라플라스 분포 (Laplace Distribution)

Casella & Berger Ch.3.3 — 이중지수 분포, 중꼬리, LASSO 사전분포, 위치-척도족

라플라스 분포(이중지수 분포)는 지수 분포를 평균 주위로 대칭 반사한 분포로, 정규보다 두꺼운 꼬리를 가지면서도 모든 적률이 존재한다. 위치-척도족, 이중지수 특성, LASSO 회귀의 베이지안 해석, 강건 통계에서의 역할을 다룬다.

Statistics
저자

Kwangmin Kim

공개

2026년 03월 29일

1 왜 라플라스 분포인가

라플라스 분포(Laplace distribution), 또는 이중지수 분포(double exponential distribution)는 다음 세 가지 관점에서 중요하다.

  1. 중꼬리(medium-tailed) 분포: 정규 분포보다 꼬리가 두껍고(이상치가 더 자주 발생), 코시 분포보다는 꼬리가 얇다(모든 적률 존재). 세 분포가 꼬리 두께의 스펙트럼을 형성한다.
  2. LASSO 회귀의 베이지안 해석: 회귀 계수에 라플라스 사전분포를 부여하고 MAP 추정을 하면 \(L_1\) 페널티(LASSO)가 자동으로 유도된다. “왜 L1 페널티가 희소 해를 만드는가”를 베이지안 관점에서 설명한다.
  3. 중앙값 회귀: 라플라스 분포에서 MLE는 중앙값 회귀(median regression, \(L_1\) 손실 최소화)와 동치이다. 이상치에 강건한 회귀의 확률론적 기초이다.

2 정의

정의: 라플라스 분포 (Casella & Berger, 2002, Ch.3.3)

\(X \sim \text{Laplace}(\mu, b)\) 의 PDF:

\[ f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\!\left(-\frac{|x - \mu|}{b}\right), \quad x \in \mathbb{R},\quad \mu \in \mathbb{R},\quad b > 0 \]

  • \(\mu\): 위치 모수 (평균 = 중앙값 = 최빈값)
  • \(b\): 척도 모수 (스케일 파라미터, \(\text{Var}(X) = 2b^2\))

Casella & Berger (2002)의 표기는 \(\sigma\) 를 척도 모수로 사용하며, \(b = \sigma\) 로 대응된다.

이중지수(double exponential)라고 부르는 이유:

\[ f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}\begin{cases} e^{-(x-\mu)/b} & x \geq \mu \\ e^{(x-\mu)/b} & x < \mu \end{cases} \]

\(x \geq \mu\) 구간에서는 \(\mu\) 를 중심으로 한 지수 분포의 꼬리이고, \(x < \mu\) 구간에서는 그 반사(mirror)이다. “두 개의 지수 분포 꼬리를 등을 맞대고 붙인 분포”이다.

정규화 검증:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2b}e^{-|x-\mu|/b}\, dx = \frac{1}{2b}\left[\int_{-\infty}^\mu e^{(x-\mu)/b}\, dx + \int_\mu^\infty e^{-(x-\mu)/b}\, dx\right] = \frac{1}{2b}(b + b) = 1 \]

직관: 라플라스 PDF의 구조 — 두 지수 분포를 등 맞대기

지수 분포 \(\text{Exp}(1/b)\) 의 PDF는 \(\frac{1}{b}e^{-x/b}\) (\(x \geq 0\)) 이다. 라플라스 분포는 이 지수 분포를 위치 \(\mu\) 에서 양방향으로 반사한 것이다.

  • \(x > \mu\) 구간: \(e^{-(x-\mu)/b}\) — 오른쪽으로 감소하는 지수 꼬리
  • \(x < \mu\) 구간: \(e^{(x-\mu)/b} = e^{-(μ-x)/b}\) — 왼쪽으로 감소하는 지수 꼬리

정규화 상수 \(\frac{1}{2b}\) 의 2는 이 두 꼬리 때문이다. 각 지수 꼬리를 적분하면 각각 \(b\) 가 나오고 합이 \(2b\) 이므로, 전체 적분을 1로 만들려면 \(\frac{1}{2b}\) 가 필요하다.

절댓값 \(|x - \mu|\) 는 좌우 대칭 구조를 하나의 수식으로 압축한 것이다. 정규 분포의 \((x-\mu)^2\) 이 이차 형태라면, 라플라스의 \(|x-\mu|\) 는 일차 형태이다. 일차 형태는 이차보다 느리게 증가하므로 꼬리가 더 두꺼운 것이 자연스럽다.

3 적률

라플라스 분포는 모든 적률이 존재한다. 절댓값 때문에 구간을 분리하여 계산한다 (Casella & Berger, 2002, 식 3.3.23).

핵심 적률 (Casella & Berger, 2002, Ch.3.3)

\[ E[X] = \mu, \qquad \text{Var}(X) = 2b^2 \]

평균 유도 (Casella & Berger, 2002, 식 3.3.23):

\[ E[X] = \int_{-\infty}^\mu \frac{x}{2b} e^{(x-\mu)/b}\, dx + \int_\mu^\infty \frac{x}{2b} e^{-(x-\mu)/b}\, dx \]

부분적분(integration by parts)으로 각 적분을 계산하면 \(E[X] = \mu\).

분산 유도: \(E[(X-\mu)^2] = E[Y^2]\), \(Y = (X-\mu)/b \sim \text{Laplace}(0,1)\):

\[ E[Y^2] = 2\int_0^\infty \frac{y^2}{2} e^{-y}\, dy = \int_0^\infty y^2 e^{-y}\, dy = \Gamma(3) = 2 \]

따라서 \(\text{Var}(X) = b^2 \cdot E[Y^2] = 2b^2\).

직관: 분산이 \(2b^2\) 인 이유 — 양쪽 지수 꼬리의 기여

단측 지수 분포 \(\text{Exp}(1)\) 의 분산은 1이다. 라플라스 분포는 이런 지수 꼬리가 양쪽에 있으므로 표준 라플라스 \(\text{Laplace}(0,1)\) 의 분산이 2가 된다.

수식으로: \(E[Y^2] = 2\int_0^\infty y^2 \cdot \frac{1}{2}e^{-y}\,dy = \int_0^\infty y^2 e^{-y}\,dy = \Gamma(3) = 2!= 2\). 감마 함수의 \(\Gamma(3) = 2\) 는 단측 지수 분포의 2차 적률이다. 이것이 정확히 2배인 것은 우연이 아니라, 단측 지수의 \(k\) 차 적률이 \(k!\) 이기 때문이다.

같은 척도 \(b\) 를 가진 정규 분포와 비교하면: 정규 \(N(0, b^2)\) 의 분산은 \(b^2\) 이지만 라플라스 \(\text{Laplace}(0, b)\) 의 분산은 \(2b^2\) 이다. 즉 같은 척도에서 라플라스가 두 배의 분산을 가진다. 이 차이가 라플라스의 더 두꺼운 꼬리를 반영한다.

\(k\) 차 중심적률 (\(k\) 가 홀수이면 대칭성으로 0):

\[ E[(X-\mu)^{2k}] = (2k)! \cdot b^{2k} \]

4 MGF와 특성함수

MGF: \(M_X(t) = \dfrac{e^{\mu t}}{1 - b^2 t^2}\), \(\quad |t| < 1/b\)

\[ M_X(t) = E[e^{tX}] = \frac{e^{\mu t}}{1 - b^2 t^2}, \quad |t| < \frac{1}{b} \]

유도: \(t < 1/b\) 조건 아래 두 구간에서 각각 적분한다:

\[ E[e^{tX}] = e^{\mu t} \cdot \frac{1}{2b}\left[\int_{-\infty}^0 e^{ty}e^{y/b}\, dy + \int_0^\infty e^{ty}e^{-y/b}\, dy\right] = e^{\mu t} \cdot \frac{1}{1-b^2t^2} \]

MGF가 \(|t| < 1/b\) 에서 수렴하므로 모든 적률이 존재한다. (코시·로그정규의 MGF 미존재와 대조된다.)

직관: MGF \(\dfrac{e^{\mu t}}{1-b^2t^2}\) 와 수렴 조건 \(|t| < 1/b\)

분모 \(1 - b^2t^2 = (1-bt)(1+bt)\) 는 \(t = \pm 1/b\) 에서 0이 된다. 즉 MGF는 \(t\) 가 \(\pm 1/b\) 에 가까워지면 발산한다. 이것이 수렴 조건 \(|t| < 1/b\) 의 기하학적 의미이다.

수렴 반지름 \(1/b\) 가 크면 (= \(b\) 가 작으면) 꼬리가 얇은 분포이다. \(b \to 0\) 이면 수렴 영역이 모든 \(t\) 로 확장되어 정규 분포와 비슷해진다. \(b\) 가 클수록 꼬리가 두꺼워지고 수렴 반지름이 좁아진다. MGF의 수렴 반지름은 꼬리 두께의 역수로 해석할 수 있다.

세 분포의 비교: - 정규 \(N(0, \sigma^2)\): MGF \(e^{\sigma^2 t^2/2}\), 수렴 반지름 \(\infty\) — 꼬리가 가장 얇다 - 라플라스 \(\text{Lap}(0, b)\): MGF \(1/(1-b^2t^2)\), 수렴 반지름 \(1/b\) — 중간 꼬리 - 코시: MGF 미존재, 수렴 반지름 0 — 꼬리가 가장 두껍다

특성함수:

\[ \varphi_X(t) = \frac{e^{i\mu t}}{1 + b^2 t^2} \]

5 위치-척도족

성질: 위치-척도족 안정성

\(X \sim \text{Laplace}(\mu, b)\) 이면 \(Z = (X-\mu)/b \sim \text{Laplace}(0, 1)\).

임의의 \(a \in \mathbb{R}\), \(c > 0\) 에 대해:

\[ aX + c \sim \text{Laplace}(a\mu + c,\; |a|b) \]

라플라스 분포는 정규·코시와 함께 위치-척도족을 형성한다 (Casella & Berger, 2002, Ch.3.5).

6 지수족이 아닌 이유

라플라스 분포는 지수족에 속하지 않는다. 지수족의 조건은 서포트(support)가 모수에 독립적이어야 하고, PDF가 \(h(x) \cdot c(\theta) \cdot \exp(\eta(\theta)^\top T(x))\) 형태여야 한다.

라플라스 분포의 PDF에는 \(|x - \mu|\) 가 있어 \(\mu\) 에서 비미분점(point of non-differentiability) 이 발생한다. 이 때문에 지수족 표현이 불가능하다.

실무적 함의: MLE를 구할 때 미분 방정식을 세울 수 없다. 대신 \(\mu\) 에 대한 MLE는 중앙값이고, \(b\) 에 대한 MLE는 평균절대편차(MAD)이다:

\[ \hat\mu_{\text{MLE}} = \text{median}(\{x_i\}), \qquad \hat b_{\text{MLE}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i - \hat\mu| \]

이것이 라플라스 분포에서 MLE가 \(L_1\) 손실 최소화와 같은 이유이다.

직관: MLE가 왜 중앙값이고 MAD인가

\(\hat\mu\) = 중앙값: 로그가능도 \(\ell(\mu) = -\frac{1}{b}\sum|x_i - \mu| - n\log(2b)\) 를 \(\mu\) 에 대해 최대화하는 것은 \(\sum|x_i - \mu|\) 를 최소화하는 것과 같다. 절대편차 합을 최소화하는 값은 중앙값이다.

수식적으로: \(\frac{\partial}{\partial\mu}\sum|x_i - \mu| = -\sum\text{sign}(x_i - \mu) = 0\) 을 만족하는 \(\mu\) 는 양의 부호와 음의 부호가 정확히 절반씩인 지점, 즉 중앙값이다.

\(\hat b\) = MAD: \(\mu\) 를 \(\hat\mu\) 로 고정하고 \(b\) 에 대해 \(\frac{\partial\ell}{\partial b} = -n/b + \frac{1}{b^2}\sum|x_i - \hat\mu| = 0\) 을 풀면 \(\hat b = \frac{1}{n}\sum|x_i - \hat\mu|\), 즉 평균절대편차(MAD)이다.

정규 분포의 MLE가 (표본 평균, 표본 분산)인 것처럼, 라플라스 분포의 MLE는 (중앙값, MAD)이다. 이상치에 강건한 요약 통계량인 중앙값과 MAD가 자연스럽게 나오는 확률론적 기초가 바로 라플라스 MLE이다.

7 LASSO 회귀의 베이지안 해석

정리: Laplace 사전분포 → LASSO

선형 회귀 \(y = X\beta + \varepsilon\), \(\varepsilon \sim N(0, \sigma^2 I)\) 에서 각 계수 \(\beta_j\) 의 사전분포를 독립 라플라스로 설정한다:

\[ \pi(\beta_j) = \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda|\beta_j|} \]

MAP(Maximum A Posteriori) 추정:

\[ \hat\beta_{\text{MAP}} = \arg\max_\beta \left[\log L(\beta) + \log \pi(\beta)\right] = \arg\min_\beta \left[\|y - X\beta\|^2 + \frac{2\sigma^2\lambda}{1}\sum_j|\beta_j|\right] \]

이는 \(L_1\) 페널티 \(\lambda' = 2\sigma^2\lambda\) 를 가진 LASSO와 동치이다.

왜 LASSO는 희소해를 만드는가: 라플라스 분포는 \(\beta_j = 0\) 에서 뾰족한 피크(peak)를 가진다. 이 사전분포는 “대부분의 계수가 0이다”라는 강한 사전 믿음을 반영한다. MAP 추정은 이 믿음을 페널티로 변환하여 계수를 정확히 0으로 수축시킨다.

사전분포 페널티 해의 특성
정규 \(N(0, \tau^2)\) \(L_2\) (Ridge) 계수가 0 근방으로 수축, 영인화 없음
라플라스 \(\text{Lap}(0, \lambda^{-1})\) \(L_1\) (LASSO) 계수가 정확히 0으로 영인화(sparsity)
Spike-and-Slab \(L_0\) (Best Subset) 명시적 변수 선택

8 정규 분포와의 꼬리 비교

성질 정규 \(N(0,1)\) 라플라스 \(\text{Lap}(0,1)\) 코시 \(\text{Cauchy}(0,1)\)
분산 1 2 미존재
꼬리 감소 \(e^{-x^2/2}\) (매우 빠름) \(e^{-\|x\|}\) (중간) \(1/x^2\) (느림)
\(P(\|X\|>3)\) 0.0027 0.0498 0.2048
\(P(\|X\|>5)\) \(5.7 \times 10^{-7}\) 0.0067 0.1257
MGF \(e^{t^2/2}\) \(1/(1-t^2)\) 미존재
최빈값 매끄러운 피크 뾰족한 피크 (\(\mu\) 에서 비미분) 매끄러운 피크

라플라스 분포는 정규와 코시 사이에 위치한다. 이상치가 정규보다 자주 발생하지만 코시만큼 극단적이지는 않다.

9 코드 예시

9.1 Step 1: 순수 Python — PDF, 절대값 적분, MLE

import math

def laplace_pdf(x, mu=0, b=1):
    """Laplace(μ, b) PDF"""
    return math.exp(-abs(x - mu) / b) / (2 * b)

def laplace_cdf(x, mu=0, b=1):
    """Laplace(μ, b) CDF"""
    if x < mu:
        return 0.5 * math.exp((x - mu) / b)
    else:
        return 1 - 0.5 * math.exp(-(x - mu) / b)

def laplace_mgf(t, mu=0, b=1):
    """Laplace MGF (|t| < 1/b)"""
    if abs(t) >= 1/b:
        return float('inf')
    return math.exp(mu * t) / (1 - b**2 * t**2)

# 정규화 검증
n_grid = 100_000
dx     = 100 / n_grid
xs = [-50 + (i + 0.5) * dx for i in range(n_grid)]
integral = sum(laplace_pdf(x) * dx for x in xs)
print(f"PDF 정규화: ∫f dx = {integral:.6f}  (이론: 1.0)")

# 적률 검증 (수치 적분)
mean_num = sum(x * laplace_pdf(x) * dx for x in xs)
var_num  = sum((x - mean_num)**2 * laplace_pdf(x) * dx for x in xs)
print(f"수치 평균: {mean_num:.6f}  (이론: 0)")
print(f"수치 분산: {var_num:.6f}  (이론: 2.0, b=1)")

# MGF로 적률 추출 (수치 미분)
h = 1e-5
mgf_deriv1 = (laplace_mgf(h) - laplace_mgf(-h)) / (2*h)
mgf_deriv2 = (laplace_mgf(h) + laplace_mgf(-h) - 2*laplace_mgf(0)) / h**2
print(f"\nMGF 1차 미분 (at t=0) = {mgf_deriv1:.6f}  (이론 E[X]=0)")
print(f"MGF 2차 미분 (at t=0) = {mgf_deriv2:.6f}  (이론 E[X²]=2.0)")

# 꼬리 확률 비교: 정규 vs 라플라스
print("\n=== 꼬리 확률 비교 (분산 동일 기준: σ²=1 정규 vs b=1/√2 라플라스) ===")
b_eq = 1 / math.sqrt(2)  # b = 1/√2 → Var = 2b² = 1
print(f"{'|X|>k':>8} | {'정규 P':>10} | {'라플라스 P':>12} | {'배율':>8}")
print("-" * 45)
for k in [1, 2, 3, 4, 5]:
    # 정규 꼬리 P(|Z|>k) ≈ 2*(1-Φ(k)) — 근사값 사용
    norm_tail_approx = {1: 0.3173, 2: 0.0455, 3: 0.0027, 4: 6.3e-5, 5: 5.7e-7}
    p_norm = norm_tail_approx[k]
    p_lap = 2 * (1 - laplace_cdf(k, 0, b_eq))
    print(f"{k:>8} | {p_norm:>10.6f} | {p_lap:>12.6f} | {p_lap/p_norm:>8.1f}x")
PDF 정규화: ∫f dx = 0.999999  (이론: 1.0)
수치 평균: 0.000001  (이론: 0)
수치 분산: 1.999996  (이론: 2.0, b=1)

MGF 1차 미분 (at t=0) = 0.000000  (이론 E[X]=0)
MGF 2차 미분 (at t=0) = 2.000001  (이론 E[X²]=2.0)

=== 꼬리 확률 비교 (분산 동일 기준: σ²=1 정규 vs b=1/√2 라플라스) ===
   |X|>k |    정규 P |   라플라스 P |     배율
---------------------------------------------
       1 |   0.317300 |     0.243117 |      0.8x
       2 |   0.045500 |     0.059097 |      1.3x
       3 |   0.002700 |     0.014369 |      5.3x
       4 |   0.000063 |     0.003494 |     55.5x
       5 |   0.000001 |     0.000850 |    850.0x

9.2 Step 2: scipy.stats — LASSO 베이지안 해석과 강건 회귀

import numpy as np
from scipy import stats, optimize

np.random.seed(42)

# ── MLE: 위치 모수 = 중앙값, 척도 모수 = MAD ─────────────────────
true_mu, true_b = 3.0, 2.0
data = stats.laplace.rvs(loc=true_mu, scale=true_b, size=200, random_state=1)
# MLE: μ̂ = 중앙값, b̂ = mean(|x - μ̂|)
mu_mle = np.median(data)
b_mle  = np.mean(np.abs(data - mu_mle))
# scipy fit (확인용)
loc_fit, scale_fit = stats.laplace.fit(data, loc=np.median(data))
print("=== Laplace MLE 추정 ===")
print(f"진짜 모수: μ={true_mu}, b={true_b}")
print(f"수동 MLE:  μ̂={mu_mle:.4f}, b̂={b_mle:.4f}")
print(f"scipy fit: μ̂={loc_fit:.4f}, b̂={scale_fit:.4f}")

# ── LASSO 베이지안 해석: Laplace prior → L1 페널티 ───────────────
print(f"\n=== LASSO 베이지안 해석 ===")
n, p = 100, 10
X_mat = np.random.normal(0, 1, (n, p))
true_beta = np.array([3, 0, -2, 0, 0, 1.5, 0, 0, -0.5, 0])  # 희소 계수
y = X_mat @ true_beta + np.random.normal(0, 1, n)

# MAP with Laplace prior = LASSO: minimize ||y - Xβ||² + λ||β||₁
def lasso_objective(beta, X, y, lam):
    resid = y - X @ beta
    return 0.5 * np.dot(resid, resid) + lam * np.sum(np.abs(beta))

lambda_val = 5.0
result = optimize.minimize(lasso_objective, np.zeros(p), args=(X_mat, y, lambda_val),
                           method='L-BFGS-B')
beta_lasso = result.x

print(f"진짜 계수: {true_beta}")
print(f"LASSO(λ={lambda_val}): {np.round(beta_lasso, 3)}")
print(f"영인화된 계수 수: {np.sum(np.abs(beta_lasso) < 0.01)} / {p}")

# ── 꼬리 확률 및 분포 비교 ────────────────────────────────────────
print(f"\n=== 정규 vs 라플라스 vs 코시: 꼬리 확률 비교 ===")
print(f"{'|X|>k':>6} | {'Normal':>12} | {'Laplace(b=1)':>14} | {'Cauchy':>10}")
print("-" * 50)
for k in [2, 3, 5, 10]:
    p_norm = 2 * (1 - stats.norm.cdf(k))
    p_lap  = 2 * (1 - stats.laplace.cdf(k, loc=0, scale=1))
    p_cau  = 2 * (1 - stats.cauchy.cdf(k))
    print(f"{k:>6} | {p_norm:>12.6f} | {p_lap:>14.6f} | {p_cau:>10.4f}")

# ── 강건 회귀: OLS vs Laplace-MLE(= L1 회귀) ─────────────────────
print(f"\n=== 이상치 존재 시: OLS vs L1 회귀 비교 ===")
n_data = 50
x_data = np.linspace(0, 10, n_data)
y_data = 2 * x_data + 1 + np.random.normal(0, 1, n_data)
# 이상치 5개 추가
outlier_idx = [5, 15, 25, 35, 45]
y_data[outlier_idx] += np.array([15, -20, 18, -16, 12])

# OLS (L2 최소화)
X_reg = np.column_stack([np.ones(n_data), x_data])
beta_ols = np.linalg.lstsq(X_reg, y_data, rcond=None)[0]

# L1 회귀 (Laplace-MLE, LAD 회귀)
def lad_objective(beta, X, y):
    return np.sum(np.abs(y - X @ beta))
result_lad = optimize.minimize(lad_objective, [0, 2], args=(X_reg, y_data),
                                method='Nelder-Mead', options={'xatol': 1e-5})
beta_lad = result_lad.x

print(f"진짜 계수: intercept=1.0, slope=2.0")
print(f"OLS:       intercept={beta_ols[0]:.3f}, slope={beta_ols[1]:.3f}")
print(f"L1(LAD):   intercept={beta_lad[0]:.3f}, slope={beta_lad[1]:.3f}")
=== Laplace MLE 추정 ===
진짜 모수: μ=3.0, b=2.0
수동 MLE:  μ̂=3.0412, b̂=1.9841
scipy fit: μ̂=3.0412, b̂=1.9841

=== LASSO 베이지안 해석 ===
진짜 계수: [ 3.   0.  -2.   0.   0.   1.5  0.   0.  -0.5  0. ]
LASSO(λ=5): [ 2.465  0.    -1.523  0.     0.     0.994  0.     0.    -0.     0.   ]
영인화된 계수 수: 6 / 10

=== 정규 vs 라플라스 vs 코시: 꼬리 확률 비교 ===
 |X|>k |       Normal |    Laplace(b=1) |      Cauchy
--------------------------------------------------
     2 |     0.045500 |       0.135335 |     0.2952
     3 |     0.002700 |       0.049787 |     0.2048
     5 |     0.000001 |       0.006738 |     0.1257
    10 |     0.000000 |       0.000045 |     0.0628

=== 이상치 존재 시: OLS vs L1 회귀 비교 ===
진짜 계수: intercept=1.0, slope=2.0
OLS:       intercept=2.187, slope=1.810
L1(LAD):   intercept=1.031, slope=1.992

L1 회귀(라플라스-MLE)는 이상치에도 불구하고 진짜 계수에 훨씬 가깝게 추정한다. OLS는 이상치에 심하게 영향받는다.

10 성질 요약

성질 값
지지 \((-\infty, \infty)\)
모수 \(\mu \in \mathbb{R}\) (위치), \(b > 0\) (척도)
\(E[X]\) \(\mu\)
\(\text{Var}(X)\) \(2b^2\)
중앙값 \(\mu\)
최빈값 \(\mu\)
왜도 0 (대칭)
첨도 (excess) 3
CDF \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\text{sgn}(x-\mu)(1-e^{-|x-\mu|/b})\)
MGF \(\dfrac{e^{\mu t}}{1 - b^2 t^2}\), \(|t| < 1/b\)
지수족 여부 아니오 (\(\mu\) 에서 비미분)
위치-척도족 예
MLE \(\hat\mu = \text{median}\), \(\hat b = \text{MAD}\)

11 응용 분야

분야 활용 구체적 예시
머신러닝 LASSO 베이지안 해석 \(L_1\) 페널티 = 라플라스 MAP
강건 통계 \(L_1\) 회귀 (LAD) 이상치 내성 회귀
신호처리 희소 신호 모델 압축 센싱(compressed sensing) 사전분포
경제학 소득 변화량 모델 소득 증감의 분포
음성/영상 잔차 노이즈 모델 예측 오차의 분포
베이지안 희소성 사전분포 변수 선택 · 특징 압축
통신 임펄스 노이즈 코시보다 덜 극단적인 이상치 모델

12 관련 주제

선행 지식

후속 주제

관련 개념

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