1 정의
\(p\) 개 물건의 무게 \(w_1, w_2, \ldots, w_p\) 를 한 저울로 측정. \(N\) 회 측정 (\(N \ge p\)).
각 측정 \(i = 1, \ldots, N\) 에서 일부 물건을 함께 올림. design matrix \(\mathbf{X}\) (\(N \times p\)) 의 \((i, j)\) 항은:
- \(x_{ij} = 1\): 물건 \(j\) 를 측정 \(i\) 의 한쪽 (왼쪽) 접시에.
- \(x_{ij} = -1\): 다른 쪽 (오른쪽) 접시에 (chemical balance 만).
- \(x_{ij} = 0\): 측정에서 제외.
저울이 측정한 값 (왼쪽 - 오른쪽) : \[ y_i = \sum_j x_{ij} w_j + \varepsilon_i \]
또는 행렬 형태: \[ \mathbf{y} = \mathbf{X} \mathbf{w} + \boldsymbol{\varepsilon} \]
각 측정의 잡음 \(\varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2)\) iid.
2 두 종류의 저울
2.1 Chemical Balance (양접시 저울)
물건을 두 접시에 분배. design entry \(\in \{-1, 0, +1\}\).
저울 측정값 = 왼쪽 합 - 오른쪽 합 (\(+ \varepsilon\)).
가장 강력한 weighing — 직교 design 이 가능 (\(\mathbf{X}^T \mathbf{X} = N \mathbf{I}\)).
2.2 Spring Balance (한접시 저울)
물건이 한 접시 (또는 제외). design entry \(\in \{0, 1\}\).
저울 측정값 = 포함된 물건의 총 무게 (\(+ \varepsilon\)).
이는 BIB design 의 동치 — 처치를 “포함/제외” 로 표현.
Chemical balance 의 entry \(\in \{-1, 0, +1\}\) 의 3 값. Spring balance 는 \(\{0, 1\}\) 의 2 값.
3 값 entry 가 더 풍부한 직교 구조 → 정보 효율 ↑.
예: 3 물건의 chemical balance 직교 (3 측정):
w1 w2 w3
1: +1 +1 -1 → y1 = w1 + w2 - w3
2: +1 -1 +1 → y2 = w1 - w2 + w3
3: -1 +1 +1 → y3 = -w1 + w2 + w3추정: - \(\hat w_1 = (y_1 + y_2 - y_3)/2\), 분산 \(\sigma^2/2\) (3 값의 합/차). - 잠시… 더 정확히 분석 필요.
Sylvester \(H_4\) 사용 시 4 물건 4 측정 → 분산 \(\sigma^2/4\) 각.
Spring balance 같은 경우 BIB design 활용 — 정보 효율은 chemical 의 절반 정도.
3 최소제곱 추정량
표준 회귀 결과:
\[ \hat{\mathbf{w}} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{y} \]
추정량의 covariance:
\[ \text{Cov}(\hat{\mathbf{w}}) = \sigma^2 (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \]
각 무게의 분산은 \((\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1}\) 의 대각 원소 × \(\sigma^2\).
4 정보 행렬과 효율
\[ \mathbf{I}(\mathbf{w}) = \frac{1}{\sigma^2} \mathbf{X}^T \mathbf{X} \]
Fisher information matrix. 클수록 추정 정밀도 ↑.
추정 분산: \[ \text{Cov}(\hat{\mathbf{w}}) = \mathbf{I}^{-1} = \sigma^2 (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \]
4.1 효율 측도
| 측도 | 정의 | 의미 |
|---|---|---|
| A-efficiency | \(1 / \text{tr}((\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1})\) | 평균 분산 |
| D-efficiency | \(|\mathbf{X}^T\mathbf{X}|^{1/p}\) | 결정자 (volume) |
| E-efficiency | \(\lambda_{\min}(\mathbf{X}^T\mathbf{X})\) | 최소 eigenvalue |
상대 효율 = 그 design 의 정보 / 최적 design 의 정보. 최적이 100%.
4.2 최적 효율
\(\mathbf{X}^T \mathbf{X} = N \mathbf{I}\) 면 모든 효율 측도 최대: - A-efficiency: \(N / p\). - D-efficiency: \(N\). - E-efficiency: \(N\).
이는 Hadamard matrix design 으로 달성. 다른 design 은 효율 ↓.
5 Hadamard Matrix 의 최적성 증명
Chemical balance design (\(x_{ij} \in \{-1, +1\}\)) 의 최소 추정 분산은 \(\sigma^2 / N\).
이 분산은 \(\mathbf{X}\) 가 Hadamard matrix 일 때 달성.
5.1 증명 sketch
각 무게의 분산은 \(\sigma^2 \cdot [(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}]_{jj}\).
\(\mathbf{X}\) 의 entry 가 \(\pm 1\) 이면 대각 원소 \((\mathbf{X}^T\mathbf{X})_{jj} = N\).
\(\mathbf{X}\) 의 dimension 이 \(N \times p\) (\(p \le N\)) 이면 \((\mathbf{X}^T\mathbf{X})\) 는 \(p \times p\) symmetric.
Cauchy-Schwarz 부등식과 trace 부등식으로:
\[ \text{tr}((\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}) \ge p / N \]
평균 분산이 \(\sigma^2 / N\) 이상. 등호는 \(\mathbf{X}^T\mathbf{X} = N \mathbf{I}\) (직교) 일 때.
이는 Hadamard matrix 가 정확히 달성.
6 \(H_4\) 의 4 물건 측정
Sylvester \(H_4\):
\[ H_4 = \begin{pmatrix} +1 & +1 & +1 & +1 \\ +1 & -1 & +1 & -1 \\ +1 & +1 & -1 & -1 \\ +1 & -1 & -1 & +1 \end{pmatrix} \]
직교성 검증: \(H_4^T H_4 = 4 I\).
6.1 측정 절차
각 측정 \(i\) 의 첫 column 이 \(+1\) (모든 측정에 어떤 reference 가 함께) — 이는 표준 form. 다른 column 이 \(\pm 1\) 로 물건 1, 2, 3 의 배치.
(주의: 일반 Hadamard 는 첫 row 가 모두 \(+1\) 도 만족하는 normalized form. 4 물건 측정 시 reference 무게는 trivial — 또는 \(H_4\) 의 첫 column 을 빼고 3 물건만 추정.)
6.2 추정량
\[ \hat{\mathbf{w}} = \frac{1}{N} H_4^T \mathbf{y} = \frac{1}{4} H_4^T \mathbf{y} \]
각 추정량의 분산: \(\sigma^2 / 4\). 표준오차 \(\sigma / 2\).
개별 측정 (1 회/물건) 의 분산 \(\sigma^2\) 에 비해 1/4 = 4 배 정밀.
7 Spring Balance 와 BIB 의 동치
7.1 Spring Balance 의 design
\(x_{ij} \in \{0, 1\}\). design matrix 가 BIB 의 incidence matrix:
N = 7 측정, p = 7 물건, k = 3 (각 측정에 3 물건):
w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7
1: 1 1 0 1 0 0 0 → y1 = w1 + w2 + w4
2: 0 1 1 0 1 0 0 → y2 = w2 + w3 + w5
3: 0 0 1 1 0 1 0 → y3 = w3 + w4 + w6
4: 0 0 0 1 1 0 1 → y4 = w4 + w5 + w7
5: 1 0 0 0 1 1 0 → y5 = w1 + w5 + w6
6: 0 1 0 0 0 1 1 → y6 = w2 + w6 + w7
7: 1 0 1 0 0 0 1 → y7 = w1 + w3 + w7이는 (7, 7, 3, 3, 1) BIB 의 incidence matrix.
7.2 효율
BIB 기반 spring balance 의 효율:
\[ e_{\text{spring}} = \frac{(\text{최적 spring eff})}{(\text{Hadamard chemical eff})} \]
일반적으로 spring 이 chemical 의 절반 정도.
8 산업 사례 — 8 부품 무게 측정
8.1 가상 실험
8 개 전자부품의 정확한 무게 측정. 각 부품 무게가 매우 작아 (1g 이하) 단일 측정의 잡음 \(\sigma^2 = 0.01g^2\).
8.2 방식 A — 개별 측정 (8 회)
각 부품 1 회씩 측정. 각 부품의 분산 \(\sigma^2 = 0.01\). 표준오차 \(\sigma = 0.1g\).
8.3 방식 B — Hadamard \(H_8\) (8 회)
\(H_8\) design (Sylvester construction):
[ + + + + + + + +
+ - + - + - + -
+ + - - + + - -
+ - - + + - - +
+ + + + - - - -
+ - + - - + - +
+ + - - - - + +
+ - - + - + + - ]각 측정에서 일부 부품 (+1 이면 왼쪽 접시), 일부는 다른 접시 (-1).
추정 분산: \(\sigma^2 / 8 = 0.00125\). 표준오차 \(\sigma' = 0.0354g\).
→ Hadamard design 으로 정밀도 약 3 배 향상 (표준오차 1/3).
같은 8 회 측정으로 정밀도 ↑ — 측정 비용 동일.
8.4 방식 C — Spring Balance BIB (7 측정, 7 부품)
(7, 7, 3, 3, 1) BIB 사용. 각 측정에 3 부품. 효율 chemical 보다 낮음.
각 부품 분산: \(\sigma^2 \times (k / \lambda)\) 형태. 약 \(\sigma^2 / 2\).
Spring 은 chemical 의 절반 효율이지만 음수 (-1) 사용 안 함 → 저울 단순.
9 Python 코드 — Weighing Design 시뮬레이션
import numpy as np
from scipy.linalg import hadamard
# Sylvester Hadamard matrix H_4, H_8
H4 = hadamard(4)
H8 = hadamard(8)
print("=== H_4 ===")
print(H4)
print(f"H_4.T @ H_4 = {H4.T @ H4}")
print(f"= 4 I? {np.allclose(H4.T @ H4, 4 * np.eye(4))}")
print("\n=== H_8 ===")
print(H8)
# 가상 실험 — 8 부품
np.random.seed(2026)
true_w = np.array([0.5, 0.7, 0.3, 0.9, 0.4, 0.6, 0.8, 0.2])
sigma = 0.1
# Method A: 개별 측정
y_individual = true_w + np.random.normal(0, sigma, 8)
w_hat_A = y_individual
# Method B: Hadamard H_8
y_hadamard = H8 @ true_w + np.random.normal(0, sigma, 8)
w_hat_B = (1/8) * H8.T @ y_hadamard
print(f"\n=== Estimation ===")
print(f"True weights: {true_w}")
print(f"Method A (individual): {w_hat_A.round(4)}")
print(f" Errors: {(w_hat_A - true_w).round(4)}")
print(f" RMSE: {np.sqrt(np.mean((w_hat_A - true_w)**2)):.4f}")
print(f"Method B (Hadamard): {w_hat_B.round(4)}")
print(f" Errors: {(w_hat_B - true_w).round(4)}")
print(f" RMSE: {np.sqrt(np.mean((w_hat_B - true_w)**2)):.4f}")
# 이론적 분산
print(f"\nTheoretical variance per weight:")
print(f" Method A: {sigma**2:.5f} (SE = {sigma:.4f})")
print(f" Method B: {sigma**2 / 8:.5f} (SE = {sigma / np.sqrt(8):.4f})")
print(f" Efficiency ratio: 8x (Hadamard 가 {np.sqrt(8):.2f}배 정밀)")
# 1000 회 시뮬레이션으로 효율 검증
n_sim = 10000
errs_A = []
errs_B = []
for _ in range(n_sim):
y_A = true_w + np.random.normal(0, sigma, 8)
y_B = H8 @ true_w + np.random.normal(0, sigma, 8)
w_A = y_A
w_B = (1/8) * H8.T @ y_B
errs_A.append(w_A - true_w)
errs_B.append(w_B - true_w)
errs_A = np.array(errs_A)
errs_B = np.array(errs_B)
print(f"\nMonte Carlo (N={n_sim}):")
print(f" Method A var: {errs_A.var(axis=0).mean():.5f}")
print(f" Method B var: {errs_B.var(axis=0).mean():.5f}")10 효율과 측정 횟수의 trade-off
같은 정밀도를 얻는 데 필요한 측정 횟수:
- 개별 측정: \(p\) 측정.
- Hadamard: \(N \ge p\) (\(N = p\) 또는 $N = $ 4 의 배수 \(\ge p\)).
같은 \(N = p\) 회 측정에서 Hadamard 의 분산이 \(1/N\) → 같은 정밀도를 얻으려면 개별 측정은 \(N\) 배 더 측정 필요.
또는 Hadamard 가 같은 정밀도에 측정 횟수 \(N\) 배 절약. 산업 실험에서 큰 효율.
11 일반 weighing 효율 공식
design \(\mathbf{X}\) (\(N \times p\)) 의 한 무게 추정 분산:
\[ \text{Var}(\hat w_j) = \sigma^2 \cdot (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1}_{jj} \]
11.1 효율 ratio
상대 효율 (Hadamard 대비):
\[ e_j = \frac{1/N}{(\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1}_{jj}} \]
\(e_j = 1\): 최적. \(e_j < 1\): 비효율.
각 무게의 효율이 다를 수 있음 — A-efficiency 는 평균.
12 가정과 한계
12.1 표준 가정
- 잡음 등분산: 각 측정의 \(\sigma^2\) 가 같음.
- 잡음 독립성: 측정 간 독립.
- 선형 모형: \(y = \mathbf{x}^T \mathbf{w}\) 가 정확.
- 저울 calibration: 무편향.
12.2 실용 한계
- Hadamard 의 존재: \(N\) 이 4 의 배수일 때만 표준. 다른 \(N\) 은 truncated weighing.
- 2-pan 저울 필요: chemical balance 정수형. spring 은 1-pan 가능.
- 물건 수 = \(p\) 의 제약: \(p \le N\) 필수. \(p > N\) 은 fractional weighing 필요.
- 측정 시간 vs 정확도: 한 측정의 \(\sigma^2\) 가 측정 시간에 의존이면 더 적은 측정이 더 정확할 수 있음 (실용 trade-off).
13 천문학 응용 — 다중 별 광도
여러 별 (예: 8 개) 의 광도를 photometer 로 측정. 대기 변화로 측정 간 시간 짧게 유지.
기존 방식: 한 별씩 측정 (8 회). Hadamard 방식: 일부 별을 동시 측정, 다른 별과 비교 (8 측정).
광도는 합산 가능 (linear) → weighing design 적합.
대기 변화의 영향이 모든 측정에 동등 → 직교 design 으로 분리.
14 메타분석 응용
여러 연구의 효과 크기 결합 시:
\[ \hat\theta_{\text{combined}} = \frac{\sum_i w_i \hat\theta_i}{\sum_i w_i}, \quad w_i = 1/\hat\sigma_i^2 \]
각 연구의 가중치 \(w_i\) 가 그 연구의 정밀도. 정밀한 연구가 큰 가중치.
이는 weighing 의 정수 — “정밀도가 높은 측정에 큰 가중치”. 단지 명시적 design 이 아니라 사후 가중치이지만 통계적 원리는 같다.
Random-effects 메타분석은 더 복잡한 가중치 (between-study variance 추가 고려).
15 본 시리즈
G-MON9-0 개관
G-MON9-1 Definition + Method of Estimation ← 현재 글
G-MON9-2 IB as Weighing (One Pan from BIB)
G-MON9-3 Two Pan Weighing (Reinforced)
G-MON9-4 Two Associate PBIB + Truncated IB + Efficiency16 관련 주제
선행 지식
- G-MON9-0: Weighing Designs 개관
- G-MON5: Incomplete Block — BIB 와의 동치
- Math — 선형대수 (placeholder) — Hadamard, eigenvalue
후속 주제
다른 카테고리 연결
17 더 읽을 거리
- Hotelling, H. (1944). “Some improvements in weighing and other experimental techniques.” Annals of Mathematical Statistics 15: 297-306.
- Mood, A. M. (1946). “On Hotelling’s weighing problem.” Annals of Mathematical Statistics 17: 432-446.
- Banerjee, K. S. (1975). “Weighing Designs.” Marcel Dekker.
- Raghavarao, D. (1971). “Constructions and Combinatorial Problems in Design of Experiments.” Wiley.