생존 분석 개요

Survival Analysis — 사건 발생까지의 시간을 분석하는 통계적 방법론

생존 분석의 정의, 핵심 개념(생존 함수, 위험 함수, 중도절단), 다른 통계 기법과의 차이, 그리고 의학/공학/비즈니스 분야에서의 활용을 개관한다. Kleinbaum & Klein Ch.1을 기반으로 작성하였다.

Statistics
Survival Analysis
저자

Kwangmin Kim

공개

2026년 03월 20일

1 정의

정의: 생존 분석 (Survival Analysis)

생존 분석(Survival Analysis)은 관심 사건(event)이 발생하기까지의 시간을 결과 변수로 다루는 통계적 방법론의 총칭이다.

  • 결과 변수: 사건 발생까지의 시간 \(T \geq 0\) (생존 시간, survival time)
  • 사건(event): 사망, 질병 발생, 재발, 이탈, 고장 등 연구 목적에 따라 정의
  • 핵심 특징: 중도절단(censoring) 데이터를 체계적으로 처리할 수 있다

“생존”이라는 이름은 의학에서 유래했으나, 사건이 반드시 사망일 필요는 없다. “고장까지의 시간(time-to-failure)” 또는 “사건까지의 시간(time-to-event)”이라고도 부른다 (Kleinbaum & Klein, 2012, Ch.1).

2 개념 및 원리

2.1 생존 분석이 다루는 문제

일반적인 회귀 분석은 \(Y = f(X) + \epsilon\) 형태로 결과 변수를 모형화한다. 생존 분석도 결과 변수가 있다는 점에서 비슷하지만, 두 가지 근본적 차이가 있다:

  1. 결과 변수가 “시간”: 음수가 불가능하고(\(T \geq 0\)), 대부분 오른쪽으로 치우친(right-skewed) 분포를 따른다
  2. 중도절단(censoring): 모든 대상의 사건 발생 시점을 관측할 수 없다

이 두 가지 특성 때문에 일반적인 선형 회귀나 로지스틱 회귀로는 적절히 분석할 수 없으며, 생존 분석 고유의 방법론이 필요하다.

2.2 중도절단 (Censoring)

중도절단은 대상의 정확한 생존 시간을 알 수 없는 상황을 뜻한다.

추적 시작                              추적 종료
  |                                      |
  A ────────── X (사건 발생, T=5주)       |
  B ──────────────────────────────────── | (중도절단, T≥12주)
       C ─────── ↑ (자발적 탈퇴, T≥3.5주) |
            D ───────────────────────── | (중도절단, T≥8주)
         E ────────── ↑ (추적 실패, T≥6주)|
                 F ── X (사건 발생, T=3.5주)|

  X = 사건 발생,  ↑ = 중도절단 시점

중도절단이 발생하는 세 가지 이유 (Kleinbaum & Klein, 2012, Ch.1):

  1. 연구 종료: 연구 기간이 끝날 때까지 사건이 발생하지 않은 경우
  2. 추적 실패(lost to follow-up): 연락 두절, 이사 등으로 추적이 불가능한 경우
  3. 자발적 탈퇴(withdrawal): 부작용, 사망(관심 사건이 아닌 경우) 등으로 연구에서 이탈한 경우

2.2.1 중도절단의 유형

유형 정의 예시
우측 절단(Right censoring) 실제 생존 시간이 관측 시간 이상 연구 종료 시점까지 사건 미발생
좌측 절단(Left censoring) 사건이 관측 시작 이전에 이미 발생 HIV 검사 양성이지만 감염 시점 불명
구간 절단(Interval censoring) 사건 발생이 두 관측 시점 사이에 있음 정기 검진 사이에 질병 발생

대부분의 생존 분석은 우측 절단(right censoring)을 다루며, 이 시리즈에서도 우측 절단을 기본으로 한다.

2.2.2 중도절단의 가정

생존 분석이 유효하려면 중도절단에 대한 가정이 필요하다:

  • 독립 절단(independent censoring): 절단 여부가 생존 시간과 독립이다
  • 비정보적 절단(noninformative censoring): 절단된 대상의 생존 시간 분포가 절단되지 않은 대상과 동일하다
  • 무작위 절단(random censoring): 절단 시점이 무작위이다
경고

이 가정이 위반되면 추정량에 편향이 발생한다. 예를 들어, 상태가 나쁜 환자가 선택적으로 탈퇴하면(informative censoring) 생존율이 과대 추정된다.

2.3 핵심 함수: 생존 함수와 위험 함수

생존 분석의 두 핵심 함수는 생존 함수(survival function)와 위험 함수(hazard function)이다. 이 두 함수는 서로 일대일 관계에 있어, 하나를 알면 다른 하나를 유도할 수 있다.

2.3.1 생존 함수 \(S(t)\)

정의: 생존 함수 (Survival Function)

생존 함수 \(S(t)\) 는 시점 \(t\) 까지 사건이 발생하지 않을 확률이다:

\[ S(t) = P(T > t) = 1 - F(t) \]

여기서 \(F(t) = P(T \leq t)\) 는 누적 분포 함수(CDF)이다.

생존 함수의 성질:

  • \(S(0) = 1\): 시점 0에서는 모든 대상이 생존해 있다
  • \(S(\infty) = 0\): 충분히 오랜 시간이 지나면 모든 대상에게 사건이 발생한다
  • \(S(t)\) 는 단조 감소(non-increasing)한다
  • \(S(t)\) 는 계단 함수(step function)로 추정되는 것이 일반적이다 (Kaplan-Meier)

2.3.2 위험 함수 \(h(t)\)

정의: 위험 함수 (Hazard Function)

위험 함수 \(h(t)\) 는 시점 \(t\) 까지 생존한 대상이 \(t\) 직후 극히 짧은 시간 \(\Delta t\) 내에 사건을 경험할 순간적 위험률(instantaneous rate)이다:

\[ h(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P(t \leq T < t + \Delta t \mid T \geq t)}{\Delta t} \]

위험 함수의 성질:

  • \(h(t) \geq 0\) (음수 불가)
  • 확률이 아니므로 1을 초과할 수 있다 (rate이다)
  • 형태에 따라 질병/사건의 특성을 파악할 수 있다:
    • 상수: 사건 발생 위험이 시간에 무관 (지수 분포)
    • 단조 증가: 시간이 지남에 따라 위험 증가 (노화, 마모)
    • 단조 감소: 초기에 위험이 높고 점차 감소 (수술 직후 사망)
    • 욕조형(bathtub): 초기 높음 → 중간 안정 → 후기 증가 (제품 수명)

2.3.3 누적 위험 함수 \(H(t)\)

\[ H(t) = \int_0^t h(u) \, du = -\ln S(t) \]

누적 위험 함수는 시점 \(t\) 까지 축적된 총 위험량이다. Nelson-Aalen 추정량으로 비모수적으로 추정한다.

2.3.4 세 함수 간 관계

생존 함수, 위험 함수, 확률 밀도 함수는 서로 유도 가능하다:

\[ \begin{aligned} S(t) &= \exp\left(-\int_0^t h(u) \, du\right) = \exp(-H(t)) \\ h(t) &= \frac{f(t)}{S(t)} = -\frac{d}{dt}\ln S(t) \\ f(t) &= h(t) \cdot S(t) = -\frac{d}{dt}S(t) \end{aligned} \]

함수 기호 의미 추정 방법
생존 함수 \(S(t)\) 시점 \(t\) 이후 생존 확률 Kaplan-Meier
위험 함수 \(h(t)\) 순간 사건 발생률 Cox 모형
누적 위험 함수 \(H(t)\) 누적 위험량 Nelson-Aalen
확률 밀도 함수 \(f(t)\) 시점 \(t\) 에서 사건 발생 밀도 모수적 모형

2.4 기본 데이터 구조

생존 분석의 데이터는 최소한 다음 두 변수를 포함한다:

변수 설명 예시
\(T_i\) 생존 시간 (사건 발생 또는 중도절단까지의 시간) 5주, 12주, 3.5주
\(\delta_i\) 사건 지시 변수 (\(1\): 사건 발생, \(0\): 중도절단) 1, 0, 0

확장된 데이터 구조에는 공변량(covariates) \(X_1, X_2, \ldots, X_p\) 가 추가된다:

대상 \(T\) \(\delta\) \(X_1\) (나이) \(X_2\) (처치)
1 5 1 45 1
2 12 0 52 0
3 3.5 0 38 1
4 8 0 61 0
5 6 0 47 1
6 3.5 1 55 0

3 직관적 설명

직관: 생존 분석은 “언제 일어나는가?”에 답하는 통계 기법이다. 일반적인 분류 모델이 “이 환자가 재발할 것인가? (Yes/No)”를 묻는다면, 생존 분석은 “이 환자가 언제 재발할 것인가?”를 묻는다. 그리고 “아직 재발하지 않았지만 연구가 끝났다”는 정보도 버리지 않고 활용한다 — 이것이 중도절단의 처리이다.

3.1 왜 일반적인 방법으로는 안 되는가?

접근법 문제점
로지스틱 회귀 (\(Y = 0/1\)) “언제”를 무시하고 “발생 여부”만 분석. 5주 후 사망과 50주 후 사망을 동일하게 취급
선형 회귀 (\(Y = T\)) 중도절단 데이터를 처리할 수 없음. 절단된 관측치를 제외하면 편향 발생
평균 생존 시간 비교 중도절단이 있으면 산술 평균이 실제 생존 시간을 과소 추정

생존 분석은 시간 정보와 불완전한 관측(중도절단)을 동시에 다룰 수 있는 유일한 프레임워크이다.

4 왜 필요한가

4.1 중도절단을 무시하면 어떤 일이 벌어지는가

임상시험에서 100명의 환자를 5년간 추적한다고 하자.

  • 30명은 사건(사망) 발생
  • 20명은 연구 종료 시점까지 생존
  • 50명은 추적 중 탈락 (이사, 연락 두절 등)

방법 1: 탈락자를 제외하고 분석 50명을 제외하면 30/50 = 60% 사망률로 추정한다. 하지만 탈락자 중에도 생존한 사람이 있었을 것이므로 사망률이 과대 추정된다.

방법 2: 탈락자를 “생존”으로 처리 30/100 = 30% 사망률로 추정한다. 하지만 탈락자 중 일부는 사망했을 수 있으므로 사망률이 과소 추정된다.

방법 3: 생존 분석 (Kaplan-Meier) 각 사건 발생 시점마다 “위험에 노출된 인원(risk set)”을 정확히 계산하여 생존 확률을 추정한다. 중도절단된 관측치는 해당 시점까지의 정보를 기여한 후 위험 집합에서 제거된다. 편향 없이 정확한 추정이 가능하다.

4.2 생존 분석의 세 가지 목표

  1. 생존 분포 추정 및 비교: 처치군과 대조군의 생존 곡선을 추정하고 비교한다 (Kaplan-Meier + Log-rank 검정)
  2. 공변량 효과 추정: 설명 변수(나이, 처치, 유전자 등)가 생존 시간에 미치는 영향을 정량화한다 (Cox 비례위험 모형)
  3. 예후 예측: 특정 환자의 생존 확률 또는 위험도를 예측한다 (위험 점수, 생존 곡선 예측)

5 응용 분야

분야 사건(event) 시간(time) 구체적 예시
임상의학 사망, 재발 진단 후 경과 시간 항암제 A vs B의 무진행 생존 기간 비교
역학 질병 발생 코호트 추적 기간 흡연자와 비흡연자의 폐암 발생까지 시간
공학/신뢰성 고장, 파손 사용 시간/사이클 반도체 수명 분석, 배터리 열화
비즈니스 고객 이탈, 해지 가입 후 경과 일수 SaaS 구독자 이탈 분석
HR/조직 퇴직, 이직 입사 후 경과 기간 직원 유지율(retention) 분석
보험 보험금 청구 가입 후 경과 기간 자동차 보험 사고 발생 시점 분석
사회과학 재범, 재혼 출소/이혼 후 경과 기간 가석방자 재범률 분석
제조 제품 반품 출고 후 경과 기간 품질 보증 기간 내 고장률

6 예시

6.1 예시: 백혈병 관해 유지 기간

Kleinbaum & Klein (2012, Ch.1)의 고전적 예시를 재구성한다.

6명의 백혈병 환자를 관해(remission) 후 12주간 추적한 결과:

환자 생존 시간 (주) 상태 설명
A 5 사건 5주 차에 재발
B 12 중도절단 12주(연구 종료)까지 관해 유지
C 3.5 중도절단 3.5주 차에 자발적 탈퇴
D 8 중도절단 8주(연구 종료)까지 관해 유지
E 6 중도절단 6주 차에 추적 실패
F 3.5 사건 3.5주 차에 재발

관측된 정보:

  • 사건 발생: A(5주), F(3.5주) — 정확한 재발 시점을 안다
  • 중도절단: B(12주), C(3.5주), D(8주), E(6주) — 최소한 이만큼은 관해를 유지했다는 것만 안다
  • 단순 평균: \((5 + 12 + 3.5 + 8 + 6 + 3.5) / 6 = 6.3\) 주 — 하지만 이 값은 중도절단을 무시한 것이므로 실제 평균 생존 시간의 하한에 불과하다

6.2 기술적 요약 통계

중도절단이 있을 때 사용할 수 있는 기술 통계:

  • 중앙 생존 시간(median survival time): \(S(t) = 0.5\) 가 되는 시점
  • 제한 평균 생존 시간(restricted mean survival time, RMST): 특정 시점 \(\tau\) 까지의 생존 곡선 아래 면적

\[ \text{RMST}(\tau) = \int_0^{\tau} S(t) \, dt \]

7 코드 예시

7.1 Step 1: 순수 Python 구현 (원리 이해)

def kaplan_meier(times, events):
    """
    순수 Python으로 Kaplan-Meier 생존 함수를 구현한다.
    times: 생존 시간 리스트
    events: 사건 지시 변수 리스트 (1=사건, 0=중도절단)
    """
    # (시간, 사건 여부) 쌍을 시간순으로 정렬
    data = sorted(zip(times, events), key=lambda x: x[0])

    n = len(data)                 # 전체 대상 수
    at_risk = n                   # 현재 위험에 노출된 수
    survival_prob = 1.0           # 누적 생존 확률
    survival_curve = [(0, 1.0)]   # (시간, 생존 확률) 리스트

    i = 0
    while i < n:
        t = data[i][0]

        # 같은 시점의 사건 수와 중도절단 수를 집계
        d = 0  # 사건 수
        c = 0  # 중도절단 수
        while i < n and data[i][0] == t:
            if data[i][1] == 1:
                d += 1
            else:
                c += 1
            i += 1

        # 사건이 있으면 생존 확률 갱신: S(t) = S(t-) × (1 - d/n_risk)
        if d > 0:
            survival_prob *= (1 - d / at_risk)
            survival_curve.append((t, survival_prob))

        # 위험 집합에서 사건 + 중도절단 수만큼 제거
        at_risk -= (d + c)

    return survival_curve

# 백혈병 관해 데이터 (Kleinbaum & Klein, Ch.1)
times  = [5, 12, 3.5, 8, 6, 3.5]
events = [1,  0,   0, 0, 0,   1]

curve = kaplan_meier(times, events)
print("Kaplan-Meier 생존 곡선:")
print(f"{'시점':>6}  {'S(t)':>8}")
print("-" * 18)
for t, s in curve:
    print(f"{t:>6.1f}  {s:>8.4f}")

출력 해석:

시점      S(t)
------------------
   0.0    1.0000
   3.5    0.8333    ← 6명 중 1명 사건 발생 → 5/6
   5.0    0.6250    ← 4명(위험 집합) 중 1명 사건 발생 → 0.8333 × 3/4

7.2 Step 2: lifelines 라이브러리 (실무 활용)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from lifelines import KaplanMeierFitter

# 데이터 정의
times  = np.array([5, 12, 3.5, 8, 6, 3.5])
events = np.array([1,  0,   0, 0, 0,   1])  # 1=사건, 0=중도절단

# Kaplan-Meier 추정
kmf = KaplanMeierFitter()
kmf.fit(durations=times, event_observed=events)

# 생존 곡선 출력
print(kmf.survival_function_)
print(f"\n중앙 생존 시간: {kmf.median_survival_time_}")

# 시각화
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
kmf.plot_survival_function(ax=ax, ci_show=True)
ax.set_xlabel("시간 (주)")
ax.set_ylabel("생존 확률 S(t)")
ax.set_title("Kaplan-Meier 생존 곡선 — 백혈병 관해 데이터")
plt.tight_layout()
plt.show()

7.3 위험 함수의 직접 구현

def nelson_aalen(times, events):
    """
    순수 Python으로 Nelson-Aalen 누적 위험 함수를 구현한다.
    H(t) = Σ (d_j / n_j) for all j where t_j ≤ t
    """
    data = sorted(zip(times, events), key=lambda x: x[0])
    n = len(data)
    at_risk = n
    cum_hazard = 0.0
    hazard_curve = [(0, 0.0)]

    i = 0
    while i < n:
        t = data[i][0]
        d = 0
        c = 0
        while i < n and data[i][0] == t:
            if data[i][1] == 1:
                d += 1
            else:
                c += 1
            i += 1

        if d > 0:
            cum_hazard += d / at_risk
            hazard_curve.append((t, cum_hazard))

        at_risk -= (d + c)

    return hazard_curve

hazard = nelson_aalen(times, events)
print("\nNelson-Aalen 누적 위험 함수:")
print(f"{'시점':>6}  {'H(t)':>8}")
print("-" * 18)
for t, h in hazard:
    print(f"{t:>6.1f}  {h:>8.4f}")

8 생존 분석의 주요 방법론 체계

이 시리즈에서 다룰 방법론을 개관한다:

생존 분석
├── 비모수적 방법 (Nonparametric)
│   ├── Kaplan-Meier 추정           ← 생존 곡선 추정
│   ├── Nelson-Aalen 추정           ← 누적 위험 함수 추정
│   └── Log-rank 검정               ← 두 집단 생존 곡선 비교
│
├── 반모수적 방법 (Semi-parametric)
│   ├── Cox 비례위험 모형            ← 공변량 효과 추정 (핵심)
│   ├── 비례위험 가정 검정           ← Schoenfeld 잔차
│   ├── 층화 Cox 모형               ← 비례위험 가정 완화
│   └── 시간 의존 공변량 Cox 모형    ← 공변량이 시간에 따라 변함
│
├── 모수적 방법 (Parametric)
│   ├── 지수 모형                    ← h(t) = λ (상수)
│   ├── 와이블 모형                  ← h(t) = λp(λt)^{p-1}
│   ├── 로그정규/로그로지스틱 모형    ← AFT 모형
│   └── 감마, Gompertz 모형
│
└── 고급 주제
    ├── 재발 사건 분석               ← 반복 사건
    ├── 경쟁 위험 분석               ← 여러 유형의 사건
    ├── 표본 크기 설계               ← 임상시험 설계
    └── 기계학습 확장                ← RSF, DeepSurv

8.1 방법론 선택 가이드

목적 방법 가정
집단 간 생존 곡선 비교 Kaplan-Meier + Log-rank 비모수, 분포 가정 없음
공변량 효과 추정 Cox PH 모형 비례위험 가정
구체적 생존 시간 예측 모수적 모형 (Weibull 등) 분포 가정
비선형 효과, 고차원 RSF, DeepSurv 분포 가정 없음, 데이터 의존

9 관련 주제

시리즈 내 후속 포스트 (예정)

  • Kaplan-Meier 추정과 Log-rank 검정 (Kleinbaum & Klein Ch.2)
  • Cox 비례위험 모형 (Kleinbaum & Klein Ch.3)
  • 비례위험 가정 검정 (Kleinbaum & Klein Ch.4)
  • 층화 Cox 모형 (Kleinbaum & Klein Ch.5)
  • 시간 의존 공변량 (Kleinbaum & Klein Ch.6)
  • 모수적 생존 모형 (Kleinbaum & Klein Ch.7)
  • 재발 사건 분석 (Kleinbaum & Klein Ch.8)
  • 경쟁 위험 분석 (Kleinbaum & Klein Ch.9)
  • 임상시험 표본 크기 설계 (Kleinbaum & Klein Ch.10)

선행 지식

다른 카테고리 연결

참고 교재

  • Kleinbaum, D.G. & Klein, M. (2012). Survival Analysis: A Self-Learning Text (3rd Ed.). Springer.
  • Hosmer, D.W., Lemeshow, S. & May, S. (2008). Applied Survival Analysis (2nd Ed.). Wiley.
  • Klein, J.P. & Moeschberger, M.L. (2003). Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data (2nd Ed.). Springer.
  • Collett, D. (2015). Modelling Survival Data in Medical Research (3rd Ed.). CRC Press.

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