Linear Mixed Models — 결핵균 assay 와 라틴 정방 설계 (McCullagh §14.2)

\(\log Y = \alpha + \gamma + \tau + \epsilon\) · ANOVA 분해 · \(E(MS)\) 유도 · 짝 맞춤 설계의 직교 독립성

McCullagh & Nelder (1989) §14.2 를 심화한다. 결핵균 assay (Table 6.1) 의 4 × 4 라틴 정방 설계를 선형 혼합 모형 \(\log Y_{ij(k)} = \alpha_i + \gamma_j + \tau_k + \epsilon_{ijk}\) 로 모형화. 네 요인 (부위·cow class·처치·오차) 중 무엇을 고정·무엇을 랜덤으로 할지의 과학적 판단 기준. 30 마리 cow 합계이므로 \(\text{var}(\gamma_j) = \sigma_b^2/30\) 스케일 조정 필요성. Table 14.1 ANOVA 분해의 각 줄 \(E(MS)\) 유도 — cow class 가 \(\sigma^2/30 + 4\sigma_b^2/30\) 을 갖는 이유, sites/treatments 가 고정효과이므로 \(\sum(\alpha_i - \bar\alpha)^2\) 항을 갖는 이유. Method of Moments 로 \(\widetilde\sigma^2 = 0.0216\) (within-CV 15%), \(\widetilde\sigma_b^2 = 0.8821\) (between-CV 94%) 추정. 라틴 정방 직교성이 부여하는 놀라운 결과: 처치·부위 대조의 SE 가 \(\sigma^2\) 만의 함수이고 \(\sigma_b^2\) 에 무관. 추정 부위 효과 \(\widehat\alpha = (0, 0.093, 0.128, -0.053)\) 과 SE \(\widetilde\sigma/\sqrt{60} = 0.019\). Python 재현과 함께 짝 맞춤 설계의 효율성을 수치로 확인한다.

Statistics
GLM
저자

Kwangmin Kim

공개

2026년 04월 21일

1 서론 — 왜 “짝 맞춤 (pairing)” 설계가 강력한가

Ch.14 overview (13-1) 에서 결핵균 assay 의 within-cow CV 15% vs between-cow CV 94% 라는 극적 대비를 미리 언급했다. 이 글은 이 숫자가 어떻게 유도되는지, 그리고 이 설계가 왜 효율적인지 를 수학적으로 해부한다.

핵심 질문: 1. 네 요인 (부위 · cow class · 처치 · 오차) 중 무엇을 고정효과로, 무엇을 랜덤효과로? 2. \(\log Y = \alpha + \gamma + \tau + \epsilon\) 모형에서 각 성분의 분산이 무엇인가? 3. Table 14.1 의 \(E(MS)\) 열은 어떻게 유도되는가? 4. 처치 대조의 SE 가 왜 \(\sigma^2\) 만의 함수이고 \(\sigma_b^2\) 에 무관한가?

이 질문 네 개의 답이 선형 혼합 모형 (Linear Mixed Models, LMM) 의 기초 이론 전체를 품는다. McCullagh-Nelder 는 결핵균 assay 를 LMM 의 교본 예제 로 선택했다.

2 데이터와 설계

2.1 결핵균 assay 의 임상적 맥락

목적: 4 종 결핵균 희석액 (tuberculin type × volume) 의 감작 반응 강도 비교.

설계: - 4 cow class (\(j = I, II, III, IV\)) — 연령 · 품종으로 계층화된 젖소 그룹 (각 class 에 30 마리). - 4 부위 (\(i = 1, 2, 3, 4\)) — 한 cow 의 목 4 지점. - 4 처치 (\(k = A, B, C, D\)) — 4 종 결핵균 조합. - \(4 \times 4\) 라틴 정방 (Latin square): 각 (cow class, 부위) 조합에 한 처치만. 모든 cow class 에 4 처치가 각 부위에 한 번씩 나타남. - 관측치: 각 cell 의 30 cow 반응 합계.

2.2 라틴 정방의 직교 설계

왜 라틴 정방인가: 부위 × cow class × 처치 의 3 요인을 격자 1 개 (\(4 \times 4 = 16\) 관측치) 만으로 모두 대조 가능하게 하는 효율적 설계. 전요인 설계 \(4^3 = 64\) 대비 1/4 규모.

대가: 교호작용 추정 불가. 주 효과 가산성 가정이 필수.

직관: 라틴 정방 = “시간·공간 동시 보정”

라틴 정방의 아이디어: - 각 행 (cow class) 에 4 처치가 1 번씩 → cow class 차이를 상쇄. - 각 열 (부위) 에 4 처치가 1 번씩 → 부위 차이를 상쇄. - 각 처치 는 모든 행·열 조합에서 한 번씩 나타남.

결과: 처치 대조가 cow class 차이·부위 차이 둘 다와 직교. 처치 효과가 두 교란 요인에 영향받지 않음.

농학에서 1920 년대 개발되어 (Fisher, Yates), 오늘날에도 균형 설계의 표준 중 하나.

3 모형 (14.1) — 네 성분의 가산 분해

3.1 수식

로그 스케일 에서 가산적 선형 혼합 모형:

\[ \log Y_{ij(k)} = \alpha_i + \gamma_j + \tau_k + \epsilon_{ijk}. \tag{14.1} \]

여기서 \(k\) 는 부위 \(i\) 와 cow class \(j\) 의 조합에 배정된 처치. 즉 \(k\) 는 \((i, j)\) 의 함수.

3.2 네 성분의 의미

성분 의미 성격
\(\alpha_i\) 부위 \(i\) 의 민감도 (고정 부위 4 개) 고정효과
\(\gamma_j\) cow class \(j\) 의 평균 반응 (무작위 그룹) 랜덤효과
\(\tau_k\) 처치 \(k\) 의 효과 (관심 대상) 고정효과
\(\epsilon_{ijk}\) 잔차 (관측 불가 변동) 랜덤

3.3 고정 vs 랜덤 결정의 과학적 근거

\(\tau_k\) (처치) → 고정: - 4 종 결핵균 조합은 사전 지정 된 관심 대상. - 각 처치의 개별 효과 가 과학적으로 의미 있음. - 실험 반복 시 같은 처치가 등장.

\(\alpha_i\) (부위) → 고정: - 4 부위는 해부학적으로 고정 된 위치 (예: 목의 특정 지점). - 각 부위의 민감도 자체 에 생리학적 관심 (자연 면역 반응의 국소 차이).

\(\gamma_j\) (cow class) → 랜덤: - Cow class 는 편의상 그룹화 한 결과. 어떤 cow 가 class 1 에 들어갈지는 무작위 배정. - “개별 미식별 cow 의 민감도 에 지속적 과학적 관심 없음” (McCullagh-Nelder). - 실험 반복 시 다른 cow 들이 class 1 을 차지할 것 — 수준 자체가 표본.

직관: 랜덤효과의 본질은 “수준의 표본성”

고정효과 \(\tau_k\) 는 “\(\tau_1\) 의 정확한 값이 얼마인가” 를 묻는다. 답은 특정 처치의 효능.

랜덤효과 \(\gamma_j\) 는 “\(\gamma_1\) 의 정확한 값이 얼마인가” 를 묻지 않는다. 대신 “\(\gamma\) 들의 분산 \(\sigma_b^2\) 이 얼마인가” 를 묻는다. 개별 값은 nuisance.

이 차이가 추론의 대상 을 바꾼다: - 고정효과: 점 추정 + CI (개별 값). - 랜덤효과: 분산 추정 + CI (모집단 변동).

실무 함의: \(\gamma_j\) 를 고정효과로 놓으면 “이 특정 4 cow class 만” 에 관한 추론, 랜덤으로 놓으면 “이와 비슷한 cow 모집단 전체” 에 관한 추론. 후자가 일반화 능력이 크다.

4 분산 스케일 조정 — 왜 \(/30\) 인가

4.1 30 마리 합계의 문제

원시 관측 \(Y_{ij(k)}\) 는 30 cow 반응의 합. 개별 cow 의 로그 반응을 \(Z_{\text{cow}}\) 라 하면

\[\log Y = \log\left(\sum_{\text{cow}} e^{Z_{\text{cow}}}\right) \approx \bar Z + \log 30 + O(\text{small}).\]

근사적으로 \(\log Y\) 는 “cow 평균 로그 반응 + 상수”. 따라서 \(\log Y\) 의 분산은 개별 cow 의 로그 반응 분산의 \(1/30\).

4.2 스케일 조정

\(\sigma^2, \sigma_b^2\) 를 개별 cow 수준에서 정의하려면:

\[ \text{var}(\epsilon_{ijk}) = \sigma^2 / 30, \qquad \text{var}(\gamma_j) = \sigma_b^2 / 30. \]

이렇게 정의하면 추정된 \(\widetilde\sigma, \widetilde\sigma_b\) 가 한 마리 cow 의 within/between-CV 로 해석된다.

4.3 \(\text{var}(\log Y) \approx CV^2(Y)\) 관계

로그 변환의 핵심 근사:

\[Y > 0 \text{ 이고 CV 가 작을 때} \quad \text{var}(\log Y) \simeq \text{CV}^2(Y) = \{\text{SD}(Y)/E(Y)\}^2.\]

유도 (Taylor 1차): \(\log Y \approx \log \mu + (Y - \mu)/\mu\), 따라서 \(\text{var}(\log Y) \approx \text{var}(Y)/\mu^2 = \text{CV}^2(Y)\).

결과: \(\sigma, \sigma_b\) 가 곧 within-cow CV, between-cow CV (단위 없는 비율).

4.4 합계의 CV

\(n\) 개 독립 \(Y_i\) 의 합에 대해

\[\text{CV}^2\left(\sum Y_i\right) = \text{var}\left(\sum Y_i\right) / \left(\sum E[Y_i]\right)^2 \approx \text{CV}^2(Y)/n.\]

30 cow 합계의 CV 는 개별 cow CV 의 \(1/\sqrt{30}\). 이것이 \(\sigma^2/30\) 스케일의 기원.

5 ANOVA 분해 (Table 14.1) 의 완전 유도

5.1 분해 테이블

출처 S.S. d.f. M.S. \(E(MS)\)
Cow class 0.47232 3 0.11833 \(\sigma^2/30 + 4\sigma_b^2/30\)
Sites 0.08324 3 0.02775 \(\sigma^2/30 + 4\sum(\alpha_i-\bar\alpha)^2/3\)
Treatments 0.17596 3 0.05865 \(\sigma^2/30 + 4\sum(\tau_k-\bar\tau)^2/3\)
Error 0.00433 6 0.00072 \(\sigma^2/30\)
Total 0.73584 15

5.2 \(E(MS)\) 유도 — Error 줄부터

Error 줄: \(4 \times 4 = 16\) 관측치에서 cow class (3 d.f.) + 부위 (3 d.f.) + 처치 (3 d.f.) + 전체 평균 (1 d.f.) 을 뺀 잔차 6 d.f.

\(E(MS_E) = \sigma^2/30\) 는 정의상. 이 값이 \(\sigma^2\) 의 순수 추정치 를 준다.

5.3 Cow class 줄 유도

Cow class 줄의 제곱합:

\[SS_{\text{cow}} = 4 \sum_{j=1}^{4} (\bar Y_{\cdot j} - \bar Y_{\cdot \cdot})^2,\]

\(\bar Y_{\cdot j}\) 는 cow class \(j\) 의 4 관측 평균, \(\bar Y_{\cdot \cdot}\) 는 전체 평균.

\(E(SS_{\text{cow}})\):

\(\bar Y_{\cdot j} = \bar\alpha + \gamma_j + \bar\tau + \bar\epsilon_{\cdot j}\) (cow class \(j\) 의 \(\alpha_i, \tau_k\) 평균).

\(\bar Y_{\cdot\cdot} = \bar\alpha + \bar\gamma + \bar\tau + \bar\epsilon_{\cdot\cdot}\).

차이:

\[\bar Y_{\cdot j} - \bar Y_{\cdot\cdot} = (\gamma_j - \bar\gamma) + (\bar\epsilon_{\cdot j} - \bar\epsilon_{\cdot\cdot}).\]

두 항의 분산: - \(\text{var}(\gamma_j - \bar\gamma) = \sigma_b^2/30 \cdot (1 - 1/4) = 3\sigma_b^2/120\) (첫 근사, \(\gamma_j\) 간 독립) - \(\text{var}(\bar\epsilon_{\cdot j} - \bar\epsilon_{\cdot\cdot}) = \sigma^2/30 \cdot (1/4)(1 - 1/4) / 1 \cdot \ldots\) (4 관측 평균의 분산)

정밀 유도 대신 결과 공식 (랜덤효과 분산 분석 표준):

\[E(MS_{\text{cow}}) = \sigma^2/30 + 4 \sigma_b^2/30.\]

계수 4 의 의미: “cow class 당 관측치 수 × 4” → 각 cow class 에서 4 관측.

5.4 Sites 줄 유도

\(\alpha_i\) 는 고정효과. 따라서 \(\sum(\alpha_i - \bar\alpha)^2/3\) 은 관측값이 아니라 모수의 분산 — 확률적 항 아님.

\[E(MS_{\text{sites}}) = \sigma^2/30 + 4 \cdot \frac{\sum(\alpha_i - \bar\alpha)^2}{3}.\]

계수 4 = “부위당 관측치 수” (각 부위가 4 cow class 에 등장).

두 번째 항은 귀무가설 \(\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha_4\) 에서 0. 이 항의 F 비:

\[F_{\text{sites}} = \frac{MS_{\text{sites}}}{MS_E} = \frac{0.02775}{0.00072} = 38.5.\]

\(F(3, 6)\) 의 95% 임계값 \(\approx 4.76\) — 부위 효과 매우 유의.

5.5 Treatments 줄

Sites 와 정확히 대칭 구조:

\[E(MS_{\text{treat}}) = \sigma^2/30 + 4 \cdot \frac{\sum(\tau_k - \bar\tau)^2}{3}.\]

F 비: \[F_{\text{treat}} = 0.05865/0.00072 = 81.5.\]

처치 효과도 매우 유의.

5.6 핵심 관찰 — 세 고정효과 F 비의 분모가 모두 \(MS_E\)

고정효과 (sites, treatments) 는 \(MS_E\) 로 나눈다. 랜덤효과 (cow class) 는 \(MS_E\) 로 나눠도 되고, 고정효과 F 비로는 사용하지 않는다 (관심이 분산 \(\sigma_b^2\) 이므로).

이 비대칭이 LMM 의 F 검정 규칙 의 시작이다.

6 분산 성분 추정 — Method of Moments (MoM)

6.1 원리 — 관측 평균제곱을 이론 기댓값에 등치

두 방정식: 1. \(MS_E = 0.00072 = \widetilde\sigma^2/30\) → \(\widetilde\sigma^2 = 30 \times 0.00072 = 0.0216\). 2. \(MS_{\text{cow}} = 0.11833 = \widetilde\sigma^2/30 + 4\widetilde\sigma_b^2/30\) → \(\widetilde\sigma_b^2 = 30 \cdot (0.11833 - 0.00072)/4 = 0.8821\).

\(\widetilde\sigma = 0.147\), \(\widetilde\sigma_b = 0.939\).

6.2 해석

\(\widetilde\sigma = 0.147\) → within-cow CV ≈ 15%: 한 cow 내 네 부위 반응의 상대 표준편차가 15%. 같은 cow 라도 부위마다 약간씩 다르지만, 전체적으로는 안정적.

\(\widetilde\sigma_b = 0.939\) → between-cow CV ≈ 94%: 서로 다른 cow 간 반응 크기의 상대 표준편차가 94%. 매우 큼. 품종 · 나이 · 체질 · 감염 이력 등 개체 차이가 거대.

6.3 정보적 대비

94% vs 15% ≈ 6 배 차이. 이것은 “같은 cow 내 비교 가 cow 간 비교 보다 6 배 더 정확 하다” 는 의미.

이 사실이 짝 맞춤 설계 (paired/matched design) 의 정량적 동기 다. 만약 무작위 배정이었다면: - 완전 무작위: 처치 대조에 \(\sigma_b^2\) 기여 → SE 가 ~6 배 커짐. - 짝 맞춤 (라틴 정방): 처치 대조에 \(\sigma^2\) 만 기여 → SE 가 \(\sigma\) 에 비례.

7 라틴 정방의 기적 — 직교성과 SE 의 해방

7.1 부위 효과 추정

ANOVA 에서 직접 추정:

\[\widehat\alpha = (0.000, 0.093, 0.128, -0.053).\]

(첫 값은 기준점으로 0 설정.)

7.2 부위 대조의 SE — \(\sigma^2\) 만의 함수

핵심 결과: 라틴 정방에서 부위·처치 대조의 분산은 \(\sigma_b^2\) 에 의존하지 않는다.

유도 스케치: - 단순 대조 \(\widehat\alpha_i - \widehat\alpha_{i'}\). - 이 대조는 같은 cow class 내 부위 \(i, i'\) 의 차이로 계산 가능 (라틴 정방의 직교성). - cow class 차이 \(\gamma_j\) 가 뺄셈에서 상쇄. - 따라서 분산은 \(\sigma^2\) 만 관여.

구체 계산: 단순 대조의 SE:

\[\text{SE}(\widehat\alpha_i - \widehat\alpha_{i'}) = \widetilde\sigma \cdot \sqrt{2/60} = 0.147 \times 0.1826 = 0.019.\]

(60 = 4 cow class × 30 cow, \(\sqrt{2/60}\) 는 balanced contrast 계수.)

왜 \(\sigma_b^2\) 가 사라지는가

라틴 정방의 직교성 때문이다.

부위 대조 \(\widehat\alpha_2 - \widehat\alpha_1 = \bar Y_{2\cdot} - \bar Y_{1\cdot}\). 각 부위 평균은 모든 4 cow class 의 평균:

\[\bar Y_{i\cdot} = \frac{1}{4}\sum_j Y_{ij(k_{ij})} = \alpha_i + \bar\gamma + \bar\tau_{i} + \bar\epsilon_{i\cdot}\]

(\(\bar\tau_i\) 는 부위 \(i\) 에 배정된 4 처치의 평균).

차이:

\[\bar Y_{2\cdot} - \bar Y_{1\cdot} = (\alpha_2 - \alpha_1) + (\bar\tau_2 - \bar\tau_1) + (\bar\epsilon_{2\cdot} - \bar\epsilon_{1\cdot}).\]

\(\bar\gamma\) 는 두 평균 모두에 같은 값 으로 나타나 상쇄. 라틴 정방에서 각 부위에 4 처치가 한 번씩이므로 \(\bar\tau_2 = \bar\tau_1\) 도 상쇄. 결국 오차만 남는다.

\(\text{var}(\bar\epsilon_{2\cdot} - \bar\epsilon_{1\cdot}) = 2 \cdot (\sigma^2/30)/4 = \sigma^2/60\).

\(\text{SE} = \sqrt{\sigma^2/60} \cdot \sqrt 2 = \sigma\sqrt{2/60}\) (대조 형식에 따라 다름).

결과: \(\sigma_b^2\) 가 어디에도 등장하지 않는다 — cow class 변동이 대조에서 완전히 상쇄 됨.

7.3 실무적 함의

이 직교성 덕분에 짝 맞춤 설계 분석 은 \(\gamma_j\) 를 고정효과로 취급해도 같은 결과. \(\sigma_b^2\) 는 전체 실험의 “검정력 평가” 용으로만 필요.

따라서: - 추정 · 검정 목적: cow class 를 고정효과로 (또는 랜덤으로) 어느 쪽이든 결과 동일. - 검정력 계산 · 설계 정당화 목적: \(\sigma_b^2\) 추정이 필수 — 짝 맞춤이 얼마나 효율적인지 증명.

7.4 유의성 결론

부위 효과 표준오차 0.019. 쌍 비교: - \(\widehat\alpha_3 - \widehat\alpha_1 = 0.128\) vs SE 0.019 → \(t = 6.7\), \(p < 0.001\). - \(\widehat\alpha_2 - \widehat\alpha_1 = 0.093\) vs SE 0.019 → \(t = 4.9\), \(p < 0.01\). - \(\widehat\alpha_3 - \widehat\alpha_2 = 0.035\) vs SE 0.019 → \(t = 1.84\), \(p \approx 0.12\).

결론: 부위 2, 3 이 부위 1, 4 보다 유의하게 민감. 부위 2 와 3 자체는 유의차 없음.

생리학적 해석: 특정 목 부위가 면역 반응을 더 잘 유도. 임상 assay 실무에서 활용 가능한 발견 — 이후 동일 assay 시 민감 부위 우선 사용.

8 Python 실전 — 결핵균 assay 재현

결핵균 데이터가 책에 전체 수치로 주어지지 않았으므로 재현 가능한 시뮬레이션 으로 ANOVA 구조를 확인한다.

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.formula.api import ols
from statsmodels.stats.anova import anova_lm

np.random.seed(42)

# 참 모수 설정 (book 값 근사)
alpha = np.array([0.0, 0.09, 0.13, -0.05])   # 부위 효과
tau = np.array([0.0, 0.15, -0.08, 0.25])     # 처치 효과 (임의)
sigma_b = 0.939 / np.sqrt(30)                 # cow class 랜덤효과 SD (스케일 조정)
sigma = 0.147 / np.sqrt(30)                   # 오차 SD

# 4x4 라틴 정방 (A,B,C,D 순환)
LS = np.array([
    ['A', 'B', 'C', 'D'],   # cow class I
    ['B', 'C', 'D', 'A'],   # cow class II
    ['C', 'D', 'A', 'B'],   # cow class III
    ['D', 'A', 'B', 'C'],   # cow class IV
])
trt_map = {'A': 0, 'B': 1, 'C': 2, 'D': 3}

# cow class 랜덤효과
gamma = np.random.normal(0, sigma_b, 4)

# 데이터 생성
rows = []
for i in range(4):      # site
    for j in range(4):  # cow class
        trt = LS[j, i]
        k = trt_map[trt]
        mu = alpha[i] + gamma[j] + tau[k]
        y = mu + np.random.normal(0, sigma)
        rows.append({'site': i+1, 'cow_class': j+1, 'treatment': trt, 'log_y': y})

df = pd.DataFrame(rows)
print(df.head(8))

# ANOVA
model = ols('log_y ~ C(site) + C(cow_class) + C(treatment)', data=df).fit()
aov = anova_lm(model, typ=2)
print("\nANOVA 분해:")
print(aov)

기대 출력: 세 고정효과 (site, cow_class, treatment) 각 3 d.f. 에 대한 SS, F, p-value. Residual 6 d.f.

8.1 분산 성분 추정

# Method of Moments
MS_error = aov.loc['Residual', 'sum_sq'] / aov.loc['Residual', 'df']
MS_cow = aov.loc['C(cow_class)', 'sum_sq'] / aov.loc['C(cow_class)', 'df']

# E(MS_error) = σ²/30, E(MS_cow) = σ²/30 + 4σ_b²/30
sigma2_est = 30 * MS_error
sigma_b2_est = 30 * (MS_cow - MS_error) / 4

print(f"\nσ² 추정 (within-cow variance):   {sigma2_est:.4f} (book: 0.0216)")
print(f"σ 추정 (within-cow CV ≈ σ):       {np.sqrt(sigma2_est):.3f} (book: 0.147)")
print(f"σ_b² 추정 (between-cow variance): {sigma_b2_est:.4f} (book: 0.8821)")
print(f"σ_b 추정 (between-cow CV ≈ σ_b): {np.sqrt(sigma_b2_est):.3f} (book: 0.939)")

8.2 mixed 모형 적합 — 랜덤효과로 처리

import statsmodels.regression.mixed_linear_model as mlm

md = mlm.MixedLM.from_formula(
    'log_y ~ C(site) + C(treatment)',
    groups=df['cow_class'],
    data=df
)
mdf = md.fit(method='lbfgs')
print(mdf.summary())

statsmodels.MixedLM 은 REML 로 추정. 고정효과 부위·처치 계수와 SE, 그리고 cow class 랜덤 intercept 의 분산을 보여 준다.

8.3 부위 대조 SE 확인

# 부위 2 vs 1 대조
site_effects = mdf.params[[c for c in mdf.params.index if 'site' in c.lower()]]
site_cov = mdf.cov_params().loc[site_effects.index, site_effects.index]

# 간단 대조 SE (site_2 - site_1, 단 site_1 이 기준이면 site_2 자체의 SE)
se_contrast = np.sqrt(site_cov.iloc[0, 0])
print(f"부위 2 vs 1 대조 SE: {se_contrast:.3f} (book: 0.019)")

기대: 약 0.019 근처. 이 SE 가 \(\sigma_b^2\) 추정치에 무관 함을 확인 — cow class 분산이 시뮬에서 얼마로 나오든 site 대조 SE 는 \(\sigma\) 만의 함수.

8.4 직교성 검증 — cow class 를 고정/랜덤 두 방식으로 비교

# (1) cow class 를 고정효과로
m_fixed = ols('log_y ~ C(site) + C(cow_class) + C(treatment)', data=df).fit()

# (2) cow class 를 랜덤효과로 (위의 mdf)
# site 효과 추정치 비교
print("Site effects (fixed cow_class):",
      [m_fixed.params[f'C(site)[T.{i}]'] for i in [2, 3, 4]])
print("Site effects (random cow_class):",
      [mdf.fe_params[f'C(site)[T.{i}]'] for i in [2, 3, 4]])

기대: 두 값이 거의 동일. 라틴 정방 직교성의 증거.

9 요약 — §14.2 의 세 가지 교훈

9.1 교훈 1 — 요인별 고정/랜덤 결정은 “과학적 관심” 기준

수학적 차이 (파라미터 vs 분포) 전에 과학적 질문 을 먼저 묻는다. “이 수준의 개별 값이 중요한가, 아니면 수준 자체가 표본인가?”

결핵균 예제: - 처치 4 종, 부위 4 곳 → 개별 값 중요 → 고정효과. - cow class 4 그룹 → 특정 class 의 값 자체는 중요하지 않음 → 랜덤효과.

9.2 교훈 2 — 스케일 조정이 해석을 좌우

\(\sigma^2/30\) vs \(\sigma^2\) 의 차이는 단순 계수가 아니다. 개별 cow 단위 와 cow 합계 단위 에서 분산의 규모가 30 배 차이가 나므로, 해석 시 어느 단위인지 명시해야 한다.

실무 팁: 논문·보고서에서 분산 성분 추정치를 보고할 때 “개별 단위 기준” 임을 반드시 명시. 한 줄 차이가 후대 재현에서 큰 혼란을 만든다.

9.3 교훈 3 — 직교 설계의 기적: \(\sigma_b^2\) 상쇄

라틴 정방 같은 직교 설계는 cow class 변동을 처치 대조에서 상쇄 시킨다. 결과로 SE 가 \(\sigma\) 만의 함수가 되어 극적으로 작아진다.

이것이 짝 맞춤 설계의 수학적 정당성. 의학·농학·산업 실험에서 왜 “같은 환자/동물/로트 내 비교” 가 강력한지를 숫자로 설명한다.

9.4 한 줄 정리

“설계의 직교성 + 로그 스케일 가산성 + 고정/랜덤 올바른 할당” 세 가지가 결합되면 LMM 이 단일 분산 모형보다 6 배 효율적 일 수 있다. 결핵균 assay 는 이 원리의 교본 예제다.

10 관련 주제

선행 지식

관련 개념

도메인 참고

  • Fisher, R. A. (1935). The Design of Experiments — 라틴 정방 원본
  • Yates, F. (1937). The Design and Analysis of Factorial Experiments — 직교 설계의 확장
  • Searle, S. R. & Casella, G. & McCulloch, C. E. (1992). Variance Components — LMM 교과서

후속 주제 — Ch.14 심화

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