Partially Balanced Incomplete Block (PBIB) 와 분석

1 정의

정의: PBIB Design

처치 쌍이 association scheme 에 따라 분류되어, 같은 association 클래스의 쌍은 같은 \(\lambda_i\) 로 같은 블록에 등장.

\(m\)-class PBIB: \(m\) 개 association 클래스. \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m\).

BIB 의 일반화: \(m = 1\) 이면 BIB.

2 왜 PBIB 인가

직관: BIB 가 안 될 때

BIB 가 존재하지 않는 모수 (예: \(v = 6, k = 3\)) 에서 PBIB 가 가능. 더 유연한 설계.

또는 BIB 가 존재하지만 너무 많은 측정이 필요할 때 PBIB 가 부분적 균형으로 효율 절약.

trade-off: - BIB: 모든 쌍 정밀도 균등. - PBIB: 일부 쌍 더 정밀, 다른 쌍 덜 정밀.

연구자가 일부 비교가 더 중요하면 (예: 처치 vs control 보다 처치 끼리) PBIB 활용.

3 2-Class PBIB 예시

\(v = 6\) 처치, \(b = 6\) 블록, \(k = 3\), \(r = 3\).

처치 쌍의 association: - Class 1 (인접): \(\lambda_1 = 1\) - Class 2 (반대): \(\lambda_2 = 2\)

Block 1: {1, 2, 3}
Block 2: {4, 5, 6}
Block 3: {1, 4, 5}
Block 4: {2, 5, 6}
Block 5: {1, 2, 6}
Block 6: {3, 4, 5}

처치 쌍 등장 빈도가 \(\lambda_1 = 1\) 또는 \(\lambda_2 = 2\) 의 두 값만.

3.1 Association Scheme

처치를 vertex, association class 를 edge type 으로 한 graph:

• 그룹 A: {1, 2, 3} (한 block).
• 그룹 B: {4, 5, 6} (다른 block).

같은 그룹 내 쌍: \(\lambda_1 = 1\) (한 block 만 같이). 다른 그룹 사이 쌍: \(\lambda_2 = 2\) (두 block 같이).

4 분석

PBIB 의 처치 추정량은 각 association class 별로 다른 정밀도. 일반 행렬 inverse 로 계산:

\[ \hat{\boldsymbol{\tau}} = \mathbf{C}^{-1} \mathbf{Q} \]

\(\mathbf{C}\) = information matrix, \(\mathbf{Q}\) = adjusted treatment totals.

복잡한 행렬 계산 필요. 통계 패키지 자동 처리.

4.1 Information Matrix

\[ \mathbf{C} = r \mathbf{I} - \mathbf{N} \mathbf{N}^T / k \]

\(\mathbf{N}\) = \(v \times b\) incidence matrix (cell \((j, i)\) = 1 if 처치 \(j \in\) 블록 \(i\)).

PBIB 의 \(\mathbf{C}\) 는 association class 의 spectral structure 가짐.

5 가정과 한계

• Association scheme 의 정의: 도메인적으로 정당화.
• 추정 정밀도 비균등: 일부 처치 쌍 비교가 다른 쌍보다 정밀.
• 컴퓨터 자동: 손계산 매우 복잡.
• 일반 PBIB 분류: Triangular, Latin Square type, Cyclic 등 여러 종류.

6 PBIB 의 분류

종류	설명
Triangular	처치를 vertex 로, edge 로 association
Latin Square type	LS 의 row/column 으로 association
Cyclic	\(\mathbb{Z}_v\) 의 cyclic structure
Group divisible	처치를 group 으로, 같은 group/다른 group 로 association

각 종류가 다른 모수와 응용.

7 Python 코드

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.formula.api import mixedlm

# PBIB(6, 6, 3, 3, λ1=1, λ2=2) — 가상
np.random.seed(2026)
blocks = [
    [1, 2, 3], [4, 5, 6], [1, 4, 5],
    [2, 5, 6], [1, 2, 6], [3, 4, 5],
]

records = []
treat_eff = {i: i for i in range(1, 7)}
for b_idx, block in enumerate(blocks):
    block_eff = np.random.normal(0, 3)
    for t in block:
        y = 50 + treat_eff[t] + block_eff + np.random.normal(0, 2)
        records.append({"block": b_idx, "treatment": t, "Y": y})

data = pd.DataFrame(records)
md = mixedlm("Y ~ C(treatment)", data=data, groups=data["block"]).fit()
print("=== PBIB Mixed Model ===")
print(md.summary().tables[1])

# Association class 별 lambda 검증
from itertools import combinations
from collections import Counter
pairs = []
for block in blocks:
    for pair in combinations(block, 2):
        pairs.append(tuple(sorted(pair)))
pair_counts = Counter(pairs)
print(f"\n=== Pair counts (lambda values) ===")
for pair, count in sorted(pair_counts.items()):
    print(f"  {pair}: {count}")

8 응용

8.1 1. 농학 — Group Divisible PBIB

품종이 family 별로 grouping. 같은 family 내 비교가 더 중요 → group divisible PBIB.

8.2 2. 임상 — 약 그룹

약물이 작용 메커니즘별 grouping. 같은 메커니즘 내 비교 중요 → PBIB.

8.3 3. ML — 모델 family

같은 family 내 모델 (예: BERT 변형 vs GPT 변형) 비교 우선 → PBIB.

9 ML 매핑

매핑: ML 의 모델 family 비교

Group A: Transformer 변형 (BERT, RoBERTa, ALBERT)
Group B: CNN 변형 (ResNet, EfficientNet, MobileNet)

PBIB:
- λ_1 (within group): 같은 family 내 비교 자주 (정밀).
- λ_2 (between group): 다른 family 비교 less (덜 정밀).

연구 우선순위에 맞춘 systematic 비교.

10 본 시리즈

G-MON5-0  개관
G-MON5-1  BIB 도입
G-MON5-2  BIB Construction
G-MON5-3  BIB Analysis
G-MON5-4  Youden + Lattice
G-MON5-5  PBIB  ← 현재 글
G-MON5-6  Recovery + Optimality

11 관련 주제

선행 지식

• G-MON5-3: BIB Analysis

후속 주제

• G-MON5-6: Recovery + Optimality

12 더 읽을 거리

• Bose, R. C., Nair, K. R. (1939). “Partially balanced incomplete block designs.” Sankhyā 4: 337-372 — PBIB 원조.
• Bose, R. C., Shimamoto, T. (1952). “Classification and analysis of partially balanced incomplete block designs with two associate classes.” JASA 47: 151-184.
• Raghavarao, D. (1971). “Constructions and Combinatorial Problems in Design of Experiments.” Wiley.
• Clatworthy, W. H. (1973). “Tables of Two-Associate-Class Partially Balanced Designs.” National Bureau of Standards.