정통 Factorial 실험 개관 — Das & Giri 의 분류

Montgomery Ch.3 Factorial Experiments Overview

Das & Giri (1986) 의 정통 DOE 체계에서 factorial 실험의 분류와 핵심 도구 — 2-level (\(2^k\)), 3-level (\(3^k\)), confounding, fractional factorial, finite field 기반 구성 — 의 개관. Maxwell 의 심리학 lens 와 Das/Giri 의 산업 lens 의 차이, 산업·농학·ML 응용 까지 통합 정리.

Experimentation
DOE
저자

Kwangmin Kim

공개

2026년 05월 08일

1 정의

정의: Factorial Experiment (정통 분류)

여러 요인의 levels 조합으로 구성된 실험의 통합 분석 framework.

  • Symmetric: 모든 요인이 같은 수의 levels.
    • \(2^k\): \(k\) 요인 × 2 수준. \(2^k\) 셀.
    • \(3^k\): \(k\) 요인 × 3 수준. \(3^k\) 셀.
    • \(s^k\): 일반 prime \(s\) 수준.
  • Asymmetric: 요인마다 다른 수의 levels (G-MON4).
  • Mixed: \(2^a \times 3^b\) 등.

핵심 도구: - Confounding: 일부 효과를 block 과 동일시. - Fractional factorial: 일부 effect 만 추정. - Finite field 기반 구성: 직교성 보장의 대수 도구.

2 왜 정통 DOE 인가

Maxwell 의 심리학적 lens (G-MAX7~8) 와 차이:

측면 Maxwell (G-MAX) Das & Giri (G-MON)
응용 분야 심리학·임상 농학·산업
강조점 효과 크기, simple effect, model comparison 대수적 구성, alias, finite field
실험 단위 사람 plot, batch, machine
표본 작음 (수십) 큼 (수백~수천)
도구 ANOVA + multiple comparison confounding + fractional

산업·농학에서 표준. ML 의 hyperparameter 탐색·multivariate testing 의 정수형.

3 Ch.3 의 7 단계

G-MON3-0  개관 (현재 글)
    │
    ▼
G-MON3-1  Characterization + Factorial + Two-level Factorials (2^k)
    │
    ▼
G-MON3-2  Finite Fields + Grouping for Interaction Contrasts
    │
    ▼
G-MON3-3  Confounding + More Blocks
    │
    ▼
G-MON3-4  Three-level Factorials (3^k)
    │
    ▼
G-MON3-5  General Construction + Maximum Number
    │
    ▼
G-MON3-6  Analysis + Fractional Factorials
    │
    ▼
G-MON4 (Asymmetrical / Split-Plot)
G-MON5 (Incomplete Block — BIB)

4 응용

분야 요인 수준
산업 (반도체) 온도, 압력, 시간 2~3 수준
농학 비료 종류, 농도, 시기 2~5 수준
생화학 pH, 온도, 효소량 3+ 수준
약리학 용량, 시간 3+ 수준
ML optimizer, lr, regularization 2~5 수준
IT MVT UI 변종 2~3 수준
식품 레시피, 보관 조건 2~4 수준

5 핵심 trade-off

측면 완전 factorial (\(2^k\)) Fractional (\(2^{k-p}\))
셀 수 \(2^k\) (큼) \(2^{k-p}\) (감소)
효과 수 \(2^k - 1\) 일부 (\(k\) 줄)
Resolution 모든 효과 추정 III/IV/V 에 따라
가정 없음 고차 상호작용 ≈ 0

큰 \(k\) (\(\ge 5\)) 에서 fractional 이 필수.

직관: Factorial 의 효과 수 폭증
\(k\) 셀 (\(2^k\)) 효과 수 주효과 이원 삼원 사원
2 4 3 2 1 — —
3 8 7 3 3 1 —
4 16 15 4 6 4 1
5 32 31 5 10 10 5+1
6 64 63 6 15 20 15+6+1

\(k = 6\) 부터 효과 수가 너무 많아 모두 검정 어려움. fractional 또는 PB 활용.

6 2-level Factorial 의 직관

각 요인이 low/high 2 수준 → ±1 코딩.

각 효과는 \(\pm 1\) 의 weighted sum: - 주효과: \(A = \frac{1}{2^{k-1}} \sum (\text{A high의 평균} - \text{A low의 평균})\). - 이원: $AB = $ 비슷하게 (A × B 의 부호 곱).

직교성: 임의의 두 effect 가 직교 → SS 가산 분해.

7 응용 — 산업 사례

7.1 반도체 etching

요인: - \(A\) = 온도 (low 100°C / high 150°C). - \(B\) = 압력 (low 1 atm / high 2 atm). - \(C\) = 시간 (low 30 sec / high 60 sec).

응답: etching rate (nm/min).

\(2^3 = 8\) runs. 각 run 의 결과로 7 효과 추정 + 잔차.

가설 결과: - \(A\) (온도): 큰 효과. - \(B\) (압력): 중간 효과. - \(C\) (시간): 작은 효과. - \(AB\), \(AC\): 작은 상호작용. - \(BC\), \(ABC\): 무시 가능.

→ 온도와 압력이 핵심. 다음 단계 RSM 으로 최적화 (G-MON7).

8 응용 — ML hyperparameter

8.1 사례

요인: - \(A\) = optimizer (Adam / SGD): 2 수준. - \(B\) = learning rate (1e-4 / 1e-3): 2 수준. - \(C\) = batch size (32 / 128): 2 수준. - \(D\) = dropout (0.0 / 0.5): 2 수준.

\(2^4 = 16\) runs. 각 run 의 validation accuracy.

분석: - 각 효과의 contribution 분리. - 어느 hyperparameter 가 가장 영향력 큰지 식별. - 다음 단계: fractional factorial 또는 RSM 으로 좁힘.

이는 ML 의 hyperparameter screening 의 정수.

9 핵심 도구 미리보기

9.1 Confounding (G-MON3-3)

일부 효과 (보통 고차 상호작용) 를 block 과 의도적으로 동일시. block 내 셀 수 ↓ 가능.

예: \(2^4 = 16\) 을 \(4 \times 4\) 의 block 으로 분할 — \(ABCD\) 4 원 상호작용을 block 효과와 confound.

9.2 Fractional Factorial (G-MON3-6)

\(2^k\) 의 1/2, 1/4 만 실행. Resolution III, IV, V 에 따라 alias 구조.

큰 \(k\) 에 필수. PB design 의 정수형.

10 가정과 한계

  • 요인 수 폭증: 큰 \(k\) 에 fractional 필수.
  • 고차 상호작용 = 0 가정: fractional 의 전제.
  • 셀 등표본: 비균등은 Type II/III SS.
  • 잡음 등분산: ANOVA 표준 가정.

11 ML 매핑

매핑: ML 의 multivariate testing

A/B Test 가 한 요인의 두 변종을 비교한다면, multivariate test (MVT) 는 여러 요인을 동시에 시험한다. Google 의 41 가지 파란색 실험 같은 단일 요인 다수준도 factorial 의 변형.

MVT 의 강점: - 비용 절감 (한 실험에 여러 요인). - 상호작용 발견.

단점: - 셀 수 폭증 (\(2^4 = 16\), \(3^4 = 81\)). - 셀당 표본 부족.

해결: fractional factorial 또는 RSM (G-MON7).

12 본 시리즈

G-MON3-0  Factorial 개관 (현재 글)
G-MON3-1  $2^k$ Factorial
G-MON3-2  Finite Fields + Grouping
G-MON3-3  Confounding
G-MON3-4  $3^k$ Factorial
G-MON3-5  General Construction + Maximum Number
G-MON3-6  Analysis + Fractional Factorial
    ↓
G-MON4 (Asymmetrical / Split-Plot)

13 관련 주제

선행 지식

후속 주제

다른 카테고리 연결

14 더 읽을 거리

  • Box, G. E. P., Hunter, W. G., Hunter, J. S. (2005). “Statistics for Experimenters.” Wiley.
  • Montgomery, D. C. (2017). “Design and Analysis of Experiments” (9th ed). Wiley.
  • Das, M. N., Giri, N. C. (1986). “Design and Analysis of Experiments” (2nd ed). Wiley Eastern.
  • Wu, C. F. J., Hamada, M. S. (2009). “Experiments: Planning, Analysis, and Optimization” (2nd ed). Wiley.

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