1 도입 — 왜 분산이 평균의 제곱에 비례하는가
Ch.3의 정규 선형 모형은 등분산(constant variance)을 전제한다. 그러나 연속 측정값 중에는 평균이 클수록 산포도 커지는 자료가 흔하다. Ch.6에서는 \(\operatorname{var}(Y) \propto E(Y)\) 인 포아송형 자료를 다루었다. 이 장에서는 한 단계 더 나아가 변동계수(coefficient of variation)가 일정한 경우,
\[ \operatorname{var}(Y) = \sigma^2 \{E(Y)\}^2 = \sigma^2 \mu^2, \]
를 체계적으로 다룬다. 여기서 \(\sigma\) 는 표준편차가 아니라 변동계수 \(\text{CV}(Y) = \sigma\) 이다.
직관. 금액(보험 청구금, 매출액)이나 시간(반응 시간, 응고 시간)처럼 양의 값을 갖는 측정치는 대개 “큰 값일수록 흔들림도 크다”는 성질을 보인다. 이것이 바로 \(\operatorname{var}(Y) \propto \mu^2\) 이다. 변동계수가 일정하다는 말은, 퍼센트 단위의 상대 오차가 평균 수준에 무관하다는 뜻이다.
1.1 로그 변환 vs 감마 GLM
\(\sigma\) 가 작을 때, 분산 안정화 변환 \(\log(Y)\) 의 근사 모멘트는
\[ E(\log Y) = \log \mu - \sigma^2/2, \qquad \operatorname{var}(\log Y) \simeq \sigma^2 \]
이므로 로그 스케일에서 등분산이 달성된다. 체계적 부분이 원 스케일에서 곱셈적(multiplicative)이면
\[ \eta_i = \log\{E(Y_i)\} = x_i^T \beta \]
로 쓸 수 있고, 절편을 제외한 모든 모수는 \(\log Y\) 에 보통 최소제곱을 적용해도 일치 추정량이 된다. 절편에는 약 \(-\sigma^2/2\) 의 편향이 남는다.
그러나 McCullagh & Nelder는 다음 이유로 원 스케일에 머무르는 접근, 즉 감마 GLM을 권장한다.
- 결론을 원래 측정 단위로 직접 제시할 수 있다.
- 물리적 차원을 갖는 변수(금액, 시간)의 합이 의미 있는 양일 때, \(\log Y\) 의 합은 해석이 어렵다.
- Firth (1988)에 따르면 감마 모형은 로그-정규 오류 하에서, 로그-정규 모형은 감마 오류 하에서 각각 역 오규정(reciprocal misspecification) 효율이 비슷하되, 감마 쪽이 약간 우위이다.
탐색적 분석이나 그래프 표현만 필요하다면 로그 변환이 편리하다. 그러나 정식 추론이 필요한 경우에는 감마 GLM이 더 적절하다.
- 보험·청구 금액: 월별 청구금 합계가 직접적 실무 의미를 갖는다. \(\sum \log Y_i\) 는 기하평균의 로그일 뿐이라 분기·연간 추산에 직접 쓸 수 없다
- 반응 시간·수명 측정: “평균 응답 시간 300 ms” 같이 원 단위 보고가 필수. \(\log Y\) 의 추정치를 지수 역변환하면 \(E[Y]\) 가 아니라 기하 평균에 가까워 체계적 편향이 생긴다
- 재무 수익·매출 예측: 예측 구간을 원 단위로 제시해야 의사결정자가 해석 가능. 감마 GLM 은 원 스케일 신뢰구간을 직접 준다
반면 유전자 발현량·로그-정규 물리 프로세스 처럼 곱셈 구조가 기저 메커니즘인 경우에는 로그 변환이 자연스럽고 해석도 익숙하다. 선택 기준은 “원 스케일 보고가 의사결정의 핵심인가” 이다.
2 감마 분포
2.1 밀도 함수
McCullagh & Nelder가 사용하는 감마 밀도의 매개변수화는
\[ f(y;\mu,\nu) = \frac{1}{\Gamma(\nu)} \left(\frac{\nu y}{\mu}\right)^{\!\nu} \exp\!\left(-\frac{\nu y}{\mu}\right) \frac{1}{y}, \qquad y \ge 0,\; \nu > 0,\; \mu > 0. \]
\(Y \sim G(\mu, \nu)\) 로 쓴다. 여기서 \(\mu\) 는 평균, \(\nu\) 는 지표(index) 또는 정밀도(precision) 모수이다.
직관. \(\nu\) 가 클수록 분포가 평균 주위로 집중되므로 “정밀도”라는 이름이 붙는다. \(\nu = 1/\sigma^2\) 이므로 변동계수가 작을수록 \(\nu\) 가 크다. “지표(index)”라는 또 하나의 이름은 유효 표본 크기 지표 라는 뜻 — 포아송 과정에서 \(\nu\) 번째 사건까지의 대기 시간이 감마 분포를 따르므로, \(\nu\) 를 “합산 횟수”로 해석할 수 있다 (정수 \(\nu\) 일 때 Erlang 분포). 정규 모형의 자유도 \(n\) 이 평균 추정 정밀도를 결정하듯, \(\nu\) 가 감마 자료의 정밀도를 결정한다.
2.2 적률 생성 함수와 누율
적률 생성 함수는 \(K(t) = -\nu \log(1 - \mu t/\nu)\) 이고, 처음 네 누율(cumulant)은
\[ \begin{aligned} \kappa_1 &= E(Y) = \mu, \\ \kappa_2 &= \operatorname{var}(Y) = \mu^2/\nu, \\ \kappa_3 &= E(Y-\mu)^3 = 2\mu^3/\nu^2, \\ \kappa_4 &= 6\mu^4/\nu^3. \end{aligned} \]
일반적으로 \(\kappa_r = (r-1)!\,\mu^r/\nu^{r-1}\) 이다. 표준화 왜도(skewness)는 \(\kappa_3/\kappa_2^{3/2} = 2\nu^{-1/2}\) 이므로 \(\nu \to \infty\) 에서 정규 극한에 도달한다.
2.3 형태 모수 \(\nu\) 의 역할
| \(\nu\) 범위 | 밀도 형태 | 특수 경우 |
|---|---|---|
| \(0 < \nu < 1\) | 원점에서 극(pole), 단조 감소 | |
| \(\nu = 1\) | 지수 분포 | \(\text{Exp}(\mu)\) |
| \(\nu > 1\) | 원점에서 0, 단일 최빈값 \(y = \mu - \mu/\nu\) | |
| \(\nu \to \infty\) | 정규 분포에 수렴 | \(N(\mu, \mu^2/\nu)\) |
모든 \(\nu\) 에 대해 \(d(\log y)\) 미분 원소 기준의 밀도는 \(y = \mu\) 에서 최댓값을 갖는다.
2.4 합성 성질
\(Y_1, \ldots, Y_n \overset{\text{iid}}{\sim} G(\mu, \nu)\) 이면 표본 평균 \(\bar{Y} \sim G(\mu, n\nu)\) 이다. 즉 감마족은 합성(convolution)에 닫혀 있다. 정수 지표를 갖는 감마 분포는 포아송 과정에서 \(\nu\) 번째 사건까지의 대기 시간으로도 해석된다(에를랑 분포).
2.5 세제곱근 정규화 변환
단일 관측의 로그 우도를 \(\mu\), \(\log\mu\), \(\mu^{-1/3}\), \(\mu^{-1}\) 각 스케일로 그리면, \(\mu^{-1/3}\) 스케일에서 가장 이차식에 가깝다. 이 근사는
\[ \ell(\mu) - \ell(\hat\mu) \;\approx\; -\tfrac{9}{2}\, y^{2/3} \bigl(y^{-1/3} - \mu^{-1/3}\bigr)^2 \]
로 표현된다. 우도비 통계량의 제곱근이 근사 정규라는 사실과 결합하면, 감마 변량의 정규화 변환은
\[ 3\left\{(Y/\mu)^{1/3} - 1\right\} \]
이다. Wilson & Hilferty (1931)가 카이제곱 분포 맥락에서 유도한 고전적 결과이다.
직관. 왜 하필 세제곱근인가? 감마 분포의 왜도는 \(2/\sqrt{\nu}\) 로 양(positive)이다. 오목 변환 \(y \mapsto y^{1/3}\) 은 오른쪽 꼬리를 압축하고 왼쪽 꼬리를 늘여서 대칭에 가까운 분포를 만든다. 1/3이라는 지수는 왜도와 첨도를 동시에 최소화하는 최적값이다.
3 감마 GLM의 세 구성 요소
3.1 분산 함수
감마 로그 우도를 지수족 표준형으로 쓰면
\[ \ell = \nu\bigl(-y/\mu - \log\mu\bigr) + \nu\log y + \nu\log\nu - \log\Gamma(\nu) \]
이므로
- 정준 모수: \(\theta = -1/\mu\)
- 누율 생성 함수: \(b(\theta) = -\log(-\theta)\)
- 평균: \(b'(\theta) = \mu\)
- 분산 함수: \(V(\mu) = b''(\theta) = \mu^2\)
직관. 분산 함수 \(V(\mu) = \mu^2\) 는 “절대 오차의 크기가 평균에 비례한다”는 일상 경험을 수학적으로 포착한다. 1만 원짜리 거래에서 100원의 오차는 사소하지만, 100원짜리 거래에서 같은 100원 오차는 심각하다 – 이것이 바로 변동계수가 일정한 세계이다.
3.2 이탈도(Deviance)
\(\nu\) 를 알려진 상수로 취급하면 독립 관측의 로그 우도는
\[ \sum_i \nu\bigl(-y_i/\mu_i - \log\mu_i\bigr). \]
가중 관측(\(\nu_i = \nu w_i\))인 경우
\[ \nu \sum_i w_i\bigl(-y_i/\mu_i - \log\mu_i\bigr). \]
포화 모형(\(\mu = y\))의 로그 우도와의 차이를 2배한 이탈도는
\[ \boxed{ D(y;\hat\mu) = -2\sum_i w_i \left\{\log\!\left(\frac{y_i}{\hat\mu_i}\right) - \frac{y_i - \hat\mu_i}{\hat\mu_i}\right\}. } \]
직관. 이탈도의 두 항을 분리하면:
- \(\log(y_i/\hat\mu_i)\): 비율 스케일의 편차. 관측이 적합보다 두 배이면 \(\log 2 \approx 0.69\).
- \((y_i - \hat\mu_i)/\hat\mu_i\): 상대 잔차. 관측이 적합보다 두 배이면 값은 1.
정규 모형의 이탈도 \(\sum(y-\hat\mu)^2\) 가 절대 편차의 제곱을 재는 것과 달리, 감마 이탈도는 비율 편차를 잰다. 이는 변동계수가 일정한 자료의 본질에 정확히 부합한다.
모형에 절편이 포함되면 \(\sum w_i(y_i - \hat\mu_i)/\hat\mu_i = 0\) 이므로 마지막 항이 사라진다.
\(y_i = 0\) 인 경우의 문제. \(\log(y_i/\hat\mu_i)\) 가 \(-\infty\) 가 되므로 이탈도가 무한대이다. 이 경우 대안 통계량
\[ D^+(y;\hat\mu) = 2C(y) + 2\sum_i w_i \log\hat\mu_i + 2\sum_i w_i y_i/\hat\mu_i \]
를 사용한다. 여기서 \(C(y)\) 는 \(y\) 만의 유계 함수이다. 단, \(\nu\) 의 MLE는 \(D\) 에 기반하므로 \(y_i = 0\) 이 있으면 \(\hat\nu = 0\) 이 되어 실용적이지 않다.
4 세 가지 연결 함수
세 연결이 서로 다른 모형 계열을 만든다. 실무에서 어느 것을 고를지 결정하는 빠른 기준은 다음과 같다.
| 상황 | 권장 연결 | 선택 이유 |
|---|---|---|
| 양수 반응의 곱셈적 구조 (\(\mu = \exp(\sum \beta_j x_j)\)) | 로그 | 안정적 IRLS, 계수 = 비율 효과, 로그-정규 근사와 호환 |
| 보험 청구금·응답 시간의 역수 속도 해석 | 정준 (역수) | 충분통계량 선형화, Nelder 역다항식 응답 곡면에 자연스러움 |
| ANOVA 분산 성분 분해 (\(\chi^2 \Rightarrow G\)) | 항등 | 평균 제곱 = 분산 성분의 가법 결합이라는 고전 해석 보존 |
| 계수에 부호 제약을 피하고 싶을 때 | 로그 | 역수는 \(\eta > 0\) 제약 → IRLS 에서 \(\hat\mu < 0\) 위험 |
감마 GLM 의 기본 선택은 로그 연결 이다. 아래 세 소절은 각 연결의 수학적 구조와 응용 맥락을 차례로 전개한다.
4.1 정준 연결: 역수 \(\eta = \mu^{-1}\)
정준 연결은 충분통계량이 자료의 선형 함수가 되게 한다.
\[ \eta = 1/\mu. \]
포아송(\(\eta = \log\mu\))이나 이항(\(\eta = \operatorname{logit}\mu\))의 정준 연결은 \(\mu\) 의 범위를 실수 전체로 사상하지만, 역수 변환은 \(\mu > 0\) 을 \(\eta > 0\) 으로만 사상한다. 따라서 선형 모형의 \(\beta\) 값에 양수 제약이 암묵적으로 필요하며, 적합 과정에서 \(\hat\mu < 0\) 이 되지 않도록 주의해야 한다.
4.1.1 역다항식 반응 곡면
역수 연결의 대표적 응용은 Nelder (1966)의 역다항식(inverse polynomial) 반응 곡면이다.
역 일차(inverse linear):
\[ \eta = \beta_0 + \beta_1/x, \qquad x > 0. \]
이를 \(\mu\) 로 풀면
\[ \mu = \frac{x}{\beta_0 x + \beta_1}, \]
원점 기울기가 \(1/\beta_1\) 이고 점근선이 \(\mu = 1/\beta_0\) 인 쌍곡선이다.
직관. 식물 밀도 실험에서 주당 수확량(per-plant yield)은 밀도 \(x\) 가 커질수록 감소한다. \(\eta = 1/\mu\) 를 “평균 청구금 1파운드를 서비스하는 데 드는 시간”으로 해석하면 역수 연결이 자연스럽다.
역 이차(inverse quadratic):
\[ \eta = \beta_1/x + \beta_0 + \gamma_1 x. \]
이 곡선은 \(x = \sqrt{\beta_1/\gamma_1}\) 에서 최댓값 \(\mu = (\beta_0 + 2\sqrt{\beta_1\gamma_1})^{-1}\) 에 도달하고, 큰 \(x\) 에서 \(\mu \sim 1/(\gamma_1 x) \to 0\) 으로 감소한다. 최적 식물 밀도를 찾는 데 유용하다.
모수가 양수이면 \(\eta\) 가 항상 양수이고 유계인 점이 보통 다항식과 다른 장점이다.
4.2 로그 연결: 곱셈적 모형 \(\eta = \log\mu\)
로그 연결은 \(x\) 및 \(1/x\) 의 선형 조합으로 질적으로 다양한 반응 함수를 만든다.
\[ \eta = \log\mu = 1 \pm x \pm 1/x, \qquad x > 0. \]
네 가지 부호 조합은 각각 수평/수직 점근선, 볼록/오목 전환점 등을 생성한다.
로그 연결이 분산 안정화 변환 \(\log Y\) 와 갖는 관계는 주목할 만하다. \(\sigma^2\) 가 작으면 \(\operatorname{var}(\log Y) \approx \sigma^2 = \operatorname{var}(Y)/\mu^2\) 이고, 감마 GLM의 이차 가중 함수(quadratic weight function)는 로그 연결 하에서 정확히 1이 된다. 따라서
\[ \operatorname{cov}(\hat\beta) \simeq \sigma^2 (X^T X)^{-1}, \]
이는 \(\log Y\) 에 보통 최소제곱을 적용했을 때와 동일하다.
직관. 이것은 우연이 아니다. 연결 함수가 분산 안정화 변환과 같으면, GLM의 가중 최소제곱 가중치가 상수(1)가 되어, 일반 최소제곱과 점근적으로 동치가 된다. 직교 계획(orthogonal design)이면 모수 추정량이 점근적 독립이 되는 보너스까지 얻는다.
Atkinson (1982)은 \(\sigma^2\) 가 0.6 정도로 커도 두 접근(정규-로그 vs 감마-로그)의 구별이 어렵다고 보고한다. 따라서 실무에서 \(\sigma^2\) 가 크지 않으면 두 방법의 선택은 해석 편의에 따른다.
4.3 항등 연결: 분산 성분 \(\eta = \mu\)
독립 정규 변량의 제곱합은 카이제곱, 즉 감마 분포를 따른다. 평균 제곱 \(Y_i\) 의 자유도가 \(f_i\) 이면
\[ Y_i \sim G(\mu_i,\; w_i), \qquad w_i = f_i/2 \]
이고, 기댓값은 분산 성분의 선형 결합이다.
\[ \mu_i = E(Y_i) = \sum_j x_{ij}\beta_j. \]
여기서 \(\beta_j\) 가 분산 성분이고, \(x_{ij}\) 는 알려진 계수이다.
직관. ANOVA에서 평균 제곱을 분산 성분의 일차 결합으로 등치하는 고전적 방법은, 사실 감마 분포에 항등 연결을 결합한 GLM이다.
항등 연결의 단점은 음의 분산 성분 추정이 명시적으로 배제되지 않는다는 점이다. 가중 최소제곱은 음의 추정을 허용하지만 MLE는 허용하지 않으므로, 두 방법은 추정이 비음일 때만 일치한다.
5 산포 모수의 추정
모수 추정량 \(\hat\beta\) 의 근사 공분산 행렬은
\[ \operatorname{cov}(\hat\beta) \simeq \sigma^2 (X^T W X)^{-1}, \qquad W = \operatorname{diag}\!\left\{ \left(\frac{d\mu_i}{d\eta_i}\right)^{\!2} / V(\mu_i) \right\} \]
이므로 \(\sigma^2\) 의 추정이 필수적이다.
5.1 MLE: 디감마 방정식
감마 모형 하에서 \(\nu = \sigma^{-2}\) 의 MLE는
\[ \boxed{ 2n\{\log\hat\nu - \psi(\hat\nu)\} = D(y;\hat\mu), } \tag{8.1} \]
여기서 \(\psi(\nu) = \Gamma'(\nu)/\Gamma(\nu)\) 는 디감마 함수이다.
\(p\) 개 모수 추정의 편향 보정을 반영하면
\[ 2n\{\log\hat\nu - \psi(\hat\nu)\} - p\hat\nu^{-1} = D(y;\hat\mu). \tag{8.2} \]
직관. 좌변의 \(\log\nu - \psi(\nu)\) 는 \(\nu\) 의 단조 감소 함수이므로 해가 유일하다. 이 함수는 \(\nu\) 가 클 때 약 \(1/(2\nu)\) 에 가까워지므로, \(\hat\nu\) 가 크면 \(D \approx n/\hat\nu = n\sigma^2\), 즉 “이탈도 \(\approx n \times\) 분산”이라는 정규 모형의 관계로 회귀한다.
\(\nu\) 가 충분히 크면 \(O(\nu^{-2})\) 이상의 항을 무시한 근사
\[ \hat\nu^{-1} \simeq \frac{\bar{D}(6 + \bar{D})}{6 + 2\bar{D}}, \qquad \bar{D} = D(y;\hat\mu)/n \]
이 유용하다.
5.2 모멘트 추정량: Pearson \(X^2\) 기반
MLE의 근본적 문제는 \(y_i = 0\) 인 관측이 하나라도 있으면 \(D = \infty\), \(\hat\nu = 0\) 이 된다는 점이다. 또한 감마 가정이 틀리면 \(\hat\nu^{-1}\) 이 변동계수를 일치 추정하지 못한다.
이 때문에 McCullagh & Nelder는 모멘트 추정량을 선호한다.
\[ \boxed{ \tilde\sigma^2 = \frac{1}{n-p}\sum_i \left(\frac{y_i - \hat\mu_i}{\hat\mu_i}\right)^{\!2} = \frac{X^2}{n-p}. } \tag{8.3} \]
여기서 \(X^2\) 는 Pearson 카이제곱 통계량이다.
직관. 이 추정량은 감마 가정 없이도 \(\sigma^2\) 를 일치 추정한다 – \(\beta\) 만 일치 추정되면 충분하다. 정규 이론의 \(s^2 = \text{RSS}/(n-p)\) 와 닮았지만, 분모가 절대 잔차 대신 상대 잔차 \((y-\hat\mu)/\hat\mu\) 의 제곱합이라는 점이 다르다.
단, 정규 모형의 \(s^2\) 와 달리 \(\tilde\sigma^2\) 는 감마 자료에서도 \(O(n^{-1})\) 편향을 갖는다.
\[ E(\tilde\sigma^2) = \sigma^2\bigl[1 - \sigma^2/n + O(n^{-2})\bigr]. \]
음의 편향은 \(V''(\mu) > 0\), 즉 분산 함수가 위로 볼록한 데서 기인한다. 제수를 \(n-p\) 로 놓아도 \(O(n^{-1})\) 편향이 완전히 제거되지 않는다.
6 예제: 자동차 보험 청구금
Baxter et al. (1980)의 데이터로, 개인 소유 종합보험 차량의 평균 자기 손해 청구금(인플레이션 보정, 파운드)이다.
6.1 요인 구조
| 요인 | 기호 | 수준 수 | 수준 |
|---|---|---|---|
| 보험 가입자 연령 | PA | 8 | 17-20, 21-24, 25-29, 30-34, 35-39, 40-49, 50-59, 60+ |
| 차량 그룹 | CG | 4 | A, B, C, D |
| 차량 연식 | VA | 4 | 0-3, 4-7, 8-9, 10+ |
\(8 \times 4 \times 4 = 128\) 셀 중 5개는 청구 건수 \(m_{ijk} = 0\) 으로 비어 있다. 가중치를 \(w_{ijk} = m_{ijk}\) 으로 설정하면 빈 셀은 우도에 기여하지 않는다.
6.2 모형: 역수 연결 + 감마 오차
\[ \mu_{ijk} = (\mu_0 + \alpha_i + \beta_j + \gamma_k)^{-1}, \qquad \operatorname{var}(Y_{ijk}) = \sigma^2 \mu_{ijk}^2 / m_{ijk}. \]
직관. \(\eta_{ijk} = 1/\mu_{ijk}\) 를 “평균 청구금 1파운드를 서비스하는 데 걸리는 시간(또는 1파운드 할부금으로 구매할 수 있는 보상 서비스 단위)”으로 해석하면, 주효과가 가법적이라는 가정은 “각 요인이 독립적으로 서비스 비용을 올리거나 내린다”는 의미가 된다.
6.3 Analysis of Deviance
| 모형 | 이탈도 | 차분 | d.f. | 평균 이탈도 |
|---|---|---|---|---|
| 1 (절편만) | 649.9 | |||
| PA | 567.7 | 82.2 | 7 | 11.7 |
| PA + CG | 339.4 | 228.3 | 3 | 76.1 |
| PA + CG + VA | 124.8 | 214.7 | 3 | 71.6 |
| + PA.CG | 90.7 | 34.0 | 21 | 1.62 |
| + PA.VA | 71.0 | 19.7 | 21 | 0.94 |
| + CG.VA | 65.6 | 5.4 | 9 | 0.60 |
| 포화 | 0.0 | 65.6 | 58 | 1.13 |
이탈도의 첫째 차분이 적절한 귀무가설 하에서 근사 축척 카이제곱 분포를 따르므로, 주효과 모형(PA + CG + VA)이 적합하며 이원 교호작용은 추가 설명력이 없다.
6.4 산포 추정
주효과 모형의 잔차로부터
\[ \tilde\sigma^2 = \frac{1}{109}\sum m\,(y - \hat\mu)^2/\hat\mu^2 = 1.21, \qquad \tilde\sigma = 1.1. \]
개별 청구금의 추정 변동계수가 110%로, 보험 자료의 높은 변동성을 반영한다.
6.5 모수 해석
모수 추정치(\(\times 10^6\), 역수 스케일)와 표준오차:
| 수준 | PA | CG | VA |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 (-) | 0 (-) | 0 (-) |
| 2 | 101 (436) | 38 (169) | 336 (101) |
| 3 | 350 (412) | -614 (170) | 1651 (227) |
| 4 | 462 (410) | -1421 (181) | 4154 (442) |
| 5 | 1370 (419) | ||
| 6 | 970 (405) | ||
| 7 | 916 (408) | ||
| 8 | 920 (416) |
역수 스케일이므로 양의 큰 모수는 작은 청구금에 대응한다.
- 연령(PA): 35-39세(수준 5)가 가장 큰 양의 모수 \(\to\) 가장 작은 청구금. 17-34세(수준 1-4)는 가장 큰 청구금, 40세 이상은 중간.
- 차량 그룹(CG): D 그룹이 가장 큰 음의 모수 \(\to\) 가장 비싼 청구금. A와 B는 유의 차이 없음.
- 차량 연식(VA): 차량이 오래될수록 양의 모수 증가 \(\to\) 청구금 감소.
수준 1-4(PA), 6-8(PA), 1-2(CG)를 각각 융합하면 이탈도가 129.8 (116 d.f.)로 통계적으로 유의하지 않은 증가이므로, 이 단순화된 해석이 자료에 부합한다.
6.6 로그 연결과의 비교
곱셈적 모형(로그 연결) 역시 질적으로 유사한 결론을 낸다. Ch.10에서 보이듯 자료가 역수 모형을 약간 더 지지하지만, 양적 결론의 해석 용이성을 고려하면 로그 연결도 합리적인 선택이다.
7 예제: 혈액 응고 시간
Hurn et al. (1945)의 데이터이다. 정상 혈장을 프로트롬빈 결핍 혈장으로 9단계 농도(\(u\))로 희석한 뒤, 두 로트(lot)의 트롬보플라스틴으로 응고를 유도하여 응고 시간(초)을 측정하였다.
| \(u\) (%) | Lot 1 | Lot 2 |
|---|---|---|
| 5 | 118 | 69 |
| 10 | 58 | 35 |
| 15 | 42 | 26 |
| 20 | 35 | 21 |
| 30 | 27 | 18 |
| 40 | 25 | 16 |
| 60 | 21 | 13 |
| 80 | 19 | 12 |
| 100 | 18 | 12 |
7.1 모형 적합: 역수 연결 + 감마 오차
초기 탐색에서 \(u\) 의 로그 스케일이 역 선형성을 만족시키며, 두 로트의 절편과 기울기가 모두 다름을 확인하였다.
| 모형 | 이탈도 | d.f. |
|---|---|---|
| 1 (절편만) | 7.709 | 17 |
| \(x = \log u\) | 1.018 | 16 |
| \(L + x\) (로트 + 기울기) | 0.300 | 15 |
| \(L + L \cdot x\) (별도 직선) | 0.0294 | 14 |
최종 모형의 평균 이탈도 \(\sqrt{0.0294/14} \approx 0.046\) 이므로 \(y\) 스케일에서 약 4.6%의 표준오차에 해당한다.
적합된 두 직선(표준오차):
\[ \begin{aligned} \text{Lot 1:}\quad \hat\mu^{-1} &= -0.01655\;(\pm 0.00086) + 0.01534\;(\pm 0.00143)\,x, \\ \text{Lot 2:}\quad \hat\mu^{-1} &= -0.02391\;(\pm 0.00038) + 0.02360\;(\pm 0.00062)\,x. \end{aligned} \]
직관. Pearson 잔차 \((y - \hat\mu)/\hat\mu\) 를 선형 예측자에 대해 그리면 범위가 일정하여 감마 오차 가정이 적합하다. 만약 \(Y\) 에 등분산을 가정하면 잔차 범위가 \(\hat\eta\) 에 따라 줄어들고, \(1/Y\) 에 등분산을 가정하면(이는 \(\operatorname{var}(Y) \propto \mu^4\) 를 의미) 범위가 늘어난다. 감마 오차(\(\operatorname{var}(Y) \propto \mu^2\))는 이 두 극단의 “중간”에 위치한다.
7.2 비례성 모형
Lot 2의 모수가 Lot 1의 약 1.6배라는 관찰에서, \(\mu_2 = k\mu_1\) 이라는 비례 모형을 고려한다.
\[ \eta_1 = \alpha + \beta x, \quad \mu_1 = 1/\eta_1, \quad \mu_2 = k\mu_1. \]
이 모형은 엄밀히 GLM이 아니지만, \(\alpha\), \(\beta\), \(k\) 의 MLE를 간단히 구할 수 있다. 추정 결과 \(k = 0.625\), 이탈도 0.0332 (15 d.f.)이다. 별도 직선 모형과의 이탈도 차이는 \(0.0332 - 0.0294 = 0.0038\) (1 d.f.)로, 평균 이탈도 0.0021에 비해 유의하지 않다.
따라서 비례 모형이 기각되지 않으며, Lot 2의 응고 시간은 Lot 1의 약 5/8 배라는 간결한 결론이 도출된다.
8 감마 GLM 요약
| 구성 요소 | 내용 |
|---|---|
| 확률 성분 | \(Y \sim G(\mu, \nu)\), 분산 함수 \(V(\mu) = \mu^2\) |
| 연결 함수 | 정준: \(\mu^{-1}\) (역다항식), 로그: \(\log\mu\) (곱셈적), 항등: \(\mu\) (분산 성분) |
| 이탈도 | \(D = -2\sum w_i\{\log(y_i/\hat\mu_i) - (y_i - \hat\mu_i)/\hat\mu_i\}\) |
| 산포 추정 | MLE: \(2n\{\log\hat\nu - \psi(\hat\nu)\} = D\); 모멘트: \(\tilde\sigma^2 = X^2/(n-p)\) |
| 정규화 변환 | \(3\{(Y/\mu)^{1/3} - 1\}\) (세제곱근) |
| 분산 안정화 | \(\log Y\); 로그 연결 시 가중치 \(\equiv 1\) |
Ch.3(등분산) \(\to\) Ch.6(\(V = \mu\)) \(\to\) Ch.8(\(V = \mu^2\))으로 이어지는 분산 함수의 계층 속에서, 감마 GLM은 양의 연속 자료에 대한 자연스러운 분석 도구이다.