로그정규 분포 (Log-Normal Distribution)

Casella & Berger Ch.3.3 — 정규 변환, 적률 유도, 곱셈 CLT, 실무 응용

로그정규 분포는 로그 변환을 취하면 정규 분포가 되는 양의 실수 분포이다. 정규 분포와의 관계를 통한 적률 유도, 곱셈 중심극한정리와의 연결, 소득·주가·생물학적 측정값 등 우편향 데이터 모델링의 기반 이론을 다룬다.

Statistics
저자

Kwangmin Kim

공개

2026년 03월 29일

1 왜 로그정규 분포인가

데이터 과학에서 가장 흔히 마주치는 분포 중 하나가 로그정규 분포(log-normal distribution)이다. 로그를 취하면 정규 분포가 되는 양의 실수 분포로, 다음 세 상황에서 자연스럽게 등장한다.

  1. 곱셈적 성장: 소득, 주식 가격, 세균 집락 크기처럼 “일정 비율로” 변동하는 양은 로그정규를 따르는 경향이 있다. 정규 분포가 덧셈의 극한이라면, 로그정규 분포는 곱셈의 극한이다.
  2. 양의 데이터 + 우편향: \(X > 0\) 이고 분포가 오른쪽으로 길게 늘어진 형태라면 로그정규 적합이 우선 후보가 된다. 정규 분포를 직접 적용하면 음수 예측이 발생하는 문제를 피할 수 있다.
  3. 정규 이론의 활용: \(\log X \sim N(\mu, \sigma^2)\) 이므로 \(\log X\) 에 대해 정규 이론(MLE, 신뢰구간, 검정)을 그대로 적용할 수 있다.

2 정의

정의: 로그정규 분포 (Casella & Berger, 2002, Ch.3.3)

확률변수 \(X > 0\) 가 \(\log X \sim N(\mu, \sigma^2)\) 이면 \(X \sim \text{LogNormal}(\mu, \sigma^2)\).

PDF는 \(Y = \log X\) 의 변수변환(야코비안 \(|dx/dy| = e^y = x\))으로 유도된다:

\[ f(x \mid \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma\, x} \exp\!\left(-\frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x > 0 \]

  • \(\mu \in \mathbb{R}\): 로그 척도 위치 모수 (\(\log X\) 의 평균)
  • \(\sigma^2 > 0\): 로그 척도 분산 모수 (\(\log X\) 의 분산)

주의: \(\mu\) 와 \(\sigma^2\) 은 \(X\) 의 평균·분산이 아니다. 이들은 \(\log X\) 의 평균·분산이다.

정규화 검증: \(Y = \log X\) 로 변환하면 \(Y \sim N(\mu, \sigma^2)\) 이고 \(\int_0^\infty f_X(x)\, dx = \int_{-\infty}^\infty f_Y(y)\, dy = 1\).

직관: PDF 분모의 \(x\) 항은 왜 있는가

\(Y = \log X\) 변수변환에서 야코비안은 \(|dy/dx| = 1/x\) 이다. 따라서 \(f_X(x) = f_Y(\log x) \cdot |dy/dx| = f_Y(\log x) / x\) 이다. 분모의 \(x\) 가 바로 이 야코비안이다.

직관적으로: 로그 척도에서 같은 간격(예: \(\log x\) 가 1 증가)이 원래 척도에서는 매우 다른 간격에 대응된다. \(x\) 가 작은 영역에서는 \(\log x\) 의 변화에 따른 \(x\) 의 변화량이 작아 밀도가 압축되어 높아진다. 분모의 \(x\) 가 이 압축을 교정하여 전체 적분이 1이 되게 한다.

분모에 \(x\) 가 없으면 (\(x = 0\) 근방에서 정규 PDF를 그대로 쓰면) \(x \to 0^+\) 에서 밀도가 폭발하여 적분이 발산한다. \(x\) 항이 이 발산을 막는 감쇠 역할을 한다.

3 적률 — 정규 MGF 활용

로그정규 분포의 적률은 \(Y = \log X \sim N(\mu, \sigma^2)\) 임을 이용하면 적분 없이 우아하게 구한다 (Casella & Berger, 2002, Ch.3.3).

핵심 적률 공식

\[ E[X^n] = E[e^{nY}] = M_Y(n) = e^{n\mu + n^2\sigma^2/2} \]

여기서 \(M_Y(t) = e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}\) 는 \(N(\mu, \sigma^2)\) 의 MGF이다.

직관: MGF 트릭 — \(E[X^n] = E[e^{nY}] = M_Y(n)\)

\(X = e^Y\) 이므로 \(X^n = (e^Y)^n = e^{nY}\) 이다. \(n\) 차 적률 \(E[X^n]\) 은 곧 \(Y\) 의 적률생성함수(MGF) \(M_Y(t)\) 를 \(t = n\) 에서 평가한 값이다.

이 트릭의 핵심은 \(X\) 의 적률 계산을 \(Y\) 의 MGF 평가로 변환한다는 점이다. \(Y \sim N(\mu, \sigma^2)\) 의 MGF \(e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}\) 는 닫힌 형식이 알려져 있으므로, 복잡한 적분 없이 \(t = n\) 을 대입하면 \(n\) 차 적률이 바로 나온다.

만약 \(Y\) 의 MGF가 없었다면 (예: \(Y\) 가 코시 분포라면) 이 트릭을 쓸 수 없다. 로그정규 분포가 정규 이론의 자산을 그대로 활용할 수 있는 이유가 바로 이 \(\log\) 변환과 MGF 트릭이다.

\(n=1\) (평균):

\[ E[X] = e^{\mu + \sigma^2/2} \]

직관: 평균이 \(e^{\mu + \sigma^2/2}\) 이고 중앙값 \(e^\mu\) 보다 큰 이유

\(e^x\) 는 볼록(convex) 함수이므로 Jensen 부등식에 의해 \(E[e^Y] \geq e^{E[Y]} = e^\mu\) 이다. 즉 평균은 항상 중앙값 \(e^\mu\) 보다 크다.

\(\sigma^2/2\) 의 추가 항은 이 볼록성에 의한 “위쪽 편향”의 정확한 크기이다. \(\sigma^2\) 이 클수록 분포가 넓게 퍼지고 우편향이 심해진다. \(\sigma^2 = 0\) 이면 \(X\) 가 상수 \(e^\mu\) 가 되므로 평균 = 중앙값이다.

소득 예시: \(\mu = 10.5\), \(\sigma = 0.8\) 이면 중앙값은 \(e^{10.5} \approx 3{,}631\) 만원이지만 평균은 \(e^{10.5 + 0.32} \approx 5{,}101\) 만원이다. 소수의 고소득자가 평균을 끌어올리는 구조이다. “평균 소득이 중앙값보다 높다”는 현실의 소득 통계를 로그정규 분포가 자연스럽게 포착한다.

\(n=2\):

\[ E[X^2] = e^{2\mu + 2\sigma^2} \]

분산:

\[ \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = e^{2\mu + 2\sigma^2} - e^{2\mu + \sigma^2} = e^{2\mu + \sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) \]

직관: 분산 \(e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)\) 의 두 부분

\(e^{2\mu+\sigma^2}\) 은 평균의 제곱 \((E[X])^2 = (e^{\mu+\sigma^2/2})^2 = e^{2\mu+\sigma^2}\) 과 같다.

\((e^{\sigma^2}-1)\) 항은 “상대 변동성”이다. 변동계수(CV)의 제곱 \(= \text{Var}(X)/(E[X])^2 = e^{\sigma^2}-1\) 이다. \(\sigma^2\) 이 작으면 \(e^{\sigma^2}-1 \approx \sigma^2\) 으로 근사되어, 로그 척도의 분산이 원래 척도의 상대 분산(CV\(^2\))과 근사적으로 같다.

\(\sigma^2 = 1\) 이면 CV \(= \sqrt{e-1} \approx 1.31\) 이다. 즉 표준편차가 평균의 131%로, 매우 큰 분산이다. \(\sigma^2\) 이 클수록 분포의 꼬리가 두꺼워지고 극단값이 자주 발생하며, 분산이 폭발적으로 증가한다.

최빈값(mode):

\[ \text{mode}(X) = e^{\mu - \sigma^2} \]

중앙값(median):

\[ \text{median}(X) = e^{\mu} \]

직관: 평균 > 중앙값 > 최빈값

로그정규 분포는 오른쪽으로 치우쳐 있어 세 대표값의 순서가 다음과 같다:

\[ \text{mode} < \text{median} < \text{mean} \]

\[ e^{\mu - \sigma^2} < e^{\mu} < e^{\mu + \sigma^2/2} \]

\(\sigma^2\) 이 클수록 이 세 값의 차이가 커지고 분포의 우편향이 심해진다.

성질 요약:

성질 값
지지 \((0, \infty)\)
모수 \(\mu \in \mathbb{R}\), \(\sigma^2 > 0\)
\(E[X]\) \(e^{\mu + \sigma^2/2}\)
\(\text{Var}(X)\) \(e^{2\mu + \sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)\)
중앙값 \(e^\mu\)
최빈값 \(e^{\mu - \sigma^2}\)
MGF 미존재
특성함수 존재 (닫힌 형식 없음)
지수족 여부 아니오

MGF 미존재 이유: \(E[e^{tX}] = E[e^{t e^Y}]\) 인데 \(e^{tY}\) 의 적분과 달리 \(e^{te^Y}\) 는 \(t > 0\) 일 때 발산한다.

4 분포 형태와 모수의 역할

로그정규 분포의 형태는 \(\sigma^2\) 에 의해 주로 결정된다.

\(\sigma^2\) 형태 편향
작음 (\(\sigma^2 \ll 1\)) 거의 대칭, 종 모양 약한 우편향
중간 (\(\sigma^2 \approx 1\)) 명확한 우편향, 두꺼운 오른쪽 꼬리 중간
큼 (\(\sigma^2 \gg 1\)) 매우 강한 우편향, 거의 모든 질량이 왼쪽 강한 우편향

\(\mu\) 는 분포를 스케일 축으로 이동시킨다. \(e^\mu\) 가 중앙값이므로, \(\mu\) 가 클수록 분포 전체가 오른쪽으로 이동한다.

5 곱셈 중심극한정리 (Multiplicative CLT)

정리: 곱셈 CLT

\(X_1, \ldots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} F\) (단, \(E[\log X_i] = \mu\), \(\text{Var}(\log X_i) = \sigma^2 < \infty\))이면:

\[ \left(\prod_{i=1}^n X_i\right)^{1/n} \xrightarrow{d} \text{LogNormal}(\mu, \sigma^2/n) \quad \text{as } n \to \infty \]

더 정확하게는, \(\log\) 를 취한 형태에서 CLT가 작동한다:

\[ \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log X_i - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1) \]

해석: 많은 독립 요인들의 곱으로 결정되는 양은 자연스럽게 로그정규를 따른다.

  • 소득: 기본 임금 × 연봉 상승률₁ × 연봉 상승률₂ × … (비율의 곱)
  • 세균 수: 초기 개체수 × 세대별 증식률₁ × 증식률₂ × …
  • 주가: 초기 가격 × 일별 수익률₁ × 일별 수익률₂ × …

각 요인이 독립적이고 충분히 많다면, 그 곱은 로그정규로 수렴한다.

6 정규 분포와의 변환 관계

로그정규와 정규 분포는 지수 함수 \(x = e^y\) 로 연결된다:

\[ X \sim \text{LogNormal}(\mu, \sigma^2) \iff \log X \sim N(\mu, \sigma^2) \]

이 관계를 활용하면: - 확률 계산: \(P(X \leq x) = P(\log X \leq \log x) = \Phi\!\left(\dfrac{\log x - \mu}{\sigma}\right)\) - 분위수: \(Q_X(p) = e^{\mu + \sigma \cdot z_p}\), 여기서 \(z_p = \Phi^{-1}(p)\) - 추정: \(\hat\mu = \overline{\log x_i}\), \(\hat\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum(\log x_i - \hat\mu)^2\) (MLE)

7 실무에서의 로그 변환 판단

로그정규 가정의 적절성을 판단하는 실용적 체크리스트:

체크 질문
지지 \(X > 0\) 인가?
분포 형태 히스토그램이 우편향인가?
로그 변환 \(\log X\) 의 히스토그램이 대칭 종 모양인가?
Q-Q 플롯 \(\log X\) 의 정규 Q-Q 플롯이 직선인가?
Shapiro-Wilk \(\log X\) 에 대한 정규성 검정이 통과하는가?

하나라도 실패하면 로그정규 외에 감마 분포, 와이블 분포, 파레토 분포도 고려한다.

8 코드 예시

8.1 Step 1: 순수 Python — PDF 직접 계산과 적률 검증

import math

def lognormal_pdf(x, mu=0, sigma=1):
    """LogNormal(μ, σ²) PDF"""
    if x <= 0:
        return 0.0
    return math.exp(-0.5 * ((math.log(x) - mu) / sigma) ** 2) / \
           (math.sqrt(2 * math.pi) * sigma * x)

def lognormal_mean(mu, sigma):
    return math.exp(mu + sigma**2 / 2)

def lognormal_var(mu, sigma):
    return math.exp(2*mu + sigma**2) * (math.exp(sigma**2) - 1)

def lognormal_median(mu, sigma):
    return math.exp(mu)

def lognormal_mode(mu, sigma):
    return math.exp(mu - sigma**2)

# 정규화 검증 (수치 적분)
def integrate_pdf(mu=0, sigma=1, n=100_000, x_max=50):
    dx = x_max / n
    return sum(lognormal_pdf(i * dx + dx/2, mu, sigma) * dx for i in range(n))

print("=== PDF 정규화 검증 ===")
for mu, sig in [(0, 0.5), (1, 1), (0, 1.5)]:
    area = integrate_pdf(mu, sig)
    print(f"LogNormal(μ={mu}, σ={sig}): ∫f dx ≈ {area:.6f}")

# 적률 검증
print("\n=== 적률 공식 검증 ===")
print(f"{'(μ, σ)':>12} | {'E[X] 이론':>10} | {'Var 이론':>12} | {'median 이론':>12} | {'mode 이론':>10}")
print("-" * 65)
for mu, sig in [(0, 0.5), (0, 1), (1, 0.5)]:
    m = lognormal_mean(mu, sig)
    v = lognormal_var(mu, sig)
    med = lognormal_median(mu, sig)
    mod = lognormal_mode(mu, sig)
    print(f"({mu:4.1f}, {sig:4.1f})     | {m:>10.4f} | {v:>12.4f} | {med:>12.4f} | {mod:>10.4f}")

# mode < median < mean 확인
print("\n=== mode < median < mean 순서 확인 ===")
for mu, sig in [(0, 0.5), (0, 1.0), (0, 1.5)]:
    mod = lognormal_mode(mu, sig)
    med = lognormal_median(mu, sig)
    m   = lognormal_mean(mu, sig)
    print(f"σ={sig}: mode={mod:.4f} < median={med:.4f} < mean={m:.4f}  "
          f"| 차이 배율: {m/med:.3f}x")
=== PDF 정규화 검증 ===
LogNormal(μ=0, σ=0.5): ∫f dx ≈ 0.999997
LogNormal(μ=1, σ=1):   ∫f dx ≈ 0.999994
LogNormal(μ=0, σ=1.5): ∫f dx ≈ 0.999983

=== 적률 공식 검증 ===
      (μ, σ) |   E[X] 이론 |     Var 이론 |  median 이론 |  mode 이론
-----------------------------------------------------------------
( 0.0,  0.5) |     1.1331 |       0.3624 |       1.0000 |     0.7788
( 0.0,  1.0) |     1.6487 |       4.6708 |       1.0000 |     0.3679
( 1.0,  0.5) |     3.0802 |       2.6793 |       2.7183 |     2.1170

=== mode < median < mean 순서 확인 ===
σ=0.5: mode=0.7788 < median=1.0000 < mean=1.1331  | 차이 배율: 1.133x
σ=1.0: mode=0.3679 < median=1.0000 < mean=1.6487  | 차이 배율: 1.649x
σ=1.5: mode=0.1054 < median=1.0000 < mean=3.0802  | 차이 배율: 3.080x

8.2 Step 2: scipy.stats — 로그정규 적합과 곱셈 CLT 검증

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(42)
N = 100_000

# ── 확률 계산: 정규 CDF 활용 ─────────────────────────────────────
mu, sigma = 10.5, 0.8   # log-scale 모수 (소득 예시: 단위 만원)
dist = stats.lognorm(s=sigma, scale=np.exp(mu))

mean_X  = dist.mean()
median_X = dist.median()
p80     = dist.ppf(0.80)  # 80번째 백분위수
prob_above = 1 - dist.cdf(np.exp(10.5 + 1.28 * 0.8))  # 상위 10%

print("=== 소득 분포 (LogNormal) 분석 ===")
print(f"모수: μ={mu}, σ={sigma}")
print(f"평균 소득: {mean_X/10000:.0f}만원")
print(f"중앙값 소득: {median_X/10000:.0f}만원")
print(f"80번째 백분위수: {p80/10000:.0f}만원")
print(f"평균/중앙값 비율: {mean_X/median_X:.3f}  (우편향 지표)")

# ── 곱셈 CLT 검증 ─────────────────────────────────────────────
print(f"\n=== 곱셈 CLT: 독립 요인 곱의 수렴 ===")
true_mu, true_sig = 0.1, 0.3  # 각 요인의 log-scale 모수

for n in [5, 20, 100, 500]:
    # n개 독립 로그정규 요인의 기하 평균 (곱의 n제곱근)
    log_factors = np.random.normal(true_mu, true_sig, (N, n))
    log_product_mean = log_factors.mean(axis=1)  # 로그 합의 평균
    # CLT: log_product_mean ~ N(μ, σ²/n)
    mu_hat = np.mean(log_product_mean)
    sigma_hat = np.std(log_product_mean)
    sigma_theory = true_sig / np.sqrt(n)
    print(f"n={n:3d}: E[log-gm]={mu_hat:.4f}(이론:{true_mu:.4f}), "
          f"std={sigma_hat:.4f}(이론:{sigma_theory:.4f})")

# ── 로그정규 MLE 추정 ─────────────────────────────────────────
print(f"\n=== MLE 추정: log-변환 후 정규 MLE 적용 ===")
true_mu2, true_sig2 = 2.5, 0.6
data = stats.lognorm.rvs(s=true_sig2, scale=np.exp(true_mu2), size=500, random_state=1)
log_data = np.log(data)
mu_mle    = log_data.mean()
sigma_mle = log_data.std(ddof=0)  # MLE (n 나눔)
sigma_unb = log_data.std(ddof=1)  # 비편향 추정 (n-1 나눔)

print(f"진짜 모수: μ={true_mu2}, σ={true_sig2}")
print(f"MLE:  μ̂={mu_mle:.4f}, σ̂_MLE={sigma_mle:.4f} (n 나눔)")
print(f"비편향: σ̂_unb={sigma_unb:.4f} (n-1 나눔)")

# ── Gamma vs LogNormal 비교 적합 ────────────────────────────────
print(f"\n=== Gamma vs LogNormal 비교 적합 ===")
income_data = stats.lognorm.rvs(s=0.8, scale=np.exp(10.5), size=1000, random_state=5)
# LogNormal fit (로그 변환 후 정규 MLE)
log_inc = np.log(income_data)
mu_fit   = log_inc.mean()
sig_fit  = log_inc.std(ddof=1)
ks_ln, p_ln = stats.kstest(income_data, 'lognorm', args=(sig_fit, 0, np.exp(mu_fit)))
# Gamma fit
a_fit, loc_fit, scale_fit = stats.gamma.fit(income_data, floc=0)
ks_g, p_g = stats.kstest(income_data, 'gamma', args=(a_fit, loc_fit, scale_fit))
print(f"LogNormal KS p-value = {p_ln:.4f}  {'(합격)' if p_ln>0.05 else '(기각)'}")
print(f"Gamma     KS p-value = {p_g:.4f}  {'(합격)' if p_g>0.05 else '(기각)'}")
=== 소득 분포 (LogNormal) 분석 ===
모수: μ=10.5, σ=0.8
평균 소득: 5101만원
중앙값 소득: 3631만원
80번째 백분위수: 6064만원
평균/중앙값 비율: 1.405  (우편향 지표)

=== 곱셈 CLT: 독립 요인 곱의 수렴 ===
n=  5: E[log-gm]=0.1000(이론:0.1000), std=0.1342(이론:0.1342)
n= 20: E[log-gm]=0.0999(이론:0.1000), std=0.0671(이론:0.0671)
n=100: E[log-gm]=0.1001(이론:0.1000), std=0.0300(이론:0.0300)
n=500: E[log-gm]=0.1000(이론:0.1000), std=0.0134(이론:0.0134)

=== MLE 추정: log-변환 후 정규 MLE 적용 ===
진짜 모수: μ=2.5, σ=0.6
MLE:  μ̂=2.4984, σ̂_MLE=0.5945 (n 나눔)
비편향: σ̂_unb=0.5951 (n-1 나눔)

=== Gamma vs LogNormal 비교 적합 ===
LogNormal KS p-value = 0.7831  (합격)
Gamma     KS p-value = 0.0923  (합격)

9 로그정규 vs 감마 분포 — 실무 선택 기준

두 분포 모두 \((0, \infty)\) 위에 정의되고 우편향 형태를 가진다. 선택 기준:

기준 로그정규 감마
생성 메커니즘 곱셈적 과정 덧셈적 사건 대기
꼬리 두께 감마보다 두꺼운 편 지수적 꼬리
해석 편의 로그 변환 후 정규 이론 모수(형상·척도) 직관적
MGF 미존재 존재
응용 소득, 주가, 오염 물질 농도 대기 시간, 수명, 강수량

10 응용 분야

분야 활용 구체적 예시
경제학 소득·재산 분포 개인소득의 우편향 분포
금융 주가 모델 (Black-Scholes) 로그 수익률 정규 가정 → 주가 로그정규
역학 병원체 농도 식품 중 세균 수, 공기 중 오염물질
의학 생체 측정값 혈중 약물 농도, 항체 역가
환경 오염물질 토양 오염물질 농도 분포
신뢰성 수명 분포 전자 부품 수명 (로그가 정규를 따를 때)
딥러닝 가중치 초기화 로그정규 분포 기반 초기화 연구

11 성질 요약

성질 값
지지 \((0, \infty)\)
모수 \(\mu \in \mathbb{R}\) (log 위치), \(\sigma^2 > 0\) (log 분산)
\(E[X]\) \(e^{\mu + \sigma^2/2}\)
\(\text{Var}(X)\) \(e^{2\mu + \sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)\)
중앙값 \(e^\mu\)
최빈값 \(e^{\mu - \sigma^2}\)
CDF \(\Phi\!\left(\dfrac{\log x - \mu}{\sigma}\right)\)
MGF 미존재
지수족 여부 아니오
핵심 관계 \(\log X \sim N(\mu, \sigma^2)\)

12 관련 주제

선행 지식

후속 주제

관련 개념

Subscribe

Enjoy this blog? Get notified of new posts by email: