피벗 양 (Pivotal Quantities)

1 개요

구간추정량을 찾는 방법 중 가장 직관적이고 실용적인 것이 피벗 양(pivotal quantity)을 이용하는 방법이다. 핵심 아이디어는 단순하다:

\(Q(X, \theta)\) 의 분포가 \(\theta\) 에 무관하면, \(Q\) 에 대한 확률 부등식을 쓰고 \(\theta\) 에 대해 역전(invert)하면 신뢰구간이 된다.

이 방법이 강력한 이유는 분위수를 \(\theta\) 와 무관하게 결정할 수 있다는 점이다. 위치·척도 문제에서는 피벗이 자연스럽게 등장하며, 스튜던트 \(t\) 통계량이 대표적 예다.

이 포스트는 구간추정량 탐색 방법의 방법 2(피벗 양)를 심화한다. 피벗의 정의, 존재 판별법, 신뢰구간 역전 절차를 체계적으로 전개하고, 정규·지수·균등·이중지수 분포에서의 구체적 예시와 Python/R 코드를 제시한다.

---

2 피벗의 정의

정의 9.2.6: 피벗 양 (Pivotal Quantity)

확률변수 \(Q(X, \theta) = Q(X_1, \ldots, X_n, \theta)\) 의 분포가 모든 \(\theta\) 에 대해 동일하면, 즉 \(X \sim F(x|\theta)\) 일 때 \(Q(X, \theta)\) 의 분포가 \(\theta\) 에 무관하면, \(Q\) 를 피벗(pivot, pivotal quantity) 이라 한다.

수학적으로: 임의의 집합 \(\mathcal{A}\) 에 대해 \(P_\theta(Q(X,\theta) \in \mathcal{A})\) 가 \(\theta\) 에 의존하지 않는다.

핵심 특성: 피벗 \(Q(X, \theta)\) 는 데이터 \(X\) 와 모수 \(\theta\) 를 모두 포함하는 함수이지만, 그 분포는 \(\theta\) 에 무관하다. 이것이 점추정량(데이터만 포함)과의 차이다.

비교 예시:

함수	\(\theta\) 포함 여부	분포가 \(\theta\) 에 무관한가	피벗인가
\(\bar{X}\)	X	X (\(\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)\))	X
\(\bar{X} - \mu\)	O	O	O
\((\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n})\)	O	O (\(t_{n-1}\))	O
\((n-1)S^2/\sigma^2\)	O	O (\(\chi^2_{n-1}\))	O

---

3 왜 피벗이 유용한가

점추정량 \(\bar{X}\) 의 분포는 \(\mu\) 와 \(\sigma^2\) 에 모두 의존한다. 따라서 “어느 정도 범위에서 \(\mu\) 가 있을까?”라는 질문에 답하려면 모수를 알아야 하는 순환 문제가 발생한다.

피벗 \(Q = (\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n})\) 은 이 문제를 해결한다. \(Q \sim t_{n-1}\) 이고 이 분포는 \((\mu, \sigma^2)\) 에 무관하다. 따라서 \(\alpha\) 수준에서 분위수 \(a = t_{n-1,\alpha/2}\) 를 \(\mu\), \(\sigma^2\) 를 모르는 상태에서 결정할 수 있다.

\[P\left(-a \leq \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \leq a\right) = 1-\alpha\]

이를 \(\mu\) 에 대해 역전하면 신뢰구간이 된다.

피벗이 없으면: 분위수를 \(\theta\) 의 함수로 표현해야 하며, 모수를 모르는 상황에서 추론이 불가능해진다. 피벗이 있으면: 분위수를 수치표나 컴퓨터로 한 번만 결정하면, 어떤 \(\theta\) 값에서도 동일하게 적용된다.

---

4 피벗 구성 원리

4.1 위치·척도족에서의 자동 발생

위치·척도 구조를 가진 분포에서는 피벗이 자연스럽게 나타난다 (Casella & Berger, 2002, Ch.9.2.2).

위치·척도 피벗 (Table 9.2.1)

pdf 형태	분포 유형	자연스러운 피벗
\(f_0(x - \mu)\)	위치(Location)	\(\bar{X} - \mu\)
\(\frac{1}{\sigma}f_0\!\left(\frac{x}{\sigma}\right)\)	척도(Scale)	\(\bar{X}/\sigma\)
\(\frac{1}{\sigma}f_0\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\)	위치-척도(Location-scale)	\(\frac{\bar{X}-\mu}{S}\)

직관: 위치 문제에서 차(difference) 가 피벗인 이유는, \(\bar{X} - \mu\) 의 분포가 \(f_0(x-\mu)\) 의 위치 이동(shift)을 상쇄하기 때문이다. 척도 문제에서 비(ratio) 가 피벗인 이유는 스케일이 분자·분모에서 약분되기 때문이다.

4.2 pdf 분해로 피벗 존재 판별

통계량 \(T\) 의 pdf \(f(t|\theta)\) 가 다음 형태로 분해되면, \(Q(T,\theta)\) 는 피벗이다:

\[f(t|\theta) = g(Q(t,\theta))\left|\frac{\partial}{\partial t}Q(t,\theta)\right|\]

여기서 \(Q\) 가 \(t\) 에 대해 단조(monotone)이어야 한다. 이는 Theorem 2.1.5(변수변환 정리)의 직접 적용이다.

해석: 위 조건이 성립하면 \(Q(T,\theta)\) 의 pdf가 \(g(\cdot)\) 으로 표현되고, 이는 \(\theta\) 에 무관하다. 즉, pdf 안에서 \(t\) 와 \(\theta\) 가 \(Q(t,\theta)\) 라는 조합으로만 등장하는 구조를 찾으면 피벗 후보가 된다.

실용적 탐색법: - pdf에 \(t/\theta\) 가 등장 → 비율 \(T/\theta\) 가 피벗 후보 (척도족) - pdf에 \(t-\theta\) 가 등장 → 차 \(T-\theta\) 가 피벗 후보 (위치족) - pdf에 \((t-\mu)/\sigma\) 가 등장 → \((T-\mu)/\sigma\) 가 피벗 후보 (위치-척도족)

---

5 피벗을 이용한 신뢰구간 구성 절차

1. 피벗 \(Q(X,\theta)\) 구성: 위치·척도 원리 또는 pdf 분해로 피벗을 찾는다
2. 분위수 결정: \(P(a \leq Q(X,\theta) \leq b) \geq 1-\alpha\) 를 만족하는 \(a, b\) 를 결정한다 (\(\theta\) 무관)
3. 수용역 구성: \(A(\theta_0) = \{x : a \leq Q(x,\theta_0) \leq b\}\)
4. 역전(inversion): \(C(x) = \{\theta_0 : a \leq Q(x,\theta_0) \leq b\}\)

단조성 조건: \(Q(x,\theta)\) 가 \(\theta\) 에 대해 단조이면 \(C(x)\) 는 구간이 된다.

• \(Q\) 가 \(\theta\) 에 단조 증가: \(C(x) = [L(x,a),\; U(x,b)]\)
• \(Q\) 가 \(\theta\) 에 단조 감소 (전형적 경우): \(C(x) = [L(x,b),\; U(x,a)]\)

주의: 단조성이 없으면 구간이 아닌 집합이 될 수 있다

\(Q(x,\theta)\) 가 \(\theta\) 에 대해 단조가 아니면 \(C(x)\) 는 구간이 아닌 복잡한 집합이 될 수 있다. 대부분의 표준 문제(위치·척도족)에서는 단조성이 자동으로 보장된다.

---

6 주요 예시

6.1 예시 1: 정규분포 — 평균 \(\mu\) 에 대한 t-피벗

\(X_1, \ldots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} N(\mu, \sigma^2)\), \(\sigma^2\) 미지.

피벗 구성: \(\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)\), \((n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}\), 독립.

\[Q(\bar{X}, S, \mu) = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}\]

이 스튜던트 \(t\) 통계량은 \((\mu, \sigma^2)\) 모두에 무관한 피벗이다.

신뢰구간 유도:

\[P\left(-t_{n-1,\alpha/2} \leq \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \leq t_{n-1,\alpha/2}\right) = 1-\alpha\]

\(\mu\) 에 대해 역전하면 (\(Q\) 는 \(\mu\) 에 대해 단조 감소):

\[\left[\bar{X} - t_{n-1,\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}},\quad \bar{X} + t_{n-1,\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}}\right]\]

이것이 모분산 미지 시 \(\mu\) 의 고전적 \(1-\alpha\) 신뢰구간이다.

\(\sigma^2\) 를 아는 경우: \((\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n}) \sim N(0,1)\) 로 \(z\)-피벗을 사용한다.

\[\left[\bar{X} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\quad \bar{X} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]\]

---

6.2 예시 2: 정규분포 — 분산 \(\sigma^2\) 에 대한 카이제곱 피벗

\(X_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(\mu, \sigma^2)\), \(\mu\) 미지.

피벗 구성:

\[Q(S^2, \sigma^2) = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\]

\(\chi^2_{n-1}\) 분포는 \((\mu, \sigma^2)\) 에 무관하다.

신뢰구간 유도:

\[P\left(\chi^2_{n-1,1-\alpha/2} \leq \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \leq \chi^2_{n-1,\alpha/2}\right) = 1-\alpha\]

\(\sigma^2\) 에 대해 역전 (\(Q\) 는 \(\sigma^2\) 에 대해 단조 감소):

\[\left[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,\alpha/2}},\quad \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}}\right]\]

주의 — 비대칭성 문제: \(\chi^2_{n-1}\) 분포는 오른쪽 꼬리가 긴 비대칭 분포다. \(\alpha/2\) 씩 양 꼬리에 배분하는 등분할 절단점이 편의상 많이 쓰이지만, 이는 최단 구간을 보장하지 않는다 (Section 9.3 참조). 최단 구간을 원하면 \(a \cdot f(a) = b \cdot f(b)\) 조건을 추가로 풀어야 한다.

---

6.3 예시 3: 지수분포 — 감마 피벗

\(X_1, \ldots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Exponential}(\lambda)\), pdf \(= \frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}\), \(x>0\).

피벗 구성: 충분통계량 \(T = \sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Gamma}(n, \lambda)\). 감마 pdf \(\propto t^{n-1}e^{-t/\lambda}\) 에서 \(t\) 와 \(\lambda\) 는 항상 \(t/\lambda\) 형태로 등장한다(척도족). 따라서

\[Q(T, \lambda) = \frac{2T}{\lambda} \sim \text{Gamma}(n, 2) = \chi^2_{2n}\]

이 분포는 \(\lambda\) 에 무관하다.

신뢰구간 유도:

\[P\left(\chi^2_{2n,1-\alpha/2} \leq \frac{2T}{\lambda} \leq \chi^2_{2n,\alpha/2}\right) = 1-\alpha\]

\(\lambda\) 에 대해 역전 (\(Q\) 는 \(\lambda\) 에 대해 단조 감소):

\[\left[\frac{2T}{\chi^2_{2n,\alpha/2}},\quad \frac{2T}{\chi^2_{2n,1-\alpha/2}}\right]\]

수치 예시 (\(n=10\), \(\alpha=0.05\)): \(\chi^2_{20,0.025} = 34.170\), \(\chi^2_{20,0.975} = 9.591\) 이므로

\[\left[\frac{2T}{34.170},\quad \frac{2T}{9.591}\right]\]

---

6.4 예시 4: 균등분포 — 최댓값 피벗

\(X_1, \ldots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Uniform}(0, \theta)\), \(Y = X_{(n)} = \max_i X_i\).

피벗 구성: \(Y\) 의 pdf는 \(f_Y(y) = ny^{n-1}/\theta^n\), \(0 \leq y \leq \theta\). 비율 \(T = Y/\theta\) 의 pdf는

\[f_T(t) = nt^{n-1}, \quad 0 \leq t \leq 1\]

이 분포는 \(\theta\) 에 무관하다. 따라서 \(Q = Y/\theta\) 는 피벗이다.

신뢰구간 유도: \(1/b \leq Y/\theta \leq 1/a\) (\(1 \leq a < b\)) 를 역전하면

\[P_\theta(aY \leq \theta \leq bY) = P\left(\frac{1}{b} \leq T \leq \frac{1}{a}\right) = \left(\frac{1}{a}\right)^n - \left(\frac{1}{b}\right)^n\]

피복확률이 \(\theta\) 에 무관하다. 따라서 \([aY, bY]\) 는 일정한 신뢰계수를 가진다. 목표 신뢰계수 \(1-\alpha\) 를 위해 \((1/a)^n - (1/b)^n = 1-\alpha\) 를 만족하는 \(a, b\) 를 선택한다.

비교: \([Y+c, Y+d]\) 형태는 피복확률이 \(\theta\) 에 의존하며 신뢰계수가 0에 수렴할 수 있다 (Casella & Berger, 2002, Ex.9.1.6).

---

6.5 예시 5: 두 정규분포 — 분산비 \(F\)-피벗

\(X_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(\mu_1, \sigma_1^2)\), \(Y_j \overset{\text{iid}}{\sim} N(\mu_2, \sigma_2^2)\), 독립.

피벗 구성:

\[Q = \frac{S_X^2/\sigma_1^2}{S_Y^2/\sigma_2^2} = \frac{S_X^2 \sigma_2^2}{S_Y^2 \sigma_1^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)\]

이 \(F\) 통계량은 \((\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2)\) 에 무관하다.

분산비 \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\) 신뢰구간:

\[P\left(F_{1-\alpha/2} \leq \frac{S_X^2 \sigma_2^2}{S_Y^2 \sigma_1^2} \leq F_{\alpha/2}\right) = 1-\alpha\]

역전하면:

\[\left[\frac{S_X^2}{S_Y^2}\cdot\frac{1}{F_{\alpha/2}},\quad \frac{S_X^2}{S_Y^2}\cdot\frac{1}{F_{1-\alpha/2}}\right]\]

여기서 \(F_{\alpha/2} = F_{n_1-1,n_2-1,\alpha/2}\) (상위 \(\alpha/2\) 분위수).

---

7 비대칭 피벗과 최적 절단점

정규분포 \(\mu\) 피벗(\(t_{n-1}\))은 대칭이므로 \(a = b = t_{n-1,\alpha/2}\) 가 자동으로 최단 구간을 준다. 그러나 \(\chi^2\) 와 \(F\) 분포는 비대칭이다.

비대칭 피벗에서 최단 구간: \(P(a \leq Q \leq b) = 1-\alpha\) 를 만족하는 \((a,b)\) 중 기대 길이 \(E_\theta[U(X)-L(X)]\) 를 최소화하는 절단점을 구해야 한다.

일반적으로 이 최적화는 수치적으로 풀며, 등확률 배분(\(\alpha/2, \alpha/2\))과의 차이가 클 수 있다.

\[\text{최적 조건: } f(a) = f(b) \quad \text{(pdf 값이 같은 두 점)}\]

이 조건이 최단 구간을 주는 이유는, 양 끝에서 pdf가 같아야 같은 확률 비용으로 구간을 균등하게 줄일 수 있기 때문이다.

실무에서의 선택

• \(\chi^2\) 구간: 일반적으로 등분할 절단점이 관행이다. 최단 구간이 필요하면 수치 최적화 사용.
• \(t\) 구간: 대칭이므로 등분할이 자동으로 최적.
• F 구간: 실무에서 등분할을 주로 쓰지만 엄밀히는 최적이 아니다.

---

8 코드 예시

8.1 Step 1: 순수 Python 구현 — 피벗 신뢰구간 원리 이해

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(42)

# 예시: 정규분포 mu 신뢰구간 — t-피벗
n = 20
mu_true, sigma_true = 5.0, 2.0
x = rng.normal(mu_true, sigma_true, n)

x_bar = x.mean()
s = x.std(ddof=1)

alpha = 0.05
t_crit = stats.t.ppf(1 - alpha/2, df=n-1)   # t_{n-1, alpha/2}

# 피벗 Q = (X_bar - mu) / (S/sqrt(n)) ~ t_{n-1}
# P(-t_crit <= Q <= t_crit) = 1-alpha
# 역전: X_bar - t_crit * S/sqrt(n) <= mu <= X_bar + t_crit * S/sqrt(n)
lower_mu = x_bar - t_crit * s / np.sqrt(n)
upper_mu = x_bar + t_crit * s / np.sqrt(n)

print(f"mu 95% 신뢰구간: [{lower_mu:.3f}, {upper_mu:.3f}]")
print(f"참값 mu = {mu_true} 포함: {lower_mu <= mu_true <= upper_mu}")

# 예시: 정규분포 sigma^2 신뢰구간 — 카이제곱 피벗
chi2_upper = stats.chi2.ppf(1 - alpha/2, df=n-1)   # chi^2_{n-1, alpha/2}
chi2_lower = stats.chi2.ppf(alpha/2, df=n-1)        # chi^2_{n-1, 1-alpha/2}

# 피벗 Q = (n-1)S^2/sigma^2 ~ chi^2_{n-1}
# 역전: (n-1)S^2/chi^2_upper <= sigma^2 <= (n-1)S^2/chi^2_lower
lower_var = (n-1) * s**2 / chi2_upper
upper_var = (n-1) * s**2 / chi2_lower

print(f"\nsigma^2 95% 신뢰구간: [{lower_var:.3f}, {upper_var:.3f}]")
print(f"참값 sigma^2 = {sigma_true**2} 포함: {lower_var <= sigma_true**2 <= upper_var}")

# 예시: 지수분포 lambda 신뢰구간 — chi^2 피벗
lam_true = 2.0
x_exp = rng.exponential(scale=lam_true, size=n)   # Exp(lambda)
T = x_exp.sum()   # T ~ Gamma(n, lambda), 충분통계량

# 피벗: Q = 2T/lambda ~ chi^2_{2n}
chi2_u = stats.chi2.ppf(1 - alpha/2, df=2*n)
chi2_l = stats.chi2.ppf(alpha/2, df=2*n)

lower_lam = 2*T / chi2_u
upper_lam = 2*T / chi2_l

print(f"\nlambda 95% 신뢰구간: [{lower_lam:.3f}, {upper_lam:.3f}]")
print(f"참값 lambda = {lam_true} 포함: {lower_lam <= lam_true <= upper_lam}")

8.2 Step 2: scipy 구현 — 실무 코드

from scipy.stats import t, chi2, norm

# 정규분포 mu — scipy 이용
n, alpha = 20, 0.05
x_bar, s = x.mean(), x.std(ddof=1)

# 방법 1: t.interval
ci_mu = t.interval(1-alpha, df=n-1, loc=x_bar, scale=s/np.sqrt(n))
print(f"mu 95% CI (scipy): {ci_mu}")

# 방법 2: 수동 피벗
ci_mu2 = (x_bar - t.ppf(1-alpha/2, n-1)*s/np.sqrt(n),
          x_bar + t.ppf(1-alpha/2, n-1)*s/np.sqrt(n))
print(f"mu 95% CI (pivot): {ci_mu2}")

# 분산 CI — 비대칭 (등분할 절단점)
ci_var_eq = ((n-1)*s**2 / chi2.ppf(1-alpha/2, n-1),
             (n-1)*s**2 / chi2.ppf(alpha/2, n-1))
print(f"sigma^2 95% CI (등분할): {ci_var_eq}")

# 피복확률 시뮬레이션 — 피벗 신뢰구간 검증
N_sim = 10000
n, mu, sigma = 20, 5.0, 2.0
alpha = 0.05

cover_t = 0
cover_chi2 = 0

for _ in range(N_sim):
    x = rng.normal(mu, sigma, n)
    x_bar, s = x.mean(), x.std(ddof=1)

    # t-피벗
    lo = x_bar - t.ppf(1-alpha/2, n-1) * s/np.sqrt(n)
    hi = x_bar + t.ppf(1-alpha/2, n-1) * s/np.sqrt(n)
    cover_t += (lo <= mu <= hi)

    # chi^2 피벗
    lo2 = (n-1)*s**2 / chi2.ppf(1-alpha/2, n-1)
    hi2 = (n-1)*s**2 / chi2.ppf(alpha/2, n-1)
    cover_chi2 += (lo2 <= sigma**2 <= hi2)

print(f"t-피벗 피복률: {cover_t/N_sim:.4f} (목표: {1-alpha})")
print(f"chi^2-피벗 피복률: {cover_chi2/N_sim:.4f} (목표: {1-alpha})")

8.3 R 구현

library(stats)

set.seed(42)
n <- 20; mu_true <- 5.0; sigma_true <- 2.0; alpha <- 0.05
x <- rnorm(n, mean = mu_true, sd = sigma_true)

x_bar <- mean(x); s <- sd(x)

# 정규분포 mu — t-피벗
t_crit <- qt(1 - alpha/2, df = n - 1)
ci_mu <- c(x_bar - t_crit * s / sqrt(n),
           x_bar + t_crit * s / sqrt(n))
cat("mu 95% CI:", round(ci_mu, 3), "\n")
cat("참값 포함:", mu_true >= ci_mu[1] && mu_true <= ci_mu[2], "\n")

# 정규분포 sigma^2 — 카이제곱 피벗
chi2_upper <- qchisq(1 - alpha/2, df = n - 1)
chi2_lower <- qchisq(alpha/2, df = n - 1)
ci_var <- c((n-1) * s^2 / chi2_upper,
            (n-1) * s^2 / chi2_lower)
cat("sigma^2 95% CI:", round(ci_var, 3), "\n")

# 지수분포 lambda — 카이제곱 피벗
lam_true <- 2.0
x_exp <- rexp(n, rate = 1/lam_true)
T_val <- sum(x_exp)
chi2_u <- qchisq(1 - alpha/2, df = 2 * n)
chi2_l <- qchisq(alpha/2, df = 2 * n)
ci_lam <- c(2*T_val / chi2_u, 2*T_val / chi2_l)
cat("lambda 95% CI:", round(ci_lam, 3), "\n")

# 내장 함수 검증 — t.test
t_result <- t.test(x, conf.level = 1 - alpha)
cat("t.test CI:", round(t_result$conf.int, 3), "\n")

---

9 피벗 요약표

모형	모수	피벗	피벗의 분포	신뢰구간 형태
\(N(\mu, \sigma^2)\), \(\sigma^2\) 미지	\(\mu\)	\((\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n})\)	\(t_{n-1}\)	\(\bar{X} \pm t_{\alpha/2} S/\sqrt{n}\)
\(N(\mu, \sigma^2)\), \(\sigma^2\) 기지	\(\mu\)	\((\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})\)	\(N(0,1)\)	\(\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \sigma/\sqrt{n}\)
\(N(\mu, \sigma^2)\), \(\mu\) 미지	\(\sigma^2\)	\((n-1)S^2/\sigma^2\)	\(\chi^2_{n-1}\)	\([(n-1)S^2/b, (n-1)S^2/a]\)
\(\text{Exp}(\lambda)\)	\(\lambda\)	\(2\sum X_i/\lambda\)	\(\chi^2_{2n}\)	\([2T/b, 2T/a]\)
\(N_1, N_2\) 독립	\(\sigma_1^2/\sigma_2^2\)	\((S_1^2/\sigma_1^2)/(S_2^2/\sigma_2^2)\)	\(F(n_1-1, n_2-1)\)	\([S_1^2/(S_2^2 F_u), S_1^2/(S_2^2 F_l)]\)
\(\text{Uniform}(0,\theta)\)	\(\theta\)	\(X_{(n)}/\theta\)	\(\text{Beta}(n,1)\)	\([aY, bY]\)

---

10 피벗 방법의 한계와 대안

피벗이 존재하지 않는 경우: - 두 모수(\(\mu\), \(\sigma^2\))를 동시에 추정하는 공동 신뢰 영역 - 혼합분포나 계층 모형처럼 위치·척도 구조가 없는 경우 - 이산 분포(이항, 포아송)에서는 정확한 피벗이 존재하지 않는다

대안:

상황	대안 방법
피벗 없음 + 이항/포아송	CDF 피벗팅 (Pivoting the CDF, 9.2.3) — 다음 포스트 참조
피벗 없음 + 일반 분포	LRT 역전 (9.2.1) 또는 대표본 근사
사전분포 사용 가능	베이즈 신용집합 (9.2.4)

---

11 관련 주제

선행 지식

• 구간추정 개요 — 신뢰구간의 정의, 피복확률
• 구간추정량 탐색 방법 개요 — 피벗 방법의 위치
• 정규 모집단에서의 표본분포 — \(t\), \(\chi^2\), \(F\) 분포
• 위치-척도족 — 피벗이 자동으로 발생하는 구조

후속 주제

• CDF 피벗팅 (Pivoting the CDF) — 피벗이 없을 때 대안
• 베이즈 구간 (Bayesian Intervals)
• 구간추정 평가 (Methods of Evaluating Interval Estimators)

관련 개념

• 검정의 역전 (Inverting a Test Statistic) — 피벗은 역전의 특수 케이스
• 충분성 원리 — 피벗도 충분통계량 기반으로 구성하면 더 효율적