Kwangmin Kim - 구간 추정량 평가 방법 (Methods of Evaluating Interval Estimators)

1 개요

구간 추정량을 파생하는 방법(피벗 양, CDF 피벗팅, 베이즈 구간 등)은 이미 살펴보았다. 같은 문제에서 서로 다른 신뢰구간을 구성할 수 있기 때문에, 어느 것이 더 ‘좋은지’ 판단하는 기준이 필요하다.

집합 추정에서는 크기(size) 와 피복확률(coverage probability) 이라는 두 량이 서로 경쟁한다. 피복확률을 높이려면 집합을 크게 만들면 되고, 반대로 집합을 줄이면 피복확률이 낮아진다. \((-\infty, \infty)\) 는 피복확률 1이지만 아무 정보도 없다. 이 긴장 관계를 체계적으로 다루는 것이 §9.3의 핵심이다.

피복확률 은 특수한 경우를 제외하면 모수 \(\theta\)의 함수다. 이를 하나의 수치로 요약하는 표준 방법은 신뢰계수(confidence coefficient) : 피복확률의 하한 \(\inf_\theta P_\theta(\theta \in C(X))\) 를 사용하는 것이다.

크기 는 보통 구간의 길이(length)를 의미한다. 다차원이면 부피로 확장된다.

2 9.3.1 크기와 피복확률 — 최단 구간

2.1 기본 문제 설정

지정된 피복확률 \(1-\alpha\) 하에서 가장 짧은 신뢰구간을 찾는 문제다.

예시 9.3.1 (길이 최적화) \(X_1, \ldots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} N(\mu, \sigma^2)\), \(\sigma\) 알려짐. 피벗 \(Z = (\bar{X} - \mu)/(\sigma/\sqrt{n}) \sim N(0,1)\) 이므로, \(P(a \le Z \le b) = 1-\alpha\) 를 만족하는 모든 \((a, b)\) 쌍이 \(1-\alpha\) 신뢰구간을 만든다:

\[\left\{ \mu : \bar{x} - b \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} - a \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right\}.\]

구간 길이는 \((b - a)\sigma/\sqrt{n}\)이므로 \(b - a\) 를 최소화하는 \((a, b)\) 를 찾으면 된다.

\(1-\alpha = 0.90\) 일 때 세 가지 예시:

\(a\)	\(b\)	\(P(Z < a)\)	\(P(Z > b)\)	\(b - a\)
\(-1.34\)	\(2.33\)	\(.09\)	\(.01\)	\(3.67\)
\(-1.44\)	\(1.96\)	\(.075\)	\(.025\)	\(3.40\)
\(-1.65\)	\(1.65\)	\(.05\)	\(.05\)	\(3.30\)

등꼬리 분할 \(a = -z_{\alpha/2}\), \(b = z_{\alpha/2}\) 가 가장 짧다. 이는 우연이 아니다.

2.2 정리 9.3.2 (최단 구간 — 단봉 pdf)

Theorem 9.3.2

\(f(x)\) 가 단봉(unimodal) pdf이고, 구간 \([a, b]\) 가 다음 세 조건을 만족하면 \([a, b]\) 는 조건 (i) 를 만족하는 모든 구간 중 가장 짧다:

\(\int_a^b f(x)\,dx = 1 - \alpha\)
\(f(a) = f(b) > 0\)
\(a \le x^* \le b\) (단, \(x^*\) 는 최빈값)

직관: 조건 (ii) 는 양 끝점에서 밀도가 같다는 뜻이다. 어느 한쪽 끝점에서 밀도가 더 높다면, 그쪽을 조금 잘라내고 다른 쪽에 더해 확률을 유지하면서 구간을 줄일 수 있다.

증명 스케치 (\(a' \le a\) 인 경우):

경쟁 구간 \([a', b']\) 가 \(b' - a' < b - a\) 라 하자.

경우 1 \(b' \le a\): \(a' \le b' \le a \le x^*\) 이므로 \(f\) 의 단봉성과 (ii) 에 의해

\[\int_{a'}^{b'} f\,dx \le f(b')(b' - a') \le f(a)(b' - a') < f(a)(b - a) \le \int_a^b f\,dx = 1-\alpha.\]

경우 2 \(b' > a\): \(a' \le a < b' < b\) 로 쓸 수 있고,

\[\int_{a'}^{b'} f\,dx = (1-\alpha) + \left[\int_{a'}^a f\,dx - \int_{b'}^b f\,dx\right].\]

대괄호 안을 추정하면:

\[\int_{a'}^a f\,dx \le f(a)(a - a'), \quad \int_{b'}^b f\,dx \ge f(b)(b - b').\]

\(f(a) = f(b)\) 이므로:

\[\int_{a'}^a f\,dx - \int_{b'}^b f\,dx \le f(a)\left[(a - a') - (b - b')\right] = f(a)\left[(b' - a') - (b - a)\right] < 0.\]

따라서 \(\int_{a'}^{b'} f\,dx < 1-\alpha\). \(\square\)

따름정리: 대칭 단봉 pdf(표준 정규 등)에서는 등꼬리 분할(\(a = -b\))이 최단 구간을 준다 (Exercise 9.39). 정규 피벗 구간 \(\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}\) 의 최적성이 이로써 확립된다.

2.3 기댓값 길이 최적화

예시 9.3.3 (기댓값 길이) \(t\) 분포 피벗 \((\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n})\) 기반 구간의 길이는 \(S\) 에 의존한다:

\[\text{Length}(s) = (b-a)\frac{s}{\sqrt{n}}.\]

기댓값 길이 최소화 기준:

\[E_\sigma[\text{Length}(S)] = (b-a)\frac{E_\sigma S}{\sqrt{n}} = (b-a) \cdot c(n) \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.\]

\(c(n)\) 은 \(n\) 에만 의존하는 상수이므로, 이 경우에도 Theorem 9.3.2 가 적용되어 \(a = -t_{n-1,\alpha/2}\), \(b = t_{n-1,\alpha/2}\) 가 최적이다.

2.4 척도 모수: 직접 적용이 안 되는 경우

예시 9.3.4 (최단 피벗 구간) \(X \sim \text{Gamma}(k, \beta)\). 피벗 \(Y = X/\beta \sim \text{Gamma}(k, 1)\). 신뢰구간의 형태는

\[\left\{ \beta : \frac{x}{b} \le \beta \le \frac{x}{a} \right\},\]

길이가 \(\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)x\) 로, \(b - a\) 가 아니라 \(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\) 를 최소화해야 한다.

라그랑지 최적화(제약: \(\int_a^{b(a)} f_Y\,dy = 1-\alpha\))를 미분하면:

\[\boxed{f(b)\, b^2 = f(a)\, a^2}\]

이 등식이 척도 피벗 최적 구간의 조건이다. 정규 분산 구간(예시 9.2.10)에서도 같은 형태가 나온다.

3 9.3.2 검정 관련 최적성 (Test-Related Optimality)

3.1 거짓 피복 확률

신뢰집합 \(C(x) = [L(x), U(x)]\) 에 대해 거짓 피복 확률(probability of false coverage) 을 다음처럼 정의한다:

\[P_\theta(\theta' \in C(X)), \quad \theta \ne \theta'.\]

방향성에 따라 정의가 달라진다:

구간 형태	거짓 피복 조건
\([L, U]\) (양측)	\(\theta' \ne \theta\)
\([L, \infty)\) (하한)	\(\theta' < \theta\)
\((-\infty, U]\) (상한)	\(\theta' > \theta\)

직관적으로, 집합이 작을수록 거짓 값을 피복할 가능성이 낮다. 따라서 거짓 피복 확률을 최소화하는 것이 좋은 추정량을 고르는 기준이 된다.

3.2 균등 최정확 신뢰집합 (UMA)

Definition (UMA Confidence Set)

\(1-\alpha\) 신뢰집합의 한 클래스 안에서 거짓 피복 확률을 균등하게 최소화하는 집합을 균등 최정확(Uniformly Most Accurate, UMA) 신뢰집합이라 한다.

UMA 신뢰집합은 UMP 검정의 채택역을 역전(invert)해서 얻는다.

Theorem 9.3.5 (UMP → UMA)

각 \(\theta_0\)에 대해 \(H_0: \theta = \theta_0\) vs. \(H_1: \theta > \theta_0\) 의 UMP level \(\alpha\) 채택역 \(A^*(\theta_0)\) 를 역전해서 얻은 \(1-\alpha\) 신뢰집합 \(C^*(x)\) 는 다음을 만족한다:

\[P_\theta(\theta' \in C^*(X)) \le P_\theta(\theta' \in C(X)) \quad \forall\, \theta' < \theta.\]

즉, \(C^*\) 는 임의의 다른 \(1-\alpha\) 신뢰집합 \(C\) 보다 거짓 피복 확률이 작거나 같다.

증명: 임의의 \(\theta' < \theta\), \(C\) 의 채택역 \(A(\theta')\) 에 대해

\[P_\theta(\theta' \in C^*(X)) = P_\theta(X \in A^*(\theta')) \le P_\theta(X \in A(\theta')) = P_\theta(\theta' \in C(X)).\]

첫 번째 등호는 신뢰집합 역전, 부등호는 \(A^*(\theta')\) 가 UMP 채택역이므로 \(\theta > \theta'\) 에서 검정력을 최대화(= 채택역 확률을 최소화)하기 때문이다. \(\square\)

예시 9.3.6 (UMA 하한) \(X_1, \ldots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} N(\mu, \sigma^2)\), \(\sigma^2\) 알려짐.

\[C(\bar{x}) = \left\{ \mu : \mu \ge \bar{x} - z_\alpha \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right\}\]

는 \(H_0: \mu = \mu_0\) vs. \(H_1: \mu > \mu_0\) 의 UMP 검정을 역전한 것이므로 UMA 하한이다.

반면, 양측 구간 \(\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}\) 은 UMA가 아니다. \(H_1: \mu \ne \mu_0\) 에 대한 UMP 검정이 존재하지 않기 때문이다.

3.3 불편 신뢰집합 (Unbiased)

Definition 9.3.7 (Unbiased Confidence Set)

\(1-\alpha\) 신뢰집합 \(C(x)\) 가 모든 \(\theta \ne \theta'\) 에 대해

\[P_\theta(\theta' \in C(X)) \le 1-\alpha\]

를 만족하면 불편(unbiased) 신뢰집합이라 한다.

불편 신뢰집합에서 거짓 피복 확률은 참 피복 확률의 최솟값 \(1-\alpha\) 를 절대 넘지 않는다. 불편 검정의 채택역을 역전하면 불편 신뢰집합을 얻는다.

예시: \(t\) 검정을 역전한 \(\bar{x} \pm t_{n-1,\alpha/2} s/\sqrt{n}\) 은 불편 구간이다.

3.4 Pratt 정리 — 길이와 거짓 피복 확률의 연결

Theorem 9.3.9 (Pratt, 1961)

\(L(x)\), \(U(x)\) 가 모두 \(x\) 의 증가함수인 신뢰구간 \(C(x) = [L(x), U(x)]\) 에 대해, 임의의 \(\theta^*\) 에서 다음이 성립한다:

\[E_{\theta^*}[\text{Length}(C(X))] = \int_{\theta \ne \theta^*} P_{\theta^*}(\theta \in C(X))\,d\theta.\]

증명:

\[E_{\theta^*}[\text{Length}(C(X))] = \int_{\mathcal{X}} [U(x) - L(x)] f(x|\theta^*)\,dx\]

\[= \int_{\mathcal{X}} \left[\int_{L(x)}^{U(x)} d\theta\right] f(x|\theta^*)\,dx\]

Fubini 정리로 적분 순서를 바꾸고, \(L\), \(U\) 의 역함수가 존재하므로(\(L\), \(U\) 단조증가 가정):

\[= \int_\Theta \left[\int_{U^{-1}(\theta)}^{L^{-1}(\theta)} f(x|\theta^*)\,dx\right] d\theta\]

\[= \int_\Theta P_{\theta^*}(U^{-1}(\theta) \le X \le L^{-1}(\theta))\,d\theta\]

\[= \int_\Theta P_{\theta^*}(\theta \in C(X))\,d\theta = \int_{\theta \ne \theta^*} P_{\theta^*}(\theta \in C(X))\,d\theta. \quad \square\]

의미: 기댓값 구간 길이 = 거짓 피복 확률의 적분. 따라서 거짓 피복 확률을 균등하게 최소화하면(UMA 기준) 기댓값 길이도 줄어드는 경향이 있다. 단, 단측 구간에서는 이 동치가 완전히 성립하지 않음에 주의한다 (Madansky 1962 반례 존재).

4 9.3.3 베이즈 최적성 (Bayesian Optimality)

사후 분포 \(\pi(\theta|x)\) 를 갖는 베이즈 틀에서, 지정된 신용확률 \(1-\alpha\) 하에 가장 짧은 신용집합을 찾는 문제는 §9.3.1 과 동일한 구조다.

Corollary 9.3.10 (HPD = 최단 신용구간)

사후 밀도 \(\pi(\theta|x)\) 가 단봉이면, 지정된 \(\alpha\) 에 대해 가장 짧은 \(1-\alpha\) 신용집합 은

\[\{\theta : \pi(\theta|x) \ge k\}, \quad \text{where } \int_{\{\theta : \pi(\theta|x) \ge k\}} \pi(\theta|x)\,d\theta = 1-\alpha\]

이다. 이 집합을 최고 사후밀도(Highest Posterior Density, HPD) 구간 이라 한다.

이는 Theorem 9.3.2 를 사후 밀도 \(f = \pi(\theta|x)\) 에 직접 적용한 결과다. 조건 (ii) 에 해당하는 것이 “밀도 수평선(density level) \(k\)” 이다.

예시 9.3.11 (포아송 HPD 구간) 예시 9.2.16 의 Poisson-Gamma 사후 분포: \(n=10\), \(\sum x_i = 6\), \(a=b=1\) (사전) → 사후 \(2(n+1)\lambda \sim \chi^2_{2(\sum x+1)}\).

구간 방법	구간	길이
등꼬리 신용집합	\([0.299, 1.077]\)	\(0.778\)
HPD 구간	\([0.253, 1.005]\)	\(0.752\)
고전 Garwood 구간	\([0.261, 1.184]\)	\(0.923\)

HPD 구간이 등꼬리 신용집합보다 짧다. Gamma 사후 분포가 비대칭이기 때문에 등꼬리 분할은 최단이 아니다.

예시 9.3.12 (정규 HPD 구간) 정규-정규 켤레 사후 \(\theta|x \sim N(\delta^B, \tau_1^2)\). 대칭 단봉이므로 \(\{\theta : \pi(\theta|x) \ge k\} = \{\theta : |\theta - \delta^B| \le k'\}\) 가 대칭 구간이 되고, 등꼬리 신용집합이 곧 HPD 구간이다.

5 9.3.4 손실함수 최적성 (Loss Function Optimality)

앞선 두 방법(최단 구간, UMA)은 피복확률을 고정한 뒤 크기를 최소화하는 방식이다. 결정이론 관점에서는 두 기준을 손실함수 하나로 통합할 수 있다.

5.1 손실함수 설정

\[L(\theta, C) = b \cdot \text{Length}(C) - I_C(\theta),\]

여기서

\(b > 0\): 길이 대비 피복 실패의 상대적 비중
\(I_C(\theta) = \mathbf{1}[\theta \in C]\)

위험함수(risk function):

\[R(\theta, C) = b \cdot E_\theta[\text{Length}(C(X))] - P_\theta(\theta \in C(X)).\]

위험을 최소화하면 기댓값 길이를 줄이면서 피복확률을 높이는 최적 균형을 찾게 된다.

극한 사례: - \(b = 0\): 길이 무관, 피복확률만 중요 → \(C = (-\infty, \infty)\) 가 최적 - \(b \to \infty\): 피복확률 무관, 길이만 중요 → 점 추정량 \(C = \{x\}\) 가 최적

5.2 예시 9.3.13 (정규 구간 추정량)

\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), \(\sigma^2\) 알려짐. 구간 \(C(x) = [x - c\sigma, x + c\sigma]\) (\(c \ge 0\)).

피복확률:

\[P_\mu(\mu \in C(X)) = P\left(-c \le \frac{X-\mu}{\sigma} \le c\right) = 2\Phi(c) - 1.\]

위험함수 (\(\mu\) 에 독립):

\[R(\mu, C) = b(2c\sigma) - [2\Phi(c) - 1].\]

최적 \(c\):

\[\frac{dR}{dc} = 2b\sigma - \frac{2}{\sqrt{2\pi}} e^{-c^2/2} = 0 \implies e^{-c^2/2} = b\sigma\sqrt{2\pi}.\]

\(b\sigma > 1/\sqrt{2\pi}\): \(c = 0\) 이 최적(점 추정)
\(b\sigma \le 1/\sqrt{2\pi}\): \(c = \sqrt{-2\log(b\sigma\sqrt{2\pi})}\) 이 최적 → 이를 \(z_{\alpha/2}\) 로 표현하면 통상의 \(1-\alpha\) 신뢰구간과 일치

해석: 결정이론은 \(b\) 의 선택을 통해 신뢰계수를 내생화한다. \(b\) 를 바꾸면 다른 신뢰계수의 최적 구간을 얻는다.

6 네 가지 평가 기준 비교

기준	핵심 아이디어	적용 조건	한계
최단 구간 (Thm 9.3.2)	동등밀도 수평선; \(f(a)=f(b)\)	단봉 pdf	척도 모수에 직접 적용 불가
UMA (Thm 9.3.5)	거짓 피복 확률 최소화; UMP 역전	단측 구간	양측 구간에 UMP 없음
Pratt 연결 (Thm 9.3.9)	\(E[\text{Length}] = \int P(\text{거짓})\,d\theta\)	단조 끝점	단측에서 길이 최적성 보장 안 됨
HPD (Cor 9.3.10)	사후 밀도 수평선; 베이즈 최단	단봉 사후	비단봉 → 구간 아닌 집합
손실함수 (§9.3.4)	길이 + 피복 통합; \(b\) 로 균형	임의	\(b\) 선택이 주관적

7 요약

최단 구간: 단봉 pdf에서 \(f(a) = f(b)\) 조건이 최단 구간을 보장한다 (Thm 9.3.2). 척도 모수는 변형된 조건 \(f(b)b^2 = f(a)a^2\) 을 사용한다.
UMA: UMP 검정의 역전이 UMA 신뢰집합을 낳는다 (Thm 9.3.5). 주로 단측 구간에만 적용 가능하다.
Pratt 정리: 기댓값 구간 길이는 거짓 피복 확률의 적분이다 (Thm 9.3.9). 거짓 피복 최소화와 길이 최소화가 연결된다.
HPD = 베이즈 최단: 단봉 사후에서 HPD 구간이 가장 짧은 신용집합이다 (Cor 9.3.10). 비대칭 사후(Gamma 등)에서는 등꼬리 분할이 아닌 HPD가 선호된다.
손실함수: 피복확률과 길이를 하나의 위험함수로 통합하면 신뢰계수를 내생적으로 결정할 수 있다. \(b\) 선택의 주관성이 실무 적용의 걸림돌이다.

8 코드 — 최단 구간 수치 계산

import numpy as np
from scipy import stats, optimize

# ── 예시 9.3.1: 표준 정규에서 최단 90% 구간 ──────────────────────
alpha = 0.10

def interval_length(a, alpha=0.10):
    """P(a <= Z <= b) = 1-alpha 를 만족하는 b를 찾아 b-a 반환"""
    b = stats.norm.ppf(stats.norm.cdf(a) + (1 - alpha))
    return b - a

# 다양한 a 값에서 길이 계산
a_vals = np.linspace(-3.0, -0.1, 300)
lengths = [interval_length(a) for a in a_vals]

best_idx = np.argmin(lengths)
a_opt = a_vals[best_idx]
b_opt = stats.norm.ppf(stats.norm.cdf(a_opt) + (1 - alpha))

print(f"최적 a = {a_opt:.4f}, b = {b_opt:.4f}, 길이 = {b_opt - a_opt:.4f}")
print(f"대칭 구간: a = {-stats.norm.ppf(1-alpha/2):.4f}, 길이 = {2*stats.norm.ppf(1-alpha/2):.4f}")

# ── 예시 9.3.4: Gamma(k=3) 척도 파라미터 최단 구간 ────────────────
# 조건: f(b)*b^2 = f(a)*a^2,  P(a <= Y <= b) = 1-alpha
k = 3
x_obs = 5.0   # 관측값

def gamma_interval_condition(a_val, alpha=0.10, k=3):
    """f(b)*b^2 = f(a)*a^2 조건을 이용해 b를 수치적으로 찾음"""
    fa = stats.gamma.pdf(a_val, a=k)

    def eq(b_val):
        return stats.gamma.pdf(b_val, a=k) * b_val**2 - fa * a_val**2

    # b > a 범위에서 b 탐색
    try:
        b_val = optimize.brentq(eq, a_val + 1e-6, 20 * k)
    except ValueError:
        return None, None, np.inf

    prob = stats.gamma.cdf(b_val, a=k) - stats.gamma.cdf(a_val, a=k)
    length = (1/a_val - 1/b_val) * x_obs
    return b_val, prob, length

# a 격자 탐색
best_length = np.inf
best_a = best_b = None
for a_test in np.linspace(0.01, k - 0.1, 500):
    b_test, prob, length = gamma_interval_condition(a_test)
    if b_test is not None and abs(prob - (1 - alpha)) < 0.01 and length < best_length:
        best_length = length
        best_a, best_b = a_test, b_test

if best_a:
    beta_L = x_obs / best_b
    beta_U = x_obs / best_a
    print(f"\nGamma k={k}: 최단 구간 [β_L={beta_L:.3f}, β_U={beta_U:.3f}], 길이={best_length:.3f}")

library(tidyverse)

# ── 표준 정규 최단 90% 구간 ──────────────────────────────────────
alpha <- 0.10

interval_length <- function(a, alpha = 0.10) {
  b <- qnorm(pnorm(a) + (1 - alpha))
  b - a
}

a_vals <- seq(-3.0, -0.1, length.out = 300)
lengths <- sapply(a_vals, interval_length)

best_a <- a_vals[which.min(lengths)]
best_b <- qnorm(pnorm(best_a) + (1 - alpha))

cat(sprintf("최적 a = %.4f, b = %.4f, 길이 = %.4f\n", best_a, best_b, best_b - best_a))
cat(sprintf("대칭 구간: a = %.4f, 길이 = %.4f\n", -qnorm(1 - alpha/2), 2*qnorm(1-alpha/2)))

# ── HPD 구간: Gamma 사후 (Poisson-Gamma) ──────────────────────────
library(bayestestR)

# n=10, sum_x=6, Gamma(a=1,b=1) 사전 → Gamma(a+sum_x, 1/(n+1/b)) 사후
n <- 10; sum_x <- 6; a_prior <- 1; b_prior <- 1
a_post <- a_prior + sum_x
rate_post <- n + 1 / b_prior  # 1/scale 파라미터

# 등꼬리 신용구간
lower_et <- qgamma(alpha/2,  shape = a_post, rate = rate_post)
upper_et <- qgamma(1-alpha/2, shape = a_post, rate = rate_post)
cat(sprintf("\n등꼬리 신용집합: [%.3f, %.3f], 길이 = %.3f\n",
            lower_et, upper_et, upper_et - lower_et))

# HPD 구간 (bayestestR)
samples <- rgamma(1e6, shape = a_post, rate = rate_post)
hpd <- hdi(samples, ci = 1 - alpha)
cat(sprintf("HPD 구간: [%.3f, %.3f], 길이 = %.3f\n",
            hpd$CI_low, hpd$CI_high, hpd$CI_high - hpd$CI_low))

# ── UMA 하한 vs 양측 신뢰구간 피복확률 비교 ──────────────────────
set.seed(42)
n_sim <- 10000; n_obs <- 15; sigma <- 1; mu_true <- 0
alpha_test <- 0.05

# 시뮬레이션
xbar <- replicate(n_sim, mean(rnorm(n_obs, mu_true, sigma)))

# UMA 하한: C = [xbar - z_alpha*sigma/sqrt(n), Inf)
z_a  <- qnorm(1 - alpha_test)
uma_cover <- mean(mu_true >= xbar - z_a * sigma / sqrt(n_obs))

# 양측 구간
z_a2 <- qnorm(1 - alpha_test/2)
two_cover <- mean(abs(xbar - mu_true) <= z_a2 * sigma / sqrt(n_obs))

cat(sprintf("\nUMA 하한 피복확률: %.4f (명목 %.4f)\n", uma_cover, 1 - alpha_test))
cat(sprintf("양측 구간 피복확률: %.4f (명목 %.4f)\n", two_cover, 1 - alpha_test))

9 참고 문헌

Casella, G. & Berger, R. L. (2002). Statistical Inference (2nd ed.), §9.3.
Pratt, J. W. (1961). Length of confidence intervals. Journal of the American Statistical Association, 56, 549–567.
Madansky, A. (1962). More on length of confidence intervals. Journal of the American Statistical Association, 57, 586–589.
Lehmann, E. L. & Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.).