지수 분포 (Exponential Distribution)

Casella & Berger Ch.3.3 — 무기억성 유일성 증명, 포아송 과정 연결, 위험함수, 와이블

지수 분포는 감마 분포의 특수 케이스(α=1)이자, 연속 분포 중 무기억성을 가진 유일한 분포이다. 무기억성의 완전 증명, 포아송 과정과의 이중성, 위험함수(hazard function), 이산 유사체인 기하 분포와의 대응, 와이블 일반화를 다룬다.

Statistics
저자

Kwangmin Kim

공개

2026년 03월 29일

1 왜 지수 분포인가

지수 분포는 “사건이 발생하기까지의 대기 시간” 을 모델링하는 가장 기본적인 분포이다. 더 정확히는, 단위 시간당 평균 \(\lambda\) 번 사건이 발생하는 포아송 과정에서 다음 사건까지의 대기 시간이 정확히 지수 분포를 따른다.

지수 분포가 특별한 이유:

  1. 무기억성(memoryless property): 이미 \(t\) 시간을 기다렸더라도 앞으로 \(s\) 시간을 더 기다려야 할 확률은 처음부터 \(s\) 를 기다릴 확률과 동일하다. 연속 분포 중 이 성질을 갖는 유일한 분포이다.
  2. 포아송 과정의 시간 구조: 포아송 분포(사건 횟수)와 지수 분포(사건 간격)는 같은 과정의 두 관점이다.
  3. 감마·와이블의 출발점: 지수 분포에서 형상 모수를 도입하면 감마와 와이블을 얻는다.

2 정의

정의: 지수 분포 (Casella & Berger, 2002, Ch.3.3)

\(X \sim \text{Exp}(\beta)\) 이면:

\[ f(x \mid \beta) = \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta}, \quad x > 0 \]

\[ F(x \mid \beta) = 1 - e^{-x/\beta}, \quad x > 0 \]

  • \(\beta > 0\): 척도 모수(scale parameter), \(\beta = E[X]\) (평균 대기 시간)

감마와의 관계: \(\text{Exp}(\beta) = \text{Gamma}(1, \beta)\).

rate 모수화: \(\lambda = 1/\beta\) (단위 시간당 사건 수)로 표기하면 \(f(x|\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}\).

직관: 지수 분포 PDF와 CDF 읽기

PDF \(f(x) = \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta}\):

  • \(\frac{1}{\beta}\): \(x = 0\) 에서의 밀도이자 정규화 상수. \(\beta\) 가 클수록 \(x = 0\) 에서의 높이가 낮아지고 분포가 오른쪽으로 퍼진다.
  • \(e^{-x/\beta}\): 시간이 지날수록 밀도가 지수적으로 감소한다. \(x = \beta\) (평균)가 되면 밀도가 \(e^{-1} \approx 0.368\) 배로 줄어든다.
  • \(x = 0\) 에서 최대값: 지금 당장 사건이 일어날 확률 밀도가 가장 높다. 기다릴수록 밀도가 감소한다.

CDF \(F(x) = 1 - e^{-x/\beta}\):

  • “\(x\) 시간 이전에 사건이 발생할 확률”이다.
  • \(x = \beta\) (평균 대기 시간)에서 \(F(\beta) = 1 - e^{-1} \approx 0.632\). 평균 대기 시간이 지나도 약 37%는 아직 발생하지 않았다.
  • CDF가 여사건 형태인 이유: 생존 함수 \(S(x) = P(X > x) = e^{-x/\beta}\) 가 단순한 지수 감소이기 때문이다.
모수화 주의
표기 모수 \(E[X]\) 소프트웨어
\(\text{Exp}(\beta)\) (scale) 평균 대기 시간 \(\beta\) scipy.stats.expon(scale=β)
\(\text{Exp}(\lambda)\) (rate) 단위 시간당 사건 수 \(1/\lambda\) numpy.random.exponential(scale=1/λ)

이 포스트는 Casella & Berger와 동일하게 scale 모수화 \(\beta\) 를 사용한다.

3 평균, 분산, MGF

감마 분포의 특수 케이스 \(\alpha = 1\) 을 적용한다:

성질 값 유도
\(E[X]\) \(\beta\) \(\alpha\beta\big|_{\alpha=1} = \beta\)
\(E[X^2]\) \(2\beta^2\) \(\alpha(\alpha+1)\beta^2\big|_{\alpha=1} = 2\beta^2\)
\(\text{Var}(X)\) \(\beta^2\) \(\alpha\beta^2\big|_{\alpha=1} = \beta^2\)
MGF \(M_X(t)\) \((1-\beta t)^{-1}\), \(t < 1/\beta\) \((1-\beta t)^{-\alpha}\big|_{\alpha=1}\)

직접 유도 (부분적분):

\[ E[X] = \int_0^\infty x \cdot \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta} dx = \left[-x e^{-x/\beta}\right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-x/\beta} dx = 0 + \beta = \beta \]

직관: 부분적분에서 경계항이 0인 이유

\(\left[-x e^{-x/\beta}\right]_0^\infty\) 의 두 끝:

  • \(x \to \infty\): \(x\) 가 아무리 빠르게 커져도 \(e^{-x/\beta}\) 가 지수적으로 더 빠르게 0으로 수렴한다. 로피탈 법칙: \(\lim_{x\to\infty} x / e^{x/\beta} = 0\).
  • \(x = 0\): \(0 \cdot e^0 = 0\).

남은 적분 \(\int_0^\infty e^{-x/\beta} dx = \beta\) 는 단순한 지수 적분이다.

결과가 \(\beta\) 인 것은 자연스럽다 — 지수 분포의 유일한 모수가 평균 대기 시간이기도 하다. \(\beta\) 가 “척도 모수”라 불리는 이유가 여기에 있다.

4 생존 함수와 위험 함수

생존 분석(survival analysis)에서 지수 분포는 가장 단순한 수명 모형이다.

생존 함수 (Survival Function):

\[ S(x) = P(X > x) = 1 - F(x) = e^{-x/\beta} \]

위험 함수 (Hazard Function): 시간 \(x\) 까지 생존한 개체가 \([x, x+dx)\) 에서 실패할 순간 비율:

\[ h(x) = \frac{f(x)}{S(x)} = \frac{(1/\beta) e^{-x/\beta}}{e^{-x/\beta}} = \frac{1}{\beta} = \lambda \]

지수 분포의 위험함수는 상수이다. 이를 상수 위험률(constant hazard)이라 한다.

상수 위험률의 의미

\(h(x) = \lambda\) (상수)라는 것은 “나이가 들어도 실패 위험이 변하지 않는다” 는 뜻이다.

  • 현재까지 얼마나 오래 살았든, 다음 순간의 사망 위험은 항상 동일하다.
  • 이것이 무기억성의 위험함수 표현이다.
  • 감소하는 위험률 (처음에 약한 개체가 빨리 죽고 강한 개체가 남는 경우): 와이블 분포(\(\gamma < 1\))
  • 증가하는 위험률 (노화처럼 시간이 지날수록 위험 증가): 와이블 분포(\(\gamma > 1\))

5 무기억성 (Memoryless Property)

5.1 정의와 증명

무기억성 정의

\(X \sim \text{Exp}(\beta)\) 이면, 임의의 \(s, t > 0\) 에 대해:

\[ P(X > s + t \mid X > t) = P(X > s) \]

“\(t\) 시간 동안 기다렸다는 사실이 앞으로의 대기 시간 분포에 영향을 주지 않는다.”

증명 (Casella & Berger, 2002, Ch.3.3):

\[ P(X > s + t \mid X > t) = \frac{P(X > s+t,\ X > t)}{P(X > t)} = \frac{P(X > s+t)}{P(X > t)} \]

\[ = \frac{e^{-(s+t)/\beta}}{e^{-t/\beta}} = e^{-s/\beta} = P(X > s) \quad \square \]

5.2 역도: 무기억성이면 지수 분포

연속 분포에서 무기억성을 만족하면 반드시 지수 분포이다.

증명: \(G(x) = P(X > x)\) 로 정의하면, 무기억성 조건은 \(G(s+t) = G(s)G(t)\) 이다.

이 함수방정식의 연속 해(continuous solution)는 \(G(x) = e^{-\lambda x}\) (\(\lambda > 0\)) 뿐이다.

따라서 \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\) — 지수 분포의 CDF이다. \(\square\)

왜 유일한가

\(G(s+t) = G(s)G(t)\) 는 Cauchy 함수방정식이다. 연속 함수로 제한하면 해는 \(G(x) = a^x\) 형태이고, \(G(0) = 1\), \(G(x) \to 0\) 조건으로 \(a = e^{-\lambda}\) (\(\lambda > 0\)) 만 가능하다.

6 포아송 과정과의 이중성

지수 분포와 포아송 분포는 같은 확률 과정의 두 관점이다.

포아송 과정 (rate \(\lambda = 1/\beta\)): - 단위 시간에 평균 \(\lambda\) 번 사건 발생 - 시각 \(t\) 까지의 사건 수 \(N(t) \sim \text{Poisson}(\lambda t)\) - 연속된 사건 간격 \(T_i\) 는 iid \(\text{Exp}(\beta)\)

이중성:

\[ P(T_1 > t) = P(N(t) = 0) = e^{-\lambda t} = e^{-t/\beta} \]

첫 번째 사건까지 대기 시간 \(T_1\) 이 \(t\) 보다 길 확률 = 시각 \(t\) 까지 사건이 0건일 확률.

관점 확률변수 분포
사건 횟수 \(N(t)\): 시각 \(t\) 까지 사건 수 \(\text{Poisson}(\lambda t)\)
대기 시간 \(T_k\): \(k\) 번째 사건까지 총 시간 \(\text{Gamma}(k, \beta) = \text{Erlang}(k, \lambda)\)
첫 대기 \(T_1 = T\): 다음 사건까지 시간 \(\text{Exp}(\beta)\)
직관: 포아송-지수 이중성 — 같은 과정의 두 얼굴

\(P(T_1 > t) = P(N(t) = 0)\) 을 말로 하면: “첫 번째 사건이 \(t\) 이후에 발생한다” = “시각 \(t\) 까지 사건이 하나도 발생하지 않는다”. 이 두 문장은 완전히 동일한 사건이다.

  • 시간 축 관점: 대기 시간 \(T_1\) 이 얼마나 긴지를 보는 것 → 지수 분포
  • 사건 수 관점: 특정 시간 구간에 사건이 몇 번 발생했는지를 보는 것 → 포아송 분포

같은 랜덤 과정(포아송 과정)을 어떤 측면에서 보느냐에 따라 분포가 달라진다. 지수 분포와 포아송 분포는 별개의 분포가 아니라 같은 과정의 두 표현이다.

비유: 버스 도착 문제에서 “다음 버스까지 몇 분을 기다리는가”(지수)와 “1시간 동안 버스가 몇 대 오는가”(포아송)는 동일한 버스 도착 과정을 서로 다른 질문으로 바라본 것이다.

7 기하 분포와의 대응 — 이산 유사체

이산 분포에서 무기억성을 갖는 유일한 분포가 기하 분포이다. 지수 분포는 기하 분포의 연속 유사체이다.

성질 지수 분포 \(\text{Exp}(\beta)\) 기하 분포 \(\text{Geom}(p)\)
지지 \((0, \infty)\) (연속) \(\{1, 2, 3, \ldots\}\) (이산)
무기억성 \(P(X>s+t\|X>t) = P(X>s)\) \(P(X>m+n\|X>m) = P(X>n)\)
평균 \(\beta = 1/\lambda\) \(1/p\)
위험률 상수 \(\lambda\) 상수 \(p\)
관계 \(\lfloor X/\delta \rfloor \to \text{Geom}\) as \(\delta \to 0\) 지수의 이산 근사

8 와이블 분포로의 일반화

Casella & Berger(2002, Ch.3.3): \(X \sim \text{Exp}(\beta)\) 이면 \(Y = X^{1/\gamma}\) 는 와이블 분포를 따른다.

\[ f_Y(y \mid \gamma, \beta) = \frac{\gamma}{\beta} y^{\gamma-1} e^{-y^\gamma/\beta}, \quad y > 0 \]

와이블의 위험함수:

\[ h_Y(y) = \frac{\gamma}{\beta} y^{\gamma-1} \]

\(\gamma\) 위험함수 형태 해석
\(\gamma < 1\) 감소 초기 고장률 높음, 이후 안정 (burn-in)
\(\gamma = 1\) 상수 지수 분포 — 무기억성
\(\gamma > 1\) 증가 노화, 피로 파괴 (wear-out)

9 코드 예시

9.1 Step 1: 순수 Python — 무기억성 직접 검증

import math
import random

def exp_pdf(x, beta):
    return (1/beta) * math.exp(-x/beta) if x > 0 else 0.0

def exp_survival(x, beta):
    return math.exp(-x/beta) if x > 0 else 1.0

# 무기억성 P(X > s+t | X > t) = P(X > s) 수치 검증
beta = 3.0
s, t = 2.0, 5.0

lhs = exp_survival(s + t, beta) / exp_survival(t, beta)
rhs = exp_survival(s, beta)

print("=== 무기억성 수치 검증 ===")
print(f"P(X > {s+t} | X > {t}) = {lhs:.8f}")
print(f"P(X > {s})              = {rhs:.8f}")
print(f"동일한가: {'YES' if abs(lhs - rhs) < 1e-10 else 'NO'}")

# 위험함수 h(x) = 1/β 상수 확인
print(f"\n=== 위험함수 h(x) = 1/β = {1/beta:.4f} ===")
for x in [0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 10.0]:
    hx = exp_pdf(x, beta) / exp_survival(x, beta)
    print(f"h({x:4.1f}) = {hx:.6f}  (이론: {1/beta:.6f})")

# 무기억성 시뮬레이션: t시간 기다린 후 남은 대기시간 분포
random.seed(42)
beta_sim = 2.0
t_cond   = 3.0   # 이미 3 이상 기다린 조건
n_sim    = 100_000

# X ~ Exp(β), X > t 조건 하의 X - t 분포
residuals = []
while len(residuals) < n_sim:
    x = random.expovariate(1/beta_sim)
    if x > t_cond:
        residuals.append(x - t_cond)  # 조건부 남은 시간

import statistics
mean_res  = statistics.mean(residuals)
stdev_res = statistics.stdev(residuals)
print(f"\n=== 무기억성 시뮬레이션 (β={beta_sim}, t={t_cond}) ===")
print(f"조건부 잔여 대기시간 평균={mean_res:.4f}  (이론: β = {beta_sim})")
print(f"조건부 잔여 대기시간 표준편차={stdev_res:.4f}  (이론: β = {beta_sim})")
=== 무기억성 수치 검증 ===
P(X > 7.0 | X > 5.0) = 0.51341712
P(X > 2.0)           = 0.51341712
동일한가: YES

=== 위험함수 h(x) = 1/β = 0.3333 ===
h( 0.5) = 0.333333  (이론: 0.333333)
h( 1.0) = 0.333333  (이론: 0.333333)
h( 2.0) = 0.333333  (이론: 0.333333)
h( 5.0) = 0.333333  (이론: 0.333333)
h(10.0) = 0.333333  (이론: 0.333333)

=== 무기억성 시뮬레이션 (β=2.0, t=3.0) ===
조건부 잔여 대기시간 평균=1.9997  (이론: β = 2.0)
조건부 잔여 대기시간 표준편차=2.0001  (이론: β = 2.0)

9.2 Step 2: scipy.stats — 포아송 과정 이중성

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(0)
N = 100_000

# ── 포아송 과정 이중성 검증 ────────────────────────────────────
lam = 0.5   # rate (단위 시간당 사건 수)
beta = 1/lam

# 방법 1: 지수 분포에서 첫 사건 대기시간 직접 샘플링
T1_direct = np.random.exponential(scale=beta, size=N)

# 방법 2: 포아송 과정 시뮬레이션 → P(T1 > t) = P(N(t) = 0) 확인
t_grid = np.array([0.5, 1.0, 2.0, 3.0, 5.0])
print("=== 포아송 과정 이중성: P(T₁ > t) = P(N(t) = 0) ===")
print(f"{'t':>5} | {'P(T₁>t) 이론':>14} | {'P(T₁>t) 시뮬':>14} | {'P(N(t)=0) 이론':>14}")
print("-" * 55)
for t in t_grid:
    p_theory   = np.exp(-lam * t)                          # e^{-λt}
    p_T1_sim   = np.mean(T1_direct > t)                    # 시뮬레이션
    p_N0_theory = stats.poisson.pmf(0, mu=lam*t)           # e^{-λt}
    print(f"{t:>5.1f} | {p_theory:>14.6f} | {p_T1_sim:>14.6f} | {p_N0_theory:>14.6f}")

# ── 에를랑: k번째 사건까지 대기시간 = Gamma(k, β) ─────────────
print(f"\n=== Erlang: k번째 사건까지 대기시간 (λ={lam}) ===")
for k in [1, 3, 5]:
    # 지수 간격 k개 합산
    erlang_sim = np.sum(np.random.exponential(beta, (N, k)), axis=1)
    mean_th  = k * beta
    var_th   = k * beta**2
    ks_stat, p_val = stats.kstest(erlang_sim, 'gamma', args=(k, 0, beta))
    print(f"k={k}: 표본 평균={erlang_sim.mean():.3f} (이론:{mean_th:.1f}), "
          f"KS p={p_val:.4f} {'OK' if p_val>0.05 else 'FAIL'}")

# ── MLE: 지수 분포 모수 추정 ──────────────────────────────────
print(f"\n=== MLE 추정: β_hat = x̄ ===")
beta_true = 4.0
data = np.random.exponential(scale=beta_true, size=200)
beta_hat = data.mean()   # MLE: β̂ = x̄
se_hat   = beta_hat / np.sqrt(len(data))  # MLE 표준오차
print(f"β_true={beta_true}, β_hat={beta_hat:.4f}, SE={se_hat:.4f}")
print(f"95% CI: ({beta_hat - 1.96*se_hat:.4f}, {beta_hat + 1.96*se_hat:.4f})")
print(f"β_true 포함: {'YES' if beta_hat - 1.96*se_hat < beta_true < beta_hat + 1.96*se_hat else 'NO'}")
=== 포아송 과정 이중성: P(T₁ > t) = P(N(t) = 0) ===
    t | P(T₁>t) 이론  | P(T₁>t) 시뮬  | P(N(t)=0) 이론
-------------------------------------------------------
  0.5 |       0.778801 |       0.778870 |       0.778801
  1.0 |       0.606531 |       0.606220 |       0.606531
  2.0 |       0.367879 |       0.368100 |       0.367879
  3.0 |       0.223130 |       0.222920 |       0.223130
  5.0 |       0.082085 |       0.082200 |       0.082085

=== Erlang: k번째 사건까지 대기시간 (λ=0.5) ===
k=1: 표본 평균=2.002 (이론:2.0), KS p=0.8143 OK
k=3: 표본 평균=5.991 (이론:6.0), KS p=0.6027 OK
k=5: 표본 평균=9.993 (이론:10.0), KS p=0.4561 OK

=== MLE 추정: β_hat = x̄ ===
β_true=4.0, β_hat=3.9421, SE=0.2787
95% CI: (3.3958, 4.4884)
β_true 포함: YES

9.3 Step 3: 와이블 위험함수 비교

import numpy as np
from scipy import stats

x = np.linspace(0.01, 5, 500)
beta_w = 2.0  # scale

print("=== 와이블 위험함수 h(x) = (γ/β) * x^(γ-1) ===")
print(f"{'x':>6} | {'γ=0.5 (감소)':>14} | {'γ=1.0 (상수)':>14} | {'γ=2.0 (증가)':>14}")
print("-" * 55)
for xi in [0.5, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0]:
    h_05 = (0.5/beta_w) * xi**(0.5-1)
    h_10 = (1.0/beta_w) * xi**(1.0-1)   # = 1/β (상수)
    h_20 = (2.0/beta_w) * xi**(2.0-1)
    print(f"{xi:>6.1f} | {h_05:>14.6f} | {h_10:>14.6f} | {h_20:>14.6f}")

# 지수분포 MLE가 x̄인 이유
print(f"\n=== MLE 유도: 로그우도 최대화 ===")
print("log L(β) = -n*log(β) - (1/β)*Σxᵢ")
print("d/dβ log L = -n/β + Σxᵢ/β² = 0")
print("=> β̂ = Σxᵢ/n = x̄  (표본 평균이 MLE)")
np.random.seed(1)
for beta_t in [1.0, 3.0, 5.0]:
    samp = np.random.exponential(scale=beta_t, size=1000)
    print(f"β={beta_t}: β̂ = x̄ = {samp.mean():.4f}")
=== 와이블 위험함수 h(x) = (γ/β) * x^(γ-1) ===
     x | γ=0.5 (감소)  | γ=1.0 (상수)  | γ=2.0 (증가)
-------------------------------------------------------
   0.5 |       0.353553 |       0.500000 |       0.500000
   1.0 |       0.250000 |       0.500000 |       1.000000
   2.0 |       0.176777 |       0.500000 |       2.000000
   3.0 |       0.144338 |       0.500000 |       3.000000
   4.0 |       0.125000 |       0.500000 |       4.000000

=== MLE 유도: 로그우도 최대화 ===
log L(β) = -n*log(β) - (1/β)*Σxᵢ
d/dβ log L = -n/β + Σxᵢ/β² = 0
=> β̂ = Σxᵢ/n = x̄  (표본 평균이 MLE)
β=1.0: β̂ = x̄ = 0.9965
β=3.0: β̂ = x̄ = 3.0049
β=5.0: β̂ = x̄ = 4.9830

10 MLE — 표본 평균이 최대우도추정량

로그우도 함수:

\[ \ell(\beta) = \sum_{i=1}^n \log f(x_i \mid \beta) = -n\log\beta - \frac{1}{\beta}\sum_{i=1}^n x_i \]

\(\beta\) 에 대해 미분하면:

\[ \frac{d\ell}{d\beta} = -\frac{n}{\beta} + \frac{\sum x_i}{\beta^2} = 0 \implies \hat{\beta} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \bar{x} \]

\(\hat{\beta} = \bar{x}\) 는 비편향이며, 피셔 정보량으로부터 분산의 하한이 \(\beta^2/n\) 이고 이를 달성하므로 UMVUE(균일최소분산 불편추정량)이다.

직관: 왜 표본 평균이 MLE인가

지수 분포의 유일한 모수 \(\beta\) 는 평균 대기 시간이다. \(n\) 번 사건을 관측했을 때, 가장 자연스러운 \(\beta\) 의 추정량은 “평균적으로 얼마나 기다렸는가” — 즉 \(\bar{x}\) 이다.

로그우도 \(\ell(\beta) = -n\log\beta - \frac{1}{\beta}\sum x_i\) 를 \(\beta\) 로 미분하면:

\[\frac{d\ell}{d\beta} = -\frac{n}{\beta} + \frac{\sum x_i}{\beta^2} = 0 \implies \hat{\beta} = \bar{x}\]

두 번째 항 \(\sum x_i / \beta^2\) 는 “데이터의 총 대기 시간이 모수 추정에 미치는 기여”이고, 이것이 첫 번째 항(모수의 페널티)과 균형을 이루는 지점이 \(\bar{x}\) 이다.

지수 분포는 단일 모수 지수족이고 충분통계량이 \(\sum x_i\) (= \(n\bar{x}\))이기 때문에 \(\bar{x}\) 가 MLE임이 보장된다.

11 응용 분야

분야 활용 이유
대기 행렬 이론 서비스 시간, 도착 간격 포아송 입력 → 지수 간격
신뢰성 공학 전자 부품 수명 (burn-in 이후) 상수 위험률, 무기억성
생존 분석 기저 위험함수(baseline hazard) 콕스 비례위험 모형의 특수 케이스
베이지안 통계 포아송 rate의 켤레 사전분포 \(\lambda \mid \alpha,\beta \sim \text{Gamma}\)
보험 수리 보험금 청구 시간 간격 포아송 클레임 과정
네트워크 패킷 도착 간격 랜덤 액세스 프로토콜

12 성질 요약

성질 값
지지 \((0, \infty)\)
평균 \(E[X]\) \(\beta\)
분산 \(\text{Var}(X)\) \(\beta^2\)
왜도 2 (모수 무관)
첨도(초과) 6 (모수 무관)
MGF \(M_X(t)\) \((1-\beta t)^{-1}\), \(t < 1/\beta\)
위험함수 \(1/\beta\) (상수)
MLE \(\hat{\beta} = \bar{x}\)
무기억성 연속 분포 중 유일
감마와의 관계 \(\text{Gamma}(1, \beta)\)

13 관련 주제

선행 지식

후속 주제

관련 개념

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