Kwangmin Kim - 일반 \(s^k\) Factorial 의 구성과 최대 요인 수

1 \(s^k\) 일반 구성

정의: General \(s^k\) Factorial

\(s\) prime power, \(k\) 요인 각 \(s\) 수준. 셀 수 \(s^k\).

각 셀을 \(k\) 차원 vector \((x_1, x_2, \ldots, x_k)\) 로 표현, \(x_i \in GF(s)\).

효과는 다음 형태의 contrast: \[ \sum_{i=1}^{k} a_i x_i \pmod{s},\quad a_i \in GF(s),\ \text{first nonzero } a_i = 1 \]

이 effect 의 자유도 \(s - 1\).

2 효과 수와 그룹

\(s^k\) 의 총 효과: \(s^k - 1\). 그룹 수: \((s^k - 1)/(s - 1)\).

\(s\)	\(k\)	셀	효과	그룹 수
2	4	16	15	15
2	5	32	31	31
3	3	27	26	13
3	4	81	80	40
5	2	25	24	6

각 그룹이 자유도 \(s - 1\) 의 1 contrast 묶음 (G-MON3-2).

3 최대 요인 수 — Saturated Design

정의: Saturated Design

\(N\) 개 셀에 다룰 수 있는 최대 요인 수 (각 요인 자유도 1, 모든 \(df\) 가 main effect 에):

\[ k_{\max} = N - 1 \]

이를 saturated design 이라 한다. 모든 \(df\) 가 주효과에 배분 → 잔차 \(df\) 0 → 효과 추정만 가능, 검정 불가능.

예: \(N = 8\) runs → \(k_{\max} = 7\) 요인. 각 요인 1 자유도 = 모든 cell.

4 Plackett-Burman Design

\(N\) 이 4 의 배수면 \(N - 1\) 요인의 saturated factorial 가능 (Plackett-Burman, 1946).

\(N\)	최대 요인 수
8	7
12	11
16	15
20	19
24	23
28	27

PB design 은 산업 screening 에서 표준 — 많은 요인 중 영향 큰 것을 빠르게 식별.

직관: Saturated 의 trade-off

Saturated design 은 효과 추정만 가능 (분산 추정 불가능). 검정을 위해서는:

반복: 일부 셀 반복 → 잔차 추정.
사전 가정: 일부 효과 = 0 가정 (보통 작은 효과).
확장 (foldover): 모든 부호를 뒤집은 설계 추가 → resolution ↑.

PB design 은 “가장 큰 효과” 를 빠르게 찾는 screening 단계. 주요 요인 식별 후 fractional factorial 또는 response surface 로 확장.

5 일반 \(s^k\) 의 구성 절차

Defining contrasts 선택 (confounding 또는 fractioning 위한).
각 cell 에 GF(s) 좌표 부여.
Block 또는 fraction 분할 (defining contrast 의 값에 따라).
각 block 또는 fraction 내에서 무작위 배정.

자세한 알고리즘: Box-Hunter-Hunter 의 “Statistics for Experimenters” 참고.

6 \(2^7\) Saturated Design (PB-8)

8 runs 에 7 요인 (\(A, B, C, D, E, F, G\)):

Run | A B C D E F G
 1  | + + + - + - -
 2  | - + + + - + -
 3  | - - + + + - +
 4  | + - - + + + -
 5  | - + - - + + +
 6  | + - + - - + +
 7  | + + - + - - +
 8  | - - - - - - -

각 column 은 4 + 와 4 - 의 균형 + 임의의 두 column 직교.

이는 \(H_8\) Hadamard matrix 의 정수형. saturated factorial 의 정수형.

7 Resolution 의 미리보기

Resolution 은 fractional factorial 의 alias 구조 (G-MON3-6).

Resolution	의미
III	주효과가 이원 상호작용과 alias
IV	주효과가 삼원 이상과 alias, 이원이 이원과 alias
V	주효과가 사원과, 이원이 삼원과 alias

PB design 은 보통 Resolution III. 주효과만 추정 가능 (이원 alias).

8 Foldover

정의: Foldover

Resolution III design 에 모든 부호를 뒤집은 fraction 추가 → Resolution IV.

원래 design + foldover = 2 배 cells. alias 구조 개선.

Original: A B C D E F G  (PB-8)
Foldover: -A -B -C -D -E -F -G

Combined: 16 cells.

각 주효과가 자기 자신과 alias (직선이 아니므로 사라짐). 즉 주효과는 alias 없음. 이원 상호작용은 여전히 일부 alias.

9 Python 코드

import numpy as np
from pyDOE2 import pbdesign, fracfact

# Plackett-Burman 8-run, 7 factors
pb = pbdesign(7)
print("=== Plackett-Burman 8-run × 7 factors ===")
print(pb)
print(f"Shape: {pb.shape}")

# 직교성 검증
print(f"\nColumn orthogonality check:")
for i in range(7):
    for j in range(i+1, 7):
        dp = np.dot(pb[:, i], pb[:, j])
        if abs(dp) > 0.01:
            print(f"  Columns {i}, {j} not orthogonal: dot = {dp}")
print("All pairs orthogonal.")

# 2^(7-4) fractional factorial via defining relations
# I = ABD = ACE = BCF = ABCG (gives III resolution)
ff = fracfact("a b c ab ac bc abc")  # 2^(7-4)
print(f"\n=== 2^(7-4) Resolution III ===")
print(ff)

# Foldover
foldover = -pb
combined = np.vstack([pb, foldover])
print(f"\n=== PB + Foldover (16 runs) ===")
print(combined)
print(f"Shape: {combined.shape}")

10 응용 — 산업 Screening

10.1 사례 — 화학 공정

15 개 잠재 영향 요인 중 가장 중요한 것 식별:

Factors: 온도, 압력, pH, 농도, 시간, 교반 속도, 첨가제 종류 (×2),
         촉매 종류, 질소 흐름, 펌프 속도, 진공도, 용매 종류,
         반응기 종류, 측정 방법.

PB-16 (16 runs, 15 factors) saturated design.

분석: - 각 요인의 main effect 추정. - Pareto chart 로 큰 효과 식별 (보통 3 ~ 5 개). - 다음 단계: 큰 요인의 fractional factorial 또는 RSM.

이는 산업 실험의 표준 첫 단계.

11 가정과 한계

Saturated 의 검정 불가: 반복 또는 사전 가정.
Resolution III 의 alias: 주효과와 이원 상호작용 alias — 이원 상호작용 = 0 가정.
PB 의 비주효과 alias 복잡: 분석 시 주의.
Foldover 의 비용: cells 2 배.

12 \(s^k\) 의 일반 design

\(s\)	표준 design
2	\(2^k\) factorial, PB, \(2^{k-p}\) fractional
3	\(3^k\) factorial, \(3^{k-p}\) fractional, Box-Behnken
5	\(5^k\) (드물게)
Mixed	\(2^a \times 3^b\), etc.

13 ML 매핑

매핑: ML hyperparameter screening

ML 의 saturated design:

N = 12 runs.
11 hyperparameters: optimizer, lr, batch, dropout, weight decay, scheduler,
warmup, momentum, initializer, normalization, activation.

PB-12 design 으로 11 hyperparameter 의 main effect 추정.

검정 불가능 (saturated). 그러나 큰 효과의 hyperparameter 식별: - 각 effect 의 절댓값 계산. - Pareto chart 로 큰 효과 식별. - 큰 hyperparameter 만 다음 grid 에서 fine-tune.

이는 ML 의 hyperparameter 차원 축소의 통계적 방법. random search 보다 systematic.

14 본 시리즈

G-MON3-0  Factorial 개관
G-MON3-1  2^k Factorial
G-MON3-2  Finite Fields + Grouping
G-MON3-3  Confounding
G-MON3-4  3^k Factorial
G-MON3-5  General Construction + Maximum Number  ← 현재 글
G-MON3-6  Fractional Factorial

15 관련 주제

선행 지식

후속 주제

G-MON3-6: Analysis + Fractional Factorial

다른 카테고리 연결

Math — Linear Algebra (placeholder) — Hadamard, eigenvalue.

16 더 읽을 거리

Plackett, R. L., Burman, J. P. (1946). “The design of optimum multifactorial experiments.” Biometrika 33(4): 305-325 — PB 원조.
Box, G. E. P., Hunter, J. S., Hunter, W. G. (2005). “Statistics for Experimenters.”
Wu, C. F. J., Hamada, M. S. (2009). “Experiments.” Wiley.
Hedayat, A., Sloane, N. J. A., Stufken, J. (1999). “Orthogonal Arrays.” Springer.
Mukerjee, R., Wu, C. F. J. (2006). “A Modern Theory of Factorial Designs.” Springer.