FDA 7.0 — 희소 함수 데이터 분석 (S-FDA) 개관

각 단위가 소수의 불규칙 시점에서만 관측되는 경우의 평균·공분산 추정과 PACE 기반 FPCA·회귀

Kokoszka & Reimherr (2017) Ch.7 의 핵심을 개관한다. 희소 함수 데이터 (sparse FDA, S-FDA) — 각 단위 n 이 소수 (M_n) 의 시점에서만 관측되는 종단 데이터 — 의 모형 (7.1) Y_nm = μ(t_nm) + ε_n(t_nm) + δ_nm 와 그 핵심 통찰 — 개별 곡선 평활화 대신 “subjects 간 정보 풀링 (pooling)” — 을 다룬다 (7.1). 이어서 평균 함수 추정 (local polynomial / basis / RKHS) (7.2), 공분산 추정의 대각 분리 처리 (7.3), 조건부 기대 기반 sparse FPCA (PACE) 와 BLUP 점수 (7.4), sparse 함수 회귀 (7.5), 그리고 핵심 점근 결과 — 수렴 속도가 M ~ N^{1/4} 의 임계값에서 모수적 N^{-1} vs 비모수적 N^{-4/5} 로 전환 — 의 직관까지 통합 정리한다.

Statistics
Functional Data Analysis
저자

Kwangmin Kim

공개

2026년 05월 07일

1 이 장의 위치와 목적

Chapter 1 ~ 6 은 모든 곡선이 같은 (또는 거의 같은) 시점에서 밀집 관측 된다는 가정 하에 전개되었다. 기저 전개로 평활화하고, 평균/공분산을 추정하고, FPCA 로 차원을 축소하고, 회귀와 GLM 으로 다른 변수와 연결 — 모든 도구가 “각 곡선 자체를 잘 관측” 한다는 토대 위에 있었다.

그러나 실제 데이터, 특히 종단 의학 데이터 에서는 이 가정이 성립하지 않는다.

  • 환자 1 — 주차 0, 4, 8, 12 에서 관측 (4 개 시점).
  • 환자 2 — 주차 0, 4, 8, 16, 20, 28 에서 관측 (6 개 시점, 다른 시점).
  • 환자 3 — 주차 0, 12, 24, 32 에서 관측 (4 개 시점).
  • …

각 환자의 관측 수 \(M_n\) 이 작고 시점도 다르다. 개별 곡선을 평활화 (smoothing) 하기에는 데이터가 너무 부족 — 한 환자의 4~6 개 점만으로는 곡선의 모양을 알 수 없다.

1.1 핵심 통찰: 정보 풀링

개별 곡선 평활화를 포기하고, 모든 환자의 정보를 합쳐서 모집단 평균/공분산을 추정한다.

100 명의 환자가 각자 다른 시점에서 5 개씩 관측하면 — 합치면 500 개 관측이 시간 도메인 전체를 덮는다. 이 풀링된 데이터로 평균/공분산을 비모수 회귀 (kernel smoothing, basis spline) 로 추정. 개별 곡선은 마지막에 BLUP 으로 재구성.

1.2 직관: 모집단 ↔︎ 개체의 정보 흐름 역전

밀집 FDA 의 흐름:

개별 곡선 평활화 → 모집단 평균/공분산 → 추론

희소 FDA 의 흐름:

모집단 평균/공분산 (풀링 추정) → 개별 곡선 BLUP → 추론

방향이 정반대 — 희소 FDA 는 모집단 정보를 개체의 부족함을 메우는 데 사용.

1.3 비유: 도시 평균 강수량으로 한 동네 강수 추정

서울 시내 한 동네에 1 년에 5 일만 강수량을 측정한 데이터로는 그 동네의 연중 강수 패턴을 알 수 없다. 그러나 서울 전 지역의 강수 데이터를 합쳐 시내 평균 강수 패턴을 잘 추정 한 후, 그 패턴에 그 동네의 5 개 측정값을 맞추어 동네별 패턴을 추정 — 이 “모집단 평균에서 개체로” 의 흐름이 sparse FDA 의 핵심.

1.4 이 포스트의 흐름

7.1 도입: 희소 데이터의 정의 + 모형 (7.1) + 핵심 점근 결과 (M ~ N^{1/4} 임계값)
    ↓
7.2 평균 함수 추정: local polynomial / basis / RKHS 의 세 접근
    ↓
7.3 공분산 추정: 대각 분리, 측정 잡음 σ²(t) 처리
    ↓
7.4 Sparse FPCA: PACE — 조건부 기대 기반 점수 BLUP
    ↓
7.5 Sparse 회귀: FPCA 점수를 회귀자로 사용한 함수-on-스칼라/스칼라-on-함수/함수-on-함수

7.1 의 점근 분석 (수렴 속도의 모수적 vs 비모수적 전환) 이 가장 중요한 이론적 결과이며, 이후 절들은 그 framework 위에서 구체적 도구를 다룬다.

2 희소 데이터의 정의

2.1 모형 (식 7.1)

정의: Sparse FDA 의 표준 모형

각 단위 \(n = 1, \ldots, N\) 가 시점 \(t_{nm} \in [0, 1]\) (\(m = 1, \ldots, M_n\)) 에서 관측될 때:

\[ Y_{nm} = Y_n(t_{nm}) = \mu(t_{nm}) + \varepsilon_n(t_{nm}) + \delta_{nm}. \]

여기서:

  • \(\mu: [0, 1] \to \mathbb{R}\) — 모집단 평균 함수 (매끄러움 가정).
  • \(\varepsilon_n(t)\) — 단위별 (subject-specific) 오차 곡선 — 같은 단위 내 관측들 사이 상관 유발.
  • \(\delta_{nm}\) — 측정 잡음 — \(n, m\) 양쪽에서 iid.
  • \(M_n\) — 단위 \(n\) 의 관측 수, \(M_n \leq M < \infty\) (유한).
  • 단위들은 iid.
  • 시점들의 합집합 \(\{t_{nm}\}\) 이 \([0, 1]\) 을 비교적 밀집하게 덮음.

2.2 두 잡음 항의 의미

  • \(\varepsilon_n(t)\) — “환자 \(n\) 의 진짜 곡선이 모집단 평균에서 얼마나 벗어나는가” 를 표현하는 매끄러운 함수. 같은 환자의 여러 시점이 같은 \(\varepsilon_n\) 의 영향을 받으므로 시점 간 상관 발생.
  • \(\delta_{nm}\) — 각 측정의 독립적 측정 오차. 시점 간 비상관, 측정마다 새로 발생.

2.3 직관: 두 잡음의 분리가 핵심

Sparse FDA 의 모든 도구는 이 두 잡음을 구별한다.

  • 공분산 함수 추정 (7.3): 대각선 (\(t = s\)) 에는 \(\delta\) 의 분산이 추가되어 불연속 — 대각선 분리가 필요.
  • PACE (7.4): 점수 BLUP 에서 분모에 \(\delta\) 의 분산을 추가.
  • 회귀 (7.5): 추정 점수의 잡음이 두 출처에서 옴.

이는 종단 데이터의 표준 분해 — subject random effect (\(\varepsilon_n\)) + measurement error (\(\delta_{nm}\)). Mixed model 이론과 직접 연결.

2.4 비유: 디지털 카메라 vs 안개 낀 풍경

사진을 찍을 때:

  • 풍경의 안개 (\(\varepsilon_n\)) — 공간적으로 연속적이며 큰 영역에 영향. 같은 사진 안의 인접 픽셀은 같은 안개의 영향.
  • 카메라 센서 노이즈 (\(\delta_{nm}\)) — 각 픽셀에 독립적으로 작용. 인접 픽셀과 무관.

종단 데이터의 환자 내 상관 (\(\varepsilon_n\)) 과 측정 잡음 (\(\delta_{nm}\)) 의 차이가 정확히 이 패턴.

3 CATT 데이터 예시

3.1 임상 시험 배경

CATT (Comparison of Age-Related Macular Degeneration Treatments Trials) — 연령 관련 황반 변성 (AMD) 치료 비교 임상 시험.

  • 각 환자가 4 주마다 임상 방문, 최대 27 회 (baseline 포함).
  • 4 개 치료군 (Lucentis, Avastin 의 다른 투여 방식) 으로 무작위 배정.
  • 주요 결과: Visual Acuity Score (VAS) — 시력 점수, 0~1 범위.
    • VAS 0.5 = 20/40 시력.
    • VAS < 0.1 = 법적 시각장애 (20/200).
    • VAS = 0 = 시력 상실.

3.2 데이터의 희소성

  • 모든 환자가 같은 시점 (주차 0, 4, 8, …) 에서 관측되도록 설계되었지만 결측 많음.
  • 19% 만 완전 관측, 54% 가 1~3 개 결측.
  • 즉 sparse FDA 도구가 필수.

3.3 직관: 설계는 dense, 실제는 sparse

임상 시험의 ideal 은 모든 환자가 모든 시점에서 관측되는 dense 디자인. 실제로는 환자가 진료를 빠지거나 중도 탈락하여 sparse 데이터가 된다.

이는 sparse FDA 가 실무적으로 가장 흔한 종단 데이터 시나리오 인 이유. 의도된 sparse 가 아니라 결측에 의한 sparse.

3.4 시각적 패턴

CATT 데이터를 Figure 7.1 처럼 시각화:

  • 왼쪽 패널 — 모든 raw 관측을 시간에 대해 산점도. 빨간 선 = 점별 평균.
  • 오른쪽 패널 — 점별 평균과 95% 점별 신뢰 구간.

시점들 합치면 도메인이 빽빽이 채워지지만, 한 환자만 보면 5~10 개 점에 불과. 이 “합집합은 dense, 개별은 sparse” 패턴이 sparse FDA 의 정의이다.

4 핵심 점근 결과: 수렴 속도의 임계값

4.1 단순 모형 (Example 7.1.2)

가장 단순한 random effects 모형:

\[ Y_{nm} = \mu(t_{nm}) + \varepsilon_n + \delta_{nm}, \]

여기서 \(\varepsilon_n\) 가 시간 무관 (subject 별 상수), \(t_{nm} \sim U(0, 1)\) iid, \(\text{Var}(\varepsilon_n) = \tau^2\), \(\text{Var}(\delta_{nm}) = \sigma^2\).

4.2 Nadaraya-Watson 평균 추정량

대역폭 \(h\) 의 kernel 추정량:

\[ \widehat{\mu}_h(t) = \frac{\sum_n \sum_m K\left(\frac{t - t_{nm}}{h}\right) Y_{nm}}{\sum_n \sum_m K\left(\frac{t - t_{nm}}{h}\right)}. \]

커널 평활 — 점 \(t\) 주위의 데이터를 가중 평균.

4.3 Bias-Variance 분해

표준 비모수 회귀 분석:

항 형태 직관
Bias² \(\sim h^4\) 작은 \(h\) 일수록 bias 작음
Variance \(\sim \frac{\tau^2 + \sigma^2}{NMh} + \frac{\tau^2}{N}\) \(h\) 가 작거나 표본이 적으면 분산 큼

분산의 둘째 항 \(\tau^2/N\) 은 \(h\) 무관 — subject 차원 의 변동.

4.4 최적 대역폭

Bias² 와 첫 분산 항을 같게:

\[ h^4 = \frac{1}{NMh} \implies h = (NM)^{-1/5}. \]

이 \(h\) 에서:

\[ \text{Bias}^2 \sim (NM)^{-4/5}, \quad \text{Var} \sim (NM)^{-4/5} + N^{-1}. \]

4.5 임계값 \(M \sim N^{1/4}\)

분산의 두 항 비교:

\[ (NM)^{-4/5} \text{ vs } N^{-1}. \]

전자가 작으려면 \((NM)^{4/5} > N\), 즉 \(M > N^{1/4}\).

4.6 세 가지 시나리오

수렴 속도의 세 영역
조건 수렴 속도 의미
\(M \gg N^{1/4}\) (\(M / N^{1/4} \to \infty\)) \(N^{-1}\) (모수적) 풍부한 관측, 마치 parametric 모형처럼
\(M \sim N^{1/4}\) (\((NM)^{4/5} / N \to c > 0\)) 임계값, 두 항 균형 경계
\(M\) 고정 (또는 \(M / N^{1/4} \to 0\)) \(N^{-4/5}\) (비모수적) 표준 비모수 회귀

4.7 직관: \(M \sim N^{1/4}\) 이 의미하는 것

이 결과의 핵심 메시지:

단위당 관측 수 \(M\) 이 단위 수 \(N\) 의 \(1/4\) 거듭제곱보다 크면, 마치 모수적 (parametric) 모형처럼 빠른 \(N^{-1}\) 수렴 속도 를 얻는다.

\(N = 10000\) 이면 \(N^{1/4} = 10\) — 단위당 10 개 관측만 있어도 모수적 속도 달성. 이는 놀라운 결과 — sparse FDA 가 매우 효율적이라는 증거.

4.8 비유: 작은 표본의 합산 효과

각 환자가 5 개 측정만 하더라도 100 명의 환자 데이터를 합치면 500 개 측정 — 일종의 “총 정보량” 이 큰 표본과 같다. 단, 같은 환자의 측정들 사이 상관 (\(\varepsilon_n\)) 이 효과적 표본 크기를 줄이므로, 단순히 \(NM\) 이 아닌 더 복잡한 결합.

이 직관이 \(M \sim N^{1/4}\) 임계값의 본질 — 충분한 단위 다양성과 충분한 단위별 관측의 균형.

4.9 실무적 함의

단위당 관측 수가 \(N^{1/4}\) 보다 크면 sparse FDA 방법이 매우 효율적이다.

대부분의 임상 시험·종단 의학 연구에서 이 조건이 만족되므로, sparse FDA 는 표준 도구.

만약 \(M\) 이 매우 작으면 (예: \(M = 2, 3\)) 여전히 추정은 가능하지만 수렴 속도가 느려진다 — 이 경우 도메인 지식이나 강한 가정 (parametric 모형) 이 보충이 필요할 수 있다.

5 평균 함수 추정 (7.2)

세 표준 도구.

5.1 Local Polynomial Regression

각 시점 \(t\) 에서 국소 가중 다항 적합:

\[ L(\beta) = \sum_n \sum_m K\left(\frac{t - t_{nm}}{h}\right) \left(Y_{nm} - \sum_{i=0}^P \beta_i (t - t_{nm})^i\right)^2, \]

해 \(\widehat{\beta}\) 의 절편 \(\widehat{\beta}_0\) 가 \(\widehat{\mu}(t)\).

차수 \(P\) 이름 비고
0 Nadaraya-Watson 국소 상수, 경계 편향 큼
1 local linear 표준 선택, 경계 편향 보정
\(\geq 2\) higher order 도함수 추정 가능

5.2 직관: 국소 다항의 단순함

전통적 회귀가 “전체 데이터에 한 다항식” 이라면, local polynomial 은 “각 점에서 가까운 데이터에만 다항식”. 멀리 떨어진 점은 kernel 가중치로 무시.

이는 비모수 회귀의 가장 단순한 형태 — 모형의 형태를 미리 가정하지 않고 데이터의 형태를 따라간다.

5.3 Basis Function Regression

기저 전개 + LS:

\[ \mu(t) = \sum_{j=1}^J \mu_j e_j(t), \quad \widehat{\boldsymbol{\mu}} = (\mathbf{E}^T \mathbf{E})^{-1} \mathbf{E}^T \mathbf{Y}. \]

거칠기 벌점 추가:

\[ \widehat{\boldsymbol{\mu}} = (\mathbf{E}^T \mathbf{E} + \lambda \mathbf{R})^{-1} \mathbf{E}^T \mathbf{Y}. \]

이는 5.2 의 함수-on-스칼라 회귀와 같은 framework. R 의 mgcv::gam 으로 자동 적합.

5.4 Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS)

핵 함수 \(K(t, s)\) 가 정의하는 RKHS \(H_K\) 에서 벌점 LS:

\[ L_\lambda(\mu) = \sum_{n, m} (Y_{nm} - \mu(t_{nm}))^2 + \lambda \|\mu\|_{H_K}^2. \]

Representer Theorem (Theorem 7.2.1) 에 의해 최적해의 형태:

\[ \widehat{\mu}(t) = \sum_{n, m} \widehat{\alpha}_{nm} K(t, t_{nm}). \]

\(\widehat{\boldsymbol{\alpha}} = (\mathbf{K}^T \mathbf{K} + \lambda \mathbf{K})^{-1} \mathbf{K}^T \mathbf{Y}\).

5.5 직관: RKHS 의 강점

핵 함수 \(K\) 의 선택이 함수 공간의 매끄러움 가정 을 결정.

핵 RKHS 의 함수 매끄러움
Sobolev (m차) \(m\) 회 미분 가능 부드럽지만 유한
Gaussian 무한 미분 가능 매우 부드럽다
Exponential 연속이지만 미분 안 될 수도 거친
Periodic 주기 함수 도메인 구조 반영

도메인 지식이 함수 형태를 알려주면 (예: 연주기 데이터 → periodic kernel), RKHS 가 직접 그 구조를 강제.

5.6 비유: 다양한 광학 렌즈

같은 풍경을 다른 렌즈로 보면 다른 강조점:

  • 광각 렌즈 (Sobolev) — 큰 그림.
  • 망원 렌즈 (Gaussian) — 매끄러운 디테일.
  • 어안 렌즈 (Exponential) — 거친 변화.
  • 편광 렌즈 (Periodic) — 주기 구조.

RKHS 의 핵 선택이 데이터에 맞는 “렌즈” 를 고르는 작업이다.

6 공분산 함수 추정 (7.3)

6.1 핵심 어려움: 대각 불연속

\(Y\) 의 공분산:

\[ \text{Cov}(Y(t), Y(s)) = c(t, s) + \sigma^2(t) \mathbb{1}_{t = s}, \]

여기서 \(c\) 는 \(\varepsilon\) 의 매끄러운 공분산, \(\sigma^2(t)\) 는 측정 잡음의 분산. 대각선 (\(t = s\)) 에 측정 잡음이 추가되어 불연속.

6.2 표준 절차

  1. 대각선 항 제외: \(m_1 \neq m_2\) 인 cross product \(\widetilde{Y}_{nm_1} \widetilde{Y}_{nm_2}\) 만 사용.
  2. 이변량 평활: 7.2 의 도구 (gam 등) 를 \((t_{nm_1}, t_{nm_2})\) vs \(\widetilde{Y}_{nm_1} \widetilde{Y}_{nm_2}\) 로 적용.
  3. 양정치 보정: 추정 표면이 양정치가 아닐 수 있으므로 음의 고유값을 0 으로 설정.
  4. 잡음 분산 추정: \(\widehat{\sigma}^2(t) = \widetilde{c}(t, t) - \widehat{c}(t, t)\) (대각 평활값 - 비대각 추정값).

6.3 직관: 왜 대각을 제거하는가

대각선 (\(m_1 = m_2\)) 에서:

\[ E[\widetilde{Y}_{nm}^2] = c(t_{nm}, t_{nm}) + \sigma^2(t_{nm}), \]

즉 측정 잡음의 분산이 추가됨. 이 항을 평활화에 포함시키면 추정이 위로 편향 (\(\sigma^2\) 만큼 부풀어 오름).

대각을 제외하고 비대각만 평활화 → 잡음 없는 진짜 공분산 추정. 이후 대각의 추가량으로 잡음 분산 분리 추정.

6.4 비유: 자기상관과 잡음 분리

신호 처리에서 신호의 자기상관 함수의 zero-lag 값은 신호 분산 + 잡음 분산. 시간 차 0 의 값을 따로 처리 하는 것이 신호와 잡음을 분리하는 표준 기법 — sparse FDA 의 대각 분리도 같은 원리.

7 Sparse FPCA: PACE (7.4)

7.1 동기

밀집 FDA 의 FPCA 점수:

\[ \xi_{nj} = \langle Y_n, \widehat{v}_j \rangle = \int Y_n(t) \widehat{v}_j(t) \, dt. \]

이 적분이 정의되지 않는다 — sparse 데이터에서는 \(Y_n(t)\) 가 모든 \(t\) 에서 관측되지 않음. 따라서 점수를 직접 계산 불가.

7.2 PACE: Principal Analysis by Conditional Expectation

해결: 조건부 기댓값 (BLUP) 으로 점수를 예측.

PACE 의 핵심 아이디어

가우스 가정 하 (\(Y_n(t)\) 가 가우스 과정), 점수 \(\xi_{n1}\) 와 관측 \(\{Y_n(t_{n1}), \ldots, Y_n(t_{nM_n})\}\) 의 결합 분포가 다변량 정규. 따라서 조건부 기댓값이 최선의 선형 비편향 예측량 (BLUP):

\[ \widehat{\xi}_{nj} = \boldsymbol{\Sigma}_{12}^T \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} \mathbf{Y}_n, \]

여기서:

  • \(\boldsymbol{\Sigma}_{12}\) — 점수와 관측의 공분산: \([\lambda_j v_j(t_{n1}), \ldots, \lambda_j v_j(t_{nM_n})]^T\).
  • \(\boldsymbol{\Sigma}_{22}\) — 관측의 공분산 행렬: \([c(t_{nk}, t_{n\ell}) + \sigma^2(t_{nk}) \delta_{k\ell}]\).
  • \(\mathbf{Y}_n\) — 관측 벡터.

7.3 직관: 조건부 기댓값이 BLUP

다변량 정규에서 한 변수를 다른 변수들로 예측하는 최선의 방법은 조건부 기댓값. 공분산 구조를 사용한 가중 평균 이며, 가우스 가정 하 BLUP.

PACE 는 이 표준 결과를 무한차원 (점수 ξ) ↔︎ 유한차원 (관측 Y) 사이의 조건부 기대 로 응용. 점수가 관측되지 않더라도 그 점수의 가장 가능성 높은 값을 추정.

7.4 곡선 재구성

추정 점수 \(\widehat{\xi}_{nj}\) 와 추정 EFPC \(\widehat{v}_j\) 로 곡선 재구성:

\[ \widehat{Y}_n(t) = \widehat{\mu}(t) + \sum_{j=1}^p \widehat{\xi}_{nj} \widehat{v}_j(t). \]

이는 sparse 관측에서 모집단 정보 (μ, v_j) 와 개체 정보 (Y_n 의 관측들) 의 결합 으로 매끄러운 곡선을 복원.

7.5 직관: 모집단의 도움 받기

5 개 점만 가진 환자의 곡선을 그 환자만의 데이터로 그릴 수 없다. 그러나 모집단의 평균 곡선과 변동 패턴 (FPC) 을 알면, 이 환자의 5 개 점이 그 패턴 안에서 어떻게 위치하는지를 추정 — 그 위치 정보로 전체 곡선을 채운다.

이는 베이지안의 사전분포 (모집단) + 우도 (개체) → 사후분포 (재구성) 와 같은 사고. PACE 는 명시적으로 가우스 사전·우도 가정 하의 BLUP.

7.6 비유: 음악의 “휘파람 → 멜로디 복원”

누군가가 노래의 5 개 음만 휘파람으로 들려준다. 그 5 개 음만으로 곡 전체를 추측할 수는 없다. 그러나 그 곡의 일반적 멜로디 패턴 (모집단 평균) 과 이 곡이 속한 장르의 변형 패턴 (FPC) 을 알면, 그 5 개 음이 어느 곡의 어디인지 추정 가능 — 그것이 PACE.

7.7 CATT 응용

CATT 데이터에 PACE 적용:

  • \(\widehat{\mu}(t)\) — 시간에 따른 평균 VAS (보통 baseline 후 빠르게 상승, 그 후 안정화).
  • \(\widehat{v}_j(t)\) — 환자별 변동 패턴 (전체 수준, 회복 속도 등).
  • 각 환자의 \(\widehat{\xi}_{nj}\) — 그 환자의 PC 점수 → 군집화·분류·회귀에 사용 가능.

8 Sparse 함수 회귀 (7.5)

8.1 핵심 전략: FPCA → 다변량 회귀

sparse 데이터에서 함수 회귀를 직접 적합하기 어려움 (4, 5, 6 장의 도구가 dense 가정에 의존). PACE 로 점수를 추정한 후 다변량 회귀로 환원.

8.2 함수-on-스칼라 (sparse 반응)

모형: \(Y_n(t) = X_n \beta(t) + \varepsilon_n(t)\).

  1. 반응 \(Y_n\) 에 PACE 적용 → 점수 \(\xi_{nj}\), EFPC \(\widehat{u}_j\).
  2. 효과 함수 전개: \(\beta(t) \approx \sum_{j=1}^p \beta_j \widehat{u}_j(t)\).
  3. 점수 LS: \[ \widehat{\beta}_j = \frac{\sum_n X_n \xi_{nj}}{\sum_n X_n^2}. \]
  4. 재구성: \(\widehat{\beta}(t) = \sum_j \widehat{\beta}_j \widehat{u}_j(t)\).

8.3 스칼라-on-함수 (sparse 회귀자)

모형: \(Y_n = \int \beta(t) X_n(t) \, dt + \varepsilon_n\).

  1. 회귀자 \(X_n\) 에 PACE 적용 → 점수 \(\zeta_{nj}\), EFPC \(\widehat{v}_j\).
  2. 효과 함수 전개: \(\beta(t) \approx \sum_j \beta_j \widehat{v}_j(t)\).
  3. 점수 LS: \[ \widehat{\beta}_j = \frac{\sum_n \zeta_{nj} Y_n}{\sum_n \zeta_{nj}^2}. \]
  4. 재구성: 같은 방식.

8.4 함수-on-함수 (양쪽 sparse)

이변량 핵 \(\beta(t, s) \approx \sum_i \sum_j \beta_{ij} \widehat{u}_i(t) \widehat{v}_j(s)\). 점수 LS:

\[ \widehat{\beta}_{ij} = \frac{\sum_n \zeta_{jn} \xi_{in}}{\sum_n \zeta_{jn}^2}. \]

8.5 직관: PACE 가 sparse FDA 의 보편 도구

세 함수 회귀 형태 모두 같은 패턴.

sparse 함수 → PACE 점수 → 다변량 회귀 → 함수 모수 재구성

PACE 는 sparse 데이터를 표준 다변량 형태로 환원 하는 보편 도구. 이후의 회귀는 표준 LS.

8.6 비유: 이중 번역

영어 → 한국어 직역이 어색하면, 영어 → 일본어 → 한국어 의 이중 번역으로 자연스러움 확보. Sparse 함수 회귀도 비슷:

sparse 곡선 → PACE 점수 → 다변량 회귀 결과 → 함수로 환산

PACE 가 “중간 언어” 역할을 한다.

9 Chapter 7 의 통합 시각

9.1 한 줄 요약

Sparse FDA 는 각 단위가 소수의 불규칙 시점에서만 관측되는 종단 데이터의 분석 framework 이며, 핵심 아이디어는 “subjects 간 정보 풀링” — 개별 곡선 평활화 대신 모집단 평균/공분산을 비모수 회귀로 추정한 후 PACE 의 조건부 기댓값으로 개체 점수와 곡선을 BLUP. 단위당 관측 수 M 이 N^{1/4} 보다 크면 모수적 N^{-1} 수렴 속도를 달성하며 (Example 7.1.2), CATT 황반 변성 임상시험 데이터가 표준 응용 사례. 함수 회귀는 PACE 점수를 회귀자로 사용해 다변량 회귀로 환원한다.

9.2 Ch.4·5·6 와의 비교

측면 Ch.4·5·6 (Dense) Ch.7 (Sparse)
관측 수 \(M \to \infty\) 또는 큼 \(M_n\) 작고 단위마다 다름
평균 추정 점별 표본 평균 local polynomial / basis / RKHS 평활
공분산 추정 점별 표본 공분산 비대각만 이변량 평활
FPCA 점수 직접 적분 \(\int Y v\) PACE 조건부 기댓값 (BLUP)
회귀 직접 함수 회귀 PACE 점수 → 다변량 회귀
정보 흐름 개체 → 모집단 모집단 → 개체

핵심 변화: 개별 곡선 평활을 포기하고 모집단 정보로 보완. 동일한 framework (FPCA, 회귀) 이지만 도구가 sparse 에 맞게 적응.

9.3 후속 챕터와의 연결

챕터 Ch.7 의 도구를 어떻게 확장하는가
Ch.8 함수 시계열 Sparse 시계열 데이터 (불규칙 관측 시점의 시계열)
Ch.9 공간 함수 공간 + sparse (각 공간 위치에서 sparse 관측)
Ch.10~11 힐베르트 공간 RKHS 의 형식적 토대
Ch.12 추론 Sparse 추정량의 점근 분포

7.4 의 PACE 는 sparse FDA 의 표준 도구로, 후속 챕터들이 모두 이 위에서 작동.

9.4 실용적 요약

Sparse FDA 의 실무 워크플로우
  1. 데이터 진단: 단위당 관측 수 \(M_n\) 분포. \(\bar{M} > N^{1/4}\) 인지 확인.
  2. 평균 추정: mgcv::gam 으로 비모수 평균 함수.
  3. 공분산 추정: 비대각 cross product 평활 + 양정치 보정.
  4. PACE FPCA: fdapace::FPCA 함수 (R 패키지).
  5. 점수 활용: 분류·회귀·시각화에 추정 점수 사용.
  6. 곡선 재구성: BLUP 곡선 시각화로 개체 패턴 확인.

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