Kwangmin Kim - FDA 9.1~9.2 — 스칼라 공간 통계와 함수 공간장

1 두 절의 역할

이 포스트의 범위

절	주제	핵심 도구
9.1	스칼라 공간 통계의 표준 framework	Variogram, isotropy, Matérn, kriging system
9.2	함수 공간장 (L²-valued random field)	\(\mu(t), C(h; t, u)\), 양정치성의 미묘함

9.1 은 스칼라 공간 통계의 핵심 압축 — Ch.9 의 함수 일반화로 가기 전 토대. Geostatistical 데이터, 정상성·등방성, semivariogram, kriging 시스템 — 모든 표준 도구. 이미 공간 통계 배경이 있는 독자는 빠르게 훑고, 없는 독자는 본문이 필수.

9.2 는 9.1 의 함수 일반화의 정의 + 핵심 성질. 스칼라 random field \(\{X(s)\}\) 가 함수 random field \(\{X(s; t)\}\) 로 확장. 가장 미묘한 점: 이변량 공분산 \(C(h; t, u)\) 가 \(t = u\) 일 때만 양정치 — 함수 차원의 새 어려움.

두 절을 합치면 공간 통계의 토대 + 함수 일반화의 정의 — 9.3 함수 kriging 의 토대.

2 Geostatistical Spatial Data (9.1)

2.1 표준 형태

Geostatistical 데이터의 정의

\[ \{X(s_k), s_k \in S, k = 1, 2, \ldots, N\}, \]

\(S\) — 공간 도메인 (보통 2D 평면 \(\mathbb{R}^2\) 또는 구면 \(S^2\)).
\(s_k\) — 관측 위치 (irregular distribution 가능).
\(X(s_k)\) — 스칼라 측정값 (예: 기온, 강수량, 오염도).

Random field: \(\{X(s): s \in S\}\) 가 위치 \(s\) 의 random variable family — 각 \(s\) 마다 \(X(s)\) 가 random variable.

2.2 위치의 분포

응용에서 \(s_k\) 의 분포는 다양:

불규칙 (irregular) — 기상 관측소, 지진계 등 자연스러운 분포.
격자 (regular grid) — 위성 사진의 픽셀.
혼합 — 도시 밀집 + 시골 희소.

2.3 직관: Random Field 의 의미

\(\{X(s)\}\) 가 random field 라는 것:

모든 공간 위치 \(s\) 에 random variable \(X(s)\) 가 정의됨.

관측은 그 random field 의 한 realization 의 부분 표본 — \(s_k\) 위치의 값들만.

이는 시계열 \(\{X_n\}\) 의 공간 일반화 — 시간 인덱스 \(n\) 이 공간 인덱스 \(s\) 로 대체.

2.4 비유: 시간 vs 공간의 대칭

시계열 (Ch.8)	공간 (Ch.9)
시간 인덱스 \(n \in \mathbb{Z}\)	공간 인덱스 \(s \in \mathbb{R}^2\)
자기상관 \(\gamma_h\)	공간 공분산 \(C(h)\)
Lag \(h\) (시간 차)	Lag \(h\) (공간 거리)
정상성 (시간 무관)	정상성 (위치 무관)
AR(1) (자기회귀)	Kriging (공간 회귀)

두 framework 가 시간 vs 공간의 대칭 — 도구가 비슷하지만 차원과 응용이 다름.

3 정상성 (Stationarity)

3.1 Strict Stationarity (식 9.1)

Strict Stationarity

\[ \{X(s_1 + h), X(s_2 + h), \ldots, X(s_m + h)\} \stackrel{d}{=} \{X(s_1), X(s_2), \ldots, X(s_m)\} \]

for any \(s_1, \ldots, s_m \in S\) 와 any shift \(h\). 즉 결합 분포가 위치 shift 에 불변.

3.2 Second-Order Stationarity

조금 약한 형태:

\(E X(s)\) 와 \(\text{Cov}(X(s), X(s+h))\) 가 \(s\) 에 의존하지 않음.

1, 2 차 적률만 시간 무관 — strict 보다 약함.

3.3 공분산 함수

Second-order stationary field 의 표준 정의:

\[ C(h) = \text{Cov}(X(s), X(s+h)). \]

\(h\) 에만 의존 — 위치 무관 (정상성).

3.4 Intrinsic Stationarity

더 약한 형태:

Intrinsic Stationarity

\(\text{Var}[X(s + h) - X(s)]\) 가 \(s\) 에 의존하지 않음.

Second-order stationary → intrinsically stationary. 역은 거짓 (Problem 9.4).

3.5 직관: 세 정상성의 강도

Strict stationarity (모든 결합 분포 시간 무관)
    ↓
Second-order stationarity (1, 2 차 적률만)
    ↓
Intrinsic stationarity (차의 분산만)

각 단계에서 가정이 약해짐 — 더 일반적이지만 도구가 제한적.

3.6 비유: 정상성의 세 단계 차

세 종류의 자동차 비교:

Strict = 한정 모델 (모든 사양 같음).
Second-order = 같은 등급 (외관·엔진·무게 비슷).
Intrinsic = 같은 회사 (외관 다양하지만 신뢰성 비슷).

각 단계가 다른 가정의 강도. 공간 통계의 표준은 second-order — 충분히 강하면서 실용적.

4 Variogram 과 Semivariogram

4.1 정의

(Semi)variogram

\[ 2\gamma(h) = \text{Var}[X(s + h) - X(s)] \quad (\text{variogram}), \]

\[ \gamma(h) = \frac{1}{2} \text{Var}[X(s + h) - X(s)] \quad (\text{semivariogram}). \]

4.2 Second-Order Stationary 에서의 형태 (식 9.2)

\[ \gamma(h) = C(0) - C(h). \]

도출: \(\text{Var}[X(s+h) - X(s)] = \text{Var}[X(s+h)] + \text{Var}[X(s)] - 2\text{Cov} = 2C(0) - 2C(h)\). 절반 → \(\gamma(h) = C(0) - C(h)\).

4.3 직관: Variogram 이 거리에 따른 차이

\(h\)	\(\gamma(h)\)	의미
0	\(0\)	자기 자신과의 차 0
작음	작음 (\(C(h)\) 가 \(C(0)\) 에 가까움)	가까운 위치 비슷
큼	큼 (\(C(h)\) 작아짐)	멀어지면 차이 큼
\(\infty\)	\(C(0) = \sigma^2\)	무관 한계 (분산)

Variogram 의 형태가 공간 의존 구조를 명시 — 빠른 상승 = 빠른 무관화, 느린 상승 = 강한 의존성.

4.4 비유: 거리에 따른 친밀도 변화

가까운 친구: 자주 만남 → 비슷한 생각 (variogram 작음).
먼 지인: 가끔 만남 → 다른 생각 (variogram 큼).
모르는 사람: 무관 → variogram 이 분산 한계.

이는 공간 통계의 직관 — 거리가 의존성의 척도.

4.5 Kriging vs Variogram 의 표준 절차

공간 통계의 표준 분석 흐름:

데이터에서 empirical semivariogram \(\widehat{\gamma}(d)\) 계산.
모수 모형 (powered exponential, Matérn 등) 적합.
적합된 모형으로 공분산 \(C\) 추정.
Kriging 시스템 (식 9.6) 풀어 미관측 위치 예측.

이 절차가 spatial statistics 의 표준 워크플로우 — 모든 응용에서 일관.

5 Isotropy 와 공분산 함수 가족

5.1 Isotropy 의 정의

Isotropy (등방성)

\(C(h)\) 가 \(h\) 의 길이 \(h = \|h\|\) 에만 의존:

\[ C(h) = \sigma^2 \phi(h), \quad h \geq 0, \phi(0) = 1. \]

\(\phi\) = 상관 함수 (correlation function).

5.2 직관: Isotropy 의 의미

방향 무관 — 동서로 1km 와 남북으로 1km 의 의존성이 동일.

대부분의 자연 현상에서 isotropy 는 유용한 근사 — 정확하지는 않지만 (예: 동서 방향 바람) 분석을 단순화.

비등방 (anisotropy) 은 별도 모형 필요 — 더 복잡, 추정 도전.

5.3 비유: 평면의 회전 대칭

원이 회전 대칭 — 각도 무관. 정사각형은 90도 회전 대칭만.

Isotropic random field = 원처럼 모든 회전에 대칭. Anisotropic = 정사각형처럼 일부 회전만 대칭.

5.4 Powered Exponential

Powered Exponential 공분산

\[ \phi(h) = \exp\left\{-(h/\rho)^p\right\}, \quad \rho > 0, 0 < p \leq 2. \]

\(p\)	이름	매끄러움
1	Exponential	거친 (미분 불가)
2	Gaussian	매우 매끄러운 (∞ 미분)

5.5 직관: \(p\) 와 \(\rho\) 의 효과

\(\rho\) (range) — 의존성의 거리 척도. 큰 \(\rho\) = 멀리까지 강한 의존.
\(p\) — 매끄러움. 큰 \(p\) = \(h = 0\) 부근에서 더 평평 (매끄러움).

5.6 Matérn

Matérn 공분산

\[ \phi(h) = \frac{2^{1-\nu}}{\Gamma(\nu)} (h/\rho)^\nu K_\nu(h/\rho), \quad \rho > 0, \nu > 0, \]

\(K_\nu\) 는 modified Bessel function.

Matérn 의 매끄러움 모수 \(\nu\) — random field 의 sample path 가 \(\lceil \nu \rceil - 1\) 회 미분 가능.

특수 케이스:

\(\nu = 1/2\) — Exponential.
\(\nu = 3/2\) — 자주 쓰임 (한 번 미분 가능).
\(\nu \to \infty\) — Gaussian.

5.7 직관: Matérn 의 우월성

Powered exponential 은 매끄러움이 0 또는 ∞ 의 두 극단. Matérn 은 연속적 스펙트럼 (\(\nu\) 모수).

대부분의 응용에서 진짜 데이터의 매끄러움이 그 사이 — Matérn 이 더 적합. 공간 통계의 표준 선택.

5.8 비유: 음악의 음역

피아노가 두 옥타브만 (powered exponential) — 한정. 오케스트라가 모든 음역 (Matérn, \(\nu\) 가 음역) — 다양.

데이터의 매끄러움에 맞는 도구.

5.9 유효한 공분산 (Valid Covariance)

유효성 (Validity) 의 조건

상관 함수 \(\phi\) 가 valid 이려면 nonnegative definite:

\[ \sum_{i, j=1}^m a_i a_j \phi(d(s_i, s_j)) \geq 0 \quad \forall a_i \in \mathbb{R}, s_i \in S. \]

직접 검증 어려움 — Spectral theory of spatial Fourier transforms 사용.

5.10 직관: 임의의 함수 ≠ 공분산

대수적으로 임의의 함수를 공분산이라 부를 수 없다. 양정치성 이 분산을 음수로 만들지 않는 핵심 조건.

Powered exponential, Matérn 모두 검증된 valid 공분산 함수 — 자유롭게 사용 가능.

6 Empirical Semivariogram

6.1 표본 추정 (식 9.3)

\[ \widehat{\gamma}(d) = \frac{1}{|N(d)|} \sum_{(s_k, s_\ell) \in N(d)} (X(s_k) - X(s_\ell))^2, \]

\(N(d)\) — 거리 \(\approx d\) 의 위치 쌍 집합.
\(|N(d)|\) — 그 쌍의 개수.

6.2 절차

거리 binning — 모든 위치 쌍의 유클리드 거리 계산, \(d\) 별로 그룹화.
각 bin 에서 \(\widehat{\gamma}(d)\) 계산 — 차의 제곱 평균.
시각화 — \(\widehat{\gamma}(d)\) vs \(d\) 의 산점도 (variogram cloud).
모수 적합 — 이론 모형 (exponential 등) 으로 곡선 적합.

6.3 직관: Bin 의 필요

거리가 정확히 같은 쌍은 거의 없음 — 유사 거리 를 그룹화. Bin 폭의 균형:

좁은 bin — 정확하지만 표본 수 적음 (잡음).
넓은 bin — 안정적이지만 거리 해상도 손실.

6.4 비유: 인구 조사의 연령대

연령별 인구 비율 — 한 살씩 (좁은 bin) 잡으면 잡음 큼, 10 살씩 (넓은 bin) 잡으면 안정적이지만 정밀도 손실.

Variogram bin 도 같은 균형.

7 Kriging

7.1 정의

Kriging Predictor

미관측 위치 \(s\) 의 값 \(X(s)\) 를 관측값 \(X(s_1), \ldots, X(s_N)\) 의 선형 결합 으로 예측:

\[ \widehat{X}(s) = \mu + \sum_{k=1}^N w_k (X(s_k) - \mu). \]

7.2 Kriging 시스템

평균 제곱 예측 오차 \(E(\widehat{X}(s) - X(s))^2\) 의 식 (Problem 9.5):

\[ \sigma^2(s) = C(0) + \sum_{k, j} w_k w_j C(s_k - s_j) - 2 \sum_k w_k C(s_k - s). \]

\(w_1, \ldots, w_N\) 에 대해 미분 = 0:

\[ \sum_{j=1}^N C(s_k - s_j) w_j = C(s_k - s), \quad k = 1, 2, \ldots, N. \tag{식 9.6} \]

\(N\) 개 방정식, \(N\) 개 미지수. 행렬 \([C(s_k - s_j)]\) 가 비특이이면 유일한 해.

7.3 직관: Kriging 시스템의 의미

좌변 = “각 관측 위치의 영향력의 가중 합”, 우변 = “그 관측 위치와 예측 대상의 공분산”.

이는 다변량 회귀의 정규방정식 \(X^T X \beta = X^T y\) 와 같은 구조 — 공분산 행렬이 회귀 행렬, 가중치가 회귀 계수.

7.4 비유: 가중 평균의 일반화

5 명 친구의 시험 점수 평균:

단순 평균: 모두 1/5.
가중 평균: 나와 친한 친구는 큰 가중, 거리 먼 친구는 작은 가중.

Kriging = 공분산 (친밀도) 기반의 자동 가중 — 객관적 기준.

7.5 Kriging the Mean (식 9.7)

평균 \(\mu\) 의 추정:

\[ \widehat{\mu} = \sum_{k=1}^N w_k X(s_k), \quad \sum w_k = 1. \]

Lagrange multiplier:

\[ \sum_{j=1}^N C(s_k - s_j) w_j - r = 0, \quad k = 1, \ldots, N, \quad \sum_{j=1}^N w_j = 1. \]

\(N + 1\) 미지수 (\(w_1, \ldots, w_N, r\)).

7.6 직관: 단순 평균이 비효율적인 이유

iid 가정: 모든 관측이 같은 정보 → 단순 평균이 최선.

공간 데이터: 가까운 관측이 비슷한 정보 → 단순 평균이 한 영역의 정보를 중복.

해결: 가까운 관측 그룹에 작은 가중치 합 → 독립 정보의 효율적 추출. Kriging the mean 이 이를 자동 수행.

7.7 비유: 회의의 의견 가중

같은 부서 5 명 + 다른 부서 1 명의 의견 평균:

단순 평균: 같은 부서 의견이 지배 (5/6).
가중 평균 (다양성 보정): 다른 부서 1 명에 큰 가중치.

부서 = 공간 (가까운 위치 그룹), 가중 = kriging 의 자동 처리.

8 다른 공간 데이터 구조

8.1 4 가지 표준 구조

공간 데이터의 4 가지 구조

구조	데이터	예시	Ch.9 의 초점
Geostatistical	점 위치의 측정	기상 관측소	(Ch.9 의 초점)
Regional	지역 (구역) 의 측정	카운티 사망률	(간접)
Lattice	격자 위 측정	위성 픽셀	(regional 와 유사)
Spatial point process	사건 발생 위치	낙뢰, 지진	(별도 framework)

8.2 직관: 위치의 본성

Geostatistical: 위치가 고정, 값이 random.
Point process: 위치 자체가 random (사건 발생 패턴).

두 구조가 같은 데이터로 보일 수 있지만 (예: 낙뢰 + 강도) 분석 framework 가 다름.

Ch.9 는 geostatistical (위치 고정) 에 집중.

9 함수 공간장 (9.2)

9.1 정의

Functional Spatial Field

각 위치 \(s \in S\) 에 random function \(X(s) \in L^2[0, 1]\):

\[ \{X(s; t): s \in S, t \in [0, 1]\}. \]

각 \(X(s)\) 의 시점 \(t\) 에서의 값을 \(X(s; t)\) 로 표기.

Square integrability:

\[ E\|X(s)\|^2 = \int E X^2(s; t) \, dt < \infty. \]

9.2 스칼라와의 비교

측면	스칼라 (9.1)	함수 (9.2)
\(X(s)\)	\(\mathbb{R}\) 의 random variable	\(L^2\) 의 random function
차원	1 (scalar)	\(\infty\) (function)
표현	한 숫자	시점 \(t\) 의 함수 \(X(s; t)\)

9.3 직관: 시간 차원의 추가

스칼라 random field — 각 위치에 한 숫자 (예: “오늘 정오 기온”).

함수 random field — 각 위치에 곡선 (예: “오늘 24 시간의 기온 변동”).

같은 위치의 시간적 풍부함 — 정보 + 분석 도구 + 도전 모두 추가.

9.4 비유: 흑백 vs 컬러 사진

흑백 사진 (스칼라) — 각 픽셀에 한 값 (밝기).
컬러 사진 (함수) — 각 픽셀에 곡선 (RGB 또는 스펙트럼).

같은 위치 인덱스이지만 더 풍부한 정보.

10 Strict Stationarity (함수 버전)

10.1 정의

식 (9.1) 의 자연스러운 함수 일반화:

\[ \{X(s_1 + h), X(s_2 + h), \ldots, X(s_m + h)\} \stackrel{d}{=} \{X(s_1), X(s_2), \ldots, X(s_m)\}, \]

결합 분포가 product space \((L^2)^m\) 에서 시간 shift 에 불변.

10.2 Square integrability + Strict stationarity 의 함의

\(E\|X(s)\|^2\) 가 \(s\) 무관 → \(\mu\) 와 공분산이 잘 정의 + 시간 무관.

10.3 평균 함수와 공분산

함수 random field 의 평균과 공분산

평균 함수:

\[ \mu(t) = E X(s; t). \]

\(s\) 무관 (stationarity).

이변량 공분산:

\[ C(h; t, u) = \text{Cov}(X(s; t), X(s + h; u)). \]

세 인덱스 — 공간 lag \(h\), 시간 인덱스 \(t, u\).

10.4 직관: 세 차원의 의존성

함수 random field 의 공분산이 세 인덱스의 함수 — 스칼라 (한 인덱스 \(h\)) 보다 훨씬 풍부.

공간 차원: \(h = s_2 - s_1\).
시간 차원 두 개: \(t, u\).

각 위치 쌍에 한 표면 (\(t, u\) 의 함수) — 추정·해석이 어려움.

10.5 비유: 1D vs 3D 영상

1D 영상 (시간만, 스칼라 시계열) — 단순.
2D 영상 (공간만, 스칼라 공간) — Ch.9.1.
3D 영상 (공간 + 시간, 함수 공간) — Ch.9.2.

각 차원 추가가 정보 + 복잡성 모두 증가.

11 양정치성의 미묘함

11.1 핵심 결과

\(C(h; t, u)\) 의 양정치성

함수 random field 의 공분산 \(h \mapsto C(h; t, u)\) 가 \(t = u\) 일 때만 nonnegative definite (Problem 9.2 의 식 9.18).

\(t \neq u\) 의 경우 양정치성 보장 안 됨.

11.2 의미

\(t = u\) 의 경우:

\[ C(h; t, t) = \text{Cov}(X(s; t), X(s + h; t)). \]

이는 시점 \(t\) 를 고정한 스칼라 random field \(\{X(s; t)\}\) 의 공분산 — 표준 양정치 spatial covariance.

\(t \neq u\) 의 경우 두 다른 시점의 cross covariance — 일반적으로 양정치 아님.

11.3 직관: 단일 시점이 양정치 토대

각 시점 \(t\) 의 사진 (모든 위치에서의 값) 이 표준 spatial random field — 양정치 공분산.

다른 시점의 값들 사이는 cross-section 만 — 단일 사진 안에서의 양정치성과 다름.

11.4 비유: 사진 vs 동영상

단일 사진 (한 시점) — 픽셀 사이 의존성 = 양정치.
동영상 (여러 시점) — 다른 프레임의 픽셀 사이 cross 관계 = 양정치 보장 없음.

양정치성은 단일 시간 슬라이스에서만.

11.5 함의

실무 의미

추정에서:

\(C(h; t, t)\) — 표준 spatial variogram 도구로 추정 가능.
\(C(h; t, u)\) for \(t \neq u\) — 별도 cross-variogram 도구 필요 (Co-kriging 의 영역).

Ch.9 의 functional kriging 은 주로 \(C(h; t, t)\) 의 적분 (Problem 9.2) 을 사용 — 양정치 자동 보장.

11.6 직관: 단일 시점 추정의 우선성

함수 kriging 의 표준 절차 (9.3 에서 다룰 것):

각 시점 \(t\) 에서 스칼라 spatial covariance \(C(h; t, t)\) 추정.
시점에 대해 적분 → 함수 공분산 \(C(s, s')\).
Kriging 시스템 (식 9.6 의 함수 일반화).

이 절차가 양정치성을 자동 유지 — 시점별 분리 + 적분 의 우아함.

12 Isotropy (함수 버전)

12.1 가정

\[ C(h; t, u) = C(\|h\|; t, u), \]

공분산이 \(h\) 의 길이에만 의존, 방향 무관.

12.2 직관

스칼라 isotropy 와 같은 사고 — 모든 방향 동등. 자연 현상에서 자주 가정 (정확하지는 않지만 유용한 근사).

12.3 표준 가정 패키지

Ch.9 의 표준 가정

본 chapter 의 나머지 (9.3~9.6) 에서는 다음을 가정:

Square integrable: \(E\|X(s)\|^2 < \infty\).
Strictly stationary: 모든 결합 분포가 위치 shift 에 불변.
Isotropic: 공분산이 \(h = \|h\|\) 에만 의존.

이 세 가정으로 framework 가 단순화 + 표준 도구 적용 가능.

12.4 직관: 가정의 강도와 도구의 단순성

가정이 강할수록 도구가 단순. 이 세 가정이 현실 데이터에 정확히 맞지는 않지만, 분석을 가능하게 만드는 표준 출발점.

후속 연구 (Caballero, Menafoglio 등) 가 이 가정들을 약화 + 일반화 — 더 정교하지만 표준 가정으로의 적용이 우선.

13 두 절의 통합 시각

13.1 한 줄 요약

9.1 은 스칼라 공간 통계의 핵심 — geostatistical 데이터 + (strict/second-order/intrinsic) stationarity + isotropy + (powered exponential / Matérn) 공분산 가족 + variogram 추정 + kriging 시스템 (식 9.6, 9.7). 9.2 는 함수 공간장으로의 일반화 — L²-valued random field {X(s; t)}, square integrable + strict stationarity + isotropy 가정, 평균 함수 μ(t) 와 이변량 공분산 C(h; t, u). 핵심 미묘함: h → C(h; t, u) 가 t = u 일 때만 양정치 (단일 시점 슬라이스만 표준 spatial covariance), 함수 kriging 이 시점별 추정 + 적분으로 양정치 자동 유지.

13.2 Section 9.0 overview 와의 비교

측면	9-0 (overview)	9-1 (이 포스트)
깊이	전체 chapter 의 흐름	9.1 + 9.2 의 정확한 정의
수식	핵심만	단계별 유도
Variogram	언급만	식 (9.2) γ = C(0) - C(h) 도출
Kriging	시스템만	식 (9.5) 손실 + 식 (9.6) 시스템
양정치성	언급 안 함	t = u 만 양정치의 미묘함

9-1 이 9-0 의 토대 절들의 정확한 정착.

13.3 Ch.9 후속 절과의 연결

후속 절	9.1~9.2 의 도구를 어떻게 활용하는가
9.3 함수 kriging	9.2 의 \(C(h; t, t)\) 를 시점별 추정 + 적분으로 함수 공분산
9.4 평균 함수 추정	9.1 의 kriging the mean (식 9.7) 의 함수 일반화
9.5 geofd 패키지	9.1 의 variogram + 9.3 의 kriging 의 R 구현
9.6 확장	9.2 의 가정들의 약화 (Caballero 의 covariate, Menafoglio)

9.1~9.2 가 Ch.9 의 모든 후속 도구의 수학적 토대.

13.4 학습 가이드

Spatial Statistics 배경별 학습

공간 통계 배경 있음: 9.1 은 빠르게 훑고, 9.2 의 함수 일반화 (특히 양정치성 미묘함) 에 집중.

공간 통계 배경 없음: 9.1 의 모든 개념을 정착 + Cressie (1993) Chapter 1~2 같은 표준 참고서 병행. 9.2 는 9.1 의 자연스러운 확장으로 이해.

FDA 배경 있음: 9.2 의 함수 공간장이 Ch.3 의 random function 의 공간 일반화로 보임.

14 관련 주제

선행 지식

후속 주제

관련 개념

Variogram 과 Semivariogram 의 추정
Matérn 공분산 함수 — Ch.7 의 sparse FDA 와 같은 도구
Powered Exponential Covariance
Modified Bessel Function — Matérn 의 정의
양정치 함수 (Positive Definite Functions)
Bochner 정리 — 유효 공분산 함수의 spectral 표현
Cressie (1993) Statistics for Spatial Data — 스칼라 공간 통계 표준