Kwangmin Kim - Log-linear Models — Respiratory Ailments 예제

1 이 예제가 담고 있는 것

§6.5 의 다변량 반응 회귀 이론은 추상도가 높다 — contrast 변환·분해가능성·다변량 로짓 정의 등 개념이 여러 층으로 쌓여 있다. §6.6 은 이 모든 이론을 하나의 실제 데이터에 적용해 “어떻게 쓰는가” 와 “어떻게 해석하는가” 를 보여준다.

Ashford & Sowden (1970) 의 탄광부 데이터는 작지만 풍부하다. 두 이항 반응(숨참 breathlessness \(A\), 쌕쌕거림 wheeze \(B\)) 이 연령(age) 이라는 단일 공변량에 어떻게 의존하는지를 묻는다. 이 단순한 구조에서도 다음 질문들이 드러난다.

주변 로짓과 로그 오즈비가 연령에 어떻게 변하는가
이변량 로지스틱 모형과 로그선형 모형은 같은 데이터에 다른 답을 준다 — 왜 그런가
주변 우도와 결합 우도의 효율 차이는 얼마나 되는가
선택 편향이 오즈비 해석에 어떻게 영향을 주는가

이 포스트는 §6.6.1 의 모형 적합과 §6.6.2 의 모수 해석 대비를 순서대로 따라간다.

2 데이터 (§6.6.1 Table 6.6)

2.1 구조

1970년 Ashford & Sowden 이 보고한 영국 탄광 활동 중인 흡연 광부 데이터. 조건:

방사선학적 진폐증 증거 없음
연령 20–64세
질문지 조사로 breathlessness (\(A\)) 와 wheeze (\(B\)) 를 각각 이항으로 기록

반응 구조 = 2×2 이변량 × 9개 연령 집단 (5세 간격) = 3차원 분할표 (\(2 \times 2 \times 9\)).

2.2 Table 6.6 요약 수치

연령	\(A = B = 1\)	\(A = 1, B = 0\)	\(A = 0, B = 1\)	\(A = B = 0\)	합
20–24	9	7	95	1841	1952
25–29	23	9	105	1654	1791
30–34	54	19	177	1863	2113
35–39	121	48	257	2357	2783
40–44	169	54	273	1778	2274
45–49	269	88	324	1712	2393
50–54	404	117	245	1324	2090
55–59	406	152	225	967	1750
60–64	372	106	132	526	1136

관찰: 총 18,282명 광부. 연령이 증가할수록 증상 있는 셀(\(A = 1\) 또는 \(B = 1\)) 이 커지고, 합계 자체는 55세 이후 급감 (집단 내 은퇴·사망으로 인한 생존자 감소).

2.3 선택 편향에 대한 경고

McCullagh 는 이 데이터에 명시적 경고를 붙인다. 분석 대상이 “현역 광부 + 진폐증 없음 + 흡연자” 로 삼중 필터링되어 있다.

은퇴한 광부 제외: 숨참이 너무 심해 일을 못 하면 자동으로 표본에서 사라진다
진폐증 있는 광부 제외: 이미 중증이라 다른 경로로 진단된 사람들
흡연자로 국한: 비흡연자와의 비교 불가능

결과적으로 강한 생존 편향(survivor bias) 이 개입된다. Mantel & Brown (1973) 이 지적했듯, 이 편향은 회귀 계수 자체를 체계적으로 왜곡시킬 수 있다. “어떤 건강 모집단”의 결론인지 명확히 규정한 뒤에만 의미를 가진다.

통계 기법 \(\ne\) 역학적 결론

이 예제는 기법 시연용 데이터이다. 실제 “흡연 → 호흡기 질환” 인과를 이 데이터로 주장하기는 어렵다. 모형 적합과 해석의 기법을 익히는 용도로만 사용한다.

3 예비 탐색 — 경험 로짓 플롯

모형 적합 전에 로그 척도에서 선형성이 있는가 를 눈으로 확인한다.

3.1 일변량 로짓 (breathlessness 예)

\[ Z_{ai} = \log\!\frac{y_{1.i} + \tfrac{1}{2}}{y_{2.i} + \tfrac{1}{2}} \]

여기서 \(y_{1.i}\) = 연령 \(i\) 집단에서 숨참 있음 총합, \(y_{2.i}\) = 없음 총합. \(\tfrac{1}{2}\) 은 0 셀 보정(continuity correction).

관찰: \(Z_{ai}\) vs 연령 플롯이 강한 단조 증가 + 약간의 2차 곡률. 즉 대체로 직선이지만 양끝이 중간보다 살짝 완만. 쌕쌕거림 \(Z_{bi}\) 도 거의 같은 패턴.

3.2 로그 오즈비 (교호작용)

\[ Z_{abi} = \log\!\frac{(y_{11i} + \tfrac{1}{2})(y_{22i} + \tfrac{1}{2})}{(y_{12i} + \tfrac{1}{2})(y_{21i} + \tfrac{1}{2})} \]

관찰: 선형 감소 추세 (곡률 증거 없음). 연령이 증가할수록 두 증상의 연관이 약해진다.

3.3 해석 — 왜 오즈비가 감소하는가

이 감소 현상은 흥미롭지만 곧바로 의학적 해석으로 가면 안 된다. McCullagh 가 지적하는 대안 설명:

중도 절단(censoring): 두 증상을 모두 가진 사람이 은퇴·사망으로 먼저 사라진다. 남은 표본에서는 “한 증상만” 있는 사람의 비율이 상대적으로 늘어나 오즈비가 줄어든다
질병 심각도의 분리: 고연령에서 “심한 숨참”이 “쌕쌕거림 없이도” 진행되는 병리학적 전이

어느 쪽이든 “나이가 들면 연관이 약해진다” 는 단순한 결론은 내릴 수 없다.

4 모형 — 이변량 로지스틱 (식 6.25)

(앞의 선택 편향 경고를 전제로 한다 — 이 모형 적합의 목적은 역학적 인과 결론이 아니라 두 반응 동시 기록 시 주변 로짓 모형을 어떻게 나란히 쓰는가 의 기법 시연이다.)

§6.5.4 의 다변량 회귀 프레임을 이 데이터에 적용. 세 로그 대조 \(\eta_a, \eta_b, \eta_{ab}\) 를 모두 age 에 선형 회귀.

\[ \begin{aligned} \eta_a &= \beta_0^{(a)} + \beta_1^{(a)} x + \beta_2^{(a)} z, \\ \eta_b &= \beta_0^{(b)} + \beta_1^{(b)} x + \beta_2^{(b)} z, \\ \eta_{ab} &= \beta_0^{(ab)} + \beta_1^{(ab)} x + \beta_2^{(ab)} z, \end{aligned} \tag{6.25} \]

여기서 \(x = (\text{age} - 42)/5\), \(z = x^2\). 중심화·스케일링이 중요한 이유:

\(-42\) 중심화: 절편 \(\beta_0\) 의 해석 = “평균 연령(42세)에서의 로짓”. \(42\) 는 관측 범위 중앙
\(/5\) 스케일: \(x\) 의 한 단위 = 5년. 계수가 “5년 증가당 로짓 변화”
\(z = x^2\): 2차 항의 유의성으로 곡률 검정

모형식 표기 (§6.5.5): A*B : x + z.

4.1 적합 결과 (Table 6.7, 선형만 포함 모형)

모수	결합 우도 추정	SE
\(A\): intercept	\(-2.2625\)	0.0299
\(A\): \(x\)	\(0.5145\)	0.0121
\(B\): intercept	\(-1.4878\)	0.0206
\(B\): \(x\)	\(0.3254\)	0.0089
\(A.B\): intercept	\(3.0219\)	0.0697
\(A.B\): \(x\)	\(-0.1314\)	0.0284

읽기:

\(A\) 의 \(x\) 계수 \(0.515\): 5년당 숨참 로짓이 0.515 증가. 연당 \(0.515/5 = 0.103\) → 매년 오즈 약 10.8% 증가 (\(e^{0.103} = 1.108\))
\(B\) 의 \(x\) 계수 \(0.326\): 연당 쌕쌕거림 오즈 6.7% 증가
\(A.B\) 의 \(x\) 계수 \(-0.131\): 5년당 로그 오즈비 감소 0.131. 예비 플롯의 관찰 확인

4.2 주변 vs 결합 우도 — 3% 효율 차이

비교:

접근	구현	효율 (상대 분산)
주변 로지스틱	\(A \sim x\), \(B \sim x\) 각각 적합 → \(\eta_{ab}\) 는 section 7.4 의 반복 절차로 보정	기준 100%
결합 우도	모든 셀 확률을 한꺼번에 곱셈	평균 3%, 최대 7.5% 향상

McCullagh 의 결론: “최대 3.6% 효율 향상이라면 — 엄청난 노력에 대한 보상이 사소하다 (truly worthless gain in view of the effort expended)”.

실무적 함의: 이변량 반응이라도 주변 로지스틱 두 개를 각각 적합한 뒤 오즈비만 별도로 추정하는 간단한 접근이 실무에서 대부분 충분하다. 결합 우도 구현의 복잡도는 대개 보상되지 않는다.

4.3 2차 항 검정 (Table 6.9)

모형	이탈도	자유도
\(A*B : x\) (선형만)	30.39	21
\(A*B : x; (A+B):z\) (주변에만 2차)	17.12	19
\(A*B : x + z\) (전부 2차)	16.96	18
\(A*B : x; (A+B):R\) (age 9-수준 factor)	6.80	7

해석:

이탈도 감소 \(30.39 - 17.12 = 13.27\) on 2 df → \(A\) 와 \(B\) 주변 로짓의 2차 계수가 강하게 유의
추가 로그 오즈비 2차 항은 \(17.12 - 16.96 = 0.16\) on 1 df → 비유의
즉 주변 로짓은 약간 곡선, 오즈비는 선형
age 를 9-수준 factor 로 놓으면 이탈도 6.80 on 7 df → 2차 다항식으로 대부분 포착됨을 의미

4.4 “통계적 유의함” vs “실질적 크기”

McCullagh 의 중요한 지적: 2차 항이 “overwhelming statistical significance” 지만 “numerically very small” 하다. 연령의 전체 범위에 걸쳐 로짓 변화를 실질적으로 거의 바꾸지 않는다.

실무 교훈: 대표본에서는 \(p < 0.001\) 같은 유의성을 수십 개 모수에서 볼 수 있지만, 계수 자체가 해석에 기여하는 크기 를 함께 보고해야 한다. “유의한데 무시해도 되는” 효과가 빈번하다.

5 §6.6.2 모수 해석 — 이변량 로짓 vs 로그선형

이 부분이 §6.6 의 진짜 교훈이다. 두 모형 모두 같은 데이터에 로그 척도의 선형 회귀를 적합하지만, 계수의 의미가 다르다.

5.1 이변량 로짓 모형의 적합

\[ \log(\hat\pi_{1.}/\hat\pi_{2.}) = -2.261 + 0.515 x \]

\[ \log(\hat\pi_{.1}/\hat\pi_{.2}) = -1.487 + 0.326 x \]

\[ \log\!\frac{\hat\pi_{11}\hat\pi_{22}}{\hat\pi_{12}\hat\pi_{21}} = 3.022 - 0.131 x \]

의미: \(\log(\pi_{1.}/\pi_{2.})\) 은 주변 로짓 — “전체 광부 중 숨참 있는 비율의 로짓”. 이것이 0.515 씩 5년당 증가. 해석 단위가 공변량 변화에 대한 “주변 변화” 이다.

5.2 로그선형 모형의 적합

같은 데이터에 log mu_ij = alpha_ij + beta_ij x 를 적합. 즉 셀 확률 \(\pi_{ij}\) 자체를 로그 선형으로.

\[ \text{logit}\,\Pr(A = 1 \mid B = 1, x) = -0.418 + 0.349 x \]

\[ \text{logit}\,\Pr(B = 1 \mid A = 1, x) = 1.051 + 0.034 x \]

\[ \text{log odds-ratio} = 3.059 - 0.166 x \]

의미: 로그선형의 계수를 조건부로 재구성하면 “다른 증상이 있다는 조건 하에” 의 로짓이 나온다. 위 식은 “쌕쌕거림 있는 광부의 숨참 로짓” 및 “숨참 있는 광부의 쌕쌕거림 로짓”.

5.3 핵심 대비 — 주변 vs 조건부

모수	이변량 로짓	로그선형
\(A\) 의 5년당 로짓 증가	0.515 (주변)	0.349 (B=1 조건), 더 큰 값 (B=2 조건)
\(B\) 의 5년당 로짓 증가	0.326 (주변)	0.034 (A=1 조건), 0.201 (A=2 조건)
로그 오즈비 기울기	\(-0.131\)	\(-0.166\)

주목할 점: 주변 회귀 계수가 조건부 회귀 계수와 다르다. 특히

\(B\) on \(x\) in A=1: \(0.034\) (거의 0!)
\(B\) on \(x\) in A=2: \(0.201\)
\(B\) on \(x\) 주변: \(0.326\) — 두 조건부 값 모두보다 크다

이것은 직관에 반한다. 어떻게 주변 변화가 두 조건부 변화 모두보다 클 수 있는가?

5.4 왜 주변이 조건부보다 “더 빠르게” 변하는가

이것은 Simpson 역설의 역 — “혼합 가속(mixture acceleration)” 의 한 형태.

메커니즘: 연령이 증가하면 (1) \(B\) 내부의 각 부분모집단에서 \(A\) 가 증가, 동시에 (2) \(A\) 를 더 잘 가진 부분모집단(\(B=1\))이 상대적으로 커짐. 두 효과가 같은 방향으로 겹쳐 주변 \(B\) 비율이 조건부 변화보다 빠르게 움직인다.

그림으로 설명:

연령 증가
  ↓
각 층(B=1, B=2) 내에서 A 비율 상승 (조건부 효과)
  +
층의 상대 크기 변화: B=1 층이 커짐 (혼합 가중치 이동)
  ↓
주변 A 비율은 두 효과의 합 → 각 조건부 값보다 크게 이동

5.5 추가 사례 \(B\) on \(x\)

조건부 효과는 \(A=1\) 에서 \(0.034\), \(A=2\) 에서 \(0.201\) — 둘 다 양수지만 큰 차이
이 차이가 로그 오즈비의 감소(\(-0.131 \text{ 또는 } -0.166\)) 를 만든다
주변 효과 \(0.326\) 는 두 조건부 값의 “가중 평균이 아니라 그 이상” — 혼합 분포가 움직이며 생기는 가속

5.6 어느 해석이 “맞는가”

McCullagh 의 강한 입장:

다중 반응 동시 관측에서는 주변 모형이 우선

“두 반응이 거의 동시에 관측되었다면, 한 반응을 다른 반응에 조건화한 분포가 공변량에 어떻게 의존하는지 에 관심을 가질 이유가 별로 없다.”

“반대로 주변 분포는 얼마나 많은 반응을 관측했든 관심사이며, 추가로 기록된 무관한 반응 때문에 조사 초점이 흔들려서는 안 된다.”

예컨대 \(C\) (위장 문제) 를 추가 관측하면 로그선형 모형 A*B*x 와 A*B*C*x 의 \(A, B\) 계수가 일반적으로 달라진다. 관측하지 않은 \(C\) 를 기록했다는 사실 자체가 \(A, B\) 의 해석을 바꿔 버리는 것은 비합리적.

반면 다변량 로짓 모형 A*B*C : x 는 자동으로 A*B : x 와 A : x 를 내포한다. 즉 추가 반응을 기록해도 기존 해석이 깨지지 않는다.

5.7 이 지침이 실무에 주는 것

규칙: 다중 반응 관측치에서 대칭적 다변량 모형이 필요하면 이변량 로짓 등 다변량 logit 모형 을 선호한다. 로그선형 모형은 한 반응을 “종속”으로 놓고 나머지를 설명 변수로 다루는 경우(조건부 해석이 자연스러운 경우)에 국한한다.

6 코드 예시 — 재현

6.1 Step 1: 순수 Python — 경험 로짓 플롯

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

age_mid = np.array([22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62])
# (A=1,B=1), (A=1,B=0), (A=0,B=1), (A=0,B=0)
counts = np.array([
    [9,   7,   95, 1841],
    [23,  9,   105,1654],
    [54,  19,  177,1863],
    [121, 48,  257,2357],
    [169, 54,  273,1778],
    [269, 88,  324,1712],
    [404, 117, 245,1324],
    [406, 152, 225, 967],
    [372, 106, 132, 526],
], dtype=float)
y11, y10, y01, y00 = counts.T
y1_ = y11 + y10     # A=1 합
y0_ = y01 + y00     # A=0
y_1 = y11 + y01     # B=1
y_0 = y10 + y00     # B=0

Za = np.log((y1_ + 0.5) / (y0_ + 0.5))
Zb = np.log((y_1 + 0.5) / (y_0 + 0.5))
Zab = np.log(((y11 + 0.5) * (y00 + 0.5)) / ((y10 + 0.5) * (y01 + 0.5)))

x = (age_mid - 42) / 5

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(13, 3.5))
for ax, Z, name in zip(axes, [Za, Zb, Zab],
                       ["logit(A)", "logit(B)", "log odds-ratio A.B"]):
    ax.plot(x, Z, "o-")
    ax.set(title=name, xlabel="x = (age - 42)/5")
plt.tight_layout()

세 곡선 확인: 주변 로짓 두 개는 단조 증가 + 약한 곡률, 오즈비는 선형 감소.

6.2 Step 2: 이변량 로짓 적합 (반복적 주변-교호작용)

statsmodels 에는 이변량 로지스틱 직접 구현이 없어 간단한 manual 적합.

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# Design (선형만): params = (beta0_a, beta1_a, beta0_b, beta1_b, beta0_ab, beta1_ab)
def neg_loglik(params, counts, x):
    b0a, b1a, b0b, b1b, b0ab, b1ab = params
    n_age = len(x)
    ll = 0.0
    for i in range(n_age):
        eta_a = b0a + b1a * x[i]
        eta_b = b0b + b1b * x[i]
        eta_ab = b0ab + b1ab * x[i]
        # 2x2 셀 확률: pi_ij 를 eta_a, eta_b, eta_ab 로부터 재구성
        # log odds of A in each B, using: logit pi_{1+} = eta_a
        #                                  logit pi_{+1} = eta_b
        #                                  log OR = eta_ab
        # 이 변환은 반복 해결이 필요 — 단순화를 위해 Plackett 함수 사용
        from scipy.optimize import brentq
        p_a = 1 / (1 + np.exp(-eta_a))
        p_b = 1 / (1 + np.exp(-eta_b))
        psi = np.exp(eta_ab)
        # Plackett: p11 = [1 + (p_a + p_b)(psi - 1)
        #                   - sqrt({1 + (p_a + p_b)(psi-1)}^2 - 4 psi (psi-1) p_a p_b)] / (2(psi-1))
        if abs(psi - 1) < 1e-6:
            p11 = p_a * p_b
        else:
            S = 1 + (p_a + p_b) * (psi - 1)
            p11 = (S - np.sqrt(S**2 - 4 * psi * (psi - 1) * p_a * p_b)) / (2 * (psi - 1))
        p10 = p_a - p11
        p01 = p_b - p11
        p00 = 1 - p_a - p_b + p11
        pis = np.array([p11, p10, p01, p00])
        pis = np.maximum(pis, 1e-12)
        ll += np.sum(counts[i] * np.log(pis))
    return -ll

init = np.array([-2.2, 0.5, -1.5, 0.3, 3.0, -0.1])
res = minimize(neg_loglik, init, args=(counts, x), method="BFGS")
print("결합 우도 추정 (교재 Table 6.7 비교):")
names = ["A:1", "A:x", "B:1", "B:x", "A.B:1", "A.B:x"]
for n, p in zip(names, res.x):
    print(f"  {n:6s} = {p:+.4f}")

6.3 Step 3: 로그선형 vs 이변량 로짓 계수 비교

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

# long format
rows = []
for i, (a, b) in enumerate([(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)]):
    for j, age in enumerate(age_mid):
        rows.append({"A": a, "B": b, "x": (age-42)/5, "count": counts[j, i]})
df = pd.DataFrame(rows)

# 로그선형: count ~ A*B*x
fit_loglin = smf.glm(
    "count ~ C(A) * C(B) * x",
    data=df, family=sm.families.Poisson()
).fit()

# 주변 로지스틱: A on x
df_A = df.groupby(["A", "x"])["count"].sum().reset_index()
df_A_wide = df_A.pivot(index="x", columns="A", values="count").reset_index()
fit_A = sm.GLM(
    df_A_wide[[1, 0]].values,
    sm.add_constant(df_A_wide["x"]),
    family=sm.families.Binomial()
).fit()
print(f"주변 logit(A) ~ x: intercept = {fit_A.params[0]:+.4f}, slope = {fit_A.params[1]:+.4f}")
print(f"(교재: -2.261, 0.515)")

# 조건부 A on x given B=1: 로그선형 계수에서 유도
c_loglin = fit_loglin.params
# logit Pr(A=1|B=1,x) = log(pi_11/pi_01) = 직접 추출
# 자세한 수식 재구성 생략 — 교재 수치: -0.418, 0.349
print("\n교재 로그선형 조건부 해석:")
print("  logit Pr(A=1|B=1) = -0.418 + 0.349 x")
print("  logit Pr(A=1|B=2) = 다른 값 (자세히는 Table 6.7 전용 분석)")

6.4 R 대응

# VGAM 의 이변량 로지스틱 (Dale copula 사용)
library(VGAM)
tab <- array(counts, dim = c(9, 4))
df <- expand.grid(age = age_mid, cell = 1:4)
# 상세 구현은 VGAM::binom2.or family 사용

# 주변 로지스틱 두 개
fit_A <- glm(cbind(y1_, y0_) ~ x, data = df_margin, family = binomial())
fit_B <- glm(cbind(y_1, y_0) ~ x, data = df_margin, family = binomial())

# 로그선형
fit_loglin <- glm(count ~ A * B * x, data = df_long, family = poisson())

7 결론 요약

질문	답
연령 → 증상 관계	로지스틱 선형에 약한 2차 곡률, 실질 크기는 작음
연당 오즈 증가	숨참 10.8%, 쌕쌕거림 6.7%
오즈비의 연령 의존	연령 증가에 따라 선형 감소 (교재 \(-0.131\)/5년)
주변 우도 vs 결합 우도	효율 차이 3% 내외, 결합 구현 복잡도 보상 부족
이변량 로짓 vs 로그선형	주변 해석 vs 조건부 해석 — 다른 계수
어느 쪽을 선호하나	대칭적 다중 반응이면 다변량 로짓
역학적 인과 해석	선택 편향으로 제한적 — 기법 시연용

이 예제가 Ch.6 에서 맡은 역할: §6.5 의 추상 이론이 실제로 어떻게 구현되고, 어떻게 해석되며, 무엇이 함정인지를 한 데이터에 집중시켜 보여준다. 특히 “주변 계수 vs 조건부 계수” 의 체계적 차이 는 다중 반응 모형 선택의 가장 실제적인 지침이 된다.

8 자주 걸리는 함정

함정	증상	처방
이변량 로짓 계수를 조건부로 읽음	“다른 증상 있을 때” 로 오해	주변 확률에 대한 로짓임을 명시
로그선형 \(A.B:x\) 를 주변 오즈비 기울기로 읽음	수치 다름	조건부 오즈비 기울기임
대표본 2차 항 \(p < 0.001\) 을 실질적 중요성으로	과도한 모형 복잡화	계수 크기·예측 변화로 해석
선택 편향 무시하고 인과 주장	“흡연이 원인” 과대주장	표본 정의 범위 내에서만 결론
결합 우도 복잡 구현에 시간 낭비	3% 효율 gain	주변 로지스틱 2개 + 반복 오즈비로 충분
\(Z_{ab}\) 감소를 생물학적 효과로	중도절단 가능성 간과	Mantel-Brown 의 검열 가설 검토
\(x\) 중심화 안 함	절편 해석 난해, 수치 불안정	`(age - 중앙값)/스케일` 관행 따르기
age 9-수준 factor 만으로 끝냄	추세 정보 낭비	factor 모형은 적합도 상한 확인용

9 관련 주제

선행 지식

후속 주제 (placeholder)

Log-linear 심화 결과와 연습 (§6.7~§6.8)
Conditional Likelihoods (Ch.7) — 장해 모수 제거의 일반 이론

관련 개념

Simpson’s Paradox 와 혼합 분포 — 주변 vs 조건부 계수 차이
Pearson–Plackett 이변량 분포 — 이변량 로짓 구현
생존 편향과 관측 연구 함정
로지스틱 회귀 해석 가이드
이산시간 해저드 — 중도절단 효과

10 참고문헌

McCullagh, P. & Nelder, J. A. (1989). Generalized Linear Models (2nd ed.), §6.6. Chapman & Hall.
Ashford, J. R. & Sowden, R. R. (1970). Multi-variate probit analysis. Biometrics, 26, 535–546.
Mantel, N. & Brown, C. (1973). A logistic re-analysis of Ashford and Sowden’s data on respiratory symptoms in British coal miners. Biometrics, 29, 649–665.
Grizzle, J. E. (1971). Multivariate logit analysis. Biometrics, 27, 1057–1062.
Plackett, R. L. (1965). A class of bivariate distributions. JASA, 60, 516–522.
Dale, J. R. (1986). Global cross-ratio models for bivariate discrete ordered responses. Biometrics, 42, 909–917.
Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis (3rd ed.), Ch.10. Wiley.