1 \(n = 4\) 의 3 MOLS
\(GF(4)\): 원소 \(\{0, 1, \alpha, \beta\}\), \(\alpha + \beta = 1\), \(\alpha\beta = 1\).
(또는 \(\alpha = \alpha + 1\) 의 다른 표기.)
\(L_a\) 의 cell \((i, j)\) 값: \(a \cdot i + j \pmod{GF(4)}\).
\(L_1, L_\alpha, L_\beta\) 가 3 MOLS:
L_1: L_α: L_β:
0 1 α β 0 1 α β 0 1 α β
1 0 β α α β 0 1 β α 1 0
α β 0 1 β α 1 0 1 0 β α
β α 1 0 1 0 β α α β 0 1직교 검증: 각 cell 에서 \((L_1, L_\alpha, L_\beta)\) triple 이 unique.
2 Direct Product Construction
\(n_1\) 차원 \(m_1\) MOLS 가 존재하고 \(n_2\) 차원 \(m_2\) MOLS 가 존재하면, \(n_1 n_2\) 차원에 \(\min(m_1, m_2)\) MOLS 가 존재.
\(n = n_1 \times n_2\) 일 때, \(n_1\) 차원과 \(n_2\) 차원 MOLS 의 직접 곱으로 \(n\) 차원 MOLS 구성.
2.1 \(n = 12 = 3 \times 4\) 사례
- \(GF(3)\): 2 MOLS.
- \(GF(4)\): 3 MOLS.
- 직접 곱: \(\min(2, 3) = 2\) MOLS at \(n = 12\).
이는 \(n = 12\) 의 가능한 MOLS 수의 일부.
3 \(n = 12\) 의 더 많은 MOLS
알려진 결과: \(n = 12\) 에 5 MOLS. 이론적 최대 11 MOLS 의 도달 미해결.
추가 MOLS 는 다른 구성 방법 (Williamson, Bose-Bush 등) 으로.
4 \(n = 8\) 의 7 MOLS — \(GF(8)\)
\(n = 8 = 2^3\). \(GF(8)\) 기반 구성:
\(GF(8) = \{0, 1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3 = \alpha + 1, \alpha^4 = \alpha^2 + \alpha, \alpha^5 = \alpha^2 + \alpha + 1, \alpha^6 = \alpha^2 + 1\}\).
7 MOLS = \(L_1, L_\alpha, L_{\alpha^2}, \ldots, L_{\alpha^6}\).
8×8 격자에 8 처치를 7 차원으로 직교 배정. 매우 효율적.
5 응용 — Graeco-Latin Square Design
\(n = 4\) 의 Graeco-Latin Square (3 MOLS 활용):
Col1 Col2 Col3 Col4
Row1: Aαa Bβb Cγc Dδd
Row2: Bγd Aδc Db Cαa
...각 row, column, Latin (A-D), Greek (α-δ), Hebrew (a-d) 가 직교 통제.
4 차원의 직교 처치 (총 4×4 = 16 처치 조합) 를 16 cells 에 배치.
6 \(n = 6\) 의 한계
\(n = 6\) 은 prime power 가 아니고 직접 곱이 부적합 (\(6 = 2 \times 3\), 둘 다 작은 prime). 따라서 1 MOLS 만 가능.
이는 G-MON6-3 의 Euler’s conjecture 의 핵심.
7 Python 코드
import numpy as np
# n = 4 의 3 MOLS via GF(4) (단순화: GF(4) 산술 emulation)
# GF(4) = {0, 1, 2, 3} (2=α, 3=α+1)
add_gf4 = np.array([
[0, 1, 2, 3],
[1, 0, 3, 2],
[2, 3, 0, 1],
[3, 2, 1, 0],
])
mul_gf4 = np.array([
[0, 0, 0, 0],
[0, 1, 2, 3],
[0, 2, 3, 1],
[0, 3, 1, 2],
])
def make_latin(a):
n = 4
L = np.zeros((n, n), dtype=int)
for i in range(n):
for j in range(n):
L[i, j] = add_gf4[mul_gf4[a, i], j]
return L
L1 = make_latin(1)
L2 = make_latin(2)
L3 = make_latin(3)
print("L1:"); print(L1)
print("L2:"); print(L2)
print("L3:"); print(L3)
# 직교 검증: 임의의 두 squares 의 cell 쌍이 unique
def check_orthogonal(L1, L2):
pairs = set()
for i in range(L1.shape[0]):
for j in range(L1.shape[1]):
pairs.add((L1[i, j], L2[i, j]))
return len(pairs) == L1.size
print(f"\nL1 ⊥ L2: {check_orthogonal(L1, L2)}")
print(f"L1 ⊥ L3: {check_orthogonal(L1, L3)}")
print(f"L2 ⊥ L3: {check_orthogonal(L2, L3)}")
# Direct product: n = 12 의 MOLS via GF(3) ⊗ GF(4)
# (간략 — GF(3) 의 2 MOLS × GF(4) 의 3 MOLS → 2 MOLS at n=12)8 가정과 한계
- \(n\) prime power 에서 직접 구성: \(GF(n)\) 활용.
- 합성수에서 trial-and-error: \(n = 12\) 에 직접 곱 + 추가 검색.
- \(n = 6, 10, 14\) 의 어려움: G-MON6-3.
- 컴퓨터 보조: 큰 \(n\) 에 표준.
9 Sloane 의 MOLS 라이브러리
N. J. A. Sloane 이 운영하는 online library 에 모든 알려진 MOLS:
- http://neilsloane.com/oadir/
각 \(n\) 의 알려진 최대 MOLS 수 + 명시적 구성.
10 응용
10.1 1. 임상 — 다요인 직교 통제
\(n = 4\) 의 3 MOLS 로 4 차원 처치 직교 배정. 16 환자 가능.
10.2 2. 농학 — 다공장 설계
\(n = 8\) 의 7 MOLS 로 8 차원 처치 직교 배정. 매우 효율.
10.3 3. 통신 — 코드 이론
MOLS 는 error-correcting code 의 기반. Reed-Solomon, BCH code.
10.4 4. 양자 정보
\(n = 6\) 의 quantum analogue (2022 년) 가 풀림. 양자 entanglement 와 MOLS 연결.
11 ML 매핑
ML 모델 평가에서:
n = 4: 4 datasets, 4 hyperparameter levels.
3 MOLS: 4 hyperparameter (each 4 levels).16 cells 로 4 hyperparameter × 4 levels 의 직교 평가. random sampling 보다 systematic.
이는 ML 의 정통 DOE 응용.
12 본 시리즈
G-MON6-0 개관
G-MON6-1 Maximum Number
G-MON6-2 Construction ← 현재 글
G-MON6-3 Euler's Conjecture13 관련 주제
선행 지식
후속 주제
14 더 읽을 거리
- Bose, R. C. (1938). “On the application of the properties of Galois fields.” Sankhyā 3: 323-338.
- Sloane, N. J. A. (online). “A Library of Mutually Orthogonal Latin Squares.” http://neilsloane.com/oadir/
- Stinson, D. R. (2003). “Combinatorial Designs.” Springer.
- Hedayat, A., Sloane, N. J. A., Stufken, J. (1999). “Orthogonal Arrays.” Springer.
- Beth, T., Jungnickel, D., Lenz, H. (1999). “Design Theory” (2 vols). Cambridge.