Kwangmin Kim - BIB 도입 — Balanced Incomplete Block 의 정의와 존재 조건

1 정의 (재방문)

정의: BIB

Incomplete block design 으로: 1. 모든 처치가 같은 횟수 \(r\) 등장. 2. 임의의 두 처치 쌍이 같이 등장하는 블록 수가 일정 (\(\lambda\)). 3. 각 블록의 처치 수 \(k\) 일정.

5 모수 \((v, b, r, k, \lambda)\), 관계식: - \(bk = vr\) (총 cell 수) - \(\lambda(v-1) = r(k-1)\) (쌍 균형)

Fisher 의 부등식: \(b \ge v\).

2 존재 조건

위 두 식이 정수 해를 가져야 한다. 이는 필요 조건일 뿐, 충분 조건은 아니다.

\(v\)	\(k\)	\(\lambda = 1\) 의 \(b, r\)
4	2	\(b=6, r=3\)
7	3	\(b=7, r=3\)
9	3	\(b=12, r=4\)
13	4	\(b=13, r=4\)
16	4	\(b=20, r=5\)

대부분 finite projective plane 또는 affine plane 의 통계적 응용.

직관: Finite Projective Plane 과 BIB

PG(2, \(q\)) 의 점 = \(q^2 + q + 1\), 선 = \(q^2 + q + 1\), 각 선에 \(q + 1\) 점, 각 점 쌍이 정확히 1 선.

이는 BIB \((v=q^2+q+1, b=q^2+q+1, r=q+1, k=q+1, \lambda=1)\).

\(q = 2\): PG(2, 2) → BIB (7, 7, 3, 3, 1) — Fano plane. \(q = 3\): PG(2, 3) → BIB (13, 13, 4, 4, 1). \(q = 4\): PG(2, 4) → BIB (21, 21, 5, 5, 1).

이런 대수적 구조가 BIB 의 자연스러운 source.

3 \(v = 7, k = 3\) BIB

\((v, b, r, k, \lambda) = (7, 7, 3, 3, 1)\).

7 처치, 7 블록, 각 블록 3 처치, 각 쌍 1 번 같이.

Block 1: 1, 2, 3
Block 2: 4, 5, 1
Block 3: 6, 7, 1
Block 4: 2, 5, 7
Block 5: 4, 6, 2
Block 6: 3, 5, 6
Block 7: 7, 3, 4

검증: 각 처치 3 번 등장. 각 쌍 1 번. ✓ (다른 형태도 가능 — Fano plane 의 다양한 labeling.)

4 Resolvable BIB

정의: Resolvable BIB

BIB 의 블록을 더 큰 그룹 (replicate) 으로 묶어 각 replicate 가 모든 처치를 정확히 한 번씩 포함하는 형태.

조건: - \(b\) 가 \(r\) 의 배수. - 각 group 이 \(v / k\) blocks. - 모든 처치가 각 group 에 정확히 한 번 등장.

이는 Lattice design 의 기초 (G-MON5-4).

4.1 사례 — \((9, 12, 4, 3, 1)\) Resolvable BIB

3 replicate × 4 blocks/replicate. 각 replicate 가 9 처치를 3 blocks 에 분배.

Rep 1: {1,2,3} {4,5,6} {7,8,9}
Rep 2: {1,4,7} {2,5,8} {3,6,9}
Rep 3: {1,5,9} {2,6,7} {3,4,8}

각 처치가 각 replicate 에 정확히 한 번. 각 쌍 정확히 1 번 같이.

5 가설 적용

\(v = 7\) 약물, \(b = 7\) 환자, 각 환자 3 약물 (washout 포함). 각 약 쌍이 한 환자에서만 같이 검정.

이 design 은 임상시험 crossover 의 부분 형태.

5.1 자유도

Source	\(df\)
Block	6
Treatment	6
Error	\(21 - 6 - 6 - 1 = 8\)
Total	\(21 - 1 = 20\)

작은 자유도 (8). 검정력 약. replicate 추가 권장.

6 Resolvable 의 우위

직관: Resolvable BIB 의 가치

Resolvable BIB 는 각 replicate 가 self-contained (\(v\) 처치 모두 포함). 이의 이점:

Sequential 실험: 각 replicate 를 별도 시간에 진행 가능. 자원 분산.
Replicate 효과 분리: 각 replicate 의 random effect 추가.
Lattice design: 큰 \(v\) 에서 효율적 incomplete block.

농학에서 resolvable BIB 가 흔함 (각 replicate 가 다른 농장 또는 시점).

7 Python 코드

import numpy as np

# (7, 7, 3, 3, 1) BIB — Fano plane
fano_blocks = [
    [1, 2, 4], [2, 3, 5], [3, 4, 6], [4, 5, 7],
    [5, 6, 1], [6, 7, 2], [7, 1, 3]
]

# 검증
print("=== BIB (7, 7, 3, 3, 1) 검증 ===")

# r: 각 처치의 등장 횟수
r_check = {i: 0 for i in range(1, 8)}
for block in fano_blocks:
    for t in block:
        r_check[t] += 1
print(f"r (각 처치 등장 횟수): {r_check}")
print(f"All r = 3? {all(v == 3 for v in r_check.values())}")

# λ: 각 쌍의 같이 등장 횟수
from itertools import combinations
lambda_check = {pair: 0 for pair in combinations(range(1, 8), 2)}
for block in fano_blocks:
    for pair in combinations(block, 2):
        pair = tuple(sorted(pair))
        lambda_check[pair] += 1
print(f"\nλ (각 쌍 같이 등장 횟수): all = 1? {all(v == 1 for v in lambda_check.values())}")

# Resolvable BIB (9, 12, 4, 3, 1)
resolvable_bib = [
    [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9],     # Rep 1
    [1, 4, 7], [2, 5, 8], [3, 6, 9],     # Rep 2
    [1, 5, 9], [2, 6, 7], [3, 4, 8],     # Rep 3
    [1, 6, 8], [2, 4, 9], [3, 5, 7],     # Rep 4 (additional)
]

# 검증
print("\n=== Resolvable BIB (9, 12, 4, 3, 1) 검증 ===")
r_check = {i: 0 for i in range(1, 10)}
for block in resolvable_bib:
    for t in block:
        r_check[t] += 1
print(f"r: {r_check}")
print(f"All r = 4? {all(v == 4 for v in r_check.values())}")

8 가정과 한계

존재 조건의 필요충분 어려움: BIB 가 존재하지 않는 모수도 있음 (Fisher’s inequality: \(b \ge v\)).
블록 크기 제약: \(k\) 가 작아야 incomplete block 이득.
Confounding 명시: 블록 효과가 처치 효과의 정밀도 영향.
Resolvable 의 추가 제약: \(b\) 가 \(r\) 의 배수.

9 응용

분야	\(v\)	\(k\)	사례
임상	7 약	3 시점	crossover trial
농학	9 품종	3 plot	resolvable lattice
식품	13 레시피	4 패널	sensory testing
산업	7 공정	3 machine	quality control
ML	9 모델	3 GPU	parallel evaluation

10 ML 매핑

매핑: ML 의 large-scale model comparison

ML 에서 많은 모델 (10+) 을 적은 dataset (3~4) 에 평가:

v = 10 모델
k = 3 datasets/실험

BIB 로 균형 평가: - 각 모델이 \(r\) 번 평가. - 각 모델 쌍이 \(\lambda\) 번 같이 평가.

표준 cross-validation 의 systematic 일반화. 자원 효율 ↑.

11 본 시리즈

G-MON5-0  개관
G-MON5-1  BIB 도입  ← 현재 글
G-MON5-2  BIB Construction
G-MON5-3  BIB Analysis
G-MON5-4  Youden + Lattice
G-MON5-5  PBIB
G-MON5-6  Recovery + Optimality

12 관련 주제

선행 지식

G-MON5-0: 개관

후속 주제

13 더 읽을 거리

Bose, R. C. (1939). “On the construction of balanced incomplete block designs.” Annals of Eugenics 9: 353-399.
Fisher, R. A. (1940). “An examination of the different possible solutions of a problem in incomplete blocks.” Annals of Eugenics 10: 52-75.
Hall, M. (1967). “Combinatorial Theory” (2nd ed). Wiley.
Raghavarao, D. (1971). “Constructions and Combinatorial Problems in Design of Experiments.” Wiley.