교락 (Confounding) — 블록과 효과의 의도적 동일시

1 정의

정의: Confounding (Aliasing)

한 효과를 다른 효과 (또는 block 변수) 와 통계적으로 분리할 수 없게 만드는 의도적 설계.

전통적 사용: \(2^k\) 의 셀 수가 너무 커서 한 block 에 다 들어갈 수 없을 때, 일부 효과 (보통 고차 상호작용) 를 block 과 confound 하여 block 수 ↓.

용어: “\(ABC\) confounded with blocks” → \(ABC\) 효과와 block 효과가 분리 불가능.

2 동기

\(2^4 = 16\) 셀이 한 batch 에 다 들어가지 못하면 (실험 환경 제약), 8 셀씩 두 block 으로 나누어야 함. 어떤 방식으로?

가장 손실 적은 분할: 고차 상호작용 (\(ABCD\)) 를 block 과 confound. 4 원 상호작용은 실무적 의미 거의 없음 → 정보 손실 ↓.

3 분할 절차

\(2^4\) 의 16 셀을 \(ABCD\) contrast 의 부호 (+1 / -1) 에 따라 분할:

Block 1: ABCD = +1 인 셀 (8 cells)
Block 2: ABCD = -1 인 셀 (8 cells)

각 block 내에서 무작위 배정.

3.1 구체적 cell 분할

\(ABCD = a \cdot b \cdot c \cdot d\) (\(\pm 1\)):

Block 1 (ABCD=+1): (++++), (++--), (+-+-), (+--+), (-+-+), (-++-), (--+-+), (----)
                  → 짝수 개의 +1
Block 2 (ABCD=-1): 홀수 개의 +1 인 cells

(주의: 8 cells 씩 두 block.)

4 ANOVA

Source	\(df\)
Block (= ABCD 와 confounded)	1
주효과 + 이원·삼원 상호작용	14
Error	\(n \cdot 16 - 16\)

\(ABCD\) 효과는 추정 불가능 (block 과 같이). 나머지 14 효과는 모두 추정 가능.

5 더 많은 block 에 confounding

8 cells 마저도 한 block 에 안 들어가면 4 cells × 4 blocks 로:

• \(ABC\) 와 \(ABD\) 를 block 과 confound.
• 그 곱 \(ABC \cdot ABD = A^2 B^2 CD = CD\) 도 자동 confounded (\(GF(2)\) 산술).

따라서 \(ABC\), \(ABD\), \(CD\) 세 효과가 block 과 confound. 이를 defining contrasts 라 한다.

함정: Defining Contrasts 의 자동 곱

defining contrasts 를 두 개 선택하면 그 곱이 자동으로 추가 confound:

• 선택: \(ABC\), \(ABD\).
• 자동: \(ABC \cdot ABD = CD\) (GF(2) 산술, \(A^2 = 1\), \(B^2 = 1\)).

3 개 effect 가 block 과 confound. 이를 모르고 분석하면 \(CD\) 를 마치 추정 가능한 듯 처리해 잘못된 결론.

→ Defining contrasts 선택 후 모든 곱 (subgroup) 을 명시.

6 Defining Contrast 선택

3 개의 confounded 효과 중 하나는 다른 둘의 곱. 두 개를 자유 선택, 세 번째는 자동 결정.

권장: 고차 상호작용 만 confound (ABC, ABD 같은). 주효과·이원 상호작용 보존.

6.1 가능한 분할 — \(2^4\) 의 4 block

defining contrasts: \(ABC\), \(ABD\), \(CD\) (세 번째 자동).

각 셀에 대해 \((ABC, ABD)\) 의 부호 패턴으로 4 block 분류:

ABC	ABD	Block
+	+	1
+	-	2
-	+	3
-	-	4

각 block 4 cells. 16 cells 총. 하지만 block × treatment 가 2 자유도 이상 confound 되어 analysis 시 주의.

7 의도적 Confounding 의 가치

직관: 의도적 confounding 의 가치

ANOVA 의 일반 가르침: “confounding 을 피하라”. 그런데 정통 DOE 는 의도적 confounding 을 도구로 활용. 차이는 “무엇을 confound 하는가” 이다.

나쁜 confounding: 처치 효과와 block 효과가 같이 묶여서 처치 효과 추정 불가.

좋은 confounding: 4 원 상호작용처럼 무의미한 효과를 block 과 묶음 → block 수 ↓ → 실험 가능.

이는 자원 제약 하의 정보 trade-off 의 예술. 통계적 sparsity 가정 (“고차 상호작용 ≈ 0”) 에 의존.

8 Partial Confounding

여러 replicate 사이에 다른 효과를 confound 하여 각 효과를 일부 replicate 에서 추정 가능.

8.1 \(2^3\) 의 partial confounding 사례

3 replicate, 각 replicate 가 다른 high-order interaction 을 block 과 confound:

Replicate 1: ABC confounded
Replicate 2: AB confounded (단순화 예시)
Replicate 3: AC confounded

각 효과는 자기가 confounded 된 replicate 만 빼고 다른 replicate 에서 추정 가능.

분석: - \(A, B, C\): 모든 replicate 에서 추정 (confounded 안 됨). - \(AB\): replicate 1, 3 에서만 (replicate 2 에서 block 과 confound). - \(AC\): replicate 1, 2 에서만. - \(BC\): 모든 replicate 에서. - \(ABC\): replicate 2, 3 에서만.

자유도 정확 계산: 각 효과의 자유도 = (그 효과가 confounded 되지 않은 replicate 수) × (효과 자유도). 나머지는 손실.

이 균형 설계는 Yates (1937) 의 balanced confounded design. 산업 실험에서 보편적.

9 \(2^4\) 의 4 block 분할 사례 — Python

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols
from itertools import product

np.random.seed(2026)
# 2^4 design with ABCD confounded with blocks
factors_levels = list(range(2))  # 0, 1
records = []
for a in factors_levels:
    for b in factors_levels:
        for c in factors_levels:
            for d in factors_levels:
                # ABCD contrast: ±1
                abcd = (-1)**(a + b + c + d)
                block = "Block1" if abcd > 0 else "Block2"
                # 가상의 응답
                y = (10 + 3*(2*a-1) + 2*(2*b-1) + 1*(2*c-1)
                     + 2*((2*a-1)*(2*b-1))  # AB interaction
                     + np.random.normal(0, 1))
                records.append({"A": a, "B": b, "C": c, "D": d,
                              "block": block, "Y": y})
data = pd.DataFrame(records)

print("Block size and ABCD assignment:")
print(data.groupby("block").size())

# ANOVA — block + 주효과·이원 상호작용 (3원도 포함)
model = ols(
    "Y ~ C(block) + A*B + A*C + A*D + B*C + B*D + C*D + A:B:C + A:B:D + A:C:D + B:C:D",
    data=data
).fit()
anova = sm.stats.anova_lm(model, typ=2)
print("\n=== Confounded design ANOVA ===")
print(anova.round(3))
print("\nNote: ABCD effect cannot be estimated (confounded with block)")

10 응용 — 산업 사례

10.1 화학 반응 — Block 제약

화학 반응 실험에서 한 batch 에 16 cells 의 반응 안 됨. machine 한정.

해결: - 8 cells × 2 batch (block). - 4 cells × 4 batch.

\(ABCD\) 또는 그 이상의 고차 상호작용을 block 과 confound.

10.2 농학 — Field 분할

큰 field 가 균질하지 않음. 작은 sub-field 로 나눠야 함.

각 sub-field (block) 에 일부 cells. 고차 상호작용을 block 과 confound.

11 가정과 한계

• 무엇을 confound 하는가의 결정: 도메인 지식 필요.
• 기본 가정: confounded 효과 = 0 (sparsity).
• 블록 무작위화: 각 block 내 무작위 배정 필수.
• Partial 의 균형: 모든 효과가 replicate 사이에 균형되어야.

12 ML 매핑

매핑: ML 의 confounded experiment

ML 모델 비교에서 자원 제약:

2^4 = 16 hyperparameter 조합. 그러나 한 GPU batch 에 8 모델만 학습 가능.

해결: - 8 cells × 2 batch. - \(ABCD\) 효과를 batch 효과와 confound (4 원 상호작용 무시).

ML 의 hyperparameter screening 에서 confounding 은 흔한 trade-off.

13 본 시리즈

G-MON3-0  Factorial 개관
G-MON3-1  2^k Factorial
G-MON3-2  Finite Fields + Grouping
G-MON3-3  Confounding  ← 현재 글
G-MON3-4  3^k Factorial
G-MON3-5  General Construction
G-MON3-6  Fractional Factorial

14 관련 주제

선행 지식

• G-MON3-0~2 시리즈

후속 주제

• G-MON3-4: Three-level Factorial
• G-MON3-6: Fractional Factorial
• G-MON5 — Incomplete Block (BIB)

다른 카테고리 연결

• Causal Inference — 교란 — 다른 의미의 confounding (관찰 연구의 lurking variable).

15 더 읽을 거리

• Yates, F. (1937). “The Design and Analysis of Factorial Experiments.”
• Cochran, W. G., Cox, G. M. (1957). “Experimental Designs” (2nd ed). Wiley.
• Box, G. E. P., Hunter, W. G., Hunter, J. S. (2005). “Statistics for Experimenters.”
• Wu, C. F. J., Hamada, M. S. (2009). “Experiments.” Wiley — confounding 정통.
• Mukerjee, R., Wu, C. F. J. (2006). “A Modern Theory of Factorial Designs.” Springer.