}

3 replicate 모두 결합 → 모든 처치 쌍이 정확히 1 번 같이 등장 → BIB!

6 \(v = 16\) Square Lattice

\(4 \times 4\) 격자:

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15 16

Replicate 1 (행): {1,2,3,4}, {5,6,7,8}, … Replicate 2 (열): {1,5,9,13}, {2,6,10,14}, … Replicate 3 (대각): {1,6,11,16}, {2,7,12,13}, … Replicate 4 (다른 대각): …

총 4 replicate, 모든 처치 쌍이 정확히 한 번 같이.

이는 PG(2, 4) 의 통계적 응용 — 21 처치, 21 블록의 변형.

7 가설 데이터 — Youden Square

7 약물, 7 환자 (행), 3 시점 (열).

         시점1  시점2  시점3
환자1:    A      B      D
환자2:    B      C      E
환자3:    C      D      F
환자4:    D      E      G
환자5:    E      F      A
환자6:    F      G      B
환자7:    G      A      C

분석: - 처치 효과 (BIB-adjusted). - 환자 효과 (행 random). - 시점 효과 (열 fixed).

Mixed model 로 자동 처리.

8 Python 코드

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols, mixedlm

# Youden square — 7 처치, 7 행, 3 열
youden_pattern = [
    [1, 2, 4], [2, 3, 5], [3, 4, 6], [4, 5, 7],
    [5, 6, 1], [6, 7, 2], [7, 1, 3]
]

np.random.seed(2026)
treat_eff = {1: 5, 2: 8, 3: 3, 4: 10, 5: 6, 6: 4, 7: 7}
period_eff = {0: 0, 1: -2, 2: -4}

records = []
for r_idx, row in enumerate(youden_pattern):
    row_eff = np.random.normal(0, 4)
    for c_idx, t in enumerate(row):
        y = (50 + treat_eff[t] + row_eff + period_eff[c_idx]
             + np.random.normal(0, 2))
        records.append({"row": r_idx, "col": c_idx,
                       "treatment": t, "Y": y})

data = pd.DataFrame(records)

# Youden ANOVA
model = ols("Y ~ C(treatment) + C(row) + C(col)", data=data).fit()
print("=== Youden Square ANOVA ===")
print(sm.stats.anova_lm(model, typ=2).round(3))

# Mixed model (행 random)
md = mixedlm("Y ~ C(treatment) + C(col)", data=data, groups=data["row"]).fit()
print("\n=== Mixed Model ===")
print(md.summary().tables[1])

# Square Lattice — 9 처치, 3 replicate
print("\n=== Square Lattice (9 처치, 3 replicate) ===")
square_lattice = [
    [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9],     # Rep 1 (행)
    [1, 4, 7], [2, 5, 8], [3, 6, 9],     # Rep 2 (열)
    [1, 5, 9], [2, 6, 7], [3, 4, 8],     # Rep 3 (대각)
]

# 검증: 모든 처치 쌍이 같이 등장하는 횟수
from itertools import combinations
from collections import Counter
pairs = []
for block in square_lattice:
    for pair in combinations(block, 2):
        pairs.append(tuple(sorted(pair)))
counter = Counter(pairs)
print(f"Pair counts: all = 1? {all(v == 1 for v in counter.values())}")

9 가정과 한계

처치 수의 제약: \(v = k^2\) 또는 \(k(k+1)\).
Replicate 수: 균형 위해 보통 2~5 replicates.
분석: BIB analysis 의 변형.
Youden 의 행 random: 환자 random effect.

10 응용

10.1 1. Youden — 임상 Crossover

각 환자 (행) 가 일부 약물 (처치) 을 다른 시점 (열) 에 시험. 시점 효과 통제 + 환자 random.

10.2 2. Square Lattice — 농학

대규모 품종 시험. 각 plot 에 일부 품종만. 여러 replicate 로 균형.

10.3 3. 산업 — 다공정 평가

\(v = k^2\) 공정 조합. \(k\) 크기의 batch 로 분할.

10.4 4. ML — 모델 평가

\(v = 9\) 모델, 3 GPU 동시 평가. lattice design 으로 균형.

11 ML 매핑

매핑: ML 의 lattice 평가

ML 모델 비교에서 9 모델, 3 GPU 동시:

Replicate 1 (round 1): GPU에 모델 {1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9} 분배.
Replicate 2 (round 2): GPU에 {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6,9}.
Replicate 3 (round 3): GPU에 {1,5,9}, {2,6,7}, {3,4,8}.

3 round 에 모든 모델 쌍이 정확히 한 번 같이 평가. 균형 systematic comparison.

12 본 시리즈

G-MON5-0  개관
G-MON5-1  BIB 도입
G-MON5-2  BIB Construction
G-MON5-3  BIB Analysis
G-MON5-4  Youden + Lattice  ← 현재 글
G-MON5-5  PBIB
G-MON5-6  Recovery + Optimality

13 관련 주제

선행 지식

후속 주제

14 더 읽을 거리

Youden, W. J. (1937). “Use of incomplete block replications in estimating tobacco-mosaic virus.” Contributions of the Boyce Thompson Institute 9: 41-48 — Youden 원조.
Yates, F. (1936). “A new method of arranging variety trials involving a large number of varieties.” Journal of Agricultural Science 26: 424-455 — Lattice 원조.
Cochran, W. G., Cox, G. M. (1957). “Experimental Designs” (2nd ed). Wiley.
Pearce, S. C. (1983). “The Agricultural Field Experiment.” Wiley.