1 들어가며 — § 10.2.3 의 자연 확장

§ 10.2.3 (Discrete-time PH, 10-3) 에서 단일 사건 (single risk) 의 이산 시간 비례 위험 모형 — c-log-log link cumulative ordinal 또는 pooled dichotomous logistic — 을 다뤘다. § 11.3 는 그 자연 확장 — 사건이 여러 종류 (competing risks) 일 때.

Single Risk vs Competing Risks

항목	§ 10.2.3 (10-3) Single Risk	§ 11.3 (본 sub-post) Competing Risks
응답	시점 + censoring (binary event)	시점 + event 종류 (multinomial)
사건 종류	1 종	\(C - 1\) 종 (competing)
모형	c-log-log ordinal 또는 binary logistic	Multinomial logistic
Link	c-log-log (PH) 또는 logit	Multinomial logit
응용	사망 추적, 재발 추적	Transplant vs death, 직업 이직 종류

한 줄 요약

“§ 11.3 = Efron (1988) 의 partial logistic regression — discrete-time PH 모형을 표준 logistic 으로 적합 — 을 IOM (1999) 가 multinomial 로 확장 + OPO 클러스터 random effects 로 미국 liver transplant 정책 분석. 핵심 발견: (1) 지역적 격차 — 가장 심각한 환자 (status 1) 의 transplant rate ICC = 0.045 (지역 동등) vs 덜 심각 환자 (status 3) ICC = 0.35 (큰 격차). (2) Sharing 효과 — 지역 sharing 으로 status 1 transplant 42% → 52%, mortality 9% → 7%. (3) Waiting time 의 부적절성 — 덜 심각한 환자에서 waiting time 이 의료 필요성과 역상관. Mixed-effects multinomial 이 정책 의사결정에 직접 기여한 사례. § 10.2.3 single risk PH 의 framework 를 그대로 multinomial 로 확장 — 새로운 알고리즘 없이 새로운 응용.”

2 § 11.3 — Competing Risk 의 framework

2.1 Efron (1988) — Partial Logistic Regression

Partial Logistic / Person-Time Logistic Regression

Efron (1988), Ingram & Kleinman (1989) 의 발상:

각 환자의 시점별 record 를 만든다.
Outcome: 그 시점에 사건 발생 (1) 또는 안 함 (0).
이 sequential records 에 표준 logistic regression 적합.
결과: discrete-time PH 모형의 회귀 계수 추정.

예시 — 4 개월 후 사망 환자:

Month	Outcome
1	0 (생존)
2	0 (생존)
3	0 (생존)
4	1 (사망)

→ 4 개 record. 마지막 record 만 event = 1.

Censoring 환자 (2 개월 후 follow-up loss):

Month	Outcome
1	0
2	0

→ 2 개 record, 모두 0 (마지막은 censoring).

Survival 환자 (12 개월 모두 follow-up):

Month	Outcome
1-12	0, 0, …, 0

→ 12 개 record, 모두 0.

직관 — Efron 발상의 의미

왜 표준 logistic 으로 PH 모형 적합 가능한가:

Discrete-time hazard \(h_c = P(\text{event at } c \mid \text{survived to } c-1)\).
각 시점에 환자가 위험에 노출됨 (at risk).
Risk set 변화하지만, 각 시점-환자 record 는 독립 Bernoulli trial 로 볼 수 있음 (conditional on at risk).

→ Standard logistic regression 의 직접 적용 가능. 시점별 dummy 또는 time variable 로 hazard 의 시간 변화 모형화.

§ 10.2.3 (10-3) 의 pooled dichotomous approach 와 동일:

식 (10.13): \(\log[-\log(1 - p_{ijc})] = x'\beta + z'T\theta\) — c-log-log link.
Efron: \(\log[p_{ijc} / (1 - p_{ijc})] = x'\beta\) — logit link.

두 link 모두 가능 — c-log-log 가 연속 시간 PH 와 정확 일치, logit 은 표준 회귀의 단순함.

Efron-Ingram 정확도: Time interval 이 작아질수록 (\(\to 0\)) 두 접근이 정확히 일치 (continuous time PH). 실무적으로 monthly 측정 정도면 차이 미미.

2.2 IOM (1999) 의 Multinomial 일반화

Single → Multiple Risks 확장

Efron 의 partial logistic 에 IOM (1999) 의 두 일반화:

Multinomial 로 응답 확장: Single event (transplant) 만 보지 않고 competing risks (transplant + mortality) 동시 분석. 한 환자의 시점별 record outcome 이 3 범주 — transplant / death / other.
Random effects 추가: OPO (Organ Procurement Organization) 클러스터 효과를 random effects 로 처리. 같은 OPO 안의 환자들이 비슷한 transplant rate 공유.

→ Mixed-effects multinomial logistic regression = Hedeker Ch.11 framework 의 직접 응용.

직관 — Competing Risks 의 임상적 의미

장기 이식 대기 환자의 outcomes:

Transplant: 이식 받음 (성공).
Mortality: 이식 전 사망 (실패).
Other: 계속 대기, 다른 status 로 이동, 명단에서 빠짐, 다른 센터에서 이식 등.

이 세 outcome 이 상호 배제 — 한 사건이 일어나면 다른 사건 차단. 이것이 competing risks 의 정의.

Single risk 모형 (예: transplant 만) 의 한계:

Mortality 를 censoring 으로 처리 — informative censoring 가능성.
“사망 안 했으면 언젠가 이식 받았을” 같은 가정이 비현실적.
→ biased 추정.

Competing risks 모형의 가치:

두 outcome 을 동시 모형화 — informative censoring 회피.
각 outcome 의 결정 요인 별도 분석.
정책 평가에 직접 활용 (transplant 효과 vs mortality 효과).

3 § 11.3.1 — Waiting for Organ Transplantation

3.1 정책 배경

미국 장기 이식 정책의 통계적 issue

배경 통계 (1998, IOM 1999):

21,000+ 미국인이 이식 받음 (kidney, liver, heart, lung 등).
62,000 명이 대기 중, 16 분마다 새 이름 추가.
매년 4,000 명이 대기 중 사망 (11 명/일).

핵심 issue:

지역별 (OPO 별) 대기 시간 격차 — 환자가 살고 있는 지역에 따라 이식 시간 차이 큼.
인종·소득 격차 — 흑인·저소득 환자 접근성 우려.

1998 DHHS Final Rule (42 CFR Part 121):

“Allocation of scarce organs based on common medical criteria, not accidents of geography”.
지역 격차 감소 + 의료 기준 강조 + 연방 감독 강화.

논쟁:

Transplant community 의 우려: 비용 증가, 작은 transplant center 폐쇄, 소수자 접근성 악화, 기증 감소, 사망자 증가.
Congress 가 1 년 implementation 중지 + IOM 에 study 의뢰 (1998 Oct).

→ IOM 1999 report 가 본 분석의 토대. ~68,000 liver transplant 대기 명단 record (1995-1999) 분석.

왜 Liver 에 집중하는가

IOM 이 liver transplant 에 집중한 이유:

대기 시간 격차가 가장 큼 — DHHS Final Rule 의 주요 동기.
정책 controversial — OPTN 가 최근 여러 변경.
Cold ischemic time 김 — liver 가 body 외부에서 viable 한 시간이 heart, lung 보다 김 → allocation 변경 가능.
의료 긴급도 큼 — kidney 같은 dialysis alternative 없음.

Status levels (의료 중증도):

Status 1: 가장 심각 — life expectancy ~1 주.
Status 2A: 심각 chronic.
Status 2B: 덜 심각 chronic.
Status 3: 이식 필요하지만 즉각적 위험 없음 — life expectancy 수년 가능.

표본의 50%+ 가 Status 3.

분석 전략: Status level 별 stratified 분석 (Status 2A 는 sample 너무 적어 제외, Status 1, 2B, 3 만).

3.2 모형 Specification

Multinomial logistic with OPO random effects

응답 (3 nominal categories):

Transplant: 이식 받음.
Mortality: 대기 중 사망.
Other (reference): 계속 대기, status 변경, 명단 제외, 다른 센터 이식 등.

시간 단위:

Status 1: days.
Status 2B, 3: months.

(Status 1 의 사건이 빠르게 일어나므로 더 fine 한 시간 단위.)

Covariates:

Age (3 그룹: 0-5, 6-17, 18+).
Sex (1 = male).
Race (1 = black, 0 = else).
Blood type (1 = O 또는 B, 0 = A 또는 AB).
OPO volume (small / medium / large by 1995-1999 transplant 수).

Random effects:

\(\sigma_1 \theta_i\): OPO \(i\) 의 transplantation rate 의 random effect.
\(\sigma_2 \theta_i\): OPO \(i\) 의 mortality rate 의 random effect.

→ 각 contrast 마다 별도 random effect SD (\(\sigma_c\)). § 11.1.1 의 ICC 분리 framework 직접 적용.

직관 — Blood type contrast 의 의학적 근거

Blood type 의 O 또는 B vs A 또는 AB 분류는 donation 가능성 의 의학적 사실에 기반:

O 또는 B 환자: subset of donors 에서만 이식 가능 (제한적).
A 또는 AB 환자: 거의 모든 donor 에서 이식 가능 (포괄적).

이 분류로 두 그룹의 transplant 가능성 차이를 정량화.

예상: O/B 환자가 transplant rate 더 낮을 것 (음의 회귀 계수). 이것이 실제 결과 (Table 11.4) 와 일치.

이런 의학적 사실 기반 covariate 코딩이 통계 분석의 정확성과 임상적 해석을 동시에 강화.

3.3 Table 11.4 — Mixed-Effects Competing Risk 결과

표 11.4 — Status 1, 2B, 3 별 추정값

Transplant vs Other (첫 contrast):

모수	Status 1	Status 2B	Status 3
Intercept	-1.829 (0.276)	-2.077 (0.129)	-3.593 (0.210)
Day/month	0.016 (0.015)	-0.092 (0.016)***	-0.220 (0.030)***
Age 0-5 vs 18+	-0.907 (0.188)***	0.470 (0.103)***	1.156 (0.154)***
Age 6-17 vs 18+	-0.362 (0.234)	0.135 (0.243)	0.844 (0.268)**
Gender (male)	-0.098 (0.198)	0.126 (0.087)	0.054 (0.186)
Race (black)	-0.275 (0.268)	0.134 (0.222)	0.158 (0.304)
Blood (B or O)	-0.076 (0.196)	-0.577 (0.062)***	-0.477 (0.098)***
OPO M vs L	-0.054 (0.319)	0.590 (0.157)***	1.179 (0.149)***
OPO S vs L	0.261 (0.336)	0.560 (0.187)**	0.757 (0.228)***
Random OPO SD	0.393 (0.144)**	0.689 (0.064)*	1.335 (0.162)*

Mortality vs Other (둘째 contrast):

모수	Status 1	Status 2B	Status 3
Intercept	-3.685 (0.482)	-3.313 (0.227)	-3.654 (0.172)
Day/month	0.023 (0.047)	-0.213 (0.039)***	-0.216 (0.041)***
Age 0-5	-0.968 (0.378)**	-0.195 (0.381)	-2.119 (2.099)
Age 6-17	-1.001 (0.551)	-0.516 (0.641)	-1.193 (2.000)
Gender (male)	0.077 (0.371)	0.014 (0.191)	-0.063 (0.268)
Race (black)	0.162 (0.448)	-0.082 (0.359)	0.027 (0.544)
Blood (B or O)	0.003 (0.433)	-0.005 (0.164)	-0.017 (0.231)
OPO M vs L	0.203 (0.491)	0.202 (0.126)	-0.526 (0.300)
OPO S vs L	-0.230 (0.930)	0.355 (0.151)**	-0.658 (0.358)
Random OPO SD	0.042 (0.298)	0.116 (0.049)**	0.137 (0.157)

p < .05, ** p < .01, *** p < .001.

직관 — 두 contrast 의 OPO 효과 비대칭

Transplant rate 의 OPO random effects:

Status 1: SD = 0.393 (작지만 유의).
Status 2B: SD = 0.689 (큼).
Status 3: SD = 1.335 (매우 큼).

Mortality rate 의 OPO random effects:

Status 1: SD = 0.042 (비유의).
Status 2B: SD = 0.116 (유의).
Status 3: SD = 0.137 (비유의).

→ Mortality 는 OPO 와 거의 무관. 모든 status 에서 OPO 차이 1% 미만의 분산.

→ Transplant 는 OPO 영향 큼, 특히 덜 심각 환자에서.

이 비대칭이 nominal 모형의 핵심 발견 — single risk 모형으로는 절대 못 얻음. Competing risks framework 가 두 outcome 을 동시 분석 → 어느 outcome 에 OPO 영향 큰지 분리.

3.4 지역적 격차 — ICC 분석

ICC 비교

Transplantation ICC:

Status 1: \(r = 0.393^2 / (0.393^2 + \pi^2/3) = 0.045\).
Status 2B: \(r = 0.689^2 / (0.689^2 + \pi^2/3) = 0.13\).
Status 3: \(r = 1.335^2 / (1.335^2 + \pi^2/3) = 0.35\).

직관 — 정책 분석의 핵심 발견

Status 1 (가장 심각, ICC = 0.045):

지역 격차 거의 없음 — 가장 위급한 환자는 OPO 무관하게 빠르게 이식.
평균 대기 시간 4.8 일 — 짧고 일관.
→ “지역적 동등” 의 통계적 증거.

Status 3 (덜 심각, ICC = 0.35):

지역 격차 매우 큼 — OPO 따라 transplant rate 매우 다름.
평균 대기 시간 285.1 일.
→ “지역적 불평등” 의 통계적 증거.

정책 함의 (DHHS Final Rule 의 통계적 토대):

“지역 격차 reduce” 라는 Final Rule 의 주된 동기는 status 3 환자에 한정 — 그 환자들의 격차가 큰 것이 사실.
Status 1 환자는 이미 지역 동등 — Final Rule 의 효과 미미할 것.
Status 1 환자에게 “공정성” 의 통계적 증거 — Final Rule 의 implementation 에 큰 우려 없음.

이 발견이 IOM report 의 가장 핵심 contribution. 정책 결정에 직접 사용된 통계 분석.

3.5 OPO Volume 효과

작은 OPO 의 transplant 우위

Table 11.4 의 OPO volume 효과 (Transplant vs Other):

Status 1: OPO size 효과 없음 (가장 심각 환자는 OPO 무관).
Status 2B: M vs L = 0.590*, S vs L = 0.560 — 작은 OPO 가 더 자주 이식.
Status 3: M vs L = 1.179, S vs L = 0.757 — 동일 패턴, 더 강함.

수치 예시 (첫 한 달):

Large OPO (9+ million): Status 2B 5%, Status 3 3% transplant.
Small OPO (≤4 million): Status 2B 17%, Status 3 9% transplant.

→ 작은 OPO 가 덜 심각 환자에게 더 빠른 이식.

직관 — 왜 작은 OPO 가 더 자주 이식하는가

기증자/대기자 비율 차이:

작은 OPO: 기증자 수가 적지만 대기 환자 수도 적음.
큰 OPO: 기증자 많지만 대기 환자가 훨씬 많음 (도시 인구 집중).

→ 상대적 가용성 — 작은 OPO 의 대기 환자가 우선순위 더 높음.

역설 — 큰 OPO 가 자원 많지만 환자 더 오래 기다림:

자원 절대량 ↑.
환자 수가 더 빠르게 ↑.
결국 환자별 자원 ↓.

IOM 권고:

가장 심각 환자 (status 1) 에게 최대 transplantation chance 를 위해 organ allocation region 에 최소 9 million people 포함.
더 큰 region → 더 많은 기증자 풀 → 가장 위급 환자 우선.

이것이 sharing arrangement (지역 sharing) 의 정책적 토대.

3.7 Waiting Time 의 부적절성

Waiting Time 과 의료 필요성의 역상관

전통적 organ allocation 기준은 first-come, first-served (긴 waiting time 환자 우선). IOM 분석:

Status 1:

12 일 동안 hazard 일정 — transplantation rate ~15%/day, mortality rate ~3%/day.
Waiting time 무관.

Status 2B:

12 month 기간:
- Transplantation rate: 12% → 5%/month (감소).
- Mortality rate: 3% → 0.3%/month (감소).
→ 시간이 지날수록 hazard 감소.

Status 3:

12 month 기간:
- Transplantation rate: 4% → 0.05%/month (큰 감소).
- Mortality rate: 2% → 0.2%/month (감소).

Cumulative outcomes (Figure 11.7):

Status 1, 12 일: 80% transplant, 10% die.
Status 2B, 12 month: 60% transplant, 7% die.
Status 3, 12 month: 20% transplant, 8% die.

직관 — Waiting Time 기준의 문제

Status 2B, 3 의 hazard 감소 의 의미:

오래 기다린 환자는 (1) 자연 호전 또는 (2) 다른 status 로 이동.
즉 현재 시점의 환자는 의료 필요성이 낮음 — 절박하지 않은 사람들.
Waiting time 으로 우선순위 매기면 → 절박하지 않은 환자에게 우선 이식.
→ 의료 필요성과 역상관.

임상적 함의:

Waiting time 은 status 1 (가장 심각) 외에는 좋은 우선순위 기준 아님.
Status 2B, 3 에는 현재 의료 상태 (status 변화 추적) 가 더 적절한 기준.
Allocation system 의 fundamental redesign 정당화.

IOM 권고:

Status 기반 allocation (의료 중증도 우선).
Waiting time 은 같은 status 안에서만 사용 (동률 처리).

이것이 미국 organ allocation 정책 변경의 통계적 토대 — mixed-effects competing risk 모형 분석에서 직접 도출된 정책 권고.

3.8 Random Effects 분포 Robustness

Gaussian vs Uniform 비교 (Status 1)

§ 11.2 의 분포 robustness check 와 평행:

분포	\(\sigma_1\) (Random OPO SD)
Gaussian	0.393
Uniform (보정 후)	\(0.131 \times \sqrt{9.718^2 / 12} = 0.368\)

거의 동일. Fixed effects 도 두 모형에서 거의 같음.

직관 — Uniform 분포의 분산 보정

Uniform 분포 (\(a, b\) 사이) 의 분산 = \((b - a)^2 / 12\).

Hedeker MIXNO 의 uniform 옵션은 Gauss-Hermite quadrature 의 extreme nodes (\(a = 4.859, b = -4.859\) for \(Q = 10\)) 사용 → 분산 \(9.718^2 / 12 \approx 7.87\).

따라서 보정된 SD:

\[ \sigma_{\text{adjusted}} = \sigma_{\text{uniform raw}} \times \sqrt{\text{uniform variance}} = 0.131 \times \sqrt{7.87} \approx 0.368 \]

→ Gaussian SD 0.393 와 거의 같음.

결론: 분포 가정이 결과에 영향 미미 — 분포 robustness 입증.

일반 권고:

정규 가정 사용 (가장 친숙).
Robustness 검증 필요 시 uniform 또는 비모수 분포 적합.
결과 큰 차이 → outlier 또는 multi-modal 의심.

4 § 10.2.3 (Single Risk PH) vs § 11.3 (Competing Risks) 종합 비교

두 framework 의 비교

항목	§ 10.2.3 (10-3) Single Risk	§ 11.3 Competing Risks
응답	사건 시점 + censoring	사건 시점 + 사건 종류
Outcomes	1 종 (예: 사망)	\(C-1\) 종 (예: transplant + mortality)
모형	c-log-log ordinal 또는 logistic	Multinomial logistic
Random effects	단일 \(\sigma_v\)	\(C-1\) 개 \(\sigma_c\)
Censoring 처리	직접 (1 종 모형)	Reference category 활용 (“other” 가 censoring 포함)
응용	사망, 재발, 단일 결과	Competing 위험 (transplant vs death, 직업 이직 종류)

어느 framework 를 언제

Single risk 충분한 경우:

사건 종류가 1 가지 (사망, 재발 등).
다른 위험 (예: 사망에 비해 무시 가능) 또는 mutually exclusive 가 명확.
단순 분석 + 표준 PH 모형으로 충분.

Competing risks 필요한 경우:

여러 사건 종류가 동시에 위험.
한 사건 발생이 다른 사건 차단 (informative censoring 위험).
각 사건의 결정 요인이 다를 수 있음 (별도 분석 필요).
정책 분석 — 어느 outcome 에 어떤 효과가 있는지 분리 필요.

IOM 의 case 가 후자:

Transplant 와 mortality 모두 위험.
한쪽이 일어나면 다른쪽 차단.
Transplant 결정 요인 (OPO size 등) 과 mortality 결정 요인 다를 수 있음.
정책 결정 — 두 outcome 모두 평가 필요.

→ Single risk 로는 답할 수 없는 정책 질문에 competing risks 가 답.

5 응용 분야

분야	Competing risks 형태
장기 이식	Transplant / Mortality / Other (본 시연)
암 임상시험	Cancer death / Other death / Survival
직업 분석	자발 이직 / 해고 / 같은 직장 유지
가족 형성	결혼 / 동거 / 미혼 유지
학교	졸업 / 자퇴 / 진학
의료 이용	Outpatient visit / Emergency visit / No use
제품 채택	Brand A / Brand B / Brand C / 비채택
약물 사용 변화	중단 / 감량 / 증가 / 유지

→ “여러 outcome 이 동시에 위험인 모든 종단 데이터”.

6 코드 예시

6.1 Step 1: Pooled Person-Time Records 생성

import numpy as np
import pandas as pd


def to_person_time_records_competing(df_subject: pd.DataFrame) -> pd.DataFrame:
    """환자 단위 데이터를 person-time records 로 변환 (competing risks).

    df_subject: subject 한 행 — 'subject', 'time' (사건 시점), 'event' (0=other/censor, 1=transplant, 2=mortality)
    """
    rows = []
    for _, row in df_subject.iterrows():
        for t in range(1, int(row['time']) + 1):
            if t < row['time']:
                # 그 시점에 사건 안 일어남
                event = 0  # other / at risk
            else:
                # 마지막 시점 — 사건 또는 censoring
                event = int(row['event'])  # 0/1/2
            rows.append({
                'subject': row['subject'],
                'OPO': row['OPO'],
                'time': t,
                'event': event,
                **{k: row[k] for k in row.index if k not in ['subject', 'time', 'event', 'OPO']}
            })
    return pd.DataFrame(rows)


# 시뮬레이션 — 4 환자
df_sub = pd.DataFrame({
    'subject': [1, 2, 3, 4],
    'OPO': ['A', 'A', 'B', 'B'],
    'time': [3, 5, 2, 4],
    'event': [1, 0, 2, 1],  # transplant, censored, mortality, transplant
    'age': [45, 55, 30, 60]
})

df_pt = to_person_time_records_competing(df_sub)
print(df_pt)

Person-time records 의 검증

Subject 1 (transplant at t=3): 3 records — events (0, 0, 1).
Subject 2 (censored at t=5): 5 records — 모두 0.
Subject 3 (mortality at t=2): 2 records — events (0, 2).
Subject 4 (transplant at t=4): 4 records — events (0, 0, 0, 1).

이 변환이 Efron (1988) 의 partial logistic regression 의 데이터 준비. 표준 multinomial logistic 으로 적합 가능.

6.2 Step 2: Mixed-Effects Multinomial Competing Risk 적합 (R `mclogit`)

library(mclogit)


# Person-time records (위 시뮬레이션 확장)
# event: 0 = other (reference), 1 = transplant, 2 = mortality

df_pt$event <- factor(df_pt$event, levels = c(0, 1, 2),
                       labels = c("other", "transplant", "mortality"))

# Mixed-effects multinomial — OPO random intercept
fit_competing <- mblogit(event ~ time + age + factor(OPO_volume),
                         random = ~1 | OPO,
                         data = df_pt, baseline = "other")
summary(fit_competing)

# 두 contrast (transplant vs other, mortality vs other) 별 결과
# - Random OPO SD: 두 contrast 별 별도

출력 해석

mblogit 의 출력에서:

“transplant vs other”: 첫 contrast 의 회귀 계수 + random OPO SD.
“mortality vs other”: 둘째 contrast 의 회귀 계수 + random OPO SD.

논문 Table 11.4 와 비교:

Transplant: random OPO SD 가 큼 (특히 status 3 에서 1.335).
Mortality: random OPO SD 가 작음 (~ 0.1).

→ OPO 효과가 transplant 결정에는 크지만 mortality 에는 작음 — 정책 분석의 핵심 발견.

6.3 Step 3: ICC 와 정책 함의 계산

# 두 contrast 별 random OPO SD 추출
sigma_transplant <- attr(VarCorr(fit_competing), "sd")[1]
sigma_mortality <- attr(VarCorr(fit_competing), "sd")[2]

# ICC 계산
icc_transplant <- sigma_transplant^2 / (sigma_transplant^2 + pi^2 / 3)
icc_mortality <- sigma_mortality^2 / (sigma_mortality^2 + pi^2 / 3)

cat("OPO 의 contrast 별 ICC:\n")
cat("  Transplant: ICC =", round(icc_transplant, 3), "\n")
cat("  Mortality:  ICC =", round(icc_mortality, 3), "\n")

# 정책 분석 — 어느 contrast 가 OPO 효과 큼?
if (icc_transplant > 0.10) {
  cat("\n[정책 함의] Transplant rate 의 OPO 격차가 큼 → 지역 sharing 검토.\n")
}
if (icc_mortality < 0.05) {
  cat("[정책 함의] Mortality 의 OPO 격차 작음 → 의료 표준 일관됨.\n")
}

자동화된 정책 분석

ICC 임계값 기반 자동 권고:

Transplant ICC > 0.10: 지역 격차 → sharing 권고.
Mortality ICC < 0.05: 의료 표준 일관 → 격려.

이런 분석을 status level 별로 반복 → 각 status 의 정책 권고 도출.

논문의 IOM 분석이 정확히 이 절차 — status level 별 stratified + ICC 비교 + sharing 효과 평가.

6.4 Step 4: Random Effects 분포 비교 (Bayesian, brms)

library(brms)


# Normal random intercept
fit_normal <- brm(event ~ time + age + factor(OPO_volume) + (1 | OPO),
                  data = df_pt, family = categorical("logit"),
                  chains = 2, cores = 2, iter = 2000, refresh = 0)

# Uniform random intercept (truncated normal as approximation)
prior_uniform <- prior(uniform(0, 3), class = "sd")
fit_uniform <- brm(event ~ time + age + factor(OPO_volume) + (1 | OPO),
                   data = df_pt, family = categorical("logit"),
                   prior = prior_uniform,
                   chains = 2, cores = 2, iter = 2000, refresh = 0)

# 결과 비교
summary(fit_normal)
summary(fit_uniform)

# Fixed effects 가 비슷하면 분포 robust

분포 robustness 검증의 실무

논문의 Table 11.5 (Status 1 분석) 와 평행한 검증:

Fixed effects 가 두 분포에서 거의 같으면 → 정규 가정 사용 안전.
Random effects SD 는 척도 차이 (이미 본 바와 같이 보정 필요).

보정 공식:

Uniform: \(\sigma_{\text{adjusted}} = \sigma_{\text{raw}} \times \sqrt{(b-a)^2 / 12}\).
Gauss-Hermite extreme nodes 사용 시 specific 값 (예: \(Q = 10\) 이면 \(a = 4.859, b = -4.859\)).

대안 — Bayesian 의 정규 vs 두꺼운 꼬리:

student_t(3, 0, 1) prior — 두꺼운 꼬리, outlier robust.
cauchy(0, 1) — 매우 두꺼운 꼬리.

일반 권고: 정규 가정 사용 + sensitivity analysis 로 robustness 검증.

7 관련 주제

선행 지식

Ch.11 Overview — Nominal GLMM 의 큰 그림
§ 11.1 ~ 11.1.2 — Multinomial 모형 + ICC + 추정
§ 11.2 MHRP — Nominal 의 다른 응용 (housing)
§ 10.2.3 Discrete-time PH — Single risk PH 모형 (본 sub-post 의 토대)

후속 주제 (Ch.11 sub-posts)

§ 11.4 — Ch.11 Summary

관련 개념

Efron (1988) — Partial logistic regression / person-time logistic regression
Ingram & Kleinman (1989) — Person-time logistic 의 개발
IOM (1999) — Liver transplant 분석 보고서
Gibbons et al. (2000, 2003) — Mixed-effects competing risk 의 발전
DHHS Final Rule (1998, 42 CFR Part 121) — 미국 organ allocation 정책
UNOS (United Network for Organ Sharing) — 통계
USGAO (1997) — 기증자/대기자 통계
§ 10.2.3 Allison 1982 — Discrete-time survival 표준 introduction
Statistics survival series — 연속 시간 생존 분석 (Cox PH)
Cox (1972) — Continuous-time PH 모형 원전