1 Intra-Block Analysis
같은 블록 내 처치 차이만으로 처치 효과 추정. 블록 효과는 nuisance 로 제거.
처치 추정량 (\(v, b, r, k, \lambda\) BIB):
\[ \hat\tau_j = \frac{k Q_j}{\lambda v} \]
여기서 \(Q_j\) = 처치 \(j\) 의 “intra-block 합” (각 블록의 처치 \(j\) 응답 - 그 블록 평균 합).
1.1 \(Q_j\) 계산
\[ Q_j = T_j - \frac{1}{k} \sum_{i: j \in B_i} B_i \]
\(T_j\) = 처치 \(j\) 의 합 (모든 블록 across). \(B_i\) = 블록 \(i\) 의 합.
블록 효과를 차감 후의 처치 정보.
2 ANOVA 표
| Source | \(SS\) | \(df\) |
|---|---|---|
| Block (unadjusted) | \(\sum_i (T_i - \bar Y) k\) | \(b - 1\) |
| Treatment (adjusted) | \(\sum_j Q_j \hat\tau_j\) | \(v - 1\) |
| Error | \(SS_T - SS_B - SS_T^*\) | \(bk - b - v + 1\) |
| Total | \(\sum (Y - \bar Y)^2\) | \(bk - 1\) |
(Adjusted treatment SS 사용 — 블록 효과를 통제 후 처치 효과.)
처치 SS 는 두 가지로 계산 가능:
- Unadjusted: 단순 처치 평균의 분산. 블록 효과 무시.
- Adjusted: 블록 효과 통제 후. BIB 분석의 표준.
비대칭 BIB (\(\lambda\) < \(r\)) 에서 두 결과 다름. Adjusted 가 정확.
3 Inter-Block Information
각 블록의 평균은 그 블록에 들어간 처치들의 평균. BIB 에서 처치 분배가 균형이라 블록 평균 자체에 처치 효과의 추가 정보 가 있다. Intra-block 만 사용하면 이 정보를 버리는 것.
Inter-block 분석은 블록 평균을 응답으로 보고 다시 처치 효과 추정. 두 추정량을 가중 결합 (intra + inter) → 더 정밀한 추정.
4 Recovery of Inter-Block Information
가중 결합:
\[ \hat\tau_j^{\text{combined}} = w_1 \hat\tau_j^{\text{intra}} + w_2 \hat\tau_j^{\text{inter}} \]
가중치는 두 추정량의 분산의 역수: \[ w_1 = \frac{1}{\text{Var}(\hat\tau_j^{\text{intra}})}, \quad w_2 = \frac{1}{\text{Var}(\hat\tau_j^{\text{inter}})} \]
조건: 블록 효과가 random.
4.1 Intra-block 분산
\[ \text{Var}(\hat\tau_j^{\text{intra}}) = \frac{k \sigma_e^2}{\lambda v} \]
4.2 Inter-block 분산
\[ \text{Var}(\hat\tau_j^{\text{inter}}) = \frac{(\sigma_e^2 + k \sigma_b^2) (v - k)}{(r - \lambda) v} \]
(블록 random effect \(\sigma_b^2\) 포함.)
\(\sigma_b^2 \to 0\) 면 inter-block 분산이 매우 큼 → \(w_2 \to 0\) → intra-block 만 사용.
5 가설 적용
\((7, 7, 3, 3, 1)\) BIB, 7 약물 비교, 7 환자 (블록).
ANOVA:
| Source | \(SS\) | \(df\) |
|---|---|---|
| Patient (block) | 50 | 6 |
| Drug (adjusted) | 80 | 6 |
| Error | 30 | 8 |
처치 효과 매우 유의. Inter-block 결합 시 정밀도 ↑.
6 Mixed Model 의 자동 처리
7 Python 코드
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols, mixedlm
# (7, 7, 3, 3, 1) BIB
np.random.seed(2026)
blocks = [
[1, 2, 4], [2, 3, 5], [3, 4, 6], [4, 5, 7],
[5, 6, 1], [6, 7, 2], [7, 1, 3]
]
records = []
treat_eff = {1: 5, 2: 8, 3: 3, 4: 10, 5: 6, 6: 4, 7: 7}
for b_idx, block in enumerate(blocks):
block_eff = np.random.normal(0, 4)
for t in block:
y = 50 + treat_eff[t] + block_eff + np.random.normal(0, 2)
records.append({"block": b_idx, "treatment": t, "Y": y})
data = pd.DataFrame(records)
# Intra-block analysis
model_intra = ols("Y ~ C(block) + C(treatment)", data=data).fit()
print("=== Intra-block ANOVA (Type II SS) ===")
print(sm.stats.anova_lm(model_intra, typ=2).round(3))
# Mixed model — inter-block recovery 자동 처리
md = mixedlm("Y ~ C(treatment)", data=data, groups=data["block"]).fit()
print("\n=== Mixed Model (auto inter-block recovery) ===")
print(md.summary().tables[1])
# 처치 효과 추정값 비교
print("\n=== Treatment effect comparison ===")
intra_treat_ses = model_intra.params.filter(like="C(treatment)")
mixed_treat_ses = md.params.filter(like="C(treatment)")
print("Intra-block estimates:")
for k, v in intra_treat_ses.items():
print(f" {k}: {v:+.3f}")
print("\nMixed model (combined) estimates:")
for k, v in mixed_treat_ses.items():
print(f" {k}: {v:+.3f}")8 검정력 — BIB vs RBD vs CRD
같은 자원으로 BIB 와 다른 design 비교:
| Design | 사용 가능 | 자유도 | 검정력 |
|---|---|---|---|
| CRD | 모든 환자 | 큼 | 낮음 (블록 무시) |
| RBD (만약 가능) | 모든 처치 → 환자 | 중간 | 높음 |
| BIB | 일부 처치만 환자 | 적음 | 중간 |
자원 제약 때문에 BIB 가 자주 선택. RBD 가 가능하면 RBD 가 가장 효율.
9 가정과 한계
- 블록 random vs fixed: inter-block recovery 는 random 가정.
- 균형 BIB: 비균형 PBIB 는 다른 분석 (G-MON5-5).
- Mixed model 권장: 자동 결합.
- Block × Treatment interaction: 일반 BIB 는 가정 X.
10 응용
10.1 1. 임상 — Crossover
각 환자가 일부 약 (washout). BIB 로 균형 비교.
10.2 2. 농학 — 큰 plot
각 농장에 일부 품종만. resolvable BIB 로 분석.
10.3 3. 식품 평가
각 패널이 일부 레시피만 시식 (피로 방지). BIB.
10.4 4. ML 모델 비교
각 GPU batch 에 일부 모델만 평가. BIB.
11 ML 매핑
12 본 시리즈
G-MON5-0 개관
G-MON5-1 BIB 도입
G-MON5-2 BIB Construction
G-MON5-3 BIB Analysis ← 현재 글
G-MON5-4 Youden + Lattice
G-MON5-5 PBIB
G-MON5-6 Recovery + Optimality13 관련 주제
선행 지식
후속 주제
다른 카테고리 연결
14 더 읽을 거리
- Yates, F. (1936). “Incomplete randomized blocks.” Annals of Eugenics 7: 121-140 — BIB analysis 원조.
- Cochran, W. G., Cox, G. M. (1957). “Experimental Designs” (2nd ed). Wiley.
- Pearce, S. C. (1983). “The Agricultural Field Experiment.” Wiley.
- Searle, S. R., Casella, G., McCulloch, C. E. (2006). “Variance Components.” Wiley.