1 들어가며 — CS·AR(1) 의 가정을 어떻게 풀어줄까

§ 6.2.1-6.2.2 (CS·AR(1)) 포스트 에서 두 절약 구조를 다뤘다. 둘 다 모수 \(q = 2\) 로 가장 작지만 강한 가정을 동반한다.

구조	가정	약점
CS	모든 lag 의 상관 동일	시간 의존을 표현 못함
AR(1)	상관이 \(\rho^{\|j-j'\|}\) 의 지수 함수	함수 형태 강제, 등간격 가정

이 가정을 단계적으로 풀어주는 두 구조가 §6.2.3 Toeplitz 와 §6.2.4 Unstructured (UN) 다.

Toeplitz: AR(1) 의 “지수 함수 강제” 만 풀어준다. lag 별 상관을 자유롭게 두되 시점 위치는 여전히 무관 (정상성 유지).
UN: 모든 가정을 풀어준다. 시점별 분산도 다르고 같은 lag 의 상관도 시점에 따라 다를 수 있음.

한 줄 비유

CS: “모두가 같은 가족 — 거리도 시간도 무관.” AR(1): “일렬 줄 — 거리가 지수적으로 결정.” Toeplitz: “여전히 일렬 줄 — 단 거리별 친밀도는 자유.” UN: “줄 자체가 없음 — 모든 쌍이 자기 사정에 따라.”

가정이 풀릴수록 모수가 늘고, 모수가 늘수록 추정이 불안정해진다.

이 두 구조는 또한 모형 선택의 핵심 기준이 된다 — Jennrich & Schluchter (1986) 의 LR 검정 절차에서 UN 을 full 모형 으로 두고 다른 구조를 비교하기 때문이다.

2 CS-AR(1)-Toeplitz-UN 의 nested 관계

네 구조의 모수 수는 다음과 같다 (\(n\) = 시점 수).

구조	모수 수 \(q\)	시점별 분산 동일?	lag 별 상관 자유?	시점 위치 무관?
CS	2	O	X (한 모수에 묶임)	O
AR(1)	2	O	X (지수 함수)	O
Toeplitz	\(n\)	O	O	O
UN	\(n(n+1)/2\)	X	O	X

마지막 두 행만 비교하면 Toeplitz 가 UN 의 제한 모형 임이 보인다. UN 에서 “같은 lag 면 같은 상관” 이라는 제약을 추가하면 Toeplitz 가 된다.

nested 관계 한 줄 — 제약을 추가하는 순서

\[ \text{UN} \supset \text{Toeplitz} \supset \text{AR(1)} \supset \text{CS} \]

UN → Toeplitz: 같은 lag 의 모든 쌍이 같은 상관이라는 제약 추가.
Toeplitz → AR(1): lag 별 상관이 \(\rho^k\) 의 지수 함수라는 제약 추가.
AR(1) → CS: \(\rho \to 1\) 이 아니라 모든 lag 가 같은 상관이라는 제약 — 사실 AR(1)·CS 둘 다 \(q=2\) 로 nested 가 아니지만, “lag 무시” 라는 더 강한 제약을 추가하면 CS.

이 nested 관계가 LR 검정의 기반이다. 제약 모형 vs UN 의 deviance 차이가 \(\chi^2\) 분포를 따른다.

3 § 6.2.3 — Toeplitz (Banded) 구조

3.1 정의와 수식

정의: Toeplitz 구조

같은 lag 의 모든 (공)분산이 한 모수로 묶인다.

\[ \sigma_{jj'} = \theta_k, \quad k = |j - j'| + 1 \tag{6.5} \]

행렬 형태:

\[ \Sigma_{\text{Toep}} = \begin{bmatrix} \theta_1 & \theta_2 & \theta_3 & \cdots & \theta_n \\ \theta_2 & \theta_1 & \theta_2 & \cdots & \theta_{n-1} \\ \theta_3 & \theta_2 & \theta_1 & \cdots & \theta_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \theta_n & \theta_{n-1} & \theta_{n-2} & \cdots & \theta_1 \end{bmatrix} \]

\(\theta_1\): 분산 (모든 시점에서 동일).
\(\theta_2\): lag-1 공분산.
\(\theta_3\): lag-2 공분산.
\(\theta_n\): lag-\((n-1)\) 공분산.
모수: \(\theta = (\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n)\), 즉 \(q = n\).

“Toeplitz” 라는 이름 — 행렬 구조 명명

Toeplitz 행렬은 수학에서 대각선이 일정한 행렬 을 의미한다. 즉 \(A_{jj'}\) 가 \(j - j'\) 의 함수로만 결정되는 행렬.

\[ A_{j+k, j'+k} = A_{jj'} \quad \text{for all } k \]

이 성질이 종단 데이터의 시점 위치 무관성 과 정확히 맞닿는다 — Wk1-Wk2 의 공분산과 Wk5-Wk6 의 공분산이 같다고 가정 (둘 다 lag-1).

“Banded” 라는 별칭은 행렬을 그렸을 때 같은 값이 같은 대각 띠 (band) 위에 놓이는 모습에서 왔다.

3.2 직관 — “lag 는 자유, 위치는 무관”

Toeplitz 의 핵심 가정 두 가지:

시점 위치 무관 (정상성 유지): 같은 lag 면 어느 시점이든 같은 상관.
lag 별 함수 형태 자유: AR(1) 의 지수 감쇠를 강제하지 않음. lag-1, lag-2, lag-3 상관이 임의 값.

직관 비교 — AR(1) vs Toeplitz

같은 시계열 데이터에서 lag 별 상관을 추정한다고 하자.

lag	AR(1) (\(\rho = 0.5\))	Toeplitz
1	0.500	0.50 (자유)
2	0.250	0.40 (자유)
3	0.125	0.30 (자유)
4	0.063	0.30 (자유)
5	0.031	0.20 (자유)

AR(1) 은 한 모수 \(\rho\) 가 lag-1 을 정하면 나머지 lag 가 자동 결정된다 (등비수열). Toeplitz 는 각 lag 가 별도 모수 — 데이터에 맞춰 자유롭게 추정.

AR(1) 이 데이터의 상관 곡선과 형태가 다르면 (예: 처음엔 빨리 감소하다 평탄해지는 패턴) Toeplitz 가 유의하게 더 적합한다.

3.3 \(q = n\) 의 의미 — 절약과 유연성의 절충

Toeplitz 의 모수 수는 \(q = n\). 시점 6 이면 6 개, 시점 10 이면 10 개. AR(1) 의 2 개와 UN 의 \(n(n+1)/2\) 사이에 위치한다.

\(n\)	CS	AR(1)	Toeplitz	UN
4	2	2	4	10
6	2	2	6	21
8	2	2	8	36
10	2	2	10	55

Toeplitz 의 함정 — 후반 lag 의 추정 불안정

\(n = 10\) 시점 데이터에서:

lag-1 (인접) 쌍의 수: 9 (모든 피험자가 9 개 lag-1 쌍을 가짐) → 추정 안정.
lag-9 (가장 먼) 쌍의 수: 1 (한 쌍만 존재) → 추정 불안정.

후반 lag 는 표본이 적어 표준오차가 커진다. 실무에서는 고차 lag (예: lag \(\geq 4\)) 를 0 으로 묶는 절약 Toeplitz 를 쓰기도 한다 (\(q < n\)).

3.4 코드 예시 — Toeplitz 구성

import numpy as np


def toeplitz_cov(theta: np.ndarray) -> np.ndarray:
    """Toeplitz 분산-공분산 행렬

    theta: 길이 n 의 벡터. theta[0] = 분산, theta[k] = lag-k 공분산.
    """
    n = len(theta)
    idx = np.arange(n)
    lag = np.abs(idx[:, None] - idx[None, :])
    return theta[lag]


# 예시: 시점 6, 분산 2.0, lag-1~5 자유 추정
theta = np.array([2.0, 1.5, 1.0, 0.7, 0.5, 0.3])
print("Toeplitz (n=6):")
print(toeplitz_cov(theta).round(2))
# 대각: 2.0
# lag-1 비대각: 1.5
# lag-2 비대각: 1.0
# ...
# lag-5 비대각 (모서리): 0.3

이 출력의 모든 같은 대각선 (lag) 위에는 동일한 값이 놓인다 — Toeplitz 행렬의 정의.

3.5 Toeplitz 의 응용 시나리오

상황	이유
AR(1) 가 부족하지만 UN 까지는 과한 데이터	\(q = n\) 으로 합리적 절충
등간격 추적 + 비지수 감쇠 패턴	정상성은 유지하되 lag 함수 형태 자유
시점 6~10 + 표본 중간 규모 (50~150)	모수 안정 추정 가능한 범위
시계열 분석에서 ARMA 잔차 진단	lag 별 자유 표현 → ARMA 차수 식별

4 § 6.2.4 — Unstructured (UN) 구조

4.1 정의와 수식

정의: Unstructured 구조

분산-공분산 행렬의 모든 자유 모수가 별도로 추정된다 (대칭성 외 제약 없음).

\[ \Sigma_{\text{UN}} = \begin{bmatrix} \theta_{11} & \theta_{12} & \theta_{13} & \cdots & \theta_{1n} \\ \theta_{21} & \theta_{22} & \theta_{23} & \cdots & \theta_{2n} \\ \theta_{31} & \theta_{32} & \theta_{33} & \cdots & \theta_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \theta_{n1} & \theta_{n2} & \theta_{n3} & \cdots & \theta_{nn} \end{bmatrix}, \quad \theta_{jj'} = \theta_{j'j} \tag{6.6} \]

대각: \(\theta_{11}, \theta_{22}, \ldots, \theta_{nn}\) — 시점별 분산이 모두 다를 수 있음.
비대각: \(\theta_{jj'}\) — 모든 시점 쌍의 공분산이 자유.
대칭: \(\theta_{jj'} = \theta_{j'j}\) — 분산-공분산 행렬의 본질적 성질.
모수: 대각 \(n\) 개 + 상삼각 \(n(n-1)/2\) 개 = \(q = n(n+1)/2\).

모수 수 공식의 직관

분산-공분산 행렬은 \(n \times n = n^2\) 개 원소를 가지지만 대칭이라 절반만 자유.

대각: \(n\) 개 (시점별 분산).
상삼각: \(n(n-1)/2\) 개 (시점 쌍의 공분산).
합계: \(n + n(n-1)/2 = n(n+1)/2\).

\(n = 6\) 이면 21 개, \(n = 10\) 이면 55 개, \(n = 20\) 이면 210 개.

4.2 직관 — “구조 가정 전혀 없음”

UN 은 분산-공분산 행렬에 어떤 함수적 구조도 부과하지 않는다. 데이터가 가진 모든 분산·공분산 패턴을 그대로 추정한다.

CS·AR(1)·Toeplitz·UN 의 가정 단계

같은 시점 6 의 분산-공분산 행렬을 어떻게 채울지 비교하자.

        Wk1  Wk2  Wk3  Wk4  Wk5  Wk6
Wk1  [   d    a    a    a    a    a ]
Wk2  [   a    d    a    a    a    a ]    CS — 2 모수 (d, a)
Wk3  [   a    a    d    a    a    a ]
...

        Wk1  Wk2  Wk3  Wk4  Wk5  Wk6
Wk1  [   d   r¹   r²   r³   r⁴   r⁵ ]
Wk2  [   r¹   d   r¹   r²   r³   r⁴ ]    AR(1) — 2 모수 (d=σ², r=ρ)
Wk3  [   r²  r¹   d   r¹   r²   r³ ]    상관이 lag 의 지수 함수
...

        Wk1  Wk2  Wk3  Wk4  Wk5  Wk6
Wk1  [   θ₁   θ₂   θ₃   θ₄   θ₅   θ₆ ]
Wk2  [   θ₂   θ₁   θ₂   θ₃   θ₄   θ₅ ]    Toeplitz — 6 모수
Wk3  [   θ₃   θ₂   θ₁   θ₂   θ₃   θ₄ ]    같은 lag 동일
...

         Wk1   Wk2   Wk3   Wk4   Wk5   Wk6
Wk1  [  θ₁₁   θ₁₂   θ₁₃   θ₁₄   θ₁₅   θ₁₆ ]
Wk2  [  θ₂₁   θ₂₂   θ₂₃   θ₂₄   θ₂₅   θ₂₆ ]   UN — 21 모수
Wk3  [  θ₃₁   θ₃₂   θ₃₃   θ₃₄   θ₃₅   θ₃₆ ]   모든 칸 자유
...

가정이 풀릴수록 모수가 폭발하는 패턴이 한눈에 보인다.

4.3 모수 폭발 — 표본 크기와의 함정

UN 의 가장 큰 약점은 모수 수의 폭발이다.

표본 대비 모수 비율 — 추정 안정성의 적신호

종단 임상 시험의 흔한 시나리오:

시점 수 \(n\)	UN 모수 \(q\)	안정 추정에 필요한 표본 (대략 \(5q\))
4	10	50
6	21	105
8	36	180
10	55	275
15	120	600
20	210	1050

표본이 \(5q\) 미만이면 ML 추정이 수렴 안 하거나, 수렴해도 표준오차가 비현실적으로 커진다.

이런 경우 다음 대안이 있다.

Toeplitz: 시점 위치 무관 가정으로 \(q = n\) 까지 줄임.
AR(1): 지수 함수 가정으로 \(q = 2\) 까지 줄임.
RE (= MRM): 랜덤 효과 디자인으로 \(q = r(r+1)/2 + 1\) 까지 줄임.
NS-AR(1) (Ch.7): 시점별 분산 변동 + AR(1) 결합.

4.4 UN 과 MANOVA 의 동치

CPM 의 UN = MANOVA 의 분산 가정

Ch.3 — MANOVA 종단 접근 에서 본 것처럼 MANOVA 는 분산-공분산 행렬에 어떤 구조도 부과하지 않는다.

수학적으로 MANOVA 의 분산 가정 = CPM-UN 과 정확히 같다. 두 모형의 차이는 한 가지뿐.

	MANOVA	CPM-UN
분산-공분산 형태	UN	UN
결측 처리	불가 (피험자 전체 제외)	가능 (관측 시점만 사용)
시변 공변량	불가	가능

→ CPM-UN 은 MANOVA 의 결측 데이터 한계를 해소한 일반화 다.

이 사실이 UN 을 LR 검정의 full 모형으로 사용하는 이유 — UN 은 “분산-공분산에 대한 가장 일반적 형태” 라는 의미를 가진다.

4.5 UN 의 응용 시나리오

상황	이유
시점 적음 (\(n \leq 6\)) + 표본 큼 (\(N \geq 100\))	모수 안정 추정 가능
분산 구조 자체가 연구 질문 (호전 속도가 시점에 따라 가속되는가)	시점별 분산 자유
LR 검정의 full 모형	다른 구조 적합도의 기준점
임상 시험 분석에서 보수적 선택	가정 위반 위험 최소 (대신 검정력 손실)

4.6 UN 의 함정 — 검정력 손실

UN 은 가장 유연하지만 가정이 풀리는 만큼 검정력 (statistical power) 이 떨어진다. 다른 구조가 데이터에 적합하다면 그 구조를 쓰는 것이 더 좋다.

절약과 유연의 권장 트레이드오프

항상 UN 으로 시작 적합 — 분산 구조의 baseline.
CS, AR(1), Toeplitz 와 LR 검정 — 더 절약적 구조가 데이터에 부합하는지 평가.
AIC/BIC 보조 — non-nested 비교나 해석 비용 함께 고려.
임상에서는 분산 구조 모형 비전도시 UN — 보수적 추론 필요 시.
표본 작고 시점 많으면 RE 또는 AR(1) — 모수 수 자체가 위험.

UN 은 “최후의 보루” 가 아니라 “기준점” 으로 활용한다.

5 Toeplitz vs UN 한 페이지 비교

항목	Toeplitz	UN
모수 수 \(q\)	\(n\)	\(n(n+1)/2\)
시점별 분산	동일 (\(\theta_1\))	자유 (\(\theta_{11}, \ldots, \theta_{nn}\))
같은 lag 의 상관	모두 동일	시점에 따라 자유
정상성	O	X
MANOVA 동치	X	O
유연성 순위	3 (CS·AR(1) 다음)	5 (가장 유연)
모수 폭발	\(n\) 에 선형	\(n^2\) 에 비례
적합 우위 상황	등간격 + 분산 동일 + lag 비지수	시점 적음 + 표본 큼 + 가정 회피

직관 한 줄

Toeplitz: “거리별 친밀도는 자유롭게, 단 거리가 같으면 모두 똑같이.” UN: “쌍마다 사연이 있다, 단 한 명한테는 같은 친밀도.”

UN 의 마지막 단서 (“한 명한테는 같은 친밀도”) 는 대칭성 — \(\theta_{jj'} = \theta_{j'j}\).

6 코드 예시

6.1 Step 1: 두 구조 직접 구성 (numpy)

import numpy as np


def toeplitz_cov(theta: np.ndarray) -> np.ndarray:
    """Toeplitz: theta[k] = lag-k 공분산"""
    n = len(theta)
    idx = np.arange(n)
    lag = np.abs(idx[:, None] - idx[None, :])
    return theta[lag]


def un_cov(diag: np.ndarray, off_upper: np.ndarray) -> np.ndarray:
    """UN: 대각 자유 + 상삼각 자유 → 대칭 행렬

    diag:      길이 n 의 분산 벡터 (theta_11, ..., theta_nn).
    off_upper: 길이 n(n-1)/2 의 상삼각 공분산 벡터 (행 우선).
    """
    n = len(diag)
    out = np.zeros((n, n))
    out[np.diag_indices(n)] = diag

    # 상삼각 채우기 + 대칭으로 하삼각 복사
    iu = np.triu_indices(n, k=1)
    out[iu] = off_upper
    out = out + out.T - np.diag(np.diag(out))
    return out


# Toeplitz: 등간격 추적, lag 별 자유
n = 6
theta = np.array([2.0, 1.5, 1.0, 0.7, 0.5, 0.3])
print("Toeplitz (n=6):")
print(toeplitz_cov(theta).round(2))

# UN: 시점별 분산 다름, 모든 쌍 자유
diag = np.array([1.0, 1.2, 1.5, 1.8, 2.1, 2.3])  # 분산 시점 후반 증가
off  = np.array([
    0.8, 0.6, 0.4, 0.3, 0.2,   # row 1: 12, 13, 14, 15, 16
         0.9, 0.7, 0.5, 0.3,   # row 2: 23, 24, 25, 26
              1.0, 0.8, 0.6,   # row 3: 34, 35, 36
                   1.2, 0.9,   # row 4: 45, 46
                        1.4,   # row 5: 56
])
print("\nUN (n=6):")
print(un_cov(diag, off).round(2))

UN 출력의 대각이 1.0 → 2.3 으로 증가, 같은 lag (예: lag-1 = (1,2), (2,3), (3,4), …) 의 공분산도 0.8, 0.9, 1.0, 1.2, 1.4 로 변동 — Toeplitz 와 다른 패턴.

6.2 Step 2: 양정치 (Positive Definite) 검증

분산-공분산 행렬은 항상 양정치여야 한다. UN 처럼 자유 모수를 직접 채우면 양정치 조건을 깨기 쉽다 — 예를 들어 비대각 모수가 너무 크면 행렬이 음정치가 된다.

import numpy as np


def is_positive_definite(M: np.ndarray, tol: float = 1e-8) -> bool:
    """모든 고유값이 양수 + 대칭 → 양정치"""
    if not np.allclose(M, M.T, atol=tol):
        return False
    eigvals = np.linalg.eigvalsh(M)
    return np.all(eigvals > tol)


# Toeplitz 양정치 검증
theta = np.array([2.0, 1.5, 1.0, 0.7, 0.5, 0.3])
T = toeplitz_cov(theta)
print(f"Toeplitz PD: {is_positive_definite(T)}")  # True

# UN 양정치 검증 — 위 정의된 행렬
U = un_cov(diag, off)
print(f"UN PD: {is_positive_definite(U)}")  # True (의도적으로 양정치 설계)

# 양정치 깨는 예시 — 비대각 모수가 너무 큰 경우
diag_bad = np.array([1.0, 1.0])
off_bad  = np.array([1.5])  # |공분산| > 분산 → 상관 1.5 → 양정치 위반
B = un_cov(diag_bad, off_bad)
print(f"\nUN (bad) PD: {is_positive_definite(B)}")  # False
print(B)

추정 시 양정치 제약

ML 추정에서 UN 은 양정치 제약을 자동으로 만족하지 않는다. 실무 패키지 (R nlme, Python statsmodels) 는 다음 방법을 쓴다.

Cholesky 매개변수화: \(\Sigma = LL^\top\) 의 \(L\) 을 추정 → 자동 양정치.
분산-상관 분리: 분산은 양수 변환 (log), 상관은 [-1, 1] 변환 (Fisher z) 으로 추정.
양정치 깨지면 수렴 실패 또는 boundary 추정 — 모수 수 줄이거나 더 절약적 구조로 교체.

6.3 Step 3: R nlme::gls 로 두 구조 적합

library(nlme)

# 합성 종단 데이터 (long format)
set.seed(2026)
n_subj <- 80
n_time <- 6
df <- expand.grid(week = 1:n_time, id = 1:n_subj)
df$y  <- rnorm(nrow(df))

# Toeplitz 구조 — corARMA(p=0, q=n-1) 또는 사용자 정의
# nlme 표준 함수에는 직접 Toeplitz 가 없어 corARMA 의 MA(n-1) 로 근사
m_toep <- gls(y ~ week,
              data = df,
              correlation = corARMA(form = ~ week | id, p = 0, q = 5),
              method = "ML")

# UN 구조 — corSymm + varIdent
# corSymm: 상관 행렬 자유
# varIdent: 시점별 분산 자유
m_un <- gls(y ~ week,
            data = df,
            correlation = corSymm(form = ~ 1 | id),
            weights = varIdent(form = ~ 1 | week),
            method = "ML")

# 모형 비교
anova(m_toep, m_un)  # nested → LR 검정
AIC(m_toep, m_un)    # 보조 기준

R 의 분산-공분산 구조 매핑

구조	nlme	glmmTMB
CS	`corCompSymm`	`cs`
AR(1)	`corAR1`	`ar1`
Toeplitz	`corARMA(p=0, q=n-1)`	`toep`
UN	`corSymm + varIdent`	`us`

glmmTMB 가 더 직관적인 명명이지만 nlme 가 ML/REML 옵션이 더 명시적이다. 임상 분석에서는 SAS PROC MIXED 가 표준 — 모든 구조를 repeated /type=... 한 줄로.

7 Toeplitz·UN 의 한계와 다음 단계

7.1 공통 한계

한계	의미	대안
등간격 가정 (Toeplitz)	불등간격 시점 처리 못함	NS-AR(1), continuous-time AR(1) (Ch.7)
모수 폭발 (UN)	\(n\) 이 크면 추정 불안정	Toeplitz, AR(1), RE (= MRM)
개인별 추론 불가	“환자 A 의 호전 속도?” 답 못함	RE 구조 (= MRM)
분산 구조 모형 의미 부재	인과 메커니즘 부재	RE-CPM (= MRM) 으로 옮김

7.2 § 6.2.5 RE 구조 — 다음 sub-post

Ch.6 Overview 의 다섯 번째 구조 — Random-Effects (RE) — 가 남았다.

\[ \Sigma_i = Z_i \Sigma_\upsilon Z_i^\top + \sigma^2 I_{n_i} \tag{6.8} \]

이는 MRM 의 마진 분산-공분산 형태와 정확히 같다. CPM 의 5 구조 중 RE 만이 분산을 “피험자 간” + “피험자 내” 로 분해한다 (다른 4 구조는 분해 없음).

7.3 Ch.7 의 결합 모형

CPM 과 MRM 을 결합한 가장 유연한 모형 — Ch.7 — MRM with Autocorrelated Errors:

\[ y_i = X_i\beta + Z_i\upsilon_i + \varepsilon_i, \quad \varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 R_i), \]

여기서 \(R_i\) 는 CPM 의 공분산 구조 중 하나. MRM 의 조건부 독립 가정 (\(R_i = I\)) 을 풀어주는 일반화.

8 모형 선택 — UN 을 기준으로 한 LR 검정 (재방문)

Jennrich & Schluchter (1986) 절차

UN (full) vs 제약 구조 (CS, AR(1), Toeplitz) LR 검정.
자유도: \(\text{df} = \frac{n(n+1)}{2} - q^*\), \(q^*\) 는 제약 구조의 모수 수.
p-value 보정: 분산 모수 검정이므로 2 로 나눔 (Snijders & Bosker, 1999).
제약 구조가 유의하지 않으면 (p > 0.05 보정 후) 그 구조 채택 — UN 보다 절약적.

Bock WPSS 데이터 의 결과:

비교	\(\chi^2\)	df	p (보정)	결과
Toeplitz vs UN	43.0	15	0.000079	UN 채택
AR(1) vs UN	50.4	19	0.000057	UN 채택
CS vs UN	(더 큼)	19	< 0.0001	UN 채택

3 가지 제약 모두 데이터에 부합 안 해 UN 사용 강제. 이 사례는 UN 의 가치 — 다른 구조의 한계가 데이터로 드러남.

9 핵심 정리

한 페이지 요약

Toeplitz (\(q = n\)): \(\sigma_{jj'} = \theta_k\), \(k = |j-j'|+1\). 같은 lag 의 모든 쌍이 같은 공분산 (시점 위치 무관). AR(1) 의 지수 함수 강제를 풀어줌.
Toeplitz 의 정상성: 시점별 분산은 여전히 동일 (\(\theta_1\)). 이 점이 깨지면 Toeplitz 부족.
Toeplitz 의 약점: 후반 lag 의 표본 적음 → 추정 불안정. 절약 Toeplitz (고차 lag = 0) 가 대안.
UN (\(q = n(n+1)/2\)): 모든 분산-공분산이 자유 모수. 시점별 분산 다름 + 같은 lag 시점에 따라 자유.
UN = MANOVA: 분산 가정이 정확히 같음. CPM-UN 은 MANOVA 의 결측 데이터 한계 해소.
UN 의 약점: 모수 폭발 (\(n=10 \to 55\), \(n=20 \to 210\)). 표본 \(\geq 5q\) 가 안전 가이드.
UN 의 역할: LR 검정의 full 모형. 다른 구조의 적합도 평가 기준.
nested 관계: UN ⊃ Toeplitz ⊃ AR(1) ⊃ CS. 가정이 풀릴수록 모수 증가.
실무 절차: UN 적합 → 제약 구조와 LR 검정 → 절약 구조 가능하면 채택.
다음 단계: 시점별 분산 변동 + 시간 의존 → NS-AR(1) (Ch.7), 개인별 추론 → RE (= MRM).

Toeplitz 와 UN 은 CS·AR(1) 의 강한 가정을 단계적으로 풀어주는 도구다. UN 이 가장 유연하지만 모수 비용이 크고, Toeplitz 가 그 절충점에 위치한다. 모형 선택은 데이터의 분산·상관 패턴을 보고 가장 절약적이면서 부합하는 구조를 고르는 과정.

10 관련 주제

선행 지식

Ch.6 Overview — 공분산 패턴 모형 (CPM) — 5 구조 개요
§ 6.2.1-6.2.2 — CS 와 AR(1) — 두 절약 구조의 한계 → 이 포스트의 출발점
Ch.3 — MANOVA 종단 접근 — UN 의 모태