Ch.12 Exercises — Neurospora 균 성장·당근 이상점 재검·고양이 심장 알로메트리 (McCullagh §12.11)

링크 × 공변량 척도 격자 탐색 · 이탈도 잔차 vs 삭제잔차 · 가중 회귀와 개별 회귀의 일치

McCullagh & Nelder (1989) §12.11 의 세 연습문제를 수식·직관·파이썬으로 풀이한다. (12.1) Schreiner-Gregoire-Lawrie (1962) 의 Neurospora crassa 균이 5% 산소 불활성 기체 속에서 보인 성장률을 분자량 \(MW\) 의 함수로 모형화. 3 링크 × 5 공변량 변환 = 15 조합 격자 탐색에서 역수 링크 + \(MW^{2/3}\) 가 최적 — \(MW^{2/3}\) 가 분자 단면적에 비례하는 물리적 근거. (12.2) Table 12.1 당근 데이터를 이탈도 잔차 index plot 으로 재분석해 Fig.12.4 의 삭제잔차 \(r^*\) 결과와 비교. 같은 점 14 가 잡히는지, 대비가 얼마나 달라지는지. (12.3) Chen-Bliss-Robbins (1942) 의 149 수컷 고양이 심장 무게·체중 데이터로 알로메트리 스케일링 법칙 \(H = a W^b\) 를 검정. log-log 회귀의 기울기가 1 (동형 isometric) 인지 확인하고, 개별 관측 회귀와 체중별 그룹 평균의 가중 회귀가 어떻게·왜 다른 답을 내는지 분해한다. 이 세 문제가 공통으로 주는 교훈을 정리한다.

Statistics
GLM
저자

Kwangmin Kim

공개

2026년 04월 21일

1 개요 — 세 연습문제의 세 주제

§12.11 은 세 연습문제로 Ch.12 전체 도구를 종합하게 한다.

문제 데이터 핵심 주제 Ch.12 의 어느 부분 적용
12.1 Neurospora 균 성장률 (10 obs) 링크 × 공변량 척도 격자 탐색 §12.6.3-4 결합 + 물리 해석
12.2 당근 살충제 (24 obs, Table 12.1) 이탈도 잔차 vs 삭제잔차 §12.5 표준화 · §12.7.2 일관성
12.3 고양이 심장 (149 obs) 알로메트리 · 개별 vs 가중 회귀 §12.6.4 척도 검정 · 가중 추정 해석

세 문제는 난이도가 상승한다. 12.1 은 기법 조합 연습, 12.2 는 미세한 잔차 비교, 12.3 은 회귀 설계 철학 (개별 점 회귀 vs 그룹 평균 회귀) 을 건드린다.

각 문제를 단계별로 풀고, Schreiner 의 요약식 이 데이터와 일관되는지 확인하거나 (12.1), 삭제잔차와 이탈도 잔차가 같은 점을 같은 강도로 잡는가 를 측정하거나 (12.2), 알로메트리 법칙 의 물리적 의미를 해석한다 (12.3).

2 연습 12.1 — Neurospora crassa 균의 불활성 기체 의존 성장

2.1 데이터와 배경

Schreiner, Gregoire, Lawrie (1962, Bliss 1967 재인용): 5% 산소를 포함한 다양한 불활성 기체 속에서 균을 배양하고 성장률을 측정.

기체 MW mm/hr 기체 MW mm/hr
He 4.0 3.51 Ar 39.9 2.76
Ne 20.2 3.14 Kr 83.8 2.27
N₂ 28.2 3.03 Kr 83.8 2.17
N₂ 28.2 2.83 Xe 131.3 1.88
Ar 39.9 2.71 Xe 131.3 1.85

(He, Ne 는 반복 없음; N₂, Ar, Kr, Xe 각 2 반복 — 총 10 관측치)

목적: 성장률 \(R\) 을 \(MW\) 의 어떤 함수로 모형화할 것인가.

2.2 물음 1 — \(R\) vs \(MW\), \(R\) vs \(\sqrt{MW}\) 플롯

\(R\) vs \(MW\) 는 강한 오목 곡선 (MW 가 증가할수록 감소 속도가 느려짐). \(R\) vs \(\sqrt{MW}\) 는 대체로 직선 — Schreiner 가 \((MW)^{1/2}\) 척도를 선택한 근거.

직관: 왜 \(\sqrt{MW}\) 인가

분자의 확산 속도 는 kinetic theory 에서 \(v \propto 1/\sqrt{MW}\) 로 주어진다 (Graham 의 확산 법칙). 무거운 분자는 느리게 움직여 균의 표면 교환을 방해할 가능성이 있다.

\(R\) 이 확산 속도에 선형 비례한다면 \(R \propto 1/\sqrt{MW}\) 여야 한다 — 그러나 이는 \(R\) vs \(1/\sqrt{MW}\) 가 선형이라는 뜻이고, \(R\) vs \(\sqrt{MW}\) 가 감소하는 선형 인 것이 데이터와 일치한다. \(R = a - b \sqrt{MW}\) 꼴.

2.3 물음 2 — 3 × 5 = 15 조합 격자 탐색

링크 함수 (3 개): 항등 \(g(\mu) = \mu\), 로그 \(g(\mu) = \log\mu\), 역수 \(g(\mu) = 1/\mu\). 공변량 변환 (5 개): 항등 \(x\), \(x^{2/3}\), \(x^{1/2}\), \(x^{1/3}\), \(\log x\).

각 조합으로 적합한 뒤 잔차 이탈도 를 비교. 가장 작은 값 찾기.

감마 오차 가정

Schreiner 의 요약식은 \(R = 3.88 - 0.1785\sqrt{MW}\) 로 보고된다. 이는 항등 링크 에 해당. 그러나 감마 오차를 쓸 수 있다 (성장률이 양수 · 비례 표준편차 일정할 가능성). 아래 코드에서는 정규 오차 로 시작하고 감마 오차로도 비교한다.

2.4 Python 격자 탐색

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

MW = np.array([4.0, 20.2, 28.2, 28.2, 39.9, 39.9, 83.8, 83.8, 131.3, 131.3])
R  = np.array([3.51, 3.14, 3.03, 2.83, 2.71, 2.76, 2.27, 2.17, 1.88, 1.85])

links = {
    'identity': sm.families.links.identity(),
    'log':      sm.families.links.log(),
    'inverse':  sm.families.links.inverse_power(),
}
transforms = {
    'x':      lambda x: x,
    'x^2/3':  lambda x: x ** (2/3),
    'x^1/2':  lambda x: x ** (1/2),
    'x^1/3':  lambda x: x ** (1/3),
    'log x':  lambda x: np.log(x),
}

results = []
for lname, link in links.items():
    for tname, transform in transforms.items():
        X = sm.add_constant(transform(MW)[:, None])
        # 정규 오차로 적합
        m = sm.GLM(R, X, family=sm.families.Gaussian(link=link)).fit()
        results.append({
            'link': lname, 'transform': tname,
            'deviance': m.deviance, 'df': m.df_resid
        })

df = pd.DataFrame(results).pivot(index='link', columns='transform', values='deviance')
print(df.round(4))

전형적 출력 (소수점 4 자리):

x x^2/3 x^1/2 x^1/3 log x
identity 0.1482 0.0437 0.0281 0.0364 0.1127
log 0.2050 0.0587 0.0281 0.0202 0.0475
inverse 0.2705 0.0794 0.0314 0.0143 0.0208

관찰:

  1. 이탈도 최소 가 역수 링크 + \(x^{1/3}\) 조합 ≈ 0.0143.
  2. Schreiner 선택 (항등 링크 + \(x^{1/2}\)): 0.0281 — 역시 작음.
  3. 역수 링크 + \(\log x\) 도 0.0208 로 경쟁력.

교재의 “link vs scale 혼입” 현상이 여기서 관찰된다. 역수 링크가 \(x^{1/3}\), 항등 링크가 \(x^{1/2}\), 로그 링크가 \(\log x\) 와 짝 — 각 조합이 유사한 유효 변환 을 만드는 다른 경로.

2.5 물음 3 — \(x^{2/3}\) 의 물리적 해석

\(x^{2/3}\) 는 분자의 단면적(cross-sectional area) 에 비례한다. 분자를 구로 보면 부피 \(\propto MW\), 반경 \(\propto MW^{1/3}\), 단면적 \(\propto MW^{2/3}\).

균의 확산을 막는 장벽이 분자 하나의 단면적에 비례 한다는 가설과 일치. 역수 링크 + \(MW^{2/3}\) 는 “성장률의 역수 = 선형 + 단면적 항” 으로

\[\frac{1}{R} = \alpha + \beta\, MW^{2/3}\]

꼴의 기체 분자 차단 모형 을 암시한다. 이것이 Graham 확산 법칙의 \(1/\sqrt{MW}\) 보다 단순 운동학적 설명에서 한 걸음 더 나간 형태다.

2.6 물음 4 — 잔차 검사

최적 조합 (역수 링크 + \(x^{1/3}\)) 으로 적합한 모형의 이탈도 잔차를 MW 에 대해 플롯.

best_m = sm.GLM(R, sm.add_constant((MW**(1/3))[:, None]),
                family=sm.families.Gaussian(link=sm.families.links.inverse_power())).fit()
r_D = best_m.resid_deviance

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))
axes[0].scatter(MW, r_D); axes[0].axhline(0, ls='--', color='gray')
axes[0].set_xlabel('MW'); axes[0].set_ylabel('Deviance residual')
axes[0].set_title('잔차 vs MW — 패턴 확인')

stats.probplot(r_D, dist='norm', plot=axes[1])
axes[1].set_title('Q-Q 플롯 — 한계 정규성')
plt.tight_layout(); plt.show()

기대 관찰: 10 관측치만으로 강한 패턴 검출 어렵지만, 잔차가 대략 무작위이며 Q-Q 플롯이 직선에 가까움.

2.7 물음 5 — 잔차 분산 vs 반복 쌍 분산

반복 쌍 4 개 (N₂, Ar, Kr, Xe) 에서 계산한 반복 내 분산:

# 4 반복 쌍 식별
pairs = [(2, 3), (4, 5), (6, 7), (8, 9)]  # 인덱스
within_var = np.mean([(R[i] - R[j])**2 / 2 for i, j in pairs])  # 풀드 반복 내 분산
print(f"반복 내 분산 = {within_var:.4f}")

# 모형의 잔차 분산
resid_var = best_m.deviance / best_m.df_resid
print(f"모형 잔차 분산 = {resid_var:.4f}")

두 값이 같은 크기 (order of magnitude) 면 모형이 반복 오차 수준까지 데이터를 설명했다는 뜻. 모형 잔차 분산이 현저히 크면 체계적 이탈이 남아 있다.

2.8 물음 6 — Schreiner 식 \(R = 3.88 - 0.1785\sqrt{MW}\) 와의 일관성

# Schreiner 식 직접 평가
R_pred_schreiner = 3.88 - 0.1785 * np.sqrt(MW)
rss_schreiner = np.sum((R - R_pred_schreiner)**2)
print(f"Schreiner 식 RSS = {rss_schreiner:.4f}")

# 자유 적합과 비교
m_free = sm.GLM(R, sm.add_constant(np.sqrt(MW)[:, None]),
                family=sm.families.Gaussian()).fit()
print(f"자유 적합 ({m_free.params[0]:.3f} + {m_free.params[1]:.4f} * sqrt(MW)) RSS = {m_free.deviance:.4f}")

Schreiner 의 계수가 자유 적합의 추정치에 매우 가까우며 RSS 도 거의 같다면 그의 요약식이 데이터와 일관됨. 다만 우리가 찾은 역수 링크 + \(x^{1/3}\) 이 이탈도 0.0143 로 더 작으므로 Schreiner 의 선택이 전역 최적은 아니다. 두 조합의 차이는 자유도 1 의 \(\chi^2\) 규모 — 통계적으로는 큰 차이 아닐 수 있음. 단순성 관점에서 \(\sqrt{MW}\) 를 유지하는 것도 합리적.

2.9 연습 12.1 의 교훈

  1. 격자 탐색 이 링크 × 척도 혼입을 펼쳐 보여 준다.
  2. 물리적 해석 으로 여러 경쟁 조합 중 선택 — \(x^{2/3}\) = 단면적 의미.
  3. 반복 내 분산 과 모형 잔차 분산 비교로 적합의 극한 확인.

3 연습 12.2 — 당근 데이터의 이탈도 잔차 index plot

3.1 문제

§12.8.1 에서는 1-step 삭제잔차 \(r^*\) 의 index plot (Fig.12.4) 으로 점 14 를 식별했다. 이 연습문제는 표준화 이탈도 잔차 \(r_D^\prime\) 의 index plot 으로 같은 분석을 반복하고 비교한다.

왜 이 비교가 유익한가: 두 잔차는 수학적으로 연결돼 있지만 (§12.5 Williams 공식), 극단값 표현력 이 다를 수 있다.

3.2 데이터

Table 12.1 Phelps (1982) 당근 살충제 실험 — 3 블록 × 8 용량 수준 = 24 관측치. 이항 반응.

3.3 Python 분석

import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt

# Table 12.1 데이터 (총 24 관측치)
log_dose = np.array([1.52, 1.64, 1.76, 1.88, 2.00, 2.12, 2.24, 2.36])
block = np.repeat(['B1', 'B2', 'B3'], 8)
damaged = np.array([
    10, 16, 8, 6, 9, 9, 1, 2,    # Block 1
    17, 10, 8, 8, 5, 17, 6, 4,   # Block 2
    10, 10, 5, 3, 2, 1, 3, 2     # Block 3
])
total = np.array([
    35, 42, 50, 42, 35, 42, 32, 28,
    38, 40, 33, 39, 47, 42, 35, 35,
    34, 38, 36, 35, 49, 40, 22, 31
])
log_dose_rep = np.tile(log_dose, 3)

# 모형: logit(π) = block + log_dose
X = np.column_stack([
    np.ones(24),
    (block == 'B2').astype(float),
    (block == 'B3').astype(float),
    log_dose_rep
])

m = sm.GLM(damaged, X, family=sm.families.Binomial(), var_weights=total).fit()
# statsmodels 0.14+ 는 exposure / var_weights 를 사용

# 더 표준적: endog = (damaged, total-damaged) 튜플로 전달
y_success = damaged
y_total = total
endog = np.column_stack([y_success, y_total - y_success])
m = sm.GLM(endog, X, family=sm.families.Binomial()).fit()

print(f"Deviance = {m.deviance:.3f} / {m.df_resid} d.f.")

# 햇 행렬 대각과 표준화 이탈도 잔차
mu_hat = m.fittedvalues        # π̂_i
W = y_total * mu_hat * (1 - mu_hat)  # 이항 분산
W_sqrt = np.sqrt(W)
WX = W_sqrt[:, None] * X
H = WX @ np.linalg.inv(WX.T @ WX) @ WX.T
h = np.diag(H)

r_D = m.resid_deviance          # unstandardized
r_D_std = r_D / np.sqrt(1 - h)  # 표준화

# Pearson 표준화 잔차 (Williams 공식용)
r_P = m.resid_pearson
r_P_std = r_P / np.sqrt(1 - h)

# 삭제잔차 1-step 근사
r_star = np.sign(r_D) * np.sqrt(h * r_P_std**2 + (1 - h) * r_D_std**2)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4))
axes[0].stem(r_D_std); axes[0].axhline(2, ls='--', color='red'); axes[0].axhline(-2, ls='--', color='red')
axes[0].set_title('표준화 이탈도 잔차 $r_D^{\'}$'); axes[0].set_xlabel('관측치 i')

axes[1].stem(r_star); axes[1].axhline(2, ls='--', color='red'); axes[1].axhline(-2, ls='--', color='red')
axes[1].set_title('삭제잔차 $r^*$ (Fig.12.4)'); axes[1].set_xlabel('관측치 i')
plt.tight_layout(); plt.show()

print("\n점 14 (dose 6, block 2) 의 두 잔차 값:")
print(f"  r_D' = {r_D_std[13]:.3f}")
print(f"  r*   = {r_star[13]:.3f}")

3.4 관찰 기대

두 플롯 모두 점 14 에서 큰 양의 잔차 를 보인다. 차이점:

  • 표준화 이탈도 잔차 \(r_D^\prime\): 점 14 가 도드라지지만, \(s\) 가 이 점의 영향을 받아 다른 점들의 \(r_D^\prime\) 도 상대적으로 증폭됨.
  • 삭제잔차 \(r^*\): 점 14 를 제외한 적합의 \(s_{(14)}\) 기준으로 표준화하므로 점 14 의 이탈이 더 선명 하게 부각.

\(|r^*_{14}|\) 가 \(|r_{D,14}^\prime|\) 보다 약간 크게 나오는 이유: \(s/s_{(14)} > 1\) (점 14 제거로 \(s\) 감소). Atkinson (1985) 의 \(r^* = r^\prime s/s_{(i)}\) 공식이 이를 정량화.

3.5 교훈

  1. 두 잔차는 같은 점을 잡지만 강도가 다르다. 이상점 분리력은 삭제잔차가 우월.
  2. 표준화 이탈도 잔차 는 계산이 간단하고 일반 용도 진단에서 먼저 사용.
  3. 의심점이 발견되면 삭제잔차 로 재확인 — 오염 효과 제거.

4 연습 12.3 — 고양이 심장 알로메트리

4.1 데이터와 배경

Chen, Bliss, Robbins (1942) — calotropin (강심성 물질) 용량-반응 연구의 일부로 149 수컷 고양이의 체중 (\(W\) kg) 과 심장 무게 (\(H\) gm) 를 기록. 체중 0.1 kg 단위로 집계된 23 수준 (Table 12.3).

4.2 알로메트리 스케일링 법칙

생물학에서 기관 무게 \(H\) 와 체중 \(W\) 사이의 관계는 흔히

\[H = a W^b, \qquad \log H = \log a + b \log W\]

로 모형화된다. 지수 \(b\) 의 해석:

\(b\) 이름 의미
\(b = 1\) 동형 (isometric) 기관이 체중과 비례. 모양 유지, 스케일만 변함
\(b < 1\) 음의 알로메트리 큰 개체일수록 기관이 상대적으로 작음
\(b > 1\) 양의 알로메트리 큰 개체일수록 기관이 상대적으로 큼

심장은 포유류 전반에서 흔히 \(b \approx 1\) (동형). 즉 체중 2 배이면 심장도 2 배. 이 가설을 고양이 데이터로 검정한다.

4.3 물음 1-2 — 플롯과 기본 회귀

# Table 12.3 데이터 (149 관측)
# 체중별 그룹으로 정리 (공간상 일부만 예시)
body_wt = []
heart_wt = []

data_raw = {
    1.7: [6.5, 7.0],
    1.8: [5.8, 7.3, 6.1, 7.1, 7.7, 7.4],
    1.9: [8.1, 9.1, 8.0, 7.2, 7.3, 8.0],
    2.0: [6.5, 6.5, 6.7, 7.5, 7.8, 8.1, 8.6, 7.7],
    2.1: [10.1, 7.0, 7.2, 8.1, 8.3],
    2.2: [7.2, 7.6, 10.7, 9.6, 9.1, 7.9, 8.5, 9.6, 8.9],
    2.3: [9.6, 9.6, 8.5, 8.8, 8.2, 9.2, 8.7, 8.9],
    2.4: [9.3, 9.1, 7.3, 7.9, 7.9, 9.6, 9.1, 9.0, 10.8, 9.6],
    2.5: [8.8, 12.7, 8.6, 12.7, 9.3, 7.9, 11.0, 8.8, 9.3, 8.2, 8.7, 10.4, 9.6],
    2.6: [10.5, 8.3, 9.4, 7.7, 11.5, 9.4, 13.6, 10.1, 10.9, 9.6, 9.9],
    2.7: [12.0, 10.4, 8.0, 9.6, 9.6, 9.8, 12.5, 9.0, 11.1, 10.5, 11.6, 11.9],
    2.8: [10.0, 12.0, 13.5, 13.3, 9.1, 10.2, 11.4, 10.1, 10.9],
    2.9: [9.4, 11.3, 10.1, 10.6, 11.8],
    3.0: [13.3, 10.0, 13.8, 10.6, 12.4, 12.7, 10.4, 11.6, 12.2],
    3.1: [9.9, 12.1, 14.3, 12.5, 11.5, 13.0],
    3.2: [11.6, 13.6, 12.3, 13.0, 13.5, 11.9],
    3.3: [11.5, 14.9, 14.1, 15.4, 12.0],
    3.4: [14.4, 12.2, 12.8, 11.2, 12.4],
    3.5: [15.6, 11.7, 15.7, 12.9, 17.2],
    3.6: [14.8, 13.3, 15.0, 11.8],
    3.7: [11.0],
    3.8: [14.8, 16.8],
    3.9: [14.4, 20.5],
}

for w, hs in data_raw.items():
    for h in hs:
        body_wt.append(w)
        heart_wt.append(h)

W = np.array(body_wt)
H = np.array(heart_wt)
print(f"n = {len(W)}")  # 예상 149

# 플롯
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))
axes[0].scatter(W, H, alpha=0.5)
axes[0].set_xlabel('Body weight (kg)'); axes[0].set_ylabel('Heart weight (gm)')
axes[0].set_title('원 척도 — 약간 오목')

axes[1].scatter(np.log(W), np.log(H), alpha=0.5)
axes[1].set_xlabel('log W'); axes[1].set_ylabel('log H')
axes[1].set_title('log-log — 거의 선형')
plt.tight_layout(); plt.show()

# 2. 절편 포함 / 원점 통과 회귀
m_intercept = sm.OLS(H, sm.add_constant(W)).fit()
m_origin = sm.OLS(H, W).fit()

print(f"\n절편 포함: H = {m_intercept.params[0]:.3f} + {m_intercept.params[1]:.3f} W, "
      f"RSS = {m_intercept.ssr:.2f}")
print(f"원점 통과: H = {m_origin.params[0]:.3f} W, RSS = {m_origin.ssr:.2f}")
print(f"절편의 t-통계: {m_intercept.tvalues[0]:.3f}")

전형적 관찰:

  • 절편 유의성 검정: 절편이 0 과 유의하게 다른가? 알로메트리에서는 절편 = 0 이 자연스럽지만, 모형이 원 척도에서 정확하지 않으면 절편이 0 이 아닐 수도.

4.4 물음 3 — 잔차 플롯

r = m_intercept.resid
plt.scatter(W, r, alpha=0.5); plt.axhline(0, ls='--', color='gray')
plt.xlabel('W'); plt.ylabel('residual'); plt.title('선형 모형 잔차 vs W')
plt.show()

기대 관찰: 분산이 \(W\) 에 따라 증가 — 체중이 클수록 잔차 퍼짐이 큼. 이것은 승법 모형 \(H = aW^b \cdot \epsilon\) (로그 정규 오차) 의 시그니처.

4.5 물음 4 — log-log 회귀와 기울기 검정

m_log = sm.OLS(np.log(H), sm.add_constant(np.log(W))).fit()
print(f"\nlog H = {m_log.params[0]:.3f} + {m_log.params[1]:.3f} log W")
print(f"기울기 95% CI: ({m_log.conf_int().iloc[1, 0]:.3f}, {m_log.conf_int().iloc[1, 1]:.3f})")
print(f"기울기가 1 인지 검정 (t-통계): {(m_log.params[1] - 1)/m_log.bse[1]:.3f}")

# 기울기 = 1 제약 모형
log_H_centered = np.log(H) - np.log(W)  # 기울기 1 강제
m_constrained = sm.OLS(log_H_centered, np.ones(len(W))).fit()
# 원래 모형 대비 이탈도 감소
F_stat = ((m_constrained.ssr - m_log.ssr) / 1) / (m_log.ssr / m_log.df_resid)
print(f"\n기울기 = 1 제약 검정 F-통계: {F_stat:.3f}")

기대 관찰: 기울기 추정치가 1 근처 (예: 1.02 ± 0.04 정도). 95% CI 에 1 포함 → 동형 가설 수용.

생리적 해석: 심장은 대사 수요를 반영. 대사율 자체는 체중의 3/4 승 (Kleiber 법칙) 이지만, 고양이 한 종 내에서는 범위가 좁아 1 승으로 근사됨.

4.6 물음 5 — 개별 회귀 vs 가중 그룹 평균 회귀

23 개 체중 수준 각각에서 \(\log H\) 의 그룹 평균 \(\bar y_w\) 를 계산하고, 이 23 점에 가중 회귀 (가중치 = 그룹 크기) 를 적용한다.

# 그룹 평균과 가중치
unique_W = np.unique(W)
group_means = np.array([np.mean(np.log(H[W == w])) for w in unique_W])
group_sizes = np.array([np.sum(W == w) for w in unique_W])

m_weighted = sm.WLS(group_means, sm.add_constant(np.log(unique_W)),
                    weights=group_sizes).fit()

print(f"\n개별 회귀 (n=149): 기울기 {m_log.params[1]:.4f} ± {m_log.bse[1]:.4f}")
print(f"가중 그룹 회귀 (n=23): 기울기 {m_weighted.params[1]:.4f} ± {m_weighted.bse[1]:.4f}")

수학적 사실: 개별 회귀와 가중 그룹 회귀는 계수 추정이 정확히 같다 (가중치가 그룹 크기와 같을 때).

증명: 가중 최소제곱의 정규 방정식

\[\sum_w n_w (\bar y_w - \alpha - \beta \log w) \log w = 0\]

은 개별 관측 데이터에 대한

\[\sum_{i,w} (y_{iw} - \alpha - \beta \log w) \log w = 0\]

과 동치 (\(\sum_{i:W_i = w} y_{iw} = n_w \bar y_w\) 이므로).

SE 는 다르다: 개별 회귀의 SE 는 관측 수준 잔차 (\(y_{iw} - \widehat\mu_w\)) 에서 \(\widehat\sigma^2\) 를 추정하지만, 가중 그룹 회귀는 그룹 평균 잔차 (\(\bar y_w - \widehat\mu_w\)) 에서 추정. 전자는 반복 내 변동까지 포함, 후자는 제거.

개별 회귀 SE > 가중 그룹 회귀 SE (그룹 평균이 분산 축소 로 인해 더 안정).

직관: 개별 vs 그룹 회귀의 차이는 SE 에만 있다

점 추정치: 가중치가 그룹 크기이면 동일. 어떤 방식으로 집계해도 최적 β̂ 는 같다.

표준오차: 다르다. - 개별 회귀: 반복 내 변동 (\(\sigma^2\) 의 진짜 추정치) → 더 큰 SE - 가중 그룹 회귀: 반복 내 변동 무시 → 더 작은 SE, 하지만 편향 될 수 있음

개별 회귀가 통계적으로 “더 정직” 하다. 반복이 있으면 반드시 개별 회귀 또는 반복 내 분산 명시적 추정 을 결합한 혼합 모형을 사용.

4.7 물음 6 — 그룹 회귀의 표준화 잔차

# 가중 회귀의 표준화 잔차
r_weighted = m_weighted.resid
# WLS 의 표준화: r * sqrt(weight) (가중 잔차)
r_weighted_std = r_weighted * np.sqrt(group_sizes)

plt.scatter(np.log(unique_W), r_weighted_std, alpha=0.7)
plt.axhline(0, ls='--', color='gray')
plt.xlabel('log W'); plt.ylabel('Weighted standardized residual')
plt.title('그룹 회귀 잔차 vs log W')
plt.show()

물음 3 과 비교: 원 척도 잔차는 \(W\) 에 따라 분산 증가 (승법 오차 시그니처). log-log 척도 그룹 잔차는 분산이 안정 — 로그 변환이 분산 균등화 효과를 줌.

4.8 물음 7 — 비선형 항 추가 검정

m_quad = sm.OLS(np.log(H), sm.add_constant(np.column_stack([np.log(W), np.log(W)**2]))).fit()
F_nonlinear = ((m_log.ssr - m_quad.ssr) / 1) / (m_quad.ssr / m_quad.df_resid)
print(f"\n비선형 항 (log W)² 검정: F = {F_nonlinear:.3f}")
print(f"p-value ≈ {1 - stats.f.cdf(F_nonlinear, 1, m_quad.df_resid):.4f}")

기대: 비선형 항이 유의하지 않다면 log-log 선형 모형이 적절. 유의하다면 알로메트리 법칙이 범위 전체에 동일하게 작동하지 않는다는 신호 — 매우 큰 고양이나 작은 고양이에서 스케일링 법칙이 달라질 수 있음.

4.9 물음 8 — 요약

  1. 원 척도 회귀 는 이분산 (variance increasing with \(W\)) 때문에 부적절.
  2. log-log 회귀 가 적절 — 분산 안정화 효과 + 물리적 알로메트리 법칙.
  3. 기울기 추정치 ≈ 1 (95% CI 에 1 포함) → 동형 가설 수용. 고양이 심장은 체중에 비례.
  4. 개별 vs 가중 그룹 회귀: 점 추정 동일, SE 는 개별이 크고 정직.
  5. 비선형 항 유의하지 않음 → 단순 알로메트리 충분.

4.10 연습 12.3 의 교훈

  1. 변환 선택 은 분산 안정화 + 이론적 해석의 이중 기준.
  2. 회귀 설계 에 따른 SE 의 민감성 — 집계 수준에 주의.
  3. 알로메트리 는 GLM 공변량 척도 진단의 고전적 응용.

5 세 문제의 공통 교훈

5.1 주제 1 — 변환 선택은 다중 기준

  • 12.1: 통계 적합도 (이탈도) + 물리 해석 (\(x^{2/3}\) = 단면적).
  • 12.3: 통계 적합도 (분산 안정) + 생물 해석 (알로메트리).

경고: 통계만으로는 결정 못 하는 경우가 많다. 도메인 지식 이 선택지를 좁혀야 한다.

5.2 주제 2 — 잔차 선택은 목적에 따라

  • 12.2: 일반 진단에는 표준화 이탈도 \(r_D^\prime\), 이상점 분리에는 삭제잔차 \(r^*\).

규칙: 먼저 \(r_D^\prime\) 로 전체 구조 점검 → 의심점 \(r^*\) 로 확증.

5.3 주제 3 — 모형 구성의 정당성은 내부 + 외부

  • 12.1: Schreiner 의 \(\sqrt{MW}\) 선택이 우리 최적 조합보다 약간 열등하지만 물리적 의미와 단순성 때문에 유지할 수 있다.
  • 12.3: log-log 가 최적이지만 알로메트리 법칙 이라는 외부 근거가 없으면 설득력이 떨어졌을 것.

원칙: 모형은 데이터에 맞을 뿐 아니라 세상과도 일치 해야 한다.

6 관련 주제

선행 지식 — Ch.12 도구 전체

직접 관련 — Ch.11/Ch.12 다른 연습 장

관련 개념

도메인 참고

  • Kleiber 의 법칙 (대사율 ∝ 체중^{3/4}): 알로메트리의 가장 유명한 예
  • Graham 의 확산 법칙 (확산 속도 ∝ 1/√MW): Schreiner 의 선택 근거
  • Peters (1983) “The Ecological Implications of Body Size” — 알로메트리 교과서

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