불완전 블록 설계 개관 — BIB, PBIB, Youden, Lattice

1 정의

정의: Incomplete Block Design

처치 수 \(v\) > 블록 크기 \(k\) 일 때, 각 블록에 모든 처치가 들어가지 못함. 이 경우 어떻게 처치를 블록에 배정할 것인가?

Balanced Incomplete Block (BIB): 임의의 두 처치 쌍이 같은 블록에 등장하는 횟수가 일정 (\(\lambda\)).

2 동기

큰 처치 수 (예: \(v = 10\) 종류 약물 비교) 인데 한 블록 (예: 한 환자) 에 6 개만 들어갈 수 있을 때.

완전 블록 (RBD): 한 블록에 모든 10 처치 → 불가능. 완전 무작위 (CRD): 블록 무시 → 분산 ↑ → 검정력 ↓. Incomplete Block: 각 블록에 일부 처치만, 균형 있게.

직관: Incomplete Block 의 trade-off

완전 블록 (RBD) 의 한계: - 블록 크기 제약 (예: 환자에게 6 약물만 가능). - 모든 처치를 한 블록에 못 넣음.

해결: 일부 처치만 한 블록에 넣고, 균형 있게 분배.

trade-off: - 한 블록 내 모든 비교 못 함 (일부 쌍만 같이 등장). - 모든 쌍 비교가 균형 (BIB) → 정밀도 균등.

이는 Bose 의 1939 년 idea — 자원 제약 + 균형의 통계적 통합.

3 BIB 의 5 모수

\((v, b, r, k, \lambda)\):

• \(v\): 처치 수.
• \(b\): 블록 수.
• \(r\): 각 처치가 등장하는 블록 수.
• \(k\): 각 블록의 처치 수.
• \(\lambda\): 임의의 두 처치 쌍이 같이 등장하는 블록 수.

관계:

\[ b k = v r,\quad \lambda(v - 1) = r(k - 1) \]

이 두 식이 만족되어야 BIB 존재 가능 (필요 조건).

4 BIB 의 가장 작은 사례 — \(v=4, k=2\)

\(v = 4\), \(k = 2\) → 모든 쌍이 한 번씩: \(\binom{4}{2} = 6\) 쌍. 각 쌍이 한 블록.

\((v, b, r, k, \lambda) = (4, 6, 3, 2, 1)\).

Block 1: 1, 2
Block 2: 1, 3
Block 3: 1, 4
Block 4: 2, 3
Block 5: 2, 4
Block 6: 3, 4

각 처치 3 블록에 등장 (\(r = 3\)). 각 쌍 1 번 같이 등장 (\(\lambda = 1\)).

검증: - \(bk = 6 \times 2 = 12 = vr = 4 \times 3\). ✓ - \(\lambda(v-1) = 1 \times 3 = 3 = r(k-1) = 3 \times 1\). ✓

5 Ch.5 의 7 단계

G-MON5-0  개관 (현재 글)
    │
    ▼
G-MON5-1  Varietal + IB + BIB 도입
    │
    ▼
G-MON5-2  Construction of BIB
    │
    ▼
G-MON5-3  Analysis + Inter-Block Recovery
    │
    ▼
G-MON5-4  Youden + Lattice
    │
    ▼
G-MON5-5  PBIB + Analysis
    │
    ▼
G-MON5-6  Inter-Block Recovery + Optimality

6 응용

분야	처치 (\(v\))	블록 (\(k\))
임상	약물 (8 종)	환자 (4 시점)
농학	품종 (10)	plot (5 식물)
산업	공정 (6)	machine (3)
식품	레시피 (12)	패널 (3 시식)
IT	UI 변종 (8)	사용자 세션 (2)
ML	모델 (10)	dataset 평가 시간 (4)

7 BIB 의 존재 조건

정의: Fisher’s Inequality

BIB 가 존재하려면 \(b \ge v\).

(블록 수 ≥ 처치 수.)

위 두 식 + Fisher 의 부등식이 필요 조건. 충분 조건은 더 복잡 (combinatorial).

\(v\)	\(k\)	\(\lambda = 1\) 의 \(b, r\)	존재?
4	2	\(b=6, r=3\)	✓
7	3	\(b=7, r=3\)	✓
9	3	\(b=12, r=4\)	✓
13	4	\(b=13, r=4\)	✓
16	4	\(b=20, r=5\)	✓
21	5	\(b=21, r=5\)	✓

대부분 prime power 또는 그 변형에서 존재.

8 \((7, 7, 3, 3, 1)\) BIB — Fano Plane

7 처치, 7 블록, 각 블록 3 처치, 각 쌍 1 번 같이.

이는 Fano plane (PG(2, 2)) 의 통계적 응용. 7 점, 7 선, 각 선에 3 점, 각 점 쌍이 1 선에.

Block 1: 1, 2, 3
Block 2: 1, 4, 5
Block 3: 1, 6, 7
Block 4: 2, 4, 6
Block 5: 2, 5, 7
Block 6: 3, 4, 7
Block 7: 3, 5, 6

검증: 각 처치 3 번 등장. 각 쌍 1 번. ✓

9 ANOVA 표 — BIB

Source	\(df\)
Block (unadjusted)	\(b - 1\)
Treatment (adjusted)	\(v - 1\)
Error	\(bk - b - v + 1\)
Total	\(bk - 1\)

(intra-block analysis. Inter-block recovery 는 G-MON5-3, 5-6.)

10 가정과 한계

• 균형 BIB: 처치 쌍 균형 — 정밀도 균등.
• 존재 조건: 모든 \((v, k)\) 에 BIB 존재 안 함.
• PBIB 대안 (G-MON5-5): BIB 부재 시.
• Youden, Lattice (G-MON5-4): 두 차원 변형.

11 본 시리즈

G-MON5-0  Incomplete Block 개관 (현재 글)
G-MON5-1  BIB 도입
G-MON5-2  BIB 의 구성
G-MON5-3  BIB 분석
G-MON5-4  Youden + Lattice
G-MON5-5  PBIB
G-MON5-6  Recovery + Optimality

12 관련 주제

선행 지식

• G-MON2-2: RBD + Latin Square

후속 주제

• G-MON5-1: BIB 도입
• G-MON5-3: BIB Analysis
• G-MON5-5: PBIB
• G-MON6 — Orthogonal Latin Squares
• G-MON9 — Weighing Designs (BIB 의 weighing 응용)

13 더 읽을 거리

• Bose, R. C. (1939). “On the construction of balanced incomplete block designs.” Annals of Eugenics 9: 353-399 — BIB 원조 논문.
• Fisher, R. A. (1940). “An examination of the different possible solutions of a problem in incomplete blocks.” Annals of Eugenics 10: 52-75.
• Cochran, W. G., Cox, G. M. (1957). “Experimental Designs” (2nd ed). Wiley.
• Raghavarao, D. (1971). “Constructions and Combinatorial Problems in Design of Experiments.” Wiley.
• Hedayat, A., Sloane, N. J. A., Stufken, J. (1999). “Orthogonal Arrays.” Springer.