Cox’s Proportional-Hazards Model — 부분 우도·동률 처리·Whitehead 포아송 환원 (McCullagh §13.5)

1 서론 — “반모수” 의 의미

§13.3 의 모수적 비례 위험 모형은 세 모수 집합 을 추정한다.

• 선형 예측자 모수 \(\beta\) — 공변량 효과.
• 분산 모수 \(\phi\) (해당 분포에서 필요 시).
• 분포 모수 \(\alpha\) 또는 분포 형태 자체 — Weibull, 극치값 등.

Cox (1972a) 의 혁신은 세 번째 집합을 완전히 포기 하는 것이다.

\[h(t; x) = \lambda(t) \exp(\beta^T x).\]

\(\lambda(t)\) 를 임의의 음이 아닌 함수 로 두고, 어떤 모수 형태도 부과하지 않는다. 추정에서는 \(\beta\) 만 다룬다. \(\lambda(t)\) 는 nuisance — 사용하지 않는다.

이 접근이 왜 작동하는지, 어떻게 계산하는지, 동률을 어떻게 다루는지가 §13.5 의 내용이다.

Ch.13 overview (12-1) 에서 Cox 모형의 개념을 간략히 언급했다. 이 포스트는 부분 우도의 수학적 유도, 동률 처리의 세 변종, Whitehead (1980) 의 포아송 GLM 환원 까지 상세히 다룬다.

2 부분 우도 (§13.5.1)

2.1 핵심 관찰 — 실패 시점만 중요

Cox 의 출발점: “실패가 일어난 시점들 만 우도에 기여한다. 실패가 없는 시간 구간은 \(\lambda(t) = 0\) 으로 둬도 가능성에 영향 없음.”

수학적으로, \([0, T]\) 를 실패 시점들 \(t_1 < t_2 < \cdots < t_J\) 로 분할. 각 구간 \((t_{j-1}, t_j)\) 에서 위험을 0 으로 해도 관측된 사건열의 확률 은 변하지 않는다.

따라서 우도 구성에서 “\(\lambda(t)\) 가 각 \(t_j\) 에서 얼마” 인지만 중요하다. 연속성이나 매끄러움 가정 없이 이산적 기여 로 처리 가능.

2.2 위험 집합 (risk set)

\(t_j\) 직전에 관찰 중이고 아직 실패·중도절단되지 않은 개체들의 집합:

\[R(t_j) = \{l : t_l \geq t_j \text{ and not yet failed or censored before } t_j\}.\]

\(|R(t_j)| = k_j\) 라 하자.

2.3 조건부 확률 (13.4) 의 유도

가정: 동률 없음. \(t_j\) 에서 정확히 한 명 이 실패. 이것을 조건 으로 걸면:

\[\Pr(\text{$R(t_j)$ 중에서 정확히 한 명이 $t_j$ 에 실패}) \quad \text{는 사건}.\]

이 조건 하에서, 누가 실패했는가의 확률:

\[\Pr(\text{individual } l \text{ fails at } t_j \mid \text{one failure in } R(t_j) \text{ at } t_j) = \frac{h(t_j; x_l)}{\sum_{m \in R(t_j)} h(t_j; x_m)}.\]

비례 위험 모형 \(h(t_j; x_l) = \lambda(t_j) \exp(\beta^T x_l)\) 대입:

\[ \Pr = \frac{\lambda(t_j) \exp(\beta^T x_l)}{\sum_{m \in R(t_j)} \lambda(t_j) \exp(\beta^T x_m)} = \frac{\exp(\beta^T x_l)}{\sum_{m \in R(t_j)} \exp(\beta^T x_m)}. \tag{13.4} \]

\(\lambda(t_j)\) 가 분자·분모에서 상쇄 된다. 조건부 확률이 기저 위험에 완전히 무관.

2.4 부분 우도 정의

실제 실패자가 \(x_j\) 라 할 때, 실패 시점들 전체의 조건부 확률 곱:

\[ L_P(\beta) = \prod_{j=1}^{J} \frac{\exp(\beta^T x_j)}{\sum_{m \in R(t_j)} \exp(\beta^T x_m)}. \]

이것이 부분 우도 (partial likelihood). “부분” 이라는 이유는 완전 우도 (full likelihood) 가 아니기 때문. 실패 시점 \(t_j\) 의 정보는 담지만 생존 기간 자체의 정보는 담지 않는다.

왜 “부분” 인가 — 우도의 두 성분

완전 우도는 두 성분으로 분해된다.

1. 실패 시점 성분: “실패가 \(t_1, \ldots, t_J\) 에 일어난다” 는 확률.
2. 누가 실패했나 성분: “그 시점에 \(R(t_j)\) 중 누가 실패했나” 의 조건부 확률.

1. 은 \(\lambda(t)\) 에 의존. (2) 는 \(\lambda(t)\) 에 무관.

Cox 는 (2) 만 써서 \(\beta\) 를 추정한다. (1) 의 정보는 버린다. 따라서 “부분” 이다.

놀라운 사실: (1) 의 버림에도 불구하고 \(\widehat\beta_{\text{partial}}\) 가 점근적으로 참 모수적 MLE 과 거의 같은 효율을 가진다 (Efron 1977, Oakes 1977, §13.4 에서 언급). 이유는 \(\beta\) 와 \(\lambda(t)\) 의 점근 직교성.

3 비중심 초기하 분포와의 연결

3.1 §7.3.2 복습

비중심 초기하 분포: 흰 공 \(w\) 개, 검은 공 \(b\) 개 상자에서 복원 없이 \(n\) 개 뽑는데, 각 공이 뽑힐 확률이 상수가 아니라 오즈비 \(\psi\) 로 가중. 뽑힌 흰 공의 수의 분포.

3.2 (13.4) 가 일반화된 비중심 초기하

(13.4) 를 이렇게 해석: “\(R(t_j)\) 는 \(k_j\) 개 공변량 벡터의 유한 모집단. 각 벡터 \(x_l\) 의 선택 가중치 는 \(\exp(\beta^T x_l)\). 이 가중치로 1 개 추출 하는 확률이 (13.4).”

\(x\) 가 이진 (0/1) 이면 이것이 정확히 비중심 초기하의 일반화: - \(\psi = e^\beta\) (오즈비). - \(\beta\) 가 이 오즈비의 로그.

3.3 역할 역전 — Cox 의 코페르니쿠스 전환

McCullagh-Nelder 가 강조하는 개념적 전환:

전통적 관점 (모수적 §13.3): - 실패 시간 \(T\) 는 무작위. 분포 \(f(t;x)\) 로 모형화. - 공변량 \(x\) 는 고정 (실험 설계). - 우도: \(\prod f(t_i; x_i)\) 또는 \(\prod S(t_i; x_i)\).

Cox 의 관점 (부분 우도 §13.5): - 실패 시간 \(t_j\) 는 고정 (관측된 바). - 각 \(t_j\) 에서 누가 실패했나 가 무작위 — \(R(t_j)\) 에서의 가중 추출. - 우도: \(\prod \Pr(x_j \text{ chosen from } R(t_j))\).

즉 “시간은 무작위, 공변량은 고정” 에서 “공변량 선택이 무작위, 시간은 고정” 으로 역할을 바꿨다.

직관: 도서관 비유

도서관에서 “언제 어느 책이 대출됐나” 를 분석한다고 하자.

전통적 관점: 각 책이 대출되는 시간 이 무작위 변수. 책의 인기도 \(x\) 가 대출 시간의 분포를 결정.

Cox 관점: 대출 시점 은 고정 (관측된 로그). 각 시점에 “어느 책이 빌려졌나” 가 무작위 — 그 시점에 대출 가능한 책들 중에서 인기도 \(e^{\beta x}\) 에 비례한 확률로 뽑힘.

Cox 는 대출 시간 자체의 분포 를 포기하고 “특정 시점에 어느 책이 뽑혔나” 만 본다. 시간 분포를 모형화하지 않아도 책의 인기도 \(\beta\) 는 잘 추정된다.

4 동률 처리 (§13.5.2)

4.1 문제 — 실무의 불가피한 동률

(13.4) 는 \(t_j\) 가 고유 시점 을 가정. 실제 데이터에서는 시간이 이산적 으로 기록 (주·일·월) 되어 동률 (ties) 이 흔하다. Freireich 백혈병 데이터 (§13.4) 에서도 여러 동률 발생.

동률을 다루는 세 접근이 있다.

4.2 Cox 의 정확 공식 (13.5) — 부분 집합 합

가정: \(t_j\) 에서 정확히 \(m\) 명 동시 실패. 그들의 공변량 벡터 합 \(s_j = \sum_{l: t_l = t_j, w_l=1} x_l\).

공식:

\[L_j = \frac{\exp(\beta^T s_j)}{\sum_{\text{all } m\text{-subsets}} \exp\{\beta^T (\text{subset sum})\}}. \tag{13.5}\]

분모 = \(R(t_j)\) 에서 크기 \(m\) 인 모든 부분집합 의 \(x\) 합의 지수 합.

예: \(|R(t_j)| = 10\), \(m = 3\) 이면 \(\binom{10}{3} = 120\) 개 부분집합 합산.

장점: 정확. 이산 시간 모형 관점에서 진정한 우도.

단점: 조합 폭발. \(m\) 이 크거나 \(k_j\) 가 크면 계산 불가능.

4.3 Peto 의 순열 합 (13.6) — 연속 시간 해석

가정: 동률이 연속 시간의 반올림 결과. 두 명이 \(t_j\) 에 실패한 것처럼 보이지만 실제로는 미세한 시간차가 있었음 — 순서는 알 수 없음.

공식 (\(m = 2\) 의 경우):

\[ L_j = \underbrace{\frac{\exp(\beta^T x_1)}{\sum_{R(t_j)} \exp(\beta^T x)}}_{\text{$x_1$ 먼저}} \cdot \underbrace{\frac{\exp(\beta^T x_2)}{\sum_{R_1} \exp(\beta^T x)}}_{\text{$x_2$ 다음}} + (\text{순서 뒤집음}) \tag{13.6} \]

\(R_1 = R(t_j) \setminus \{x_1\}\). 두 순서 \((x_1, x_2), (x_2, x_1)\) 의 확률 합.

장점: 연속 시간 가정에 부합. 동률이 반올림 결과 라고 믿으면 정확.

단점: \(m! \cdot (\text{복잡 계산})\). \(m\) 이 크면 여전히 부담스러움.

4.4 Peto 의 단순 근사 (13.7) — 복원 추출

가장 단순한 근사:

\[L_j = \frac{\exp(\beta^T s)}{\left\{\sum_{R(t_j)} \exp(\beta^T x)\right\}^m}. \tag{13.7}\]

\(s\) = \(m\) 명 동률자의 공변량 합.

유도: “\(m\) 개를 복원 추출” 가정. 실제로는 비복원이지만 \(m/k_j\) 가 작으면 차이 미미.

장점: 계산 초고속. 단순.

단점: 동률이 많아 \(m/k_j\) 가 크면 편향.

4.5 세 방법 비교

방법	가정	계산 복잡도	편향
Cox (13.5)	이산 시간, 정확	\(O\binom{k_j}{m}\)	없음 (이산 가정 하)
Peto 순열 (13.6)	연속 시간, 반올림	\(O(m!)\)	없음 (연속 가정 하)
Peto 단순 (13.7)	복원 추출	\(O(1)\)	동률 많을 때 과소

4.6 Breslow (1974) — 실무 표준

McCullagh-Nelder 가 언급하지 않지만 Breslow 근사 가 가장 흔히 쓰인다:

\[L_j^{\text{Breslow}} = \frac{\exp(\beta^T s_j)}{\left\{\sum_{R(t_j)} \exp(\beta^T x)\right\}^m}.\]

이것은 Peto 단순 (13.7) 과 동일 하다. R survival::coxph(..., ties="breslow") 가 기본값.

Efron (1977) 가 더 나은 근사 제안 — R ties="efron" 가 기본값으로 흔히 쓰임.

4.7 실무 권고

• 동률 적음 (\(m \leq 2\), \(m/k_j \leq 0.05\)): 어떤 방법이든 거의 같음. Breslow 기본값.
• 동률 많음 (\(m \geq 5\)): Efron 또는 정확 방법. Breslow 편향 주의.
• 매우 많은 동률 (\(m \geq 20\)): 이산 시간 로지스틱 회귀 고려.

5 계산 방법 (§13.5.3)

5.1 방법 1 — 직접 가중 최소제곱

(13.4) 의 로그는

\[\log L_j = \beta^T x_j - \log\left\{\sum_{R(t_j)} \exp(\beta^T x)\right\}.\]

\(b(\theta) = \log\{\sum \exp(\beta^T x)\}\) 의 지수족 형태. 정준 모수 \(\beta\), 조건부 기대 \(b'(\theta) = \bar x(t_j)\) (위험집합 가중 평균), 분산 \(b''(\theta)\).

IRLS 로 최대화:

\[\widehat\beta \leftarrow \widehat\beta + I^{-1} U, \qquad U = \sum_j \{x_j - \bar x(t_j)\}, \quad I = \sum_j \text{Var}_j.\]

계산상 어려움: 위험집합이 시점마다 다르므로 가중치 \(b''\) 가 적합값의 명시적 함수가 아님. 표준 GLM 소프트웨어가 그대로 쓰이지 않음.

5.2 방법 2 — 다항 로그선형 모형

각 실패 시점 \(t_j\) 의 위험집합 \(R(t_j)\) 를 \(k_j\) 개 범주 다항 분포 로 재구성:

• 반응 변수: \(y_j = (y_{j1}, \ldots, y_{j k_j})\) where \(y_{j l} = 1\) if \(l\)-th individual failed, else 0.
• 다항 확률: \(\pi_{j l} = \exp(\beta^T x_l) / \sum_m \exp(\beta^T x_m)\).

로그선형 모형 으로 모수화 (§5.5):

\[\log \pi_{j l} = \alpha_j + \beta^T x_l, \qquad \alpha_j = \text{위험집합 } j \text{ 의 "영양" 모수}.\]

\(\alpha_j\) 는 위험집합마다 다른 정규화 상수 — nuisance. \(\beta\) 는 공변량 효과.

장점: 표준 다항 로그선형 GLM 으로 처리. 단, 각 관측치 그룹의 범주 수 \(k_j\) 가 가변이라 일부 소프트웨어 제약.

5.3 방법 3 — Whitehead (1980) 의 포아송 GLM 환원 ⭐

가장 실무적으로 유용한 환원. 다항과 포아송의 쌍대성 (§6.4) 을 활용.

아이디어: 각 (실패 시점, 위험집합 구성원) 쌍을 독립 포아송 관측치 로 취급.

재구성:

• 각 실패 시점 \(t_j\) 와 각 \(l \in R(t_j)\) 에 대해 인공 관측치 생성.
• 반응 변수: \(y_{j l} = 1\) if \(l\) failed at \(t_j\), 0 otherwise.
• 선형 예측자: \(\log \mu_{j l} = \alpha_j + \beta^T x_l\).
• \(\alpha_j\) = failure time 에 대한 blocking factor (각 실패 시점마다 상수).

왜 작동하는가: (§6.4) 의 결과 — 포아송 분포의 조건부 분포 (합이 고정될 때) 는 다항. 합 고정 조건이 \(\alpha_j\) 의 프로파일 우도에서 자연스럽게 부과된다.

계산 결과: Whitehead 는 \(\widehat\beta\) 와 SE 가 부분 우도의 그것과 정확히 동일 함을 보인다. 즉 “생존 분석 = 포아송 GLM + 시점 blocking factor”.

Whitehead 환원의 실무적 의의

이 환원의 교육적·실용적 가치:

1. 표준 GLM 소프트웨어 (SAS, R glm, Python statsmodels) 로 Cox 모형 구현 가능 — 전용 생존 패키지 불필요.
2. 모형 확장 이 자연스러움: 시간 의존 \(\beta\), 층화, 구분 시간 공변량 등을 blocking factor 와 공변량 항 조작으로 구현.
3. GLM 진단 (Ch.12) 이 Cox 모형에도 적용. 부분 잔차 · Schoenfeld 잔차 계산 용이.

다만 실제로는 위험집합이 확장될수록 관측치 수 폭증 — 데이터가 \(N\) 개 실패 시점에 각각 \(k_j\) 개 위험집합 구성원이면 총 \(\sum k_j\) 개 행. 수천·수만 행이 쉽게 된다. 계산 비용 때문에 전용 Cox 소프트웨어가 여전히 표준.

5.4 Peto 의 동률 조정

방법 2 의 다항 우도에서 동률 처리:

• 다항 총계 = 그 시점의 동률 실패 수 \(m\) (1 대신).
• 알고리즘 조정 불필요.

포아송 환원 (방법 3) 에서도 동일. 이것이 Peto 방법 의 본질 — (13.7) 의 복원 추출 가정과 수학적 등가.

6 부분 우도의 통계적 성질

6.1 일치성과 점근 정규성

Andersen & Gill (1982) 이 마틴게일 이론으로 증명:

\[\widehat\beta_{PL} \xrightarrow{p} \beta_0, \qquad \sqrt{n}(\widehat\beta_{PL} - \beta_0) \xrightarrow{d} N(0, I^{-1}(\beta_0)).\]

\(I(\beta)\) = 부분 관측 정보 행렬.

6.2 Wald / LRT / Score 검정

부분 우도를 “정식 우도처럼” 취급. 세 표준 검정 (Wald, LRT, score) 모두 적용 가능하며 \(\chi^2\) 점근 분포.

Wald 검정: \[\frac{\widehat\beta_j}{\text{SE}(\widehat\beta_j)} \xrightarrow{d} N(0, 1).\]

LRT: \[-2 \log \frac{L_P(\widehat\beta_{M_0})}{L_P(\widehat\beta_{M_1})} \xrightarrow{d} \chi^2_k.\]

Score (log-rank): 위험집합에서의 공변량 편차를 관찰 합과 비교. 이항 공변량 (처치/대조) 일 때 로그-순위 검정 (log-rank test) 과 동일.

6.3 효율성 — Efron-Oakes 정리

Efron (1977), Oakes (1977) 의 결과:

\[\text{eff}(\widehat\beta_{PL}) \approx 1 \quad \text{under parametric alternative}.\]

즉 Cox 부분 우도 추정량의 점근 분산 이 참 모수적 MLE 의 분산과 거의 같다. 대부분의 조건에서 효율 손실이 5% 미만.

이것이 Cox 모형의 역설 — 분포 가정 없이도 효율이 거의 모수적 수준. 공변량 효과 \(\beta\) 와 기저 위험 \(\lambda(t)\) 의 점근 직교성 이 본질적 원인.

7 Python 실전 — Freireich 데이터

7.1 lifelines 로 직접 Cox 적합

import numpy as np
import pandas as pd
from lifelines import CoxPHFitter

# Freireich 데이터 (12-4 에서 사용)
t1 = [6, 6, 6, 6, 7, 9, 10, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 32, 32, 34, 35]
w1 = [0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
t2 = [1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 8, 11, 11, 12, 12, 15, 17, 22, 23]
w2 = [1] * 21

df = pd.DataFrame({
    'time': t1 + t2,
    'event': w1 + w2,
    'group': [0]*21 + [1]*21  # 0=6-MP, 1=placebo
})

# 세 가지 동률 처리 방법으로 Cox 적합
for ties in ['efron', 'breslow']:
    cph = CoxPHFitter()
    cph.fit(df, 'time', 'event', ties=ties if hasattr(cph, 'ties') else None)
    beta1 = cph.params_['group']
    se = cph.standard_errors_['group']
    print(f"{ties:8s}: β₁ = {beta1:.3f} ± {se:.3f}, HR = {np.exp(beta1):.2f}")

기대: Efron 과 Breslow 가 약간 다른 값. Freireich 데이터에 동률이 꽤 있어 차이 감지.

7.2 Whitehead 포아송 환원 — 수동 구현

import statsmodels.api as sm

# 각 실패 시점에 대해 위험집합 구성
df_sorted = df.sort_values('time').reset_index(drop=True)
failure_times = sorted(df_sorted.loc[df_sorted['event'] == 1, 'time'].unique())

# 포아송 GLM 을 위한 인공 데이터셋 구성
long_data = []
for j, t_j in enumerate(failure_times):
    # 위험집합 R(t_j): t_l >= t_j 인 모든 개체
    risk_set = df_sorted[df_sorted['time'] >= t_j]
    for _, row in risk_set.iterrows():
        long_data.append({
            'failure_id': j,        # blocking factor
            'group': row['group'],
            'response': 1 if (row['time'] == t_j and row['event'] == 1) else 0
        })

long_df = pd.DataFrame(long_data)

# 실패 시점을 범주형으로 dummy
dummies = pd.get_dummies(long_df['failure_id'], prefix='ft', drop_first=True)
X = pd.concat([pd.Series(1, index=long_df.index, name='const'),
               long_df['group'].astype(float),
               dummies.astype(float)], axis=1)
y = long_df['response']

m_pois = sm.GLM(y, X, family=sm.families.Poisson()).fit()
beta1_whitehead = m_pois.params['group']
se_whitehead = m_pois.bse['group']

print(f"\nWhitehead 포아송 환원:")
print(f"  β₁ = {beta1_whitehead:.3f} ± {se_whitehead:.3f}")
print(f"  HR = {np.exp(beta1_whitehead):.2f}")
print(f"  (lifelines Cox 와 동일해야 함)")

기대 출력: Whitehead 환원의 \(\widehat\beta_1\) 이 Cox Breslow 결과와 거의 일치 (소수점 둘째 자리). SE 도 비슷.

7.3 수동 부분 우도 계산 — 교육용

def partial_log_likelihood(beta, df):
    """Breslow 근사 (동률 단순 처리)."""
    ll = 0.0
    for t_j in sorted(df.loc[df['event'] == 1, 'time'].unique()):
        failures = df[(df['time'] == t_j) & (df['event'] == 1)]
        risk_set = df[df['time'] >= t_j]
        # 분자: Σ exp(β x) over failed
        num = np.sum(np.exp(beta * failures['group']))
        # 분모: Σ exp(β x) over risk set, m 번 곱 (Breslow/Peto 근사)
        m = len(failures)
        den = np.sum(np.exp(beta * risk_set['group'])) ** m
        ll += np.log(num / den)
    return ll

# β₁ 그리드 탐색
beta_grid = np.linspace(0.5, 3.0, 100)
ll_vals = [partial_log_likelihood(b, df) for b in beta_grid]
beta_hat = beta_grid[np.argmax(ll_vals)]
print(f"\n수동 Breslow 부분 우도:")
print(f"  β̂₁ ≈ {beta_hat:.3f} (그리드 해상도)")

# 더 정밀한 최적화
from scipy.optimize import minimize_scalar
res = minimize_scalar(lambda b: -partial_log_likelihood(b, df), bounds=(0.5, 3.0), method='bounded')
print(f"  β̂₁ = {res.x:.4f} (최적화)")

7.4 Log-rank 검정과 Score 검정의 동치

from lifelines.statistics import logrank_test

lr = logrank_test(
    df[df['group'] == 0]['time'], df[df['group'] == 1]['time'],
    df[df['group'] == 0]['event'], df[df['group'] == 1]['event']
)
print(f"\nLog-rank 검정: χ² = {lr.test_statistic:.2f}, p = {lr.p_value:.4f}")

# Cox 의 score 검정 (null 에서 β=0)
# cph.score (lifelines) 또는 수동 계산

기대: Log-rank χ² ≈ 16.8, Cox Wald/LRT 와 일관.

8 요약 — §13.5 의 다섯 가지 교훈

8.1 교훈 1 — 기저 위험의 nuisance 처리

\(\lambda(t)\) 를 모수화하지 않고도 \(\beta\) 를 효율적으로 추정 가능. Cox 의 핵심 혁신.

8.2 교훈 2 — 관점의 역전

“시간 무작위, 공변량 고정” → “시간 고정, 공변량 선택 무작위”. 이 역전이 비중심 초기하 유비를 낳고, \(\lambda(t)\) 상쇄를 가능하게 함.

8.3 교훈 3 — 동률 처리의 trade-off

Cox 정확 (조합 폭발) · Peto 순열 (계산 부담) · Breslow/Peto 단순 (편향) 중 선택. 실무: Efron 기본, 동률 많으면 Cox 정확.

8.4 교훈 4 — GLM 으로의 환원

Whitehead 의 artificial Poisson + blocking factor 구조가 Cox 모형을 일반 GLM 안으로 끌어온다. 표준 소프트웨어로 구현 가능.

8.5 교훈 5 — 점근 직교성의 힘

Efron-Oakes 정리: \(\beta\) 와 \(\lambda(t)\) 가 점근 직교이므로 \(\lambda(t)\) 포기의 효율 비용이 거의 없다. 이것이 Cox 모형이 실무에서 지배적인 이유.

9 Cox vs 모수적 — 언제 무엇을 쓸까

상황	추천
공변량 효과만 관심	Cox — 분포 가정 최소
절대 위험 예측 필요	모수적 Weibull/지수 — \(\lambda(t)\) 필요
시간 외삽	모수적 — Cox 는 외삽 제한
소표본, 동률 많음	모수적 — Cox 동률 처리 편향 가능
대표본, 동률 적음	Cox — 강건, 효율적
진단·탐색	Cox 먼저 → 필요 시 모수적 확증

실무 관행: Cox 가 기본, 필요 시 모수적 보조 분석.

10 관련 주제

선행 지식

• Models for Survival Data — 개관 (McCullagh Ch.13)
• Proportional-Hazards Models (McCullagh §13.2)
• Parametric Survival (McCullagh §13.3)
• Leukaemia Example (McCullagh §13.4)
• 초기하 분포 (McCullagh §7.3) — 비중심 초기하와의 연결
• Log-linear 다항 쌍대성 (McCullagh §6.4) — Whitehead 환원의 기반

관련 개념

• 생존 분석 개요 — Kleinbaum 기반
• Log-rank 검정 — Cox score 검정의 특수 사례

방법론 참고

• Cox, D. R. (1972a). “Regression models and life-tables.” JRSS B 34: 187-220. 원 논문.
• Cox, D. R. (1975). “Partial likelihood.” Biometrika 62: 269-276.
• Efron, B. (1977). “The efficiency of Cox’s likelihood function for censored data.” JASA 72: 557-565.
• Oakes, D. (1977). “The asymptotic information in censored survival data.” Biometrika 64: 441-448.
• Whitehead, J. (1980). “Fitting Cox’s regression model to survival data using GLIM.” Appl. Statist. 29: 268-275.
• Andersen, P. K. & Gill, R. D. (1982). “Cox’s regression model for counting processes.” Ann. Statist. 10: 1100-1120. 마틴게일 이론.

후속 주제 — Ch.13 심화

• Ch.13 Exercises (McCullagh §13.7)