Kwangmin Kim - Klein § 7.9 — Ch.7 Exercises 15 문제 풀이

1 들어가며 — Ch.7 시리즈의 마무리

편	주제
Ch.7 Overview	9 절 조망
§ 7.1~7.2	One-Sample
§ 7.3~7.4	K-Sample + Trend
§ 7.5~7.6	Stratified + Matched + Renyi
§ 7.9 (본 편)	15 Exercises 풀이 + Ch.7 마무리

§ 7.9 의 한 줄 요약

“Ch.7 의 15 exercises 는 § 7.1~7.8 의 모든 도구를 다양한 데이터에 통합 적용 — one-sample 2 (Ex 7.1·7.2) + K-sample 4 (Ex 7.3~7.6) + trend 1 (Ex 7.7) + stratified+multiple 4 (Ex 7.8~7.11) + alternative tests 3 (Ex 7.12·7.13·7.14) + fixed-time 1 (Ex 7.15). 각 문제의 핵심: (a) 적절한 검정 선택 → (b) weight 결정 → (c) 식 적용 (식 7.2.4, 7.3.6, 7.4.2, 7.5.4, 7.5.7, 7.6.3, 7.7.x) → (d) 임상 해석. Ch.7 시리즈 마무리 + Ch.8 (Cox PH) 으로의 자연 연결.”

2 15 문제 분류표

Ex	데이터	도구	절
7.1	Rheumatoid arthritis 40명 vs 1989 US mortality	One-sample log-rank	7.2
7.2	Autologous BMT vs Exp λ=0.045 (단측)	One-sample 단측 + early weight	7.2
7.3	Burn 2 군 (chlorhexidine vs routine)	Log-rank·Gehan·Tarone-Ware	7.3
7.4	Tongue ploidy 2 군 (early difference)	Log-rank + Gehan	7.3
7.5	Larynx 4 stage K=4	Log-rank omnibus	7.3
7.6	HIV triple drug 2 군	Log-rank	7.3
7.7	BNCT rats 3 군 (ordered)	Pairwise + Trend test	7.3·7.4
7.8	BMT aGVHD 3 군 + left truncation	Stratified	7.5
7.9	Kidney transplant race × sex 4 군	Global + stratified	7.5
7.10	Larynx pairwise + Bonferroni	Multiple comparison	7.3
7.11	Larynx pre/post-1975	Stratified	7.5
7.12	Ex 3·4 의 Renyi	Renyi (log-rank/Gehan)	7.6
7.13	Breast cancer 4 검정	Log-rank + Renyi + CvM + W_KM	7.6·7.7
7.14	Ex 7.7 BNCT 의 alternatives	Renyi + CvM + W_KM	7.6·7.7
7.15	BMT 3 군 1 년 시점	Fixed-time + Bonferroni	7.8

3 Group A — One-Sample Tests (§ 7.2)

3.1 Ex 7.1 — Rheumatoid Arthritis 40명

데이터

40 명 rheumatoid arthritis 환자 (1~18 년 추적):

9 deaths: female (66, 74), (60, 76), … + male (50, 59), (60, 66), …
31 survivors: $L_j$ + $T_j$ pair.

참조: 1989 US all-cause mortality (Klein Table 2.1, sex-specific).

풀이 패턴 — 식 7.2.4 직접 적용

Step 1: 각 환자 $j$ 의 sex 별 $H_0(L_j)$ + $H_0(T_j)$ — 1989 US life table.

Step 2: 차이 $H_0(T_j) - H_0(L_j)$ 합산 → $E$.

Step 3: $O = 9$.

Step 4: $\chi^2 = (O - E)^2 / E$.

예상 결과:

Rheumatoid arthritis 의 SMR 약 2~3 (전형적 임상 결과).
$E \approx 3 \sim 5$ → $O - E \approx 5 \sim 6$ → $\chi^2 \approx 6 \sim 9$ → $p < 0.01$.

→ Rheumatoid arthritis 환자의 사망률 일반인 대비 유의 증가.

§ 7.1~7.2 deep-dive 의 Iowa psychiatric (β≈25) 보다 약한 효과지만 동일 framework.

3.2 Ex 7.2 — Autologous BMT vs Exp λ=0.045

데이터

Klein § 1.4 Table 1.4 의 autologous BMT (Klein Ex 6.5 의 reference).

참조: $h_0(t) = 0.045$ (constant Exponential).

가설:

$H_0$: $h(t) = 0.045$.
$H_A$: $h(t) > 0.045$ (autologous 가 chemo 보다 위험 큼) — 단측.

풀이 패턴 — Constant hazard 의 단순화

식 7.2.4 with $h_0 = 0.045$ 일정:

\[ H_0(t) = 0.045 t \]

\[ E = \sum_j [H_0(T_j) - H_0(L_j)] = 0.045 \cdot \sum_j (T_j - L_j) = 0.045 \cdot (\text{total person-time}) \]

→ $E$ 가 person-time 의 단순 함수.

단측 검정: $Z = (O - E)/\sqrt{E}$, $p = P(Z > Z_{\text{obs}})$.

Early weight (FH $p=1, q=0$):

\[ W(t) = Y(t) S_0(t) = Y(t) e^{-0.045 t} \]

→ 초기 ($t$ 작을 때 $S_0$ 크고 $Y$ 큼) 강조.

예상 결과: BMT 의 초기 사망률이 chemotherapy 보다 높으면 early weight 가 검정력 강함.

4 Group B — K-Sample Tests (§ 7.3)

4.1 Ex 7.3 — Burn 2 군 (3 Weight)

데이터 (Klein § 1.6)

154 명 burn unit 환자: chlorhexidine 84 + routine bathing 70.

문제:

1. Log-rank ($W=1$).
1. Gehan ($W=Y_i$).
1. Tarone-Ware ($W=\sqrt{Y_i}$).

양측 0.05.

풀이 패턴

식 7.3.7 (두 군) 적용 with 3 weight.

예상 결과:

Chlorhexidine 군이 infection 늦음 (실험 가설).
세 weight 모두 유의 (PH 가까움 시 일관) 또는 차이 (PH 위반 시 weight 별 다른 결론).

→ 세 weight 결과 일관성 점검. 일관 → robust 결론. 다르면 → PH 위반 의심.

4.2 Ex 7.4 — Tongue Ploidy 2 군 (Early Difference)

데이터 (Klein § 1.11)

80 명 tongue cancer: aneuploid 52 + diploid 28.

문제:

1. Log-rank.
1. 초기 차이 강조 — Gehan ($W=Y_i$) 또는 FH $p=1, q=0$.

풀이 패턴

표준 log-rank.
초기 가중:

Gehan: 큰 위험집합 (초기) 가중.
FH $p=1, q=0$: $W = \widehat{S}(t_{i-1})$ — 큰 $S$ (초기) 가중.

임상 의도: aneuploid 의 초기 hazard 가 diploid 보다 큰 가설 (DNA ploidy 가 종양 공격성 지표) → 초기 차이 강조 검정력 강함.

예상 결과: 두 weight 모두 유의 (또는 다른 결론 가능). FH 가 log-rank 보다 더 작은 $p$ 면 초기 차이 검출.

4.3 Ex 7.5·7.6 — Larynx 4 stage + HIV 2 그룹

Ex 7.5 — Larynx 4 stage Log-rank (omnibus)

§ 7.3·7.4 deep-dive 의 Klein Example 7.6 와 동일.

식 7.3.6 의 K=4 χ² with 3 df.
Trend test 와 비교: trend Z=3.72 (방향성), omnibus χ² ≈ 14 (방향성 무시).

→ Trend 가 더 강력 (ordered alternative 활용).

Ex 7.6 — HIV Triple Drug

AZT+ddC (n=17) vs AZT+ddC+saquinavir (n=17). 시간 = CD4 count 회복.

Log-rank 식 7.3.7 적용. 둘 다 작은 표본 — 검정력 약하지만 큰 효과면 검출 가능.

임상 함의: triple drug 가 효과 있으면 작은 sample 에도 검출. 효과 없거나 약하면 비유의.

5 Group C — Trend Test (§ 7.4)

5.1 Ex 7.7 — BNCT 3 군 (Ordered)

데이터

F98 glioma rats 30 마리:

Untreated 10.
Radiated 10.
Radiated + BPA 10.

Hazard 순서 가설 (a priori):

\[ h_{\text{untreated}} > h_{\text{radiated}} > h_{\text{radiated+BPA}} \]

(즉 hazard 가 감소하는 ordered alternative).

풀이 패턴 — 3 단계

(a) 3 군 KM plot + 시각적 비교:

Untreated: 가장 빨리 사망 (median ~25 일).
Radiated: 약간 개선 (~30 일).
Radiated+BPA: 가장 좋음 (~36 일).

(b) 3 pairwise log-rank:

Untreated vs Radiated.
Radiated vs Radiated+BPA.
Untreated vs Radiated+BPA.

→ 다중 검정 → Bonferroni $\alpha/3 = 0.0167$ 권장.

(c) Trend test (식 7.4.2):

점수 $a_j = 1, 2, 3$ (또는 hazard 감소 가정 시 $-1, -2, -3$ 으로 부호).

식 7.4.2 적용 → 단일 z-test.

예상 결과:

Trend test: $|Z| > 3$ 가능 (강한 ordered effect).
Pairwise: 인접 군은 약함, 양 끝 (untreated vs BPA) 강함.

→ Trend test 가 ordered 가정 활용으로 가장 강력.

6 Group D — Stratified + Multiple Comparison (§ 7.5)

6.1 Ex 7.8 — BMT aGVHD (Left Truncation)

데이터 (Klein § 1.3)

137 명 BMT (3 군: ALL + AML low + AML high).

3 단계 검정:

1. aGVHD 발생률 3 군 검정 (acute graft-versus-host).
1. Relapse 3 군 검정.
1. aGVHD 후 relapse 3 군 검정 — left truncation at aGVHD time.

임상 가설: aGVHD 가 graft-vs-leukemia (antileukemic) effect → aGVHD 발생자가 relapse 적음.

풀이 패턴

표준 식 7.3.6 — aGVHD 시점이 사건.
표준 — relapse 시점이 사건.
Left-truncation 처리:

표본: aGVHD 발생한 환자만.
Entry time $L_j = $ aGVHD time.
Event time $T_j = $ relapse time (또는 censored).
식 7.3.3 의 $Y_{ij}$: $L_j < t \leq T_j$ 인 개체.

→ § 4.6 의 좌절단 framework 그대로 적용.

예상 결과:

1. aGVHD 발생률 일정 (3 군 차이 약함).
1. Relapse 3 군 차이 큼 (low risk 좋음).
1. aGVHD 발생자 한정 시 relapse 차이 약함 (graft-vs-leukemia 가 평탄화).

→ aGVHD 의 antileukemic effect 가 통계적 검정.

6.2 Ex 7.9 — Kidney Transplant 4 군

데이터 (Klein § 1.7)

863 명 kidney transplant: Black female, Black male, White female, White male (4 군 = race × sex).

문제:

1. 4 군 global 검정.
1. Sex 별 race 검정 (Black female vs White female, Black male vs White male).
1. Stratified by sex — race 차이 (Black vs White, sex 보정).

풀이 패턴

식 7.3.6 K=4 omnibus.
두 개 별도 두 군 검정 (식 7.3.7).
Stratified by sex (식 7.5.4):

Strata 1: female (Black vs White).
Strata 2: male (Black vs White).
$Z_{\text{strat}} = (Z_{1F} + Z_{1M})/\sqrt{\sigma_{11F} + \sigma_{11M}}$.

기대 결과:

Black 이 White 보다 mortality 높을 가능성 (역사적 disparity).
Stratified 가 sex 보정으로 race effect 정량화.

→ Public health 의 race-specific intervention 의 통계적 근거.

6.3 Ex 7.10 — Larynx Pairwise + Bonferroni

문제

Klein Example 7.6 (larynx 4 stage) 의 인접 pairwise:

Stage 1 vs Stage 2.
Stage 2 vs Stage 3.
Stage 3 vs Stage 4.

다중 검정 보정: Bonferroni → 각 검정 α/3 = 0.0167.

Klein 의 단축 형태:

\[ \frac{Z_j(\tau) - Z_{j+1}(\tau)}{\sqrt{\widehat{\sigma}_{jj} + \widehat{\sigma}_{j+1,j+1} - 2 \widehat{\sigma}_{j,j+1}}} \]

→ Full $Z(\tau)$ 벡터 + 공분산 행렬 활용 (다시 계산 불필요).

풀이 패턴

Klein Example 7.6 의 결과:

\[ Z(10.7) = (-7.566, -3.012, 2.916, 7.662) \]

\[ \widehat{\Sigma} = \begin{pmatrix} 12.07 & -4.45 & -6.25 & -1.38 \\ -4.45 & 7.87 & -2.76 & -0.66 \\ -6.25 & -2.76 & 9.93 & -0.92 \\ -1.38 & -0.66 & -0.92 & 2.96 \end{pmatrix} \]

Pair 1 vs 2:

\[ Z_1 - Z_2 = -7.566 - (-3.012) = -4.554 \]

분산 = $12.07 + 7.87 - 2 \cdot (-4.45) = 28.84$ → $\sqrt{} = 5.37$.

$Z_{12} = -4.554/5.37 = -0.85$ → $|Z| < 1.96$ → 비유의.

Pair 2 vs 3:

$Z_2 - Z_3 = -3.012 - 2.916 = -5.928$. 분산 = $7.87 + 9.93 - 2 \cdot (-2.76) = 23.32$ → $\sqrt{} = 4.83$. $Z_{23} = -5.928/4.83 = -1.23$ → 비유의.

Pair 3 vs 4:

$Z_3 - Z_4 = 2.916 - 7.662 = -4.746$. 분산 = $9.93 + 2.96 - 2 \cdot (-0.92) = 14.73$ → $\sqrt{} = 3.84$. $Z_{34} = -4.746/3.84 = -1.24$ → 비유의.

Bonferroni 임계값: $|Z| > Z_{0.0167/2} \approx 2.39$ → 3 인접 pair 모두 비유의.

→ 인접 stage 차이는 약함. 그러나 trend test 는 강력 ($Z = 3.72$, Klein Example 7.6) — ordered alternative 가 인접 pair 의 신호를 누적해 검출.

6.4 Ex 7.11 — Larynx Pre/Post-1975 Stratification

문제

Larynx cancer 데이터 (1970~1978) 의 시간 trend confounding 보정:

Strata: pre-1975 vs post-1975 (치료법 변화 가능).
4 stage 차이 + sex 보정.

풀이 패턴

식 7.5.3 (K-sample stratified):

Pre-1975 strata: $Z_{js, \text{pre}}$ 와 $\widehat{\Sigma}_{\text{pre}}$.
Post-1975 strata: $Z_{js, \text{post}}$ 와 $\widehat{\Sigma}_{\text{post}}$.
Pooling: $Z_{j \cdot} = Z_{j, \text{pre}} + Z_{j, \text{post}}$, $\widehat{\Sigma}_\cdot = \widehat{\Sigma}_{\text{pre}} + \widehat{\Sigma}_{\text{post}}$.
χ² with K-1 df.

별도 strata 검정: 각 strata 별 K=4 χ² 도 보고.

기대 결과: 전체 trend 와 stratified 가 일관 → 시간 confounding 무시 가능. 차이 크면 → 시간 trend 의 영향.

7 Group E — Alternative Tests (§ 7.6·7.7)

7.1 Ex 7.12 — Renyi Versions

풀이 패턴

Ex 7.3 burn 2 군의 Renyi log-rank (식 7.6.3):

$W = 1$ 의 sequential 누적 $Z(t_i)$.
$\sup |Z(t)|/\sigma(\tau)$.
Brownian motion sup 분포 (Klein Appendix C.5).

Ex 7.4 tongue ploidy 의 Renyi Gehan:

$W = Y_i$ 의 sequential 누적.
동일 procedure.

비교 — log-rank vs Renyi:

PH 가까움 + 약한 censoring: 거의 동일.
PH 위반 (crossing): Renyi 강력.
Heavy censoring: Renyi advantage 약함.

→ 두 결과 모두 보고 → robust 결론.

7.2 Ex 7.13 — Breast Cancer 4 검정

데이터 (Klein § 1.5 Table 1.3)

Breast cancer 의 lymph node 분류:

SLM (standard light microscopy) negative.
IH (immunohistochemistry) negative.

가설: IH 가 micrometastasis 검출 → IH negative 가 진정한 negative → 더 좋은 생존.

4 검정:

1. Log-rank.
1. Renyi log-rank.
1. Cramer-von Mises Q1, Q2.
1. Pepe-Fleming W_KM.

풀이 패턴

작은 표본 (n = 9 IH+ + 36 IH-) — 다양 검정의 결과 비교가 의미.

Log-rank: PH 가정 시 최적.
Renyi: crossing hazards 시 강력.
CvM Q1: PH 가까움 시 효율적.
CvM Q2: crossing 시 강력.
W_KM: censoring 패턴 다른 두 군 시 robust.

일관 결론: 모두 유의 또는 비유의 → robust.

비일관: 각 검정의 가정 점검 필요.

7.3 Ex 7.14 — BNCT Renyi/CvM/W_KM

풀이 패턴

Ex 7.7 BNCT 3 군 → 두 군씩 6 pair 또는 K=3 omnibus.

1. Renyi log-rank.
1. CvM.
1. W_KM.

기대: PH 가깝고 monotone effect → log-rank·Renyi·CvM 모두 유의 (BPA 우월).

비교: trend test (Ex 7.7c) 와 alternative 검정 일관성.

8 Group F — Fixed-Time Test (§ 7.8)

8.1 Ex 7.15 — BMT 1 년 시점

문제

Klein § 1.3 BMT 3 군의 1 년 시점 $S_j(365)$ 비교.

1. Overall 3 군 비교.
1. Bonferroni 3 pairwise.

풀이 패턴 — 식 7.8.1

각 군의 $\widehat{S}_j(365)$ + Greenwood 분산:

ALL: $\widehat{S}(365) = 0.55$ (Klein Example 4.2).
AML low: $\widehat{S}(365) = 0.78$.
AML high: $\widehat{S}(365) = 0.38$.

(a) Overall — wald 형 χ²:

\[ \chi^2 = \sum_j \left(\frac{\widehat{S}_j(365) - \bar{S}}{\sqrt{V[\widehat{S}_j]}}\right)^2 \sim \chi^2_{K-1} \]

(또는 다른 fixed-time formulation).

(b) Pairwise:

ALL vs AML low: $Z = (0.55 - 0.78)/\sqrt{V_{ALL} + V_{low}}$.
ALL vs AML high: $Z = (0.55 - 0.38)/\sqrt{V_{ALL} + V_{high}}$.
AML low vs high: $Z = (0.78 - 0.38)/\sqrt{V_{low} + V_{high}}$.

Bonferroni: $\alpha/3 = 0.0167$, $|Z| > 2.39$ 기각.

기대:

AML low vs high: 매우 큰 차이 → 유의.
AML low vs ALL: 중간 차이 → 가능성 있음.
ALL vs AML high: 작은 차이 → 비유의 가능.

→ 임상 위험 layer 분류 의 통계적 근거.

9 Ch.7 시리즈 통합 7 가지 교훈

Ch.7 핵심 교훈

NA framework 의 통일 — § 7.1~7.8 모든 검정이 “관측 - 기대” 가중 합. § 7.2 one-sample → § 7.3 K-sample → § 7.4 trend → § 7.5 stratified·matched → § 7.6 Renyi → § 7.7 alternative → § 7.8 fixed-time. 동일 출발점.
6 weight 가족 (§ 7.3) — log-rank·Gehan·Tarone-Ware·Peto-Peto·Andersen·Fleming-Harrington. PH 가정 + 시점 강조 의도에 따라 선택.
Crossing hazards 의 cancel-out 함정 — Klein Example 7.2 dialysis log-rank 비유의 vs FH p=0,q=1 매우 유의. Klein 7.5 BMT auto/allo. Klein 7.9 GITSG. PH 위반 의심 시 다양 검정 + Renyi/CvM 권장.
Trend test (§ 7.4) — Ordered alternative 시 단일 z-test 로 강력 (Klein 7.6 larynx Z=3.72). Pairwise (Ex 7.10 인접 비유의) 와 비교 시 검정력 강함.
Stratified (§ 7.5) — Covariate 보정. 동일 방향 시 강력, reversed effect 시 cancel out (Klein 7.7 BMT). 별도 strata 보고 권장.
Matched pairs (§ 7.5 식 7.5.7) — Censored sign test ($Z = (D_1-D_2)/\sqrt{D_1+D_2}$). 6-MP Klein 7.8: $Z=3.27, p=0.001$. 작은 표본 + 강한 검정력.
Multiple comparison + Bonferroni (Ex 7.10·7.15) — K 개 pairwise 시 $\alpha/K$ 임계값. Family-wise error rate 보정. 작은 표본 시 매우 보수적 — alternative: Holm, BH.

10 Ch.8 예고 — Cox Proportional Hazards Model

직관 — Ch.7 (검정) 에서 Ch.8 (회귀) 로

Ch.7 의 한계:

군 간 검정만 — “유의 차이 있다” 답하지만 효과 크기 모름.
Continuous covariate 처리 안 됨 (예: 연속 연령).
다중 covariate (sex + age + treatment) 조합 어려움.

Ch.8 의 Cox PH:

\[ h(t \mid Z) = h_0(t) \exp(\beta^T Z) \]

$\beta$: covariate 효과 크기 (점추정 + CI).
Continuous + categorical 모두 처리.
다중 covariate 동시 모형.

Ch.7 와 Ch.8 의 자연 연결:

Cox PH 의 partial likelihood 의 score test at $\beta = 0$ = log-rank 검정 (Ch.7 § 7.3).
즉 Ch.7 의 log-rank 가 Cox PH 의 특수 경우.

Ch.8 의 5 절:

절	주제
8.1	Introduction + 식 8.1.1·2·3
8.2	Coding covariates
8.3	Partial likelihood (구별 사건시간)
8.4	Tied event times (Breslow·Efron·Exact)
8.5	Local tests (LR · Wald · Score)
8.6	Discretizing continuous
8.7	Model building
8.8	Survival function estimation

→ Ch.7 의 검정 framework 가 Ch.8 의 회귀의 기반. 자연스러운 확장.

11 응용 분야 (Ch.7 통합)

분야	주요 검정	예시
임상시험 표준	Log-rank	Phase III
면역치료 (delayed)	FH p<q	Pembrolizumab
만성 질환 cohort	Log-rank + stratified	Framingham
인구통계 standardized	One-sample log-rank	SMR
Matched cohort	식 7.5.7 sign	Twin study
Multi-center	Stratified by center	Phase III multi-site
Crossing hazards	Renyi / CvM / W_KM	BMT auto vs allo
Multiple comparisons	Bonferroni · Holm · BH	다군 약물 비교
Single time-point	Fixed-time	1·5 년 OS 보고

12 코드 예시

12.1 Ex 7.7 — Trend Test (R `coin`)

library(coin)
library(survival)

# F98 glioma rats 30 마리
times <- c(20, 21, 23, 24, 24, 26, 26, 27, 28, 30,        # untreated
           26, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 35,        # radiated
           31, 32, 34, 35, 36, 38, 38, 39, 42, 42)         # radiated+BPA
events <- c(rep(1, 9), 1,                                   # untreated 10 사건
            rep(1, 9), 0,                                   # radiated 9 사건 + 1 censored
            rep(1, 8), 0, 0)                                # BPA 8 사건 + 2 censored
group <- factor(c(rep(1, 10), rep(2, 10), rep(3, 10)),
                 levels = c(1, 2, 3),
                 labels = c("Untreated", "Radiated", "BPA"),
                 ordered = TRUE)

# Trend test (Jonckheere-Terpstra censored 일반화)
result <- logrank_trend_test(Surv(times, events) ~ group,
                              data = data.frame(times, events, group),
                              scores = list(group = c(1, 2, 3)))
print(result)
# 강력한 유의 결과 예상

12.2 Ex 7.10 — Pairwise + Bonferroni (R)

library(survival)

# Klein Example 7.6 — larynx pairwise
# (실제 데이터 로드)
larynx <- read.csv("larynx_data.csv")  # 가상

# 인접 pairwise
for (i in 1:3) {
  sub <- subset(larynx, stage %in% c(i, i+1))
  fit <- survdiff(Surv(time, event) ~ stage, data = sub)
  p <- 1 - pchisq(fit$chisq, df = 1)
  cat(sprintf("Stage %d vs %d: chi² = %.2f, p = %.4f, Bonferroni = %.4f\n",
              i, i+1, fit$chisq, p, p * 3))
}

12.3 Ex 7.13 — 4 검정 비교 (Python lifelines + 직접)

from lifelines.statistics import logrank_test
import numpy as np

# Breast cancer SLM vs IH (Klein § 1.5)
times_slm = np.array([...])
events_slm = np.array([...])
times_ih = np.array([...])
events_ih = np.array([...])

# (a) Log-rank
result_lr = logrank_test(times_slm, times_ih,
                          events_slm, events_ih)
print(f"Log-rank: chi² = {result_lr.test_statistic:.2f}, p = {result_lr.p_value:.4f}")

# (b) Renyi — 직접 구현 (07-3 deep-dive 의 코드)
# (c) CvM Q1, Q2 — 직접 구현 (식 7.7.3·4)
# (d) W_KM — 직접 구현 (식 7.7.6·8)

12.4 Ex 7.15 — Fixed-Time + Bonferroni

from lifelines import KaplanMeierFitter
from scipy.stats import norm

def fixed_time_pairwise(times1, events1, times2, events2, t0, alpha=0.05/3):
    """식 7.8.1 — Fixed-time z-test with Greenwood variance"""
    kmf1 = KaplanMeierFitter().fit(times1, events1)
    kmf2 = KaplanMeierFitter().fit(times2, events2)

    S1_t0 = float(kmf1.predict(t0))
    S2_t0 = float(kmf2.predict(t0))

    # Greenwood variance 직접 계산 (lifelines 의 confidence_interval 활용 가능)
    V1 = ...  # 식 4.2.2
    V2 = ...

    Z = (S1_t0 - S2_t0) / np.sqrt(V1 + V2)
    p = 2 * (1 - norm.cdf(abs(Z)))
    significant = p < alpha
    return Z, p, significant

# BMT 3 군 1 년 시점
# ALL vs AML low, ALL vs AML high, AML low vs AML high

13 관련 주제

선행 지식

후속 주제

Ch.8 — Cox Proportional Hazards Model (score test = log-rank)
Ch.9 — Cox Refinements (time-varying coefficients · stratified Cox · multistate)
Ch.10 — Aalen Additive (additive 회귀)

관련 개념

Bonferroni vs Holm vs BH multiple comparison
Family-wise error rate vs FDR
Pitman efficiency 비교 (Schumacher 1984)
Cox PH 의 score test = log-rank — Ch.8 의 핵심 연결

1 들어가며 — Ch.7 시리즈의 마무리

2 15 문제 분류표

3 Group A — One-Sample Tests (§ 7.2)

3.1 Ex 7.1 — Rheumatoid Arthritis 40명

3.2 Ex 7.2 — Autologous BMT vs Exp λ=0.045

4 Group B — K-Sample Tests (§ 7.3)

4.1 Ex 7.3 — Burn 2 군 (3 Weight)

4.2 Ex 7.4 — Tongue Ploidy 2 군 (Early Difference)

4.3 Ex 7.5·7.6 — Larynx 4 stage + HIV 2 그룹

5 Group C — Trend Test (§ 7.4)

5.1 Ex 7.7 — BNCT 3 군 (Ordered)

6 Group D — Stratified + Multiple Comparison (§ 7.5)

6.1 Ex 7.8 — BMT aGVHD (Left Truncation)

6.2 Ex 7.9 — Kidney Transplant 4 군

6.3 Ex 7.10 — Larynx Pairwise + Bonferroni

6.4 Ex 7.11 — Larynx Pre/Post-1975 Stratification

7 Group E — Alternative Tests (§ 7.6·7.7)

7.1 Ex 7.12 — Renyi Versions

7.2 Ex 7.13 — Breast Cancer 4 검정

7.3 Ex 7.14 — BNCT Renyi/CvM/W_KM

8 Group F — Fixed-Time Test (§ 7.8)

8.1 Ex 7.15 — BMT 1 년 시점

9 Ch.7 시리즈 통합 7 가지 교훈

10 Ch.8 예고 — Cox Proportional Hazards Model

11 응용 분야 (Ch.7 통합)

12 코드 예시

12.1 Ex 7.7 — Trend Test (R coin)

12.2 Ex 7.10 — Pairwise + Bonferroni (R)

12.3 Ex 7.13 — 4 검정 비교 (Python lifelines + 직접)

12.4 Ex 7.15 — Fixed-Time + Bonferroni

13 관련 주제

12.1 Ex 7.7 — Trend Test (R `coin`)