Kwangmin Kim - 유한체와 교호작용 그룹화 — Galois Field 기반 직교 설계

1 정의

정의: Galois Field $GF(s)$

$s$ 가 prime 또는 prime power 일 때, 정의된 산술 (덧셈·곱셈) 을 가진 $s$ 원소의 finite field. 모든 비-zero 원소가 곱셈 inverse 를 가진다.

예: - $GF(2) = \{0, 1\}$ - $GF(3) = \{0, 1, 2\}$ - $GF(4) = \{0, 1, \alpha, \alpha + 1\}$ ($\alpha$ 는 $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$) - $GF(5) = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ - $GF(7) = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ - $GF(9) = $ 9 원소 (Schur 기반)

DOE 활용: $s$ 수준 factorial 의 직교 contrast 를 GF 의 선형 결합으로 구성.

2 왜 Finite Field 인가

$2^k$ 또는 $3^k$ factorial 에서 효과가 많을 때 (예: $3^4 = 81$) 직교 contrast 를 손으로 찾는 것은 불가능. GF 의 대수 구조는:

모든 효과의 직교 분해를 자동 보장.
Confounding 의 체계적 설계 (G-MON3-3).
Fractional factorial 의 alias 구조 (G-MON3-6).

직관: Finite Field 의 통계적 가치

$GF(s)$ 의 산술이 “modular” 산술 → factorial design 의 cell labeling 이 자연스러움.

각 cell 을 $k$ 차원 vector $(x_1, \ldots, x_k) \in GF(s)^k$ 로 표현. 효과는 vector 의 선형 결합.

직교성: \[ \sum_{x \in GF(s)} \exp(2\pi i \cdot \text{contrast}/s) = 0 \quad \text{(if contrast} \ne 0\text{)} \]

Fourier-like 분해. 이는 Plackett-Burman 의 Hadamard matrix 와 정확히 같은 구조.

3 $GF(2)$ 의 산술

+ | 0 1
0 | 0 1
1 | 1 0  (= XOR)

× | 0 1
0 | 0 0
1 | 0 1

$GF(2)$ 의 덧셈 = XOR. 컴퓨터 binary 산술의 핵심.

4 $GF(3)$ 의 산술

mod 3 산술.

5 Effect 의 그룹화

$s^k$ factorial 의 $s^k - 1$ 효과를 $(s^k - 1)/(s - 1)$ 그룹으로 분류. 각 그룹은 $s - 1$ 자유도.

예: $3^2 = 9$ 셀, 8 효과, 4 그룹 (각 2 자유도):

$A$ (주효과)
$B$ (주효과)
$A \cdot B$ (상호작용 1)
$A \cdot B^2$ (상호작용 2)

(상호작용 패턴 두 종류: $A B$ 와 $A B^2$. 각 2 자유도.)

직관: 효과 그룹의 의미

$3 \times 3$ 의 상호작용 자유도는 $(3-1)(3-1) = 4$. 이를 두 그룹 $A B$ 와 $A B^2$ 로 2 자유도씩 나눈다. 각 그룹은 다른 contrast 패턴 (다른 cell 조합) 을 검정.

이는 직교 다항식 분해 (G-MAX6) 의 일반화. 양적 요인이면 직교 다항식, 명목 요인이면 GF 분해.

$3^k$ 의 모든 상호작용을 GF(3) 그룹으로 분해 → 자유도 효율적 사용.

6 $3^3 = 27$ 의 효과 그룹

총 26 효과, 13 그룹 (각 2 자유도):

6.1 주효과: 3 그룹

$A$, $B$, $C$ — 각 2 자유도.

6.2 이원 상호작용: 6 그룹

$A B$, $A B^2$ (자유도 4 = 2 그룹).
$A C$, $A C^2$.
$B C$, $B C^2$.

6.3 삼원 상호작용: 4 그룹

$A B C$, $A B C^2$, $A B^2 C$, $A B^2 C^2$.

각 그룹의 SS 가 가산되어 $SS_{\text{between}} = \sum SS_{\text{group}}$.

6.4 자유도 합계 검증

3 (주효과) + 6 (이원) + 4 (삼원) = 13 그룹 × 2 자유도/그룹 = 26 = $3^3 - 1$. ✓

7 $3^2 = 9$ 의 cell labeling 과 grouping

각 cell $(a, b) \in GF(3)^2$:

(0,0) (0,1) (0,2)
(1,0) (1,1) (1,2)
(2,0) (2,1) (2,2)

7.1 $AB$ 그룹

$AB$ contrast: $a + b \mod 3$.

그룹 0 ($a+b \equiv 0$): (0,0), (1,2), (2,1).
그룹 1 ($a+b \equiv 1$): (0,1), (1,0), (2,2).
그룹 2 ($a+b \equiv 2$): (0,2), (1,1), (2,0).

7.2 $AB^2$ 그룹

$a + 2b \mod 3$:

그룹 0: (0,0), (1,1), (2,2).
그룹 1: (0,2), (1,0), (2,1).
그룹 2: (0,1), (1,2), (2,0).

각 그룹의 cell 평균 차이가 효과의 contrast.

8 Python 코드 (Galois Field 산술)

def gf_add(a, b, s):
    """GF(s) 덧셈 (mod s)"""
    return (a + b) % s

def gf_mul(a, b, s):
    """GF(s) 곱셈 (mod s)"""
    return (a * b) % s

# GF(3) 산술 표
print("GF(3) addition table:")
for i in range(3):
    print([gf_add(i, j, 3) for j in range(3)])

print("\nGF(3) multiplication table:")
for i in range(3):
    print([gf_mul(i, j, 3) for j in range(3)])

# 3^2 = 9 cells, identify effect group AB (1)
# A B group: 2 levels of (A + B mod 3)
def cell_to_AB_group(a_lvl, b_lvl):
    return (a_lvl + b_lvl) % 3

# A B^2 group: A + 2B mod 3
def cell_to_ABsq_group(a_lvl, b_lvl):
    return (a_lvl + 2 * b_lvl) % 3

print("\nCell (A, B) -> AB group, AB² group:")
for a in range(3):
    for b in range(3):
        print(f"  ({a}, {b}): AB = {cell_to_AB_group(a, b)}, AB² = {cell_to_ABsq_group(a, b)}")

# 직교성 검증 — 임의의 두 contrast vector 의 inner product
import numpy as np
n_cells = 9
ab_group = np.array([(a + b) % 3 for a in range(3) for b in range(3)])
absq_group = np.array([(a + 2*b) % 3 for a in range(3) for b in range(3)])

# Indicator matrices for each group
def make_contrast(group_array, n_groups):
    contrasts = np.zeros((n_groups - 1, len(group_array)))
    for g in range(1, n_groups):
        contrasts[g-1] = (group_array == 0).astype(int) - (group_array == g).astype(int)
    return contrasts

c_AB = make_contrast(ab_group, 3)
c_AB2 = make_contrast(absq_group, 3)
print(f"\nOrthogonality check: <AB, AB²> = {(c_AB @ c_AB2.T).round()}")
# Should be all zeros

9 $2^k$ 와 $3^k$ 의 차이

측면	$2^k$	$3^k$
각 요인 자유도	1	2
직교 contrast	$2^k - 1$ 개 (각 1 자유도)	$(3^k - 1)/2$ 그룹 (각 2 자유도)
양적 요인의 trend	선형만 가능 (자유도 1)	선형 + 이차 (자유도 2)
셀 수	작음 ($2^k$)	큼 ($3^k$)

3 수준은 양적 요인의 곡률 검출에 필수 (G-MON3-4, G-MAX6).

10 응용 — 산업 화학

10.1 가설

$3^3 = 27$ 화학 공정 실험: - $A$ = 온도 (low/mid/high). - $B$ = pH (low/mid/high). - $C$ = 농도 (low/mid/high).

분석: - 주효과 ($A, B, C$) 각 2 자유도 — 선형 + 이차. - 이원 상호작용 ($AB, AB^2, AC, AC^2, BC, BC^2$) 각 2 자유도. - 삼원 ($ABC, ABC^2, AB^2C, AB^2C^2$) 각 2 자유도.

GF(3) 분해로 모든 효과 직교 추정.

11 가정과 한계

$s$ prime/prime power 만: $s = 6$ 같은 합성수는 GF 부적합.
명목 요인: 양적이면 직교 다항식이 더 자연스러움.
계산 복잡도: 큰 $k$ 에서 효과 그룹 수가 폭증.
셀 등표본: 균등 가정.

12 $GF(p^k)$ 의 일반화

$s = p^k$ (prime power) 에서 $GF(p^k)$. 다항식 산술.

예: $GF(4) = GF(2^2)$. 원소: $\{0, 1, \alpha, \alpha + 1\}$ ($\alpha^2 = \alpha + 1$).

이는 $2^4$ Hadamard, $4 \times 4$ Latin Square 등의 기반.

13 ML 매핑

매핑: ML hyperparameter 의 multilevel screening

ML 의 hyperparameter 가 3 수준일 때:

A = lr (low/mid/high)
B = batch size (low/mid/high)
C = dropout (low/mid/high)

$3^3 = 27$ runs. GF(3) 분해: - 각 hyperparameter 의 선형 + 이차 효과 분리. - 상호작용도 분해.

직교 분해로 정보 효율 최대화. random search 보다 systematic.

14 본 시리즈

G-MON3-0  Factorial 개관
G-MON3-1  2^k Factorial
G-MON3-2  Finite Fields + Interaction Grouping  ← 현재 글
G-MON3-3  Confounding
G-MON3-4  3^k Factorial
G-MON3-5  General Construction
G-MON3-6  Fractional Factorial

15 가정과 한계

$s$ prime/prime power 만: $s = 6$ 같은 합성수는 GF 부적합.
명목 요인: 양적이면 직교 다항식이 더 자연스러움.
계산 복잡도: 큰 $k$ 에서 효과 그룹 수가 폭증.

16 관련 주제

선행 지식

G-MON3-1: 2^k Factorial
Math — 선형대수 (placeholder)

후속 주제

다른 카테고리 연결

Statistics — FDA Random Functions — 무한 차원의 직교 분해

17 더 읽을 거리

Bose, R. C., Bush, K. A. (1952). “Orthogonal arrays of strength two and three.” Annals of Mathematical Statistics 23(4): 508-524.
Hedayat, A., Sloane, N. J. A., Stufken, J. (1999). “Orthogonal Arrays: Theory and Applications.” Springer.
Cheng, C.-S. (2014). “Theory of Factorial Design: Single- and Multi-Stratum Experiments.” CRC Press.
Mukerjee, R., Wu, C. F. J. (2006). “A Modern Theory of Factorial Designs.” Springer.
Lidl, R., Niederreiter, H. (1997). “Finite Fields” (2nd ed). Cambridge University Press.

유한체와 교호작용 그룹화 — Galois Field 기반 직교 설계

1 정의

2 왜 Finite Field 인가

3 \(GF(2)\) 의 산술

4 \(GF(3)\) 의 산술

5 Effect 의 그룹화

6 \(3^3 = 27\) 의 효과 그룹