§ 11.2 — MHRP 데이터의 Nominal 재분석: Reference Cell 과 Helmert Contrast

1 들어가며 — § 10.4 와 같은 데이터, 다른 framework

§ 10.4 (MHRP partial PO, 10-6) 에서 비례 오즈 가정이 강하게 거부되어 partial proportional odds 모형으로 분석했다. § 11.2 는 같은 데이터를 nominal multinomial mixed-effects 로 재분석 — 비례 가정 자체를 버리고 모든 contrast 의 효과를 자유롭게 추정.

같은 MHRP 데이터의 두 분석

항목	§ 10.4 Ordinal partial PO (10-6)	§ 11.2 Nominal multinomial (본 sub-post)
Framework	Cumulative logit (순서 가정)	Reference cell logit (순서 무관)
비례 위반 처리	\(u'\alpha_c\) (식 10.7)	모든 covariate 의 contrast 별 자유 효과
Random effects	단일 \(\sigma_v\)	\(C-1\) 개 \(\sigma_c\) (contrast 별)
ICC	0.39 (단일)	0.19 (community), 0.62 (independent)
추가 분석	—	Helmert contrast 표기

한 줄 요약

“§ 11.2 = MHRP 데이터의 nominal 분석. 두 reference-cell contrast (community vs street, independent vs street) 의 그룹 차이가 명백히 다름 (Figure 11.1-11.2) — multinomial 의 자연 표현. Table 11.1 의 normal vs uniform random effects 가 매우 비슷한 결과 → 분포 가정에 robust. 두 contrast 의 ICC 가 0.19 vs 0.62 로 3 배 차이 → separate variance terms 의 강한 유의 (\(\chi^2_1 = 49.2\)) — independent housing 결정에 환자 이질성 매우 큼. Helmert contrast 분석 (Table 11.2) 으로 가장 직관적 해석: section 8 효과의 진짜 자리는 community vs independent 의 선택. 첫 Helmert (non-street vs street) 에서 section 8 효과 없음, 둘째 Helmert (independent vs community) 에서 강한 효과. § 10.4 partial PO 와 같은 결론을 더 풍부한 framework 로.”

2 § 11.2 — Reference Cell 분석

2.1 데이터와 contrast 설정

MHRP 재방문 + Reference 선택

데이터는 § 10.4 (10-6) 와 동일 — McKinney Homeless Research Project, 361 클라이언트, 4 시점, 3 범주 응답.

3 범주 응답:

• Street/shelters (1): 가장 unstable.
• Community housing (2): 중간.
• Independent housing (3): 가장 stable.

Reference category: street — 가장 base 상태, 가장 흔한 시작점.

두 reference-cell contrast:

• 첫 contrast: community vs street (\(c = 2\) vs \(c = 1\)).
• 둘째 contrast: independent vs street (\(c = 3\) vs \(c = 1\)).

직관 — Reference 선택의 의미

Street 를 reference 로 선택한 이유:

1. 임상적 base: 노숙 (가장 unstable) 이 자연스러운 시작점. 모든 클라이언트가 baseline 에서 street 비율 가장 높음.
2. 해석 명확: 다른 두 범주의 효과가 “street 에서 빠져나가는 정도”.
3. Section 8 의 임상적 가치: section 8 의 효과가 “street → community” 와 “street → independent” 의 두 contrast 로 명확 분리.

§ 10.4 의 ordinal 분석과의 차이:

• Ordinal: cumulative comparison (street vs others, street + community vs independent).
• Nominal reference cell: pairwise comparison (community vs street, independent vs street).

두 framework 가 같은 데이터를 다른 각도에서 봄 — 비교 결과가 다음 Helmert 분석에서 통합.

2.2 Figure 11.1-11.2 — 두 Logit 의 시각화

두 reference-cell logit 의 시간 추이

Figure 11.1 (Community vs Street):

• Non-section 8 (control): Baseline 에 음수, 시간 따라 빠르게 양수로 증가 (community 비율 ↑).
• Section 8: Baseline 부터 양수 가까움, 그러나 시간에 따라 control 만큼 증가 안 함.
• 12 month 에서 두 그룹 차이 가장 큼 — control 이 community 로 더 많이 이동.

Figure 11.2 (Independent vs Street):

• Non-section 8: Baseline 에 매우 음수, 시간 따라 천천히 증가.
• Section 8: Baseline 부터 더 빠르게 증가, 6 month 에 큰 점프, 이후 plateau.
• 6 month 에서 두 그룹 차이 가장 큼 — section 8 가 빠르게 independent.

직관 — 비대칭 효과의 시각적 신호

두 logit 의 그룹 차이 패턴이 다름:

• Community vs Street: control 이 더 호전 (community 로 진행).
• Independent vs Street: section 8 가 훨씬 더 호전 (independent 로 직접).

이것이 § 10.4 partial PO 분석에서 본 section 8 효과의 비대칭 의 시각적 표현. Nominal framework 에서는 두 contrast 의 효과가 별도로 보여 비대칭이 자연스럽게 드러남.

→ Ordinal cumulative 보다 nominal reference cell 이 비대칭을 보기 더 쉬움. 같은 임상 사실의 다른 시각.

2.3 Table 11.1 — Normal vs Uniform Random Effects

Random effects 분포 robustness 검증

두 모형:

• Normal prior: 표준 가정 (\(\theta \sim \mathcal{N}(0, 1)\)).
• Uniform prior: \(\theta\) 가 균등 분포 — 정규 가정 위반 시 robustness 검증.

§ 9.6.3 에서 본 Hedeker MIXOR 의 random effects 분포 옵션 활용.

표 11.1 — 결과 (Normal vs Uniform)

Community vs Street (첫 contrast):

모수	Normal Estimate	Normal SE	Uniform Estimate	Uniform SE
Intercept	-0.452	0.192	-0.473	0.184
t1 (6 month)	1.942	0.312	1.850	0.309
t2 (12 month)	2.820	0.466	2.686	0.457
t3 (24 month)	2.259	0.378	2.143	0.375
Section 8	0.521	0.268	0.471	0.258
Section 8 × t1	-0.135	0.490	-0.220	0.484
Section 8 × t2	-1.917	0.611	-1.938	0.600
Section 8 × t3	-0.952	0.535	-0.987	0.527
Subject SD	0.871	0.138	0.153	0.031

Independent vs Street (둘째 contrast):

모수	Normal Estimate	Normal SE	Uniform Estimate	Uniform SE
Intercept	-2.675	0.367	-2.727	0.351
t1 (6 month)	2.682	0.425	2.540	0.422
t2 (12 month)	4.088	0.559	3.916	0.551
t3 (24 month)	4.099	0.469	3.973	0.462
Section 8	0.781	0.491	0.675	0.460
Section 8 × t1	2.003	0.614	2.016	0.605
Section 8 × t2	0.548	0.694	0.645	0.676
Section 8 × t3	0.304	0.615	0.334	0.600
Subject SD	2.334	0.196	0.490	0.040

\(-2 \log L\): Normal = 2218.73, Uniform = 2224.74.

Bold: \(p < 0.05\), italic: \(0.05 < p < 0.10\).

직관 — Normal vs Uniform 의 두 결론

결론 1 — 회귀 계수가 매우 비슷:

• Community vs Street: t1 (1.942 vs 1.850), t2 (2.820 vs 2.686), Section 8 × t2 (-1.917 vs -1.938) — 차이 작음.
• Independent vs Street: 모두 비슷.
• → 분포 가정에 robust. 정규 가정이 적절히 표현되지 않더라도 회귀 계수 추정은 비슷.

결론 2 — Random effects 분산 추정은 다름:

• Community vs Street: Normal SD 0.871 vs Uniform SD 0.153 — 매우 큰 차이.
• Independent vs Street: Normal SD 2.334 vs Uniform SD 0.490 — 큰 차이.

이유: Uniform 분포의 분산은 \((b-a)^2/12\) — 정규 분산 1 보다 훨씬 작음. Random effects 의 척도가 분포에 따라 다름.

ICC 척도 환산 필요:

• Normal: \(r = \widehat\sigma^2 / (\widehat\sigma^2 + \pi^2/3)\).
• Uniform: \(r = \widehat\sigma^2 / (\widehat\sigma^2 + \pi^2/3)\) — 같은 공식 (logistic level-1 분산 동일).
• 그러나 분포의 잠재 분산 척도가 달라 ICC 직접 비교 어려움.

\(-2 \log L\) 비교: Normal = 2218.73, Uniform = 2224.74. Normal 이 약간 더 좋음 (deviance 작음). 두 모형 모두 적합한 fit, 큰 차이 없음.

실무 권고 — 분포 robustness 검증 결과:

• 회귀 계수 결론은 분포에 robust → 정규 가정 사용 안전.
• 분산 척도가 다른 것은 인지하되, 정규가 표준.
• Skewed 또는 multi-modal 분포가 의심되면 비모수 분포 고려 (Hedeker MIXOR 의 옵션).

2.4 임상적 해석 — Section 8 효과의 비대칭

Section 8 × time interaction 의 두 contrast 패턴

Community vs Street (첫 contrast) — Section 8 × t:

• t1: -0.135 (비유의).
• t2: -1.917 (강하게 유의, 음수).
• t3: -0.952 (marginally).

해석: section 8 가 12 month 에서 community 로 가는 비율이 control 보다 적음 (음수 효과).

Independent vs Street (둘째 contrast) — Section 8 × t:

• t1: 2.003 (강하게 유의, 양수).
• t2: 0.548 (비유의).
• t3: 0.304 (비유의).

해석: section 8 가 6 month 에서 independent 로 가는 비율이 control 보다 빠름 (양수 효과).

직관 — 두 contrast 의 결합 의미

종합 해석:

• 6 month: Section 8 가 빠르게 independent 로 (큰 양수 효과). Control 은 community 로 (점진).
• 12 month: Control 이 community 로 catch up (양수 효과). Section 8 는 이미 independent 에 정착 (community 효과 음수).
• 24 month: 효과가 약화 — 두 그룹의 분포가 안정.

§ 10.4 partial PO 와의 일치:

• § 10.4 의 결론: section 8 효과는 independent housing 진행에만 (모든 시점), non-street 진행에는 효과 없음.
• § 11.2 의 결론: section 8 가 6 month 에 빠르게 independent, control 은 12 month 에 community 로 catch up.

같은 임상 사실의 두 표현. Nominal 이 더 풍부한 정보 — 시점별 어떤 contrast 에 효과 가장 큰지 분리.

정책 함의:

• Section 8 의 핵심 가치: 빠른 independent housing 진행 (community 단계 우회).
• Control 그룹은 결국 community 까지는 진행하지만 independent 까지 못 감.
• → Section 8 가 단기에는 큰 차이, 장기에는 차이 약화 (control 의 catch up).

2.5 ICC 의 Contrast 별 분리

두 contrast 의 ICC

식 (11.7) 의 ICC (각 contrast 별):

\[ \widehat r_1 = \frac{0.871^2}{0.871^2 + \pi^2/3} = \frac{0.759}{0.759 + 3.290} = 0.19 \quad (\text{community vs street}) \]

\[ \widehat r_2 = \frac{2.334^2}{2.334^2 + \pi^2/3} = \frac{5.448}{5.448 + 3.290} = 0.62 \quad (\text{independent vs street}) \]

→ 두 contrast 의 ICC 가 매우 다름 (0.19 vs 0.62, 3 배 이상 차이).

직관 — 환자 이질성의 contrast 별 차이

ICC 의 임상적 해석:

• Community vs Street (\(r_1 = 0.19\)): 환자 이질성 작음. 누구나 community 로 가는 결정에는 환자 차이가 미미. 일반적 정책 (housing assistance) 으로 충분.
• Independent vs Street (\(r_2 = 0.62\)): 환자 이질성 매우 큼. Independent housing 에 갈 환자와 못 갈 환자의 차이가 명확. 환자 segmentation 효과적.

정책 함의:

• Section 8 같은 voucher 를 모두에게 균등하게 줄 필요 없음.
• Independent 에 갈 잠재력 있는 환자에게 우선 배분 이 비용 효과적.
• 그 잠재력은 baseline 에서 부분적으로 식별 가능 (Empirical Bayes 추정).

§ 10.4 ordinal 의 단일 ICC vs § 11.2 nominal 의 두 ICC:

• Ordinal: 단일 ICC = 0.39 (평균값).
• Nominal: 0.19 + 0.62 (두 contrast 별).
• → Ordinal 모형이 두 contrast 의 차이를 평균화. Nominal 모형이 임상적으로 더 가치 있는 정보.

LR 검정 — Separate vs Common variance:

• \(H_0: \sigma_1 = \sigma_2\) (두 contrast 의 random effect SD 같음).
• \(\chi^2_1 = 49.2\), p < .001 — separate variance 강하게 유의.

이 결과가 nominal 모형의 핵심 정보. Ordinal 의 단일 SD 가정으로는 절대 못 얻음.

실무 권고:

• Nominal 적합 후 항상 contrast 별 ICC 비교.
• 큰 차이 → 환자 segmentation 정책 검토.
• 비슷한 ICC → ordinal 모형으로 단순화 가능 (모수 절약).

2.6 Random Effects 의 Group Homogeneity Check

그룹별 분산 비교 (10-2 의 §10.2.2 와 평행)

§ 10.2.2 의 Hedeker et al. (2006) 그룹별 분산 모형 (10-2) 와 평행. MHRP 두 그룹 (control vs section 8) 의 random effect SD 비교:

Contrast	Control SD	SE	Section 8 SD	SE
Community vs Street	0.771	0.182	0.966	0.214
Independent vs Street	2.228	0.299	2.432	0.266

\(-2 \log L\): 그룹별 = 2218.43, 동질 = 2218.73. 차이 0.30 — homogeneity 적합.

직관 — 그룹별 환자 이질성이 비슷

두 그룹 (control, section 8) 의 random effect SD 가 거의 같음:

• Community vs Street: 0.771 vs 0.966 — 비슷.
• Independent vs Street: 2.228 vs 2.432 — 비슷.

해석: section 8 가 평균 효과는 다르게 만들지만, 환자 간 변동의 크기는 두 그룹에서 비슷. 즉 section 8 가 모든 환자에게 비슷하게 작용 (특정 환자 sub-group 에 집중되지 않음).

정책 함의: section 8 효과가 robust — 다양한 환자에게 비슷한 효과. Targeted 배분 (특정 환자만) 보다는 broad 배분이 효과적.

3 Helmert Contrast 분석

3.1 모형 정의

Helmert contrast for 3 범주

3 범주에 대한 Helmert contrast matrix:

\[ D = \begin{bmatrix} -2/3 & 1/3 & 1/3 \\ 0 & -1/2 & 1/2 \end{bmatrix} \]

의미:

• 첫 Helmert: street vs (community + independent) — “street vs non-street”.
• 둘째 Helmert: community vs independent — “non-street 안에서 community vs independent 선택”.

각 row 합 = 0 (zero-sum), scale = 1 (contrast coefficient 차이).

직관 — Helmert 의 임상적 의미

Reference cell (street) 분석은 두 비교 (community vs street, independent vs street) 가 모두 street 와의 비교 — street 에 dominated.

Helmert 는 다른 분리:

• 첫 Helmert (non-street vs street): “노숙 탈출의 일반 효과”. Section 8 가 그냥 노숙에서 빠져나가는 데 기여하는가?
• 둘째 Helmert (independent vs community): “노숙 탈출 후 어디로 가는가”. 일단 노숙 탈출하면 community 와 independent 중 어디로 가는가?

이 분리가 정책 설계에 더 직접적 — section 8 가 노숙 탈출을 도와주는 program 인지, 아니면 노숙 탈출 후 stable 한 housing 으로 가게 도와주는 program 인지 구분.

3.2 Table 11.2 — Helmert 결과

표 11.2 — Helmert Contrast 결과 (Normal random effects)

Independent + Community vs Street (첫 Helmert):

모수	Estimate	SE
Intercept	-1.564	0.244
t1 (6 month)	2.312	0.322
t2 (12 month)	3.454	0.484
t3 (24 month)	3.179	0.387
Section 8	0.651	0.334
Section 8 × t1	0.934	0.495
Section 8 × t2	-0.684	0.601
Section 8 × t3	-0.324	0.517
Subject SD	1.602	0.148

Independent vs Community (둘째 Helmert):

모수	Estimate	SE
Intercept	-2.224	0.326
t1 (6 month)	0.741	0.375
t2 (12 month)	1.268	0.352
t3 (24 month)	1.839	0.358
Section 8	0.260	0.425
Section 8 × t1	2.138	0.505
Section 8 × t2	2.465	0.512
Section 8 × t3	1.256	0.509
Subject SD	1.463	0.166

\(-2 \log L = 2218.73\).

Bold: \(p < 0.05\), italic: \(0.05 < p < 0.10\).

직관 — Helmert 가 드러내는 핵심 임상 사실

첫 Helmert (non-street vs street) — Section 8 효과:

• Section 8 main: marginally (0.651, p ≈ 0.05).
• Section 8 × t1, t2, t3: 모두 비유의 (0.934, -0.684, -0.324).
• → Section 8 가 단순히 노숙 탈출에는 효과 없음.

둘째 Helmert (independent vs community) — Section 8 효과:

• Section 8 × t1: 2.138 (강하게 유의).
• Section 8 × t2: 2.465 (강하게 유의).
• Section 8 × t3: 1.256 (유의).
• → Section 8 가 community 보다 independent 로 가는 데 매우 강한 효과 (모든 시점).

가장 직관적 해석:

“Section 8 의 진짜 가치는 노숙 탈출 후 어디로 가는가 의 결정에 있다 — community 가 아닌 independent housing 으로.”

이 결론이 reference cell 분석에서는 명확히 보이지 않음 — community vs street 와 independent vs street 의 두 비교가 street 와의 비교로 dominated. Helmert 가 두 단계 (탈출 + 진행 방향) 로 분리해 명확화.

저자의 결론 인용:

“In many ways, the Helmert contrasts, with their intuitive interpretations, represent the best choice for the analysis of these data.”

→ Helmert contrast 가 본 데이터에 가장 적합한 분석.

3.3 Helmert ICC 의 의미

Helmert contrast 의 random effect SD

• 첫 Helmert (non-street): SD = 1.602.
• 둘째 Helmert (independent vs community): SD = 1.463.

ICC:

• \(r_1 = 1.602^2 / (1.602^2 + \pi^2/3) = 0.44\).
• \(r_2 = 1.463^2 / (1.463^2 + \pi^2/3) = 0.39\).

직관 — Helmert ICC 의 임상적 해석

두 Helmert ICC (0.44 vs 0.39) 가 비슷:

• 두 단계 (탈출 + 진행) 모두에 환자 이질성이 비슷한 정도로 영향.
• → 두 contrast 의 분산이 비슷하다는 점이 reference cell 의 ICC 차이 (0.19 vs 0.62) 와 다름.

Reference cell vs Helmert 의 ICC 비교:

모형	첫 contrast ICC	둘째 contrast ICC
Reference cell (street)	0.19 (community vs street)	0.62 (independent vs street)
Helmert	0.44 (non-street vs street)	0.39 (indep vs community)

같은 데이터에 다른 contrast — 분산 분해가 다른 방식으로 나타남.

Reference cell 의 큰 차이 (0.19 vs 0.62) 의 의미:

• Community vs street 는 환자 무관 (대부분이 community 로 가능).
• Independent vs street 는 환자 차이 큼 (independent 갈 환자 vs 못 갈 환자).

Helmert 의 비슷한 ICC (0.44 vs 0.39) 의 의미:

• 노숙 탈출 자체에 환자 차이 보통.
• 노숙 탈출 후 어디로 가는지에도 환자 차이 보통.
• → 두 단계 모두 환자 segmentation 가치 있음.

임상적 정책 결정 — 어느 contrast 를 보고 정책 설계할지:

• 단순 binary 결정 (집 있음 vs 노숙) → Helmert 첫.
• Independent housing 강조 → Helmert 둘째 또는 reference cell 둘째.

4 § 10.4 (Ordinal Partial PO) vs § 11.2 (Nominal Multinomial) 종합 비교

두 framework 의 결과 비교

항목	§ 10.4 Partial PO (10-6)	§ 11.2 Nominal (본 sub-post)
Framework	Cumulative logit	Reference cell + Helmert
위반 처리	\(\alpha_c\) (location 변동)	모든 \(\beta_c\) 자유
Section 8 효과	independent 진행 ↑, community 진행 무관	동일 (다른 표현)
ICC	0.39 (단일)	0.19, 0.62 (contrast 별 분리)
Section 8 × time	6, 12 month 강함 (NPO Independent)	6 month 강함 (Reference Indep), 모든 시점 강함 (Helmert 둘째)
최선 분석	Partial PO 모형	Helmert contrast 모형
-2 log L	2222.25 (NPO)	2218.73 (Helmert)

두 framework 의 메시지 — 같은 임상 사실, 다른 통계 표현

공통 결론:

• Section 8 가 노숙 환자에게 효과적.
• 효과의 본질은 “community 단계를 건너뛰고 independent housing 으로 직접 진행”.
• 비대칭 효과 — community 진행에는 효과 없음, independent 진행에는 강한 효과.

Nominal 의 추가 가치:

1. Random effects 분산의 contrast 별 분리: Reference cell 의 0.19 vs 0.62 가 ordinal 의 단일 0.39 에서 못 보이는 정보.
2. Helmert contrast 의 직관성: 두 단계 (탈출 + 진행) 의 자연스러운 분리.
3. 모형 적합도: Nominal Helmert (-2 log L = 2218.73) 가 ordinal NPO (2222.25) 보다 약간 더 좋음.

Ordinal 의 보존 가치:

• 모수 절약 (비례 가정 부분 활용).
• 응답이 본질적으로 순서가 있을 때 자연.
• 임상적 해석이 단순 (cumulative odds).

최선의 분석 권고:

• 응답 순서 명확 + 비례 가정 만족 → Standard ordinal PO.
• 응답 순서 명확 + 비례 위반 일부 → Partial PO.
• 응답 순서 약 + 비례 강하게 위반 → Nominal multinomial.
• 응답 비순서 → Nominal multinomial 필수.

MHRP 데이터의 경우:

• 응답이 약한 순서 (street < community < independent) — Helmert 가 두 단계로 분리하기 좋음.
• 비례 강하게 위반 → nominal multinomial 가 적절.
• → Nominal Helmert 가 최선의 선택.

5 응용 분야

분야	Nominal multinomial 우선	Helmert contrast 활용
노숙자 정책 (MHRP)	본 시연	street → non-street → independent 의 두 단계
의료 이용	진료 형태 (no/outpatient/inpatient)	no care vs care, outpatient vs inpatient
약물 사용 패턴	비사용/가끔/규칙적/매일	사용 vs 비사용, 빈도 단계
직업 진로	학생/취업/대학원/실업	활동 vs 실업, 활동 종류
가족 구조	미혼/결혼/이혼/사별	결혼 경험 vs 미혼, 현재 상태

→ “응답이 단계적 진행 패턴을 가질 때” Helmert contrast 가 자연.

6 코드 예시

6.1 Step 1: Reference Cell Multinomial 적합 (R mclogit)

library(mclogit)


# MHRP-like 데이터 (10-6 의 시뮬레이션 함수 활용)
# (시뮬레이션 코드는 10-6 참조 — 여기서는 적합만 시연)

# Random intercept multinomial — reference category = "1" (street)
df$y <- factor(df$y, levels = c(1, 2, 3),
               labels = c("street", "community", "independent"))

fit_ref <- mblogit(y ~ factor(time) + section8 + section8:factor(time),
                   random = ~1 | subject,
                   data = df, baseline = "street")
summary(fit_ref)

# 두 contrast 별 회귀 계수
# - community vs street: 첫 set
# - independent vs street: 둘째 set

R mclogit::mblogit 의 출력

각 contrast (reference 제외) 별 별도 회귀 계수:

• “community vs street”: 모든 covariate 계수.
• “independent vs street”: 모든 covariate 계수.

논문 표 11.1 의 두 panel 과 정확히 대응.

baseline = "street" 로 reference 설정. 다른 reference 면 결과 변함 (모수 회전, 적합도 동일).

6.2 Step 2: Random Effects 분포 비교 (Normal vs Uniform)

# R 의 mclogit 은 normal 만 지원
# Bayesian 우회 — brms 로 분포 변경
library(brms)


# Normal random intercept (default)
fit_normal <- brm(y ~ factor(time) + section8 + section8:factor(time)
                  + (1 | subject),
                  data = df, family = categorical("logit"),
                  chains = 2, cores = 2, iter = 2000, refresh = 0)

# Uniform random intercept (truncated)
# Stan 의 prior 변경 — uniform(-3, 3) 같은 형태
prior_uniform <- prior(uniform(-3, 3), class = "sd")
fit_uniform <- brm(y ~ factor(time) + section8 + section8:factor(time)
                   + (1 | subject),
                   data = df, family = categorical("logit"),
                   prior = prior_uniform,
                   chains = 2, cores = 2, iter = 2000, refresh = 0)

# 결과 비교
summary(fit_normal)
summary(fit_uniform)

분포 변경의 실무

brms 의 prior 옵션:

• normal(0, 5): 약한 정규 prior (default 와 비슷).
• uniform(0, 3): 균등 prior (random effects SD 의 truncated uniform).
• cauchy(0, 1): 두꺼운 꼬리 (outlier robust).
• student_t(3, 0, 1): 정규 vs 두꺼운 꼬리 사이.

Frequentist 대안:

• Hedeker MIXNO: 정규 vs uniform 직접 옵션 (논문의 분석).
• SAS PROC NLMIXED: random effects 분포 직접 코딩.

실무 권고:

• 정규 가정 robustness 검증 시 다른 분포 적합 → 회귀 계수가 비슷하면 정규 사용.
• 회귀 계수가 크게 다르면 분포 의심 → outlier 또는 multi-modal 검토.

6.3 Step 3: ICC 의 Contrast 별 계산

# Random effects 분산 추출
sigma_c1 <- attr(VarCorr(fit_ref), "sd")[1]  # community vs street
sigma_c2 <- attr(VarCorr(fit_ref), "sd")[2]  # independent vs street

icc_c1 <- sigma_c1^2 / (sigma_c1^2 + pi^2 / 3)
icc_c2 <- sigma_c2^2 / (sigma_c2^2 + pi^2 / 3)

cat("Contrast 별 ICC:\n")
cat("  Community vs Street: r1 =", round(icc_c1, 3), "(논문: 0.19)\n")
cat("  Independent vs Street: r2 =", round(icc_c2, 3), "(논문: 0.62)\n")

# LR test: separate vs common variance
fit_common <- mblogit(y ~ factor(time) + section8 + section8:factor(time),
                      random = ~1 | subject,
                      data = df, baseline = "street",
                      common.random = TRUE)  # 공통 SD 가정

lr_stat <- 2 * (logLik(fit_ref) - logLik(fit_common))
cat("\nLR test (separate vs common variance):\n")
cat("  chi^2 =", round(lr_stat, 2), "(논문: 49.2)\n")
cat("  df = 1, p =", format.pval(1 - pchisq(lr_stat, 1), digits = 3), "\n")

Contrast 별 ICC 의 진단 가치

두 ICC 의 차이가 크면 (\(r_2 / r_1 > 2\)):

• 두 contrast 가 매우 다른 환자 이질성 패턴.
• 환자 segmentation 정책 효과적 (특정 contrast 에서).
• Ordinal 모형으로 단순화 어려움.

두 ICC 가 비슷하면 (\(r_2 / r_1 \approx 1\)):

• 두 contrast 의 환자 이질성 비슷.
• Ordinal 모형으로 단순화 가능 (모수 절약).

MHRP 의 경우 ICC 비율 0.62 / 0.19 ≈ 3.3 — 매우 다름. → Nominal 모형 유지가 정당.

6.4 Step 4: Helmert Contrast 의 직접 적용

# Helmert contrast matrix (3 범주)
D_helmert_3 <- rbind(
  c(-2/3, 1/3, 1/3),  # 첫 Helmert: street vs non-street
  c(0, -1/2, 1/2)     # 둘째 Helmert: community vs independent
)
print(D_helmert_3)

# R 의 contrasts() 활용
df$y_helmert <- factor(df$y, ordered = FALSE)
contrasts(df$y_helmert) <- t(D_helmert_3)
print(contrasts(df$y_helmert))

# Helmert 적합
fit_helmert <- mblogit(y_helmert ~ factor(time) + section8 + section8:factor(time),
                       random = ~1 | subject,
                       data = df)
summary(fit_helmert)

Contrast Matrix 의 해석

R 의 contrasts() 가 column-wise contrast 사용 — 위 코드에서 t(D_helmert_3) 로 transpose.

각 column 이 한 contrast:

• 첫 column: 범주 1 (street) 에 -2/3, 범주 2 (community) 에 1/3, 범주 3 (independent) 에 1/3.
• 둘째 column: 범주 2 에 -1/2, 범주 3 에 1/2.

적합 결과의 회귀 계수:

• “y_helmert1”: 첫 Helmert (street vs non-street) 의 회귀 계수.
• “y_helmert2”: 둘째 Helmert (community vs independent) 의 회귀 계수.

논문 표 11.2 와 비교:

• Section 8 × time (첫 Helmert): 모두 비유의 → “단순 노숙 탈출에는 section 8 효과 없음”.
• Section 8 × time (둘째 Helmert): 모두 유의 → “노숙 탈출 후 independent 로 가는 데 강한 효과”.

결과의 명료성 — Reference cell 의 두 contrast (community vs street, independent vs street) 가 street 와의 비교로 묶였던 것을, Helmert 가 “탈출 + 진행” 두 단계로 분리.

최선의 임상 해석을 위해 Helmert contrast 적극 활용 권고.

7 관련 주제

선행 지식

• Ch.11 Overview — Nominal GLMM 의 큰 그림
• § 11.1 ~ 11.1.2 — Multinomial 모형의 수학적 깊이 + Helmert contrast
• § 10.4 MHRP partial PO — 같은 데이터의 ordinal 분석 (직접 비교)
• § 10.2.2 Scaling terms — 그룹별 분산 모형 (§ 11.2 의 group homogeneity check 와 평행)
• § 9.6.3 Random effects 분포 — Normal vs uniform 옵션의 토대

후속 주제 (Ch.11 sub-posts)

• § 11.3 — Competing Risk Survival Models
  • § 11.3.1: Waiting for Organ Transplantation (장기 이식 대기 — 다른 응용 사례)
• § 11.4 — Ch.11 Summary

관련 개념

• McKinney Homeless Research Project (MHRP) — Hough et al. (1997), Hurlburt et al. (1996)
• Section 8 housing certificate program (HUD)
• Bock (1972, 1975) — Helmert contrast 의 multinomial 적용
• Hedeker (1999, 2003) — MIXNO 소프트웨어 + general contrast formulation
• Hedeker et al. (2006) — 그룹별 random effects 분산 (10-2 의 §10.2.2)
• Snijders & Bosker (1999) — Random effects LR 검정의 boundary 문제
• § 9.7 NIMH 분석 — 같은 데이터의 다른 chapter 분석 (이항)