CDF 피벗팅 (Pivoting the CDF)

1 개요

구간추정의 네 가지 방법 중 CDF 피벗팅은 가장 범용적인 방법이다.

방법	적용 가능 범위
검정의 역전	항상 가능하지만 구성이 어려울 수 있음
피벗 양	위치·척도 구조가 있을 때 자연스러움
CDF 피벗팅	연속/이산 무관, 위치·척도 구조 불필요
베이즈 구간	사전분포 지정 필요

CDF 피벗팅의 핵심 아이디어는 단순하다:

확률적분변환(PIT): 연속 확률변수 \(T\) 에 대해 \(F_T(T|\theta) \sim \text{Uniform}(0,1)\) — 이것이 항상 사용할 수 있는 피벗이다.

이 보편 피벗에 \(F_T(t|\theta)\) 의 \(\theta\) 에 대한 단조성 조건을 결합하면, 수용역을 역전하여 신뢰구간을 얻는다.

이 포스트는 구간추정량 탐색 방법의 방법 3(CDF 피벗팅)을 심화한다. PIT의 원리, 연속·이산 CDF 피벗팅 정리의 전체 증명, 구체적 예시, 이산 분포의 보수성 문제, Python/R 코드를 전개한다.

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2 동기 — 왜 CDF 피벗팅이 필요한가

2.1 피벗 방법의 한계

피벗 양 방법은 강력하지만 피벗 자체를 찾아야 한다. 위치·척도 구조가 없으면 피벗을 찾기 어렵다. 예를 들어:

• 이항 분포 \(X \sim \text{Binomial}(n, p)\): \(p\) 에 대한 자연스러운 피벗이 없다.
• 포아송 분포 \(X \sim \text{Poisson}(\lambda)\): \(\lambda\) 에 대한 해석적 피벗이 없다.
• 복합 모수 문제: pdf가 복잡한 형태여서 \(t/\theta\) 또는 \(t - \theta\) 형태로 분해되지 않는 경우.

2.2 Sterne 방법의 함정 — 비구간 신뢰집합

피벗 없이 단순히 수용역을 역전하면 신뢰집합이 구간이 아닌 집합이 될 수 있다.

Sterne(1954)은 이항 분포 \(X \sim \text{Binomial}(3, p)\), 신뢰계수 \(1-\alpha = 0.442\) 에서 최단 길이를 목표로 수용역을 역전했다. 그 결과:

\(x\)	신뢰집합 \(C(x)\)
0	\([0, 0.305) \cup (0.362, 0.366)\)
1	\((0.238, 0.634]\)
2	\([0.366, 0.762)\)
3	\((0.634, 0.638) \cup (0.695, 1.00]\)

\(x = 0, 3\) 의 신뢰집합이 비연결 집합(disconnected set)이 된다. 이는 pmf가 \(p\) 에 대해 단조적으로 변하지 않아서 수용역이 구간이 아닌 복잡한 형태가 되기 때문이다 (Casella & Berger, 2002, Ex.9.2.11).

CDF 피벗팅은 이 문제를 방지한다: \(F_T(t|\theta)\) 의 \(\theta\) 에 대한 단조성만 보장되면 신뢰구간을 보장한다.

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3 핵심 원리: 확률적분변환 (PIT)

정리 2.1.10: 확률적분변환 (Probability Integral Transformation)

연속 확률변수 \(T\) 의 CDF가 \(F_T(t|\theta)\) 이면, 확률변수 \(U = F_T(T|\theta)\) 는

\[U = F_T(T|\theta) \sim \text{Uniform}(0,1)\]

을 따른다. 특히, 이 분포는 \(\theta\) 에 무관하다 — 즉 \(F_T(T|\theta)\) 는 피벗이다.

직관: CDF \(F_T\) 는 \(T\) 를 확률 공간 \([0,1]\) 로 변환한다. \(T\) 가 연속이면 이 변환이 정확히 균등 분포를 만들어낸다.

피벗으로의 활용: \(\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha\) 에 대해, \(U \sim \text{Uniform}(0,1)\) 이면

\[P(\alpha_1 \leq U \leq 1-\alpha_2) = 1-\alpha\]

따라서 수용역

\[A(\theta_0) = \{t : \alpha_1 \leq F_T(t|\theta_0) \leq 1-\alpha_2\}\]

는 크기(size) \(\alpha\) 검정의 수용역이다. 정리 9.2.2(검정-신뢰구간 대응)를 적용하면 역전된 집합

\[C(t) = \{\theta_0 : \alpha_1 \leq F_T(t|\theta_0) \leq 1-\alpha_2\}\]

는 \(1-\alpha\) 신뢰집합이다. 이것이 CDF 피벗팅의 전체 원리다.

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4 연속 CDF 피벗팅

정리 9.2.12: 연속 CDF 피벗팅 (Casella & Berger, 2002)

\(T\) 가 연속 CDF \(F_T(t|\theta)\) 를 갖는 통계량이고, \(\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha\) (\(0 < \alpha < 1\)) 로 고정. 각 \(t\) 에서 \(\theta_L(t)\), \(\theta_U(t)\) 를 다음과 같이 정의할 수 있으면:

(i) \(F_T(t|\theta)\) 가 \(\theta\) 의 감소함수인 경우 (확률론적 감소, stochastically decreasing):

\[F_T(t|\theta_U(t)) = \alpha_1, \quad F_T(t|\theta_L(t)) = 1-\alpha_2\]

(ii) \(F_T(t|\theta)\) 가 \(\theta\) 의 증가함수인 경우 (확률론적 증가, stochastically increasing):

\[F_T(t|\theta_U(t)) = 1-\alpha_2, \quad F_T(t|\theta_L(t)) = \alpha_1\]

그러면 랜덤 구간 \([\theta_L(T), \theta_U(T)]\) 는 \(\theta\) 의 \(1-\alpha\) 신뢰구간이다.

4.1 증명 (케이스 i: 감소함수 경우)

\(F_T(t|\theta)\) 가 \(\theta\) 에 대해 감소함수이므로:

\[F_T(t|\theta) < \alpha_1 \Longleftrightarrow \theta > \theta_U(t)\] \[F_T(t|\theta) > 1-\alpha_2 \Longleftrightarrow \theta < \theta_L(t)\]

따라서

\[\alpha_1 \leq F_T(t|\theta) \leq 1-\alpha_2 \Longleftrightarrow \theta_L(t) \leq \theta \leq \theta_U(t)\]

수용역 \(A(\theta_0) = \{t : \alpha_1 \leq F_T(t|\theta_0) \leq 1-\alpha_2\}\) 의 피복확률:

\[P_{\theta_0}(T \in A(\theta_0)) = P_{\theta_0}(\alpha_1 \leq F_T(T|\theta_0) \leq 1-\alpha_2)\]

PIT에 의해 \(F_T(T|\theta_0) \sim \text{Uniform}(0,1)\) 이므로

\[= P(\alpha_1 \leq U \leq 1-\alpha_2) = 1-\alpha\]

정리 9.2.2에 의해 \(C(t) = \{\theta : \alpha_1 \leq F_T(t|\theta) \leq 1-\alpha_2\} = [\theta_L(t), \theta_U(t)]\) 는 \(1-\alpha\) 신뢰구간이다. \(\square\)

4.2 실용 계산 공식

관측값 \(T = t_0\) 에서 신뢰구간의 끝점은 다음 두 방정식의 해다:

\[\int_{-\infty}^{t_0} f_T(u|\theta_U(t_0))\,du = \alpha_1\]

\[\int_{t_0}^{\infty} f_T(u|\theta_L(t_0))\,du = \alpha_2\]

이 방정식을 해석적으로 풀 수 없어도, 수치적으로 풀면 되므로 완전히 일반적인 방법이다.

\(\alpha_1\), \(\alpha_2\) 선택

• 기본값: \(\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha/2\) (등분할, 양측 등꼬리)
• 단측 구간: \(\alpha_1 = 0\) (상한만) 또는 \(\alpha_2 = 0\) (하한만)
• 최단 구간: 최단 기대 길이를 위한 \((\alpha_1, \alpha_2)\) 는 별도 최적화 필요 (9.3 참조)

등분할 \(\alpha/2\) 는 최단 구간을 보장하지 않지만, 특별한 이유가 없으면 표준 선택이다.

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5 예시 1: 위치 지수 분포

\(X_1, \ldots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} f(x|\mu) = e^{-(x-\mu)} I_{[\mu,\infty)}(x)\). 충분통계량 \(Y = X_{(1)} = \min\{X_1, \ldots, X_n\}\) 의 pdf와 CDF:

\[f_Y(y|\mu) = ne^{-n(y-\mu)} I_{[\mu,\infty)}(y), \quad F_Y(y|\mu) = 1 - e^{-n(y-\mu)}, \quad y \geq \mu\]

\(F_Y\) 의 \(\mu\) 에 대한 단조성: \(F_Y(y|\mu)\) 는 \(\mu\) 에 대해 단조 증가함수 (\(e^{-n(y-\mu)}\) 가 \(\mu\) 증가 시 감소하므로 \(1 - e^{-n(y-\mu)}\) 는 증가).

케이스 ii (증가함수) 적용, \(\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha/2\):

\[F_Y(y|\mu_U(y)) = 1 - \frac{\alpha}{2}, \quad F_Y(y|\mu_L(y)) = \frac{\alpha}{2}\]

첫 번째 방정식:

\[1 - e^{-n(y-\mu_U)} = 1 - \frac{\alpha}{2} \implies e^{-n(y-\mu_U)} = \frac{\alpha}{2} \implies \mu_U(y) = y + \frac{1}{n}\log\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)\]

두 번째 방정식:

\[1 - e^{-n(y-\mu_L)} = \frac{\alpha}{2} \implies e^{-n(y-\mu_L)} = 1 - \frac{\alpha}{2} \implies \mu_L(y) = y + \frac{1}{n}\log\!\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)\]

\(1-\alpha\) 신뢰구간:

\[C(Y) = \left[Y + \frac{\log(\alpha/2)}{n},\;\; Y + \frac{\log(1-\alpha/2)}{n}\right]\]

직관 확인: \(\log(\alpha/2) < 0 < \log(1-\alpha/2) < 0\) (since \(0 < 1-\alpha/2 < 1\)), 따라서 양 끝점 모두 \(Y\) 보다 작다. \(Y = X_{(1)} = \min X_i\) 는 \(\mu\) 의 상한이기 때문에 직관과 일치한다.

수치 예시 (\(n=10\), \(\alpha=0.05\)):

\[C(y) = \left[y + \frac{\log(0.025)}{10},\;\; y + \frac{\log(0.975)}{10}\right] = [y - 0.369,\;\; y - 0.00253]\]

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6 예시 2: 포아송 신뢰구간 (Garwood, 1936)

\(X_1, \ldots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Poisson}(\lambda)\). 충분통계량 \(Y = \sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Poisson}(n\lambda)\).

이산 분포이므로 정리 9.2.14(아래)를 적용한다.

\(F_Y\) 의 \(\lambda\) 에 대한 단조성: \(F_Y(y|n\lambda) = P(Y \leq y|n\lambda)\) 는 \(\lambda\) 증가 시 감소함수다 (포아송 평균이 커지면 작은 값의 확률이 감소). → 케이스 i (감소함수) 적용.

\(Y = y_0\) 관측 시, \(\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha/2\):

\[P(Y \leq y_0|\lambda_U) = \frac{\alpha}{2}, \quad P(Y \geq y_0|\lambda_L) = \frac{\alpha}{2}\]

6.1 포아송-감마 항등식으로 해석적 해 유도

(Casella & Berger, 2002, Ex.3.3.1) 포아송-감마 항등식:

\[\sum_{k=0}^{y_0} e^{-m}\frac{m^k}{k!} = P(\chi^2_{2(y_0+1)} > 2m)\]

\(m = n\lambda\) 로 놓으면 첫 번째 방정식:

\[\frac{\alpha}{2} = P(Y \leq y_0|\lambda_U) = P\!\left(\chi^2_{2(y_0+1)} > 2n\lambda_U\right) \implies \lambda_U = \frac{\chi^2_{2(y_0+1),\alpha/2}}{2n}\]

두 번째 방정식 (\(y_0 > 0\)):

\[\frac{\alpha}{2} = P(Y \geq y_0|\lambda_L) = P\!\left(\chi^2_{2y_0} < 2n\lambda_L\right) \implies \lambda_L = \frac{\chi^2_{2y_0,1-\alpha/2}}{2n}\]

(\(y_0 = 0\) 이면 \(\lambda_L = 0\)으로 정의.)

Garwood(1936) 신뢰구간:

\[\left[\frac{\chi^2_{2y_0,1-\alpha/2}}{2n},\;\; \frac{\chi^2_{2(y_0+1),\alpha/2}}{2n}\right]\]

수치 예시 (\(n=10\), \(y_0 = 6\), \(\alpha=0.10\)):

\[\left[\frac{\chi^2_{12, 0.95}}{20},\;\; \frac{\chi^2_{14, 0.05}}{20}\right] = \left[\frac{5.226}{20},\;\; \frac{23.685}{20}\right] = [0.261,\;\; 1.184]\]

so what: \(\hat{\lambda} = y_0/n = 0.6\) 이 95% 신뢰구간의 중간 근처에 있으나, 구간은 비대칭이다. 이산 분포의 불연속성으로 피복확률이 \(\lambda\) 에 따라 들쑥날쑥하지만 항상 \(\geq 1-\alpha\) 를 보장한다.

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7 이산 CDF 피벗팅

7.1 이산 분포의 특수성

이산 분포에서 \(F_T(T|\theta)\) 는 연속이 아니므로 PIT가 정확히 성립하지 않는다. 연속 경우와 달리 \(F_T(T|\theta) \sim \text{Uniform}(0,1)\) 이 아니라 확률론적으로 균등 분포보다 크다:

\[P_\theta(F_T(T|\theta) \leq x) \leq x, \quad \forall x \in [0,1]\]

즉, \(F_T(T|\theta)\) 는 \(\text{Uniform}(0,1)\) 보다 확률론적으로 더 크게(stochastically larger) 분포한다. 이 때문에 이산 경우에는 보수적(conservative) 신뢰구간이 얻어진다 — 실제 피복확률이 목표 \(1-\alpha\) 이상이 된다.

정리 9.2.14: 이산 CDF 피벗팅 (Casella & Berger, 2002)

이산 통계량 \(T\) 의 CDF \(F_T(t|\theta) = P(T \leq t|\theta)\). \(\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha\). 각 \(t\) 에서 \(\theta_L(t)\), \(\theta_U(t)\) 를 다음과 같이 정의할 수 있으면:

(i) \(F_T(t|\theta)\) 가 \(\theta\) 의 감소함수인 경우:

\[P(T \leq t|\theta_U(t)) = \alpha_1, \quad P(T \geq t|\theta_L(t)) = \alpha_2\]

(ii) \(F_T(t|\theta)\) 가 \(\theta\) 의 증가함수인 경우:

\[P(T \geq t|\theta_U(t)) = \alpha_1, \quad P(T \leq t|\theta_L(t)) = \alpha_2\]

그러면 \([\theta_L(T), \theta_U(T)]\) 는 \(\theta\) 의 \(1-\alpha\) 신뢰구간이다.

7.2 이산 경우 증명 스케치 (케이스 i)

이산 분포에서 Exercise 2.10의 결과: \(P_\theta(F_T(T|\theta) \leq x) \leq x\). 마찬가지로 \(\bar{F}_T(T|\theta) = P(T \geq t|\theta)\) 도 \(P_\theta(\bar{F}_T(T|\theta) \leq x) \leq x\) 를 만족한다.

따라서 집합 \(\{\theta : F_T(T|\theta) \leq \alpha_1 \text{ and } \bar{F}_T(T|\theta) \leq \alpha_2\}\) 는 \(1-\alpha\) 신뢰집합이다.

\(F_T(t|\theta)\) 가 \(\theta\) 에 대해 감소, \(\bar{F}_T(t|\theta) = P(T \geq t|\theta)\) 는 비감소:

\[\theta > \theta_U(t) \Rightarrow F_T(t|\theta) < \alpha_1\] \[\theta < \theta_L(t) \Rightarrow \bar{F}_T(t|\theta) < \alpha_2\]

따라서 신뢰집합 \(= \{\theta : \theta_L(T) \leq \theta \leq \theta_U(T)\}\) 는 구간이다. \(\square\)

7.3 보수성(Conservatism)의 의미

이산 분포에서 Theorem 9.2.14의 \([\theta_L(T), \theta_U(T)]\) 의 실제 피복확률은 일반적으로 \(1-\alpha\) 보다 크다. 이는 이산 분포의 CDF가 계단 함수이기 때문에, 방정식 \(P(T \leq t|\theta_U) = \alpha/2\) 를 정확히 만족하는 \(\theta_U\) 가 존재하지 않을 수 있고, 가장 가까운 값을 사용하면 실제 확률이 \(\alpha/2\) 보다 더 작아진다.

결과: 보수적 구간은 목표보다 넓고, 신뢰계수는 \(1-\alpha\) 이상이다.

이산 분포의 대안: 랜덤화 신뢰구간

정확히 \(1-\alpha\) 피복확률을 원하면, 경계에서 랜덤화(randomization)를 사용할 수 있다. 실무에서는 보수적 구간이 더 많이 쓰인다.

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8 예시 3: 이항 분포 신뢰구간 (Clopper-Pearson)

\(X \sim \text{Binomial}(n, p)\), \(p\) 의 신뢰구간 구성.

\(F_X(x|p) = P(X \leq x|p)\) 는 \(p\) 의 감소함수다 (성공확률이 클수록 큰 값의 확률이 높아짐). → 케이스 i (감소함수) 적용.

\(X = x_0\) 관측 시, \(\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha/2\):

\[P(X \leq x_0|p_U) = \frac{\alpha}{2}, \quad P(X \geq x_0|p_L) = \frac{\alpha}{2}\]

이항-베타 항등식을 이용하면:

\[P(X \leq x_0|p) = P(W \geq p), \quad W \sim \text{Beta}(x_0+1, n-x_0)\] \[P(X \geq x_0|p) = P(V \leq p), \quad V \sim \text{Beta}(x_0, n-x_0+1)\]

따라서

\[p_L = B_{\alpha_2}(x_0, n-x_0+1), \quad p_U = B_{1-\alpha_1}(x_0+1, n-x_0)\]

여기서 \(B_q(a,b)\) 는 \(\text{Beta}(a,b)\) 분포의 \(q\) 분위수.

Clopper-Pearson 정확 구간 (\(x_0 = 0\) 이면 \(p_L = 0\), \(x_0 = n\) 이면 \(p_U = 1\)):

\[\left[B_{\alpha/2}(x_0, n-x_0+1),\;\; B_{1-\alpha/2}(x_0+1, n-x_0)\right]\]

수치 예시 (\(n=20\), \(x_0=8\), \(\alpha=0.05\)):

\[p_L = B_{0.025}(8, 13) \approx 0.191, \quad p_U = B_{0.975}(9, 12) \approx 0.598\]

so what: 이 구간은 정확하게 \(1-\alpha\) 이상의 피복확률을 보장하는 보수적 구간이다. Wald 근사구간 \(\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} = 0.4 \pm 0.215\) 과 비교하면 Clopper-Pearson이 더 넓다. 그러나 \(n\) 이 작거나 \(p\) 가 0 또는 1 근처에서는 Wald 근사가 심각하게 부정확하므로 Clopper-Pearson이 선호된다.

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9 예시 4: 균등분포 \(\text{Uniform}(0,\theta)\) 의 CDF 피벗팅

\(X_1, \ldots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Uniform}(0, \theta)\), \(Y = X_{(n)} = \max\{X_i\}\).

\(F_Y(y|\theta) = (y/\theta)^n\), \(0 \leq y \leq \theta\).

\(\theta\) 에 대한 단조성: \(\partial F_Y / \partial\theta = -ny^n/\theta^{n+1} < 0\) → 감소함수.

케이스 i, \(\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha/2\):

\[F_Y(y|\theta_U) = \frac{\alpha}{2} \implies \left(\frac{y}{\theta_U}\right)^n = \frac{\alpha}{2} \implies \theta_U = \frac{y}{(\alpha/2)^{1/n}}\]

\[F_Y(y|\theta_L) = 1-\frac{\alpha}{2} \implies \left(\frac{y}{\theta_L}\right)^n = 1-\frac{\alpha}{2} \implies \theta_L = \frac{y}{(1-\alpha/2)^{1/n}}\]

\(1-\alpha\) 신뢰구간:

\[\left[\frac{Y}{(1-\alpha/2)^{1/n}},\;\; \frac{Y}{(\alpha/2)^{1/n}}\right]\]

피벗 방법과의 일관성 확인: 피벗 양 포스트에서 \(Q = Y/\theta \sim \text{Beta}(n,1)\) 을 이용했다. 두 방법은 동일한 신뢰구간을 준다 — \(F_Y(y|\theta) = P(Y \leq y|\theta) = (y/\theta)^n\) 이 CDF 방법의 방정식을 충족하기 때문이다.

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10 CDF 피벗팅 vs. 피벗 방법 비교

비교 항목	CDF 피벗팅	피벗 양 방법
적용 조건	\(F_T(t|\theta)\) 가 \(\theta\) 에 단조	피벗 \(Q(X,\theta)\) 존재
이산 분포	적용 가능 (보수적)	일반적으로 어려움
수치적 해 필요 여부	일반적으로 필요	불필요 (분포표 사용)
구간 보장	단조성 조건 시 항상 구간	단조성 조건 시 항상 구간
연결	\(Q = F_T(T|\theta)\) 로 피벗 방법의 특수 케이스	CDF 피벗팅의 해석적 특수 케이스

본질적 관계: CDF 피벗팅은 피벗 \(Q = F_T(T|\theta)\) 를 사용하는 피벗 방법이다. 위치·척도 피벗(예: \(t\)-피벗)이 있으면 그것이 더 해석적으로 편리하고, 없으면 CDF 피벗팅을 사용하는 것이 체계적이다.

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11 코드 예시

11.1 Step 1: 순수 Python 구현 — CDF 피벗팅 원리

import numpy as np
from scipy import stats, optimize

# 예시: 포아송 Garwood 신뢰구간 — 해석적 공식
def poisson_ci_garwood(y0, n, alpha=0.05):
    """포아송 CDF 피벗팅 신뢰구간 (Garwood, 1936)
    y0: 관측값 sum(X_i)
    n: 표본 크기
    """
    # 하한: chi^2_{2y0, 1-alpha/2} / (2n)
    lower = stats.chi2.ppf(alpha/2, df=2*y0) / (2*n) if y0 > 0 else 0.0
    # 상한: chi^2_{2(y0+1), alpha/2} / (2n)
    upper = stats.chi2.ppf(1 - alpha/2, df=2*(y0+1)) / (2*n)
    return lower, upper

# 수치 예시: n=10, y0=6, alpha=0.10
lower, upper = poisson_ci_garwood(y0=6, n=10, alpha=0.10)
print(f"포아송 90% 신뢰구간: [{lower:.3f}, {upper:.3f}]")
# 기대값: [0.261, 1.184]

# 예시: 이항 Clopper-Pearson 신뢰구간 — 베타 분위수 이용
def clopper_pearson(x0, n, alpha=0.05):
    """이항 CDF 피벗팅 신뢰구간 (Clopper-Pearson, 1934)
    x0: 성공 횟수
    n: 시도 횟수
    """
    # 하한: Beta(alpha/2; x0, n-x0+1)
    lower = stats.beta.ppf(alpha/2, a=x0, b=n-x0+1) if x0 > 0 else 0.0
    # 상한: Beta(1-alpha/2; x0+1, n-x0)
    upper = stats.beta.ppf(1-alpha/2, a=x0+1, b=n-x0) if x0 < n else 1.0
    return lower, upper

# n=20, x0=8, alpha=0.05
lower, upper = clopper_pearson(x0=8, n=20, alpha=0.05)
print(f"이항 95% 신뢰구간 (Clopper-Pearson): [{lower:.3f}, {upper:.3f}]")

# Wald 근사와 비교
p_hat = 8/20
se = np.sqrt(p_hat*(1-p_hat)/20)
wald_lo = p_hat - 1.96*se
wald_hi = p_hat + 1.96*se
print(f"이항 95% 신뢰구간 (Wald 근사): [{wald_lo:.3f}, {wald_hi:.3f}]")

# 예시: 수치적 CDF 피벗팅 — 일반 분포에 적용
# 위치 지수 분포 mu의 신뢰구간
def location_exp_ci(y, n, alpha=0.05):
    """위치 지수 f(x|mu)=exp(-(x-mu))의 mu 신뢰구간
    y = min(X_1,...,X_n)
    """
    lower = y + np.log(alpha/2) / n
    upper = y + np.log(1 - alpha/2) / n
    return lower, upper

rng = np.random.default_rng(42)
mu_true = 3.0
n = 15
x = mu_true + rng.exponential(scale=1.0, size=n)
y = x.min()  # 충분통계량

lower, upper = location_exp_ci(y, n, alpha=0.05)
print(f"\n위치 지수 95% 신뢰구간: [{lower:.3f}, {upper:.3f}]")
print(f"참값 mu={mu_true}, Y={y:.3f}")
print(f"포함: {lower <= mu_true <= upper}")

# 피복확률 시뮬레이션 — 보수성 확인 (포아송)
N_sim = 10000
n, lam_true, alpha = 10, 0.6, 0.10

cover = 0
for _ in range(N_sim):
    y0 = rng.poisson(lam_true * n)
    lo, hi = poisson_ci_garwood(y0, n, alpha)
    cover += (lo <= lam_true <= hi)

print(f"\n포아송 Garwood 구간 실제 피복률: {cover/N_sim:.4f} (목표: {1-alpha})")
# 이산 분포의 보수성으로 실제 피복률 > 1-alpha

11.2 Step 2: scipy / statsmodels 활용

from scipy.stats import poisson, binom, beta

# 포아송 신뢰구간 — scipy proportion_confint 없음, 직접 구현 또는 위 함수 사용
# 또는 statsmodels 이용
from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint

# 이항 신뢰구간 (exact = Clopper-Pearson)
lo, hi = proportion_confint(count=8, nobs=20, alpha=0.05, method='exact')
print(f"Clopper-Pearson (statsmodels): [{lo:.3f}, {hi:.3f}]")

# 여러 방법 비교
for method in ['exact', 'normal', 'wilson', 'agresti_coull']:
    lo, hi = proportion_confint(count=8, nobs=20, alpha=0.05, method=method)
    print(f"{method:15s}: [{lo:.3f}, {hi:.3f}]")

11.3 R 구현

# 포아송 Garwood 신뢰구간
poisson_ci_garwood <- function(y0, n, alpha = 0.05) {
  lower <- if (y0 == 0) 0 else qchisq(alpha/2, df = 2*y0) / (2*n)
  upper <- qchisq(1 - alpha/2, df = 2*(y0+1)) / (2*n)
  c(lower = lower, upper = upper)
}

# n=10, y0=6, alpha=0.10
poisson_ci_garwood(y0 = 6, n = 10, alpha = 0.10)

# 이항 Clopper-Pearson
clopper_pearson <- function(x0, n, alpha = 0.05) {
  lower <- if (x0 == 0) 0 else qbeta(alpha/2, shape1 = x0, shape2 = n - x0 + 1)
  upper <- if (x0 == n) 1 else qbeta(1 - alpha/2, shape1 = x0 + 1, shape2 = n - x0)
  c(lower = lower, upper = upper)
}

# n=20, x0=8, alpha=0.05
clopper_pearson(x0 = 8, n = 20, alpha = 0.05)

# 또는 내장 함수 이용
binom.test(x = 8, n = 20, conf.level = 0.95)$conf.int

# 위치 지수 분포 mu 신뢰구간
location_exp_ci <- function(y, n, alpha = 0.05) {
  lower <- y + log(alpha/2) / n
  upper <- y + log(1 - alpha/2) / n
  c(lower = lower, upper = upper)
}

set.seed(42)
mu_true <- 3.0; n <- 15
x <- mu_true + rexp(n, rate = 1)
y <- min(x)
location_exp_ci(y = y, n = n, alpha = 0.05)

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12 정리 — CDF 피벗팅 절차 요약

Step 1: 충분통계량 \(T\) 를 선택하고 CDF \(F_T(t|\theta)\) 를 구한다.

Step 2: \(F_T(t|\theta)\) 가 \(\theta\) 에 대해 단조인지 확인한다 (확률론적 단조성).

Step 3: \(\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha\) 를 선택한다 (보통 \(\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha/2\)).

Step 4: 방정식을 풀어 끝점을 구한다: - 연속 경우: \(\int_{-\infty}^{t_0} f_T(u|\theta_U) du = \alpha_1\) 과 \(\int_{t_0}^{\infty} f_T(u|\theta_L) du = \alpha_2\) - 이산 경우: \(P(T \leq t_0|\theta_U) = \alpha_1\) 과 \(P(T \geq t_0|\theta_L) = \alpha_2\)

Step 5: 해석적 해가 없으면 수치 최적화(bisection, scipy.optimize.brentq 등)로 푼다.

이산 분포 주의사항

• 정확한 피복확률이 \(1-\alpha\) 임을 보장하지 않고, \(\geq 1-\alpha\) 임만 보장한다 (보수적 구간)
• \(y_0 = 0\) 이면 \(\theta_L = 0\) (또는 \(\theta_L = \inf\Theta\))으로 정의한다
• 피복확률 곡선이 \(\theta\) 에 따라 들쑥날쑥할 수 있다 (Figure 9.2.5 참조)

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13 관련 주제

선행 지식

• 구간추정 개요 — 신뢰구간의 정의와 피복확률
• 구간추정량 탐색 방법 개요 — CDF 피벗팅의 위치
• 피벗 양 (Pivotal Quantities) — CDF 피벗팅과의 관계
• 분포 함수 (Distribution Functions) — CDF의 성질

후속 주제

• 베이즈 구간 (Bayesian Intervals) — 사후분포 기반 구간
• 구간추정 평가 (Methods of Evaluating Interval Estimators) — 피복확률, 최단 기대 길이

관련 개념

• 검정의 역전 (Inverting a Test Statistic) — CDF 피벗팅은 PIT 피벗의 역전
• 공통 분포족 — 포아송 — 포아송 예시의 배경
• 공통 분포족 — 이항 — Clopper-Pearson 예시의 배경