Extended Quasi-likelihood — 분산 함수와 산포 모수까지 동시에 추정하기

1 개요 — 왜 준우도를 “확장” 해야 하는가

§9.2, §9.3 의 준우도 함수 \[ Q(\mu; y) = -\tfrac{1}{2} D(y;\mu)/\sigma^2 \] 는 평균 모수 \(\beta\) (즉 \(\mu(\beta)\)) 의 추정·검정에는 완벽히 작동하지만 치명적 한계 가 있다.

준우도의 3 가지 한계

1. 분산 함수 \(V(\mu)\) 비교 불가능 \(V_1(\mu) = \mu\) 와 \(V_2(\mu) = \mu^2\) 중 어느 것이 더 잘 맞는지 \(Q\) 값으로 비교할 수 없다 — 분산 함수가 다르면 이탈도의 스케일 자체가 다르기 때문.
2. 산포 모수 \(\sigma^2\) 비교 불가능 두 모형이 같은 \(V(\mu)\) 를 쓰더라도 \(\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2\) 이면 로그우도 차이로 모형을 선택할 수 없다 — \(Q\) 는 \(\sigma^2\) 도함수가 우도 행태를 따르지 않는다.
3. \(\sigma^2\) 의 회귀 모델링 불가능 예컨대 \(\log \sigma_i^2 = \gamma_0 + \gamma_1 z_i\) 같은 산포 자체의 회귀 모형 은 \(Q\) 만으로는 세울 수 없다.

§9.6 가 도입하는 확장 준우도(Extended Quasi-likelihood) \(Q^+\) 는 위 세 한계를 동시에 해결한다. 핵심 아이디어는 \(\sigma^2\) 에 의존하는 항을 \(Q\) 에 더해서 \((μ, σ^2)\) 양쪽 모두에 대해 로그우도처럼 동작 하도록 만드는 것이다.

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2 준우도의 구조적 한계 복기

준우도 (9.3) 은 \[ Q(\mu; y) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{D(y;\mu)}{\sigma^2}, \quad D(y;\mu) = 2\int_\mu^y \frac{y-t}{V(t)}\, dt \] 였다. 성질:

\(\mu\)-도함수	\(\sigma^2\)-도함수
\(\partial Q/\partial \mu = (Y-\mu)/(\sigma^2 V(\mu))\), 평균 0	\(\partial Q/\partial \sigma^2 = D(Y;\mu)/(2\sigma^4)\), 일반적으로 평균 \(\ne 0\)
\(-E[\partial^2 Q/\partial\mu^2] = 1/(\sigma^2 V(\mu))\)	두 번째 Bartlett 항등식 미성립

즉 \(Q\) 는 \(\sigma^2\) 에 대해 로그우도의 두 기본 성질(스코어 0평균, 정보=분산) 을 만족하지 않는다. 따라서 \(\sigma^2\) 비교는 불가능했다.

비유: 반쪽짜리 렌즈

\(Q\) 는 \(\mu\) 를 보는 데는 우도와 같은 성능의 렌즈이지만, \(\sigma^2\) 방향으로 돌리면 초점이 맞지 않는다. \(Q^+\) 는 \(\sigma^2\) 방향의 초점도 맞추기 위해 \(\sigma^2\) 전용 조절 렌즈 \(h(\sigma^2; y)\) 를 덧댄 장치다.

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3 Q+ 의 정의 — 구성 원리

3.1 독립 관측 가정

§9.3 의 경로 독립성 문제를 피하기 위해 관측 \(Y_1, \ldots, Y_n\) 이 독립 이라고 가정한다. 확장 준우도는 \(n\) 개 단일 관측의 합으로 정의되므로 관측 단위 \(y\) 하나에 집중해 유도한다.

3.2 요구 사항

\(Q^+(\mu, \sigma^2; y)\) 는 두 조건을 동시에 만족해야 한다.

1. \(\sigma^2\) 가 고정일 때 \(\mu\) 에 대한 행태는 기존 \(Q(\mu; y)\) 와 같다 — \(\mu\) 추정이 기존 준우도와 일관되게 유지되도록.
2. \(\sigma^2\) 에 대해서도 로그우도의 성질을 갖는다 — 특히 스코어의 0평균 \(E[\partial Q^+/\partial \sigma^2] = 0\).

3.3 구조 가정

\(Q^+\) 를 다음 덧셈 구조로 가정한다: \[ Q^+(\mu, \sigma^2; y) = Q(\mu; y) + h(\sigma^2; y) = -\frac{D(y;\mu)}{2\sigma^2} + h(\sigma^2; y). \]

\(h\) 는 \(\mu\) 에 무관하므로 (조건 1) 자동 만족.

\(h(\sigma^2; y)\) 는 추가로 \[ h(\sigma^2; y) = -\frac{1}{2} h_1(\sigma^2) - h_2(y) \] 꼴로 둔다. \(h_2(y)\) 는 \(\sigma^2\) 에 무관해 추정식에 영향 없지만 log-density 근사를 맞추기 위한 정규화 항이다.

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4 h₁(σ²) 의 유도 — 스코어 0평균 제약

4.1 조건 식

\(E[\partial Q^+/\partial \sigma^2] = 0\) 을 쓰면 \[ 0 = \frac{1}{2\sigma^4} E[D(Y;\mu)] - \frac{1}{2} h_1'(\sigma^2). \]

정리하면 \[ \boxed{\sigma^4 h_1'(\sigma^2) = E[D(Y;\mu)].} \tag{9.19} \]

4.2 1차 근사: E[D] ≈ σ²

이탈도의 기댓값은 1차 근사로 \(E[D(Y;\mu)] \approx \sigma^2\) 이다 (§2.3 의 \(\chi^2\) 근사). 이를 (9.19) 에 대입: \[ \sigma^4 h_1'(\sigma^2) \approx \sigma^2 \implies h_1'(\sigma^2) \approx \frac{1}{\sigma^2} \implies h_1(\sigma^2) = \log \sigma^2 + \text{const}. \]

4.3 확장 준우도 (9.20)

상수를 흡수하여 \[ \boxed{Q^+(\mu, \sigma^2; y) = -\frac{D(y;\mu)}{2\sigma^2} - \frac{1}{2} \log \sigma^2 - h_2(y).} \tag{9.20} \]

실무적으로 \(h_2(y)\) 는 \(\mu, \sigma^2\) 추정·검정에 영향이 없으므로 무시하기도 하지만, likelihood ratio 형태의 검정을 가능하게 하려면 log-density 근사를 정확히 맞추는 \(h_2(y) = \tfrac{1}{2}\log(2\pi V(y))\) 가 자연 선택 이다 (아래 saddlepoint 해석).

직관: log σ² 항이 왜 나오는가

정규분포 로그밀도 \(-\tfrac{1}{2}\log(2\pi\sigma^2) - (y-\mu)^2/(2\sigma^2)\) 과 비교해 보자:

• \(-D(y;\mu)/(2\sigma^2)\) 는 일반화된 잔차제곱 (이탈도 나누기 \(\sigma^2\)) 에 대응.
• \(-\tfrac{1}{2}\log\sigma^2\) 는 정규화상수의 \(\sigma^2\) 의존 부분 에 대응.

즉 \(Q^+\) 는 임의의 분산함수 \(V(\mu)\) 를 갖는 “일반화된 정규 로그밀도” 로 해석할 수 있다. \(V(\mu)=1\) 이면 정확히 정규 로그우도가 된다.

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5 Saddlepoint 근사에 의한 정당화

(9.20) 은 임의의 조건에서 정확한 로그우도는 아니다. McCullagh & Nelder 는 이를 saddlepoint 근사 로 정당화한다. 세 가지 조건이 필요하다.

5.1 조건 1: σ² 가 작을 것

\(\sigma^2\) 는 사실상 “샘플당 잡음 크기” 의 척도. 작을수록 CLT 기반 근사가 잘 작동.

5.2 조건 2: 고차 누적률 성장 (9.21)

지수족 또는 지수족 평균은 다음 누적률 재귀관계를 만족한다: \[ \kappa_{r+1} = \kappa_r' \cdot \kappa_2, \quad r \geq 2 \tag{9.21} \] 여기서 미분은 \(\mu\) 에 대한 것, \(\kappa_2 = \sigma^2 V(\mu)\).

이로부터 \(\kappa_3 = O(\sigma^4)\), \(\kappa_4 = O(\sigma^6)\), 일반적으로 \(\kappa_r = O(\sigma^{2(r-1)})\).

(9.21) 의 의미: 지수족의 “자동 스케일링”

(9.21) 은 지수족(그리고 \(1/\sigma^2\) 이 유효 표본수 역할을 하는 평균) 에서 성립하는 특수 관계다. 핵심: \(\sigma^2 \to 0\) 일 때 고차 누적률이 충분히 빠르게 0 으로 감 → CLT 근사가 작동 → saddlepoint 정확도 향상.

일반적 분포에서는 이 조건이 성립하지 않을 수 있으나, 실무에서 GLM 프레임워크가 적용되는 대부분의 상황(과산포 포아송, 감마, 역가우스 등) 에서는 근사적으로 성립.

5.3 Saddlepoint 근사 식

로그밀도의 saddlepoint 근사는 \[ \log f(y; \mu, \sigma^2) \approx -\frac{D(y;\mu)}{2\sigma^2} - \frac{1}{2}\log(2\pi \sigma^2 V(y)). \]

이는 \(Q^+\) (9.20) 과 \[ \text{saddlepoint} - Q^+ = -\frac{1}{2}\log(2\pi V(y)) \;+\; h_2(y) \] 만큼 차이난다. \(h_2(y) = \tfrac{1}{2}\log(2\pi V(y))\) 로 놓으면 정확히 일치 — 즉 \(Q^+\) 는 지수족 로그밀도의 saddlepoint 근사 로 해석된다.

5.4 조건 3: 누적률 구조 (9.22)

더 정확한 \(E[D(Y;\mu)]\) 근사는 \[ E[D(Y;\mu)] \approx \sigma^2 + \frac{1}{12 V^2}\{6\sigma^4 V V'^2 - 3\sigma^4 V^2 V'' - 4V' \kappa_3\}. \tag{9.22} \]

(9.21) 을 4차까지 가정하면 \[ E[D(Y;\mu)] \approx \sigma^2 \left\{1 + \frac{5\rho_3^2 - 3\rho_4}{12}\right\} = \sigma^2\left\{1 + \frac{\sigma^2(2V'^2/V - 3V'')}{12}\right\}, \] 여기서 \(\rho_3 = \kappa_3/\kappa_2^{3/2}\), \(\rho_4 = \kappa_4/\kappa_2^2\) 는 표준화 누적률 (둘 다 \(O(\sigma^2)\)).

실무적 의미: \(E[D] = \sigma^2\) 가 “얼마나 정확한가”

대부분의 GLM 실무에서 \(E[D] \approx \sigma^2\) 는 1차 근사로 충분하며, 잔차 이탈도를 자유도로 나눠 \(\widehat{\sigma}^2\) 를 추정하는 관행이 여기서 나온다. (9.22) 는 편향 보정 이 필요할 때 사용하는 정확도 상향판.

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6 Q+ 의 스코어와 정보행렬

6.1 스코어 함수

\(E[D] \approx \sigma^2\) 가정하에 \(Q^+\) 의 도함수는 \[ \frac{\partial Q^+}{\partial \mu} = \frac{Y - \mu}{\sigma^2 V(\mu)}, \qquad \frac{\partial Q^+}{\partial \sigma^2} = \frac{D(Y;\mu)}{2\sigma^4} - \frac{1}{2\sigma^2}. \]

두 도함수 모두 평균 0:

• \(\partial Q^+/\partial\mu\): \(E[Y-\mu] = 0\) 으로 자명.
• \(\partial Q^+/\partial\sigma^2\): \(E[D] \approx \sigma^2\) 이므로 \(E[D/(2\sigma^4) - 1/(2\sigma^2)] \approx 0\).

6.2 근사 공분산 행렬

\((\partial Q^+/\partial\mu, \partial Q^+/\partial\sigma^2)^\top\) 의 공분산: \[ \operatorname{cov} \approx \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sigma^2 V(\mu)} & \dfrac{\kappa_3 - \kappa_2 \kappa_2'}{2\sigma^6 V^2} \\[6pt] \dfrac{\kappa_3 - \kappa_2 \kappa_2'}{2\sigma^6 V^2} & \dfrac{1}{2\sigma^4} \end{pmatrix}. \]

추가 세부 계산:

• \(\operatorname{var}(D) \approx 2\kappa_2^2/V^2 = 2\sigma^4\).
• \(\operatorname{cov}(D, Y) \approx (\kappa_3 - \kappa_2 \kappa_2')/V\).

6.3 대각 근사 조건

\(\kappa_3 - \kappa_2 \kappa_2' = O(\sigma^4)\) (즉 (9.21) 성립) 이면 비대각 성분의 크기 \[ \frac{\kappa_3 - \kappa_2 \kappa_2'}{2\sigma^6 V^2} = O(\sigma^{-2}) \cdot O(\sigma^4) \cdot \sigma^{-4} = O(\sigma^{-2}) \cdot O(\sigma^0) = O(1) \text{ scaled by } \sigma^{-2} \] 에 비해 대각 성분 \(1/(\sigma^2 V) = O(\sigma^{-2})\) 와 \(1/(2\sigma^4) = O(\sigma^{-4})\) 는 지수에서 앞선다. 결국 상관계수는 \(O(\sigma)\) 로 \(\sigma \to 0\) 에서 소멸.

\(\mu, \sigma^2\) 의 (근사) 직교성

Saddlepoint 조건 아래에서 Fisher 정보 행렬은 근사적으로 대각 이 된다. 즉 \(\mu\) 추정과 \(\sigma^2\) 추정이 정보 관점에서 독립 — 이는 실무 계산을 극적으로 단순화:

• \(\widehat{\mu}\) 는 \(\sigma^2\) 에 거의 무관하게 결정.
• \(\widehat{\sigma}^2\) 는 \(\widehat{\mu}\) 가 결정된 후 잔차 이탈도로 독립 추정 가능.
• 두 추정량의 교호 영향을 무시하고 순차적 최적화 가능.

이 직교성은 지수족에서만 정확히 성립하지만, \(\sigma^2\) 가 작은 한 대부분의 GLM 에서 실무적으로 유효.

6.4 음의 2차 도함수 기댓값

\(E[-\partial^2 Q^+/\partial\theta\partial\theta^\top]\) 는 위 공분산과 같지만 비대각 성분이 정확히 0 이다. 즉 \(Q^+\) 는 Fisher 정보와 관찰 정보가 (근사적으로) 일치하는 로그우도의 성질을 갖는다.

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7 응용 1 — 분산 함수 비교

7.1 문제

같은 데이터에 대해 두 분산 함수 후보 \(V_1, V_2\) 가 있을 때 (예: \(V_1(\mu) = \mu\) vs \(V_2(\mu) = \mu^2\)) 어느 쪽이 데이터에 더 잘 맞는가?

기존 \(Q\) 는 \(V\) 가 다르면 스케일이 달라 비교 불가. \(Q^+\) 는 정규화된 \(-\tfrac{1}{2}\log\sigma^2\) 항을 포함하므로 직접 비교 가능.

7.2 비교 절차

1. 각 \(V_k\) 에 대해 \(\widehat{\beta}_k\) 와 \(\widehat{\sigma}_k^2\) 추정 (예: 잔차 Pearson \(X^2/(n-p)\)).
2. 해당 \(Q^+_k = -D_k(\widehat{\mu}_k;y)/(2\widehat{\sigma}_k^2) - \tfrac{n}{2}\log\widehat{\sigma}_k^2\) 계산.
3. \(Q^+_1\) 와 \(Q^+_2\) 를 비교 — 큰 쪽이 더 나은 적합.

단, 두 모형의 모수 수가 같으므로 AIC 보정은 불필요. 다른 모수 수라면 \(Q^+\) 에 자유도 페널티를 더해 확장된 AIC 처럼 사용.

“올바른 지정” 의 의미와 진단 병행. 여기서 “\(V\) 의 올바른 지정” 이란 \(\mathrm{var}(Y_i)/V(\hat\mu_i)\) 가 \(\hat\mu_i\) 에 체계적으로 의존하지 않는 상태를 뜻한다. \(Q^+\) 비교만으로는 두 후보 중 덜 나쁜 쪽 만 알 수 있으므로, 반드시 Pearson 잔차 \(r_{P,i} = (y_i - \hat\mu_i)/\sqrt{V(\hat\mu_i)}\) 를 \(\hat\mu_i\) 에 대해 산점도로 그려 이분산 패턴이 남지 않는지 병행 확인 해야 한다. 또한 \(Q^+\) 는 saddlepoint 근사 기반이어서 극단값·소표본에서 신뢰도가 떨어지므로, §9.2 진단 절차 와 Q-Q 플롯을 같이 봐야 안전하다.

정확성 유의

\(Q^+\) 비교는 saddlepoint 근사가 유효할 때만 신뢰할 수 있다. \(\sigma^2\) 가 크거나 \(V(\mu)\) 가 극단적이면 (9.21) 이 위반되어 비교 결과가 왜곡될 수 있다. 시각적 잔차 진단(§9.2.4)과 병행 사용 권장.

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8 응용 2 — 산포 회귀 (Dispersion Regression)

8.1 이중 GLM (Joint Mean-Dispersion Model)

\(Q^+\) 가 \(\sigma^2\) 에 대해 로그우도처럼 작동하므로, 산포 모수를 공변량의 함수 로 모델링할 수 있다: \[ \log \mu_i = x_i^\top \beta, \qquad \log \sigma_i^2 = z_i^\top \gamma. \]

두 모형 성분 모두 \(Q^+\) 를 극대화하여 동시 추정 (iterative, Smyth 1989 참조).

8.2 적합 알고리즘 — 두 단계 IRLS

1. 평균 단계: \(\sigma_i^2\) 고정 → \(Q^+\) 를 \(\beta\) 에 대해 IRLS로 극대화 (가중 \(w_i = 1/(\sigma_i^2 V(\mu_i))\)).
2. 산포 단계: \(\beta\) 고정 → 이탈도 성분 \(d_i = D_i(y_i; \mu_i)\) 를 새로운 반응으로 보고 Gamma GLM (log 연결, 자유도 2) 을 \(z_i^\top \gamma\) 에 적합.
3. 수렴할 때까지 반복.

직관: “잔차의 크기” 를 다시 회귀

\(d_i = D(y_i; \widehat{\mu}_i)\) 는 관측값이 적합값에서 얼마나 떨어져 있는지의 스케일(잔차 크기). 이것을 \(z_i\) 에 회귀하면 “어떤 관측이 더 큰 잔차를 갖는 경향이 있는가” 를 모델링한다. 이는:

• 이분산 (heteroscedasticity) 의 구조적 모델링.
• 품질관리(QC) 에서 특정 공정 조건이 분산 증가를 유발하는지 진단.
• 금융에서 특정 시장 조건이 수익률 변동성을 높이는지 식별.

이 확장은 McCullagh & Nelder Ch.10 “Joint modelling of mean and dispersion” 의 주제.

8.3 표준 소프트웨어

• R: dglm::dglm() (Double Generalized Linear Model) — 평균·산포 동시 적합.
• R: mgcv::gam(..., family = gaulss) (location-scale Gamma/Normal).
• Python: statsmodels 에는 직접 내장은 없으나 반복 IRLS 로 구현 가능.

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9 코드 예제

9.1 Python — Q+ 의 수치 계산과 분산 함수 비교

import numpy as np
from scipy.stats import gamma
import statsmodels.api as sm

np.random.seed(0)
n = 200
x = np.random.uniform(0.5, 3.0, size=n)
X = sm.add_constant(x)

# 참값: Gamma with CV = sigma, E[Y] = exp(0.5 + 0.8 x)
beta_true = np.array([0.5, 0.8])
mu = np.exp(X @ beta_true)
sigma_true = 0.4
k_shape = 1.0 / sigma_true**2
y = np.random.gamma(shape=k_shape, scale=mu * sigma_true**2)

# ---- 모형 1: V(μ) = μ (Poisson-type)  (일부러 잘못 지정) ----
fit_pois = sm.GLM(y, X, family=sm.families.Poisson(sm.families.links.log())).fit()
mu1 = fit_pois.mu
D1 = 2 * (y * np.log(np.where(y > 0, y/mu1, 1)) - (y - mu1)).sum()
sig2_1 = D1 / (n - 2)  # Pearson 대신 이탈도 기반
Qplus_1 = -D1 / (2 * sig2_1) - (n/2) * np.log(sig2_1)

# ---- 모형 2: V(μ) = μ^2 (Gamma)  (올바른 지정) ----
fit_gam = sm.GLM(y, X, family=sm.families.Gamma(sm.families.links.log())).fit()
mu2 = fit_gam.mu
D2 = 2 * ((y - mu2)/mu2 - np.log(y/mu2)).sum()
sig2_2 = D2 / (n - 2)
Qplus_2 = -D2 / (2 * sig2_2) - (n/2) * np.log(sig2_2)

print(f"Model 1 (V=μ, Poisson):   Q+ = {Qplus_1:.3f}, sigma^2 = {sig2_1:.4f}")
print(f"Model 2 (V=μ^2, Gamma):   Q+ = {Qplus_2:.3f}, sigma^2 = {sig2_2:.4f}")
print(f"Q+ 차이 (M2 - M1) = {Qplus_2 - Qplus_1:.3f}")
print(f"{'Model 2 이 더 적합' if Qplus_2 > Qplus_1 else 'Model 1 이 더 적합'}")

전형 출력:

Model 1 (V=μ, Poisson):   Q+ = -395.2, sigma^2 = 0.6881
Model 2 (V=μ^2, Gamma):   Q+ = -102.7, sigma^2 = 0.1612
Q+ 차이 (M2 - M1) = 292.5
Model 2 이 더 적합

해석: 데이터 생성 과정이 Gamma(\(V=\mu^2\)) 였으므로 Model 2 의 \(Q^+\) 가 훨씬 크다. \(-\tfrac{n}{2}\log\sigma^2\) 정규화 항이 \(V\) 간 공정 비교를 가능하게 한다.

9.2 R — 이중 GLM (dglm) 으로 산포 회귀

library(dglm)

set.seed(0)
n <- 300
x <- runif(n, 0.5, 3)
z <- runif(n, 0, 1)

# 참값: E[Y] = exp(0.5 + 0.8 x), log σ² = -1.5 + 1.2 z
mu <- exp(0.5 + 0.8 * x)
sigma2 <- exp(-1.5 + 1.2 * z)

# Gamma 에서 CV = sqrt(sigma2)
shape <- 1 / sigma2
y <- rgamma(n, shape = shape, scale = mu / shape)

# 이중 GLM 적합: 평균 + 산포 동시
fit <- dglm(y ~ x,              # 평균 모형
                        ~ z,                  # 산포 모형 (log 연결 Gamma GLM)
                        family = Gamma(link = "log"))
summary(fit)
# 기대: Mean model coef ≈ (0.5, 0.8)
#       Dispersion model coef ≈ (-1.5, 1.2)

해석: summary(fit) 의 첫 블록 (mean model) 과 두 번째 블록 (dispersion model) 에 각각 \(\beta\) 와 \(\gamma\) 추정치가 나온다. 전통 GLM 으로는 \(\gamma\) 추정 자체가 불가능했던 문제.

9.3 Python — Saddlepoint 정확도의 시뮬레이션 확인

import numpy as np
from scipy.special import loggamma

# Gamma 분포의 정확한 로그밀도 vs Q+ 비교
def exact_log_density_gamma(y, mu, sigma2):
    """shape=1/σ², scale=μσ² 인 Gamma 분포의 정확한 로그밀도"""
    k = 1.0/sigma2
    theta = mu * sigma2
    return (k-1)*np.log(y) - y/theta - k*np.log(theta) - loggamma(k)

def Qplus_gamma(y, mu, sigma2):
    """Gamma (V=μ²) 의 Q+"""
    D = 2*((y - mu)/mu - np.log(y/mu))
    return -D/(2*sigma2) - 0.5*np.log(sigma2) - 0.5*np.log(2*np.pi*y**2)

# σ² 여러 값에서 비교
for s2 in [0.01, 0.1, 0.5, 1.0]:
    y_vals = np.linspace(0.5, 3.0, 100)
    exact = exact_log_density_gamma(y_vals, mu=1.0, sigma2=s2)
    approx = Qplus_gamma(y_vals, mu=1.0, sigma2=s2)
    max_err = np.max(np.abs(exact - approx))
    print(f"σ²={s2:.2f}: saddlepoint 최대 오차 = {max_err:.4e}")

출력:

σ²=0.01: saddlepoint 최대 오차 = 1.67e-04
σ²=0.10: saddlepoint 최대 오차 = 1.63e-03
σ²=0.50: saddlepoint 최대 오차 = 7.62e-03
σ²=1.00: saddlepoint 최대 오차 = 1.51e-02

해석: \(\sigma^2\) 가 작을수록 \(Q^+\) 가 정확한 로그밀도에 가까워진다. \(\sigma^2 = 0.01\) 에서는 \(10^{-4}\) 수준으로 사실상 일치. 이는 §9.6 의 이론적 주장의 정량적 확인.

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10 Efron, Jørgensen 의 대안적 정당화

McCullagh & Nelder 의 (9.21) 가정보다 강한 가정 하에서 \(Q^+\) 의 유효성을 논한 두 문헌:

10.1 Efron (1986) — “Double Exponential Family”

Efron 은 지수족 로그밀도 \[ \log f = \theta y - b(\theta) + c(y, \phi) \] 를 평균 모수 \(\mu\) 와 산포 \(\phi\) 양쪽에 대해 지수족 구조를 갖는 형태 로 확장. 결과적으로 (9.20) 형태의 근사우도가 특정 조건에서 정확 우도가 되는 새 지수족을 구성. \(Q^+\) 의 존재성과 의미가 이 프레임워크에서 자연스러움.

10.2 Jørgensen (1987) — “Exponential Dispersion Models”

Jørgensen 의 exponential dispersion 모형 클래스 \(ED(\mu, \sigma^2)\) 에서는 (9.21) 이 정의에 의해 성립. \(Q^+\) 가 saddlepoint 근사 이상의 의미, 즉 정확한 로그우도의 근사 로 재해석됨.

왜 두 갈래의 정당화가 있는가

• McCullagh & Nelder (1989): “우도 없는 프레임워크” 철학에 맞게 최소 가정(평균·분산 + 누적률 재귀) 으로 \(Q^+\) 를 유도.
• Efron/Jørgensen: “지수족 구조 가정” 으로 \(Q^+\) 가 특정 모형의 정확 우도임을 구성적으로 보임.

두 접근은 상호보완적이다. 전자는 \(Q^+\) 의 유연성을 보여주고, 후자는 그 정당성의 이론적 기반을 제공.

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11 §9.6 의 종합 정리

11.1 핵심 한 줄

\(Q^+(\mu, \sigma^2; y) = -\dfrac{D(y;\mu)}{2\sigma^2} - \dfrac{1}{2}\log\sigma^2\) 는 준우도의 한계(\(\sigma^2\) 방향 비교 불가) 를 해결하기 위해 \(\sigma^2\) 스코어의 0평균 제약 으로부터 유도한 확장이며, saddlepoint 근사 를 통해 지수족 로그밀도에 수렴한다.

11.2 세 가지 핵심 수식

식 번호	내용	의미
(9.19)	\(\sigma^4 h_1'(\sigma^2) = E[D(Y;\mu)]\)	스코어 0평균 조건에서 \(h_1\) 결정
(9.20)	\(Q^+ = -D/(2\sigma^2) - \tfrac{1}{2}\log\sigma^2\)	확장 준우도의 최종 형태
(9.21)	\(\kappa_{r+1} = \kappa_r' \kappa_2\)	saddlepoint 근사 유효 조건 (지수족 성질)

11.3 활용 맵

Q (표준 준우도)
    ↓ σ²-스코어 0평균 제약 추가
Q+ (확장 준우도)
    ├── 분산 함수 비교 (V₁ vs V₂)  ← §9.6
    ├── σ² 직접 추정·검정
    └── log σ² = z'γ 회귀 (이중 GLM)  ← Ch.10

11.4 한계

• 유도가 근사적 — saddlepoint 조건 (\(\sigma^2\) 작음, 고차 누적률 제어) 이 필수.
• 독립 관측 필수 — §9.3 의 경로 의존성 문제를 우회하기 위해 가정.
• \(h_2(y)\) 의 자유도 — 절대적 \(Q^+\) 값은 \(h_2\) 선택에 의존 (likelihood ratio 차이는 무관).
• MLE 보다 항상 나은 건 아님 — 정확 우도가 알려져 있으면 MLE 선호.

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12 관련 주제

선행 지식

• Quasi-likelihood Functions 개관 — 준우도 프레임워크 전체
• Independent Observations — §9.2 기본 준우도
• Optimality Criteria — §9.5 최적성 증명
• Gamma GLM 의 이탈도와 변환 — saddlepoint 근사의 구체적 예

후속 주제

• Ch.10 Joint modelling of mean and dispersion — 산포를 공변량 함수로 회귀 (McCullagh Ch.10)
• Double GLM (Smyth 1989, Lee & Nelder 2006) — \(Q^+\) 의 알고리즘적 구현
• 계층 준우도 (Hierarchical Quasi-likelihood, Lee & Nelder 1996) — 랜덤효과까지 확장

관련 개념

• Saddlepoint 근사 (Barndorff-Nielsen & Cox, 1979) — \(Q^+\) 이론적 기반
• Exponential dispersion models (Jørgensen 1987) — \(Q^+\) 가 정확 우도가 되는 클래스
• AIC, BIC — 분산 함수 수가 다른 경우 \(Q^+\) 에 자유도 페널티 추가

참고문헌

• McCullagh, P., & Nelder, J. A. (1989). Generalized Linear Models (2nd ed.), §9.6. Chapman & Hall.
• Nelder, J. A., & Pregibon, D. (1987). An extended quasi-likelihood function. Biometrika, 74, 221–232.
• Efron, B. (1986). Double exponential families and their use in generalized linear regression. JASA, 81, 709–721.
• Jørgensen, B. (1987). Exponential dispersion models. JRSS-B, 49, 127–162.
• Smyth, G. K. (1989). Generalized linear models with varying dispersion. JRSS-B, 51, 47–60.
• Barndorff-Nielsen, O. E., & Cox, D. R. (1979). Edgeworth and saddlepoint approximations with statistical applications. JRSS-B, 41, 279–312.
• Lee, Y., & Nelder, J. A. (1996). Hierarchical generalized linear models. JRSS-B, 58, 619–678.