1 왜 “예제”를 따로 다루는가
§5.6 의 두 예제(치즈 맛, 진폐증)는 Ch.5 전체의 이론을 하나의 흐름으로 엮어 보여주는 장치이다. 치즈는 정성적 범주 공변량 에서 비례 오즈의 전형을, 진폐증은 정량적 공변량 에서 로그 변환과 잔차 진단의 전형을 보여준다. 두 예제를 통해 확인해야 할 점:
- 비례 오즈 vs 연속비율(계층) 모형 이 같은 데이터에 어떻게 다르게 작동하는가
- 단위 셀 잔차 vs 누적 잔차 중 어느 쪽이 진단에 더 유용한가
- 희소 데이터에서 MLE 편향 이 얼마나 심각한가
- 로그 변환(공변량) 의 선택 을 잔차 플롯으로 어떻게 정당화하는가
이 포스트는 치즈 실험의 시뮬레이션 결과(§5.6.1 후반부)와 진폐증 예제(§5.6.2) 전체를 중심으로 정리한다. 치즈 실험 자체의 추정·해석은 04-4 포스트 를 참조한다.
2 치즈 맛 실험 (§5.6.1) — 희소 데이터 편향 재검증
2.1 복습 — 적합 결과
네 첨가물 \(A, B, C, D\) × 9점 척도 × 52명. 비례 오즈 \(\text{logit}\,\gamma_{ij} = \theta_j - \beta_i\) 로
\[ \hat{\boldsymbol{\beta}} = (-1.613, -4.965, -3.323, 0), \qquad D = 20.31 \text{ on } 21 \text{ df}. \]
\(\hat{\sigma}^2 = 20.9/21 \approx 1\) 로 과산포 없음.
2.2 걱정거리 — “희소한데 정말 괜찮은가”
관측 수 \(n = 32\) (4 × 8 경계) 대비 모수 수 \(p = 11\) (\(\theta_1, \ldots, \theta_8, \beta_A, \beta_B, \beta_C\)). 비율이 \(11/32 \approx 0.34\) 로 상당히 크다. 더군다나 극단 셀(예: 첨가물 A 의 범주 1·2 는 0 관측)에서 \(\chi^2\) 근사가 나빠질 가능성이 있다.
핵심 질문: 교과서적 점근이론이 이 정도 희소성에서도 유효한가?
2.3 시뮬레이션 결과 (McCullagh §5.6.1 말미)
\(\hat{\theta}, \hat{\beta}\) 를 참값으로 두고 같은 행 합(\(m_i = 52\)) 으로 25회 재샘플링하여 세 가지를 점검:
| 점검 항목 | 결과 | 해석 |
|---|---|---|
| \(\hat{\beta}_i\) 의 편향 | \(\le 5\%\) | 매우 작다 |
| 이탈도 분포 | 대략 \(\chi^2_{21}\) (1·2차 모멘트 일치) | \(\chi^2\) 근사 유효 |
| 표준오차 정확도 | 참 SE 대비 약 10% 과대 | 약간 보수적 |
교훈 — 희소해도 비례 오즈 는 견고: 모수 수 / 관측 수 비율이 0.34 정도여도, 관심 모수(\(\beta_i\)) 에 대한 점근 추론은 거의 정확 하다. 표준오차가 10% 과대평가되므로 결론은 보수적(conservative) — 유의하다고 판단한 효과는 실제로도 유의할 가능성이 높다.
이 결과가 가능한 이유:
- 각 행 합 \(m_i = 52\) 가 크므로 다항 CLT 가 잘 작동
- \(\theta_j\) 는 장해 모수(nuisance) 에 가깝고 \(\beta_i\) 가 관심 모수 — 전자의 정확성이 다소 흔들려도 후자에는 거의 영향 없음
- 범주 병합(9 → 4) 실험에서도 \(\hat{\beta}\) 가 거의 불변 → 범주 통합 불변성의 수치적 확인
경계: \(m_i\) 가 작아지는 상황(예: 각 처리군 10명 이하)에서는 동일한 보증이 없다. “관측 수 vs. 모수 수” 뿐 아니라 “행 합 \(m_i\) 가 충분히 큰가” 가 더 결정적이다.
2.4 조건부 우도로 장해 모수 제거 (§7.5.3 연계)
편향이 작은 이유의 일부는 §7.5.3 에서 조건부 우도(conditional likelihood) 로 \(\theta_j\) 를 소거한 분석에서도 확인된다. 전체 우도 MLE 는 장해 모수까지 동시 추정하므로 편향이 커질 수 있지만, \(\beta_i\) 에 대한 조건부 MLE 는 장해 모수 제거로 편향이 추가로 줄어든다. 이것은 Cox (1972) 의 층화 논리와 같은 맥락이다.
3 탄광부 진폐증 (§5.6.2) — 정량 공변량과 로그 변환
3.1 데이터 (Ashford, 1959)
8개 노출 구간(평균 근무 연수 \(t_i\))에서 광부를 진폐증 심각도 3단계로 분류.
| 근무 연수 \(t_i\) | I (정상) | II (경증) | III (중증) | 합 \(m_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 5.8 | 98 | 0 | 0 | 98 |
| 15.0 | 51 | 2 | 1 | 54 |
| 21.5 | 34 | 6 | 3 | 43 |
| 27.5 | 35 | 5 | 8 | 48 |
| 33.5 | 32 | 10 | 9 | 51 |
| 39.5 | 23 | 7 | 8 | 38 |
| 46.0 | 12 | 6 | 10 | 28 |
| 51.5 | 4 | 2 | 5 | 11 |
반응은 순서형 3범주 (\(k = 3\)), 공변량은 정량형 (\(t_i\), 연속). 4범주였던 원 척도에서 상위 두 범주를 병합한 것이므로 중증(Category III)은 “중증 이상”으로 읽어야 한다.
3.2 예비 탐색 — 왜 \(\log t\) 인가
비례 오즈를 적합하기 전 경험적 누적 로짓 을 플롯해 선형성을 확인한다. 식 (5.19):
\[ \log\!\frac{y_{i1} + \tfrac{1}{2}}{m_i - y_{i1} + \tfrac{1}{2}}, \qquad \log\!\frac{y_{i1} + y_{i2} + \tfrac{1}{2}}{m_i - y_{i1} - y_{i2} + \tfrac{1}{2}} \tag{5.19} \]
연속성 보정 \(\tfrac{1}{2}\) 는 \(0/m_i\) 또는 \(m_i/m_i\) 인 셀에서 로짓이 \(\pm\infty\) 가 되는 것을 막는다.
관찰:
- \(t_i\) 에 대한 플롯: 두 로짓이 평행 형태이지만 비선형 (곡선)
- \(\log t_i\) 에 대한 플롯: 평행하고 대략 선형
“평행성” 은 비례 오즈의 전제. “선형성” 은 공변량 척도 선택의 문제. \(\log t\) 로 바꾸면 두 조건을 동시에 만족한다 → 최종 모형
\[ \text{logit}\,\gamma_{ij} = \theta_j - \beta \log t_i, \quad j = 1, 2; \; i = 1, \ldots, 8. \tag{5.20} \]
직관 — 왜 로그 노출인가: 분진 축적에 의한 폐손상은 누적 용량(cumulative dose) 의 대수적 반응 을 보이는 경우가 많다. 의학·독성학에서 log-dose-logit 관계는 일종의 관례이며 (Probit/logit 선량-반응 분석), 이 예제는 그 전형이다. 추가로 시각적 근거(예비 플롯)까지 선형성을 지지하므로 수학적·과학적으로 모두 자연스럽다.
3.3 적합 결과
\[ \hat{\beta} = 2.60 \;(\text{SE} = 0.38), \qquad \hat{\theta}_1 = 9.68, \quad \hat{\theta}_2 = 10.58. \]
해석 — 오즈 계산:
근무 \(t = 5\) 년인 광부의 진폐증(범주 II 이상) 오즈:
\[ \exp(\hat{\theta}_1 - \hat{\beta}\log 5) = \exp(9.68 - 2.60 \cdot 1.609) \approx \exp(5.50) \approx 244. \]
즉 질병 없음 : 질병 있음 ≈ 244 : 1, “질병 위험” 은 약 \(1/243 \approx 0.4\%\).
노출을 두 배로 늘리면 위험이 \(2^{\hat{\beta}} = 2^{2.60} \approx 6.06\) 배로.
| 근무 연수 | 진폐증 위험 (범주 II 이상) | 중증(III) 위험 |
|---|---|---|
| 5 년 | 1/243 | 1/600 |
| 10 년 | 1/40 | 1/100 |
| 20 년 | 1/7 | 1/17 |
Proportional odds 의 힘: 단 하나의 \(\beta\) 로 두 누적 경계의 변화를 동시에 기술한다. 계단이 하나뿐인 모형이 실제 데이터의 이단 구조를 적절히 설명하고 있다는 점이, 이 가정이 이 데이터에 맞다는 것을 보여준다.
비교 — Ashford 의 프로빗 분석: 원 논문은 probit 를 사용. 적합값은 비슷하지만 모수 값은 다르다. 이유 두 가지: (1) 링크 함수 차이 (로지스틱 vs 정규), (2) 원 논문의 수치 정확도 한계. 결론(질적 순위·위험 배수)은 링크 선택에 거의 영향을 받지 않는다 — 이것이 비례 오즈·프로빗 선택이 실무에서 자주 임의적인 이유.
3.4 잔차 진단 — 단위 셀 vs. 누적
\(t\) 에 대한 선형 모형(비교용, \(\text{logit}\,\gamma_{ij} = \theta_j - \beta t_i\)) 적합 후 잔차 분석.
3.4.1 단위 셀 잔차 (Fig. 5.5a)
24 개 표준화 셀 잔차
\[ r_{ij} = \frac{y_{ij} - \hat{y}_{ij}}{[m_i \hat{\pi}_{ij}(1 - \hat{\pi}_{ij})]^{1/2}} \]
를 \(t_i\) 에 플롯하면 강한 곡선 패턴이 안 보인다. 무작위처럼 흩어져 있어 모형 부적합성이 잡히지 않는다.
3.4.2 누적 잔차 (Fig. 5.5b)
같은 적합에 대해 누적 잔차
\[ R_{i1} = y_{i1} - \hat{y}_{i1}, \qquad R_{i2} = y_{i1} + y_{i2} - \hat{y}_{i1} - \hat{y}_{i2} \]
를 플롯하면 명확한 비선형 패턴 이 드러난다. 즉 \(t\) 선형 모형이 부적합하다는 것이 누적 잔차로 비로소 보인다.
3.5 왜 누적 잔차가 더 민감한가
이유 1 — 자유도 일치: 한 다항 관측은 자유도 \(k - 1\) 를 갖는다. 셀 잔차 \(r_{ij}\) 는 \(k\) 개를 만들어내지만 그중 하나는 나머지의 종속적 함수 → 실질 자유도 초과. 누적 잔차는 정확히 \(k-1\) 개를 만들어 자유도 낭비가 없다.
이유 2 — 신호의 방향 일관성: 셀 잔차는 인접 범주 간 이동(예: “II 에 있어야 할 사람이 I 로 넘어감”) 이 서로 반대 부호로 나타나 상쇄된다. 누적 잔차는 한 방향으로 축적 되어 부호가 같은 방향으로 쌓인다 — 곡선 패턴이 더 크게 드러난다.
이유 3 — 공변량 척도 부적합 감지: \(t\) 가 아니라 \(\log t\) 를 써야 하는 상황에서 단위 셀 잔차는 이동이 너무 미세해 놓친다. 누적 잔차는 전체 분포의 이동 을 한 지점에서 묶어 보기 때문에 척도 부적합을 드러낸다.
\(k = 3\) 특수 경우의 단순화: 이 예제에서는 범주 3개라 누적 잔차 두 개 중 하나는 \(R_{i2} = -(y_{i3} - \hat{y}_{i3})\) 로, 범주 3의 부호 뒤집은 잔차와 같다. 따라서 “범주 2 잔차는 무시하고 범주 3 잔차의 부호를 뒤집으면” 누적 플롯이 된다. 구현이 간단하다.
순서형 반응의 잔차 분석은 누적 잔차로 한다. 단위 셀 잔차 플롯만 보고 “무작위처럼 보인다” 고 결론 내리면 중요한 부적합을 놓칠 수 있다. McCullagh 의 이 예제가 그 경고를 가장 명확히 보여준다.
4 비례 오즈 vs 연속비율 모형 — 두 분석의 대비
4.1 연속비율 모형 (식 5.21)
계층적 관점: 3범주 반응을 두 단계 이항으로 분해.
Stage 1: 정상(I) vs 질병(II + III)
Stage 2: (질병) → 경증(II) vs 중증(III)식 (5.10) 의 로지스틱 버전, 부호 관례를 반대로:
\[ \log\!\frac{\pi_{ij}}{1 - \gamma_{ij}} = \alpha_j - \beta x_i \tag{5.21} \]
여기서 \(x_i\) 는 \(t_i\) 또는 \(\log t_i\).
해석:
- Stage 1: “질병 걸릴 위험” 오즈는 \(\exp(-\alpha_1 + \beta x_i)\) — 노출 단위 증가마다 \(e^\beta\) 배
- Stage 2: “질병 중 중증이 될 위험” 오즈는 \(\exp(-\alpha_2 + \beta x_i)\) — 같은 \(e^\beta\) 배
- 두 단계에서 같은 \(\beta\) 를 쓴다는 가정 (단계별 상호작용 없음)
4.2 이항으로의 분해
모형 (5.21) 의 핵심은 각 단계를 독립 이항으로 본다는 것이다.
| \(i\) | \(t_i\) | Stage 1: \(y_{i1}^*/m_{i1}^*\) | Stage 2: \(y_{i2}^*/m_{i2}^*\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 5.8 | 0 / 98 | 0 / 0 |
| 2 | 15.0 | 3 / 54 | 1 / 3 |
| 3 | 21.5 | 9 / 43 | 3 / 9 |
| … | … | … | … |
\(y_{i2}^*/m_{i2}^*\) 는 분모가 0 에 가까우면 제거(첫 행). 이에 따라 잃는 자유도 1개.
식 (5.22):
\[ \log\!\frac{\pi_{ij}^*}{1 - \pi_{ij}^*} = -\alpha_j + \beta x_i, \quad j = 1, 2; \; i = 1, \ldots, 8. \]
수학적 사실: 이 두 이항 로그우도의 합은 모형 (5.21) 의 다항 로그우도와 정확히 같다. 즉 “다항 적합을 두 개의 독립 이항 GLM 으로 풀어도 동일한 결과를 얻는다” — §5.3.5 의 다항 = 이항 곱 분해 (§5.3.5 에서 본 성질)의 직접 활용.
4.3 적합 결과 (로그 노출 사용)
\[ \hat{\beta} = 2.32 \;(\text{SE} = 0.33), \qquad D = 7.6 \text{ on } 12 \text{ df}. \]
비례 오즈(식 5.20): \(\hat{\beta} = 2.60, D = 5.1 \text{ on } 13 \text{ df}\).
| 모형 | \(\hat{\beta}\) | SE | \(D\) / df | 위험 2배 |
|---|---|---|---|---|
| 비례 오즈 (5.20) | 2.60 | 0.38 | 5.1 / 13 | \(2^{2.60} = 6.06\) |
| 연속비율 (5.22) | 2.32 | 0.33 | 7.6 / 12 | \(2^{2.32} = 5.00\) |
두 결과는 본질적으로 같은 이야기: 노출 두 배 → 위험 약 5~6 배. 95% 신뢰구간도 겹친다: \(2^{2.60 \pm 1.96 \cdot 0.38}\) 와 \(2^{2.32 \pm 1.96 \cdot 0.33}\) 모두 대략 \((3.2, 10.2)\) 에 포함.
4.4 \(\beta_1 = \beta_2\) 가정 검토
연속비율 모형에서 두 단계가 같은 \(\beta\) 를 갖는다는 제약을 완화(\(\beta_j\))하면 LR 차이로 검정할 수 있다. McCullagh 는 “결론이 미묘하다(inconclusive)” 고 보고한다. 즉 데이터로는 두 단계 효과가 정말로 같은지 확실히 말할 수 없다. 실무에서는 두 모형 모두 제시하고 과학적 플라우저빌리티 로 택하는 것이 원칙.
4.5 진단에서 본 차이
- 비례 오즈(5.20) 의 잔차: 뚜렷한 패턴 없음 → 모형 OK
- 연속비율(5.22) 의 잔차: 약한 패턴이 보임 → 비례 오즈가 약간 선호
McCullagh 의 권고: 잔차가 더 깨끗한 모형을 택하되, 해석의 자연스러움을 함께 고려한다. 질병 관리 맥락에서는 “누적 로짓” 보다 “단계별 조건부 위험” 이 의학적으로 더 직관적일 수 있으므로 연속비율 해석을 병기하는 것이 실무적으로 유용하다.
5 결론 요약
| 질문 | 답 |
|---|---|
| 분진 노출 → 진폐증 위험 증가하는가 | 강하게 증가 |
| 관계의 형태 | \(\log t\) 에 선형 (로그 용량-반응) |
| 노출 두 배의 효과 | 위험 약 5~6 배, 95% CI (3.2, 10.2) |
| 비례 오즈 vs 연속비율 | 수치적으로 거의 동일, 해석 맥락에 맞춰 선택 |
| 모형 부적합 진단법 | 누적 잔차 플롯 (셀 잔차는 놓칠 수 있음) |
| 미해결 질문 | (i) 노출 중단 시 위험 경로 (ii) 분진 감소 효과 — 이 데이터로는 연령과 교란되어 불가 |
이 예제가 Ch.5 전체에서 차지하는 위치: §5.2 의 순서형 모형, §5.3 의 다항 = 이항 곱 분해, §5.4 의 우도·이탈도, §5.5 의 과산포 체크까지 모든 장치를 한 데이터에 적용 해 본다. 비례 오즈와 연속비율이 수학적으로 연관된 두 표현 이지만 해석적으로는 서로 다른 이야기 임을 확인할 수 있다.
6 코드 예시 — 진폐증 데이터 재현
6.1 Step 1: 순수 Python — 비례 오즈 모형 (로그 노출)
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
from scipy.special import expit
# Table 5.2 — 진폐증 데이터
t = np.array([5.8, 15.0, 21.5, 27.5, 33.5, 39.5, 46.0, 51.5])
counts = np.array([
[98, 0, 0],
[51, 2, 1],
[34, 6, 3],
[35, 5, 8],
[32, 10, 9],
[23, 7, 8],
[12, 6, 10],
[ 4, 2, 5],
], dtype=float)
n, k = counts.shape # 8, 3
m = counts.sum(axis=1)
x = np.log(t) # 로그 노출
def nll_propodds(params, x, counts, k):
raw = params[:k-1]
theta = np.concatenate([[raw[0]], raw[0] + np.cumsum(np.exp(raw[1:]))])
beta = params[k-1:]
ll = 0.0
for i in range(len(x)):
gamma = expit(theta - beta[0] * x[i])
gamma = np.concatenate([[0.0], gamma, [1.0]])
pi = np.diff(gamma)
for j in range(k):
if counts[i, j] > 0:
ll += counts[i, j] * np.log(max(pi[j], 1e-12))
return -ll
init = np.array([8.0, 0.0, 2.0]) # theta raw(2) + beta(1)
res = minimize(nll_propodds, init, args=(x, counts, k),
method="BFGS")
raw = res.x[:k-1]
theta_hat = np.concatenate([[raw[0]], raw[0] + np.cumsum(np.exp(raw[1:]))])
beta_hat = res.x[k-1:]
print(f"theta_hat = {theta_hat.round(2)} (교재: 9.68, 10.58)")
print(f"beta_hat = {beta_hat.round(2)} (교재: 2.60)")
# 위험 배수
risk_double = 2 ** beta_hat[0]
print(f"노출 2 배 시 위험 배수 = {risk_double:.2f}")
# 5/10/20년 진폐증 위험
for years in [5, 10, 20]:
odds_disease = np.exp(-theta_hat[0] + beta_hat[0] * np.log(years))
risk = odds_disease / (1 + odds_disease)
print(f"t = {years:2d}년: 오즈 = {odds_disease:.4f}, 위험 ≈ 1/{int(1/risk)}")기대 출력: \(\hat{\theta} \approx (9.68, 10.58)\), \(\hat{\beta} \approx 2.60\), 위험 배수 약 6.06.
6.2 Step 2: 연속비율 모형 — 두 이항 GLM 의 합
import statsmodels.api as sm
# Stage 1: 정상 vs 질병
y_stage1 = counts[:, 1:].sum(axis=1) # 질병 수
n_stage1 = m # 전체
# Stage 2: 경증 vs 중증 (질병자 중)
y_stage2 = counts[:, 2]
n_stage2 = counts[:, 1:].sum(axis=1)
# 첫 행은 y_stage2 = 0/0 이라 제거
mask = n_stage2 > 0
x_stage2 = x[mask]
y_stage2 = y_stage2[mask]
n_stage2 = n_stage2[mask]
X1 = sm.add_constant(x)
fit1 = sm.GLM(np.column_stack([y_stage1, n_stage1 - y_stage1]),
X1, family=sm.families.Binomial()).fit()
X2 = sm.add_constant(x_stage2)
fit2 = sm.GLM(np.column_stack([y_stage2, n_stage2 - y_stage2]),
X2, family=sm.families.Binomial()).fit()
print(f"Stage 1 beta = {fit1.params[1]:.2f} (SE = {fit1.bse[1]:.2f})")
print(f"Stage 2 beta = {fit2.params[1]:.2f} (SE = {fit2.bse[1]:.2f})")
# 공통 beta 제약 모형 — 두 이항을 스택하여 한 번에 적합
y_stack = np.concatenate([y_stage1, y_stage2])
n_stack = np.concatenate([n_stage1, n_stage2])
x_stack = np.concatenate([x, x_stage2])
stage = np.concatenate([np.zeros(len(x)), np.ones(len(x_stage2))])
X_comb = np.column_stack([1 - stage, stage, x_stack]) # alpha1, alpha2, beta
fit_common = sm.GLM(np.column_stack([y_stack, n_stack - y_stack]),
X_comb, family=sm.families.Binomial()).fit()
print(f"\n공통 beta = {fit_common.params[2]:.2f} (SE = {fit_common.bse[2]:.2f})")
print(f" (교재: 2.32 ± 0.33)")
print(f"Deviance = {fit_common.deviance:.2f} on {int(fit_common.df_resid)} df")6.3 Step 3: 누적 잔차 플롯 (모형 부적합 감지)
import matplotlib.pyplot as plt
# 선형 t 모형으로 고의 적합 (부적합이 드러나야 함)
def fit_propodds(x, counts, k, init):
res = minimize(nll_propodds, init, args=(x, counts, k), method="BFGS")
raw = res.x[:k-1]
theta = np.concatenate([[raw[0]], raw[0] + np.cumsum(np.exp(raw[1:]))])
beta = res.x[k-1:]
return theta, beta
theta_t, beta_t = fit_propodds(t, counts, k, np.array([1.0, 0.0, 0.05]))
# 기대 도수
gamma_hat = np.zeros((n, k+1))
for i in range(n):
gamma_hat[i, 0] = 0
gamma_hat[i, 1:k] = expit(theta_t - beta_t[0] * t[i])
gamma_hat[i, k] = 1
pi_hat = np.diff(gamma_hat, axis=1)
mu_hat = m[:, None] * pi_hat
# 셀 잔차
r_cell = (counts - mu_hat) / np.sqrt(mu_hat * (1 - pi_hat) + 1e-12)
# 누적 잔차
y_cum = counts.cumsum(axis=1)[:, :-1]
mu_cum = mu_hat.cumsum(axis=1)[:, :-1]
r_cum = y_cum - mu_cum
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4))
axes[0].scatter(np.repeat(t, k), r_cell.ravel())
axes[0].axhline(0, color="gray", lw=0.5)
axes[0].set(title="셀 잔차 (Fig. 5.5a)", xlabel="t", ylabel="표준화 잔차")
axes[1].scatter(np.repeat(t, k-1), r_cum.ravel())
axes[1].axhline(0, color="gray", lw=0.5)
axes[1].set(title="누적 잔차 (Fig. 5.5b)", xlabel="t", ylabel="누적 잔차")
plt.tight_layout()
plt.savefig("pneumoconiosis_residuals.png", dpi=120)셀 잔차 플롯은 산만하지만, 누적 잔차 플롯에서 명확한 U자/곡선 패턴 이 보여 “t 에 선형” 이 부적합하며 \(\log t\) 가 필요하다 는 진단을 시각적으로 확인할 수 있다.
6.4 R 대응
# 비례 오즈
library(MASS)
data <- data.frame(
t = rep(c(5.8, 15.0, 21.5, 27.5, 33.5, 39.5, 46.0, 51.5), each = 3),
severity = factor(rep(c("I", "II", "III"), 8),
levels = c("I", "II", "III"), ordered = TRUE),
count = c(98, 0, 0, 51, 2, 1, 34, 6, 3, 35, 5, 8,
32, 10, 9, 23, 7, 8, 12, 6, 10, 4, 2, 5)
)
fit <- polr(severity ~ log(t), data = data, weights = count, Hess = TRUE)
summary(fit)
# 연속비율 — VGAM 의 sratio family
library(VGAM)
tab <- matrix(data$count, nrow = 8, byrow = TRUE)
colnames(tab) <- c("I", "II", "III")
fit_cr <- vglm(tab ~ log(t), family = sratio(reverse = FALSE), data = data.frame(t = c(5.8, 15.0, 21.5, 27.5, 33.5, 39.5, 46.0, 51.5)))
summary(fit_cr)7 자주 걸리는 함정
| 함정 | 증상 | 처방 |
|---|---|---|
| 공변량 척도 검토 없이 선형 적합 | 셀 잔차는 깨끗해 보이나 진짜 패턴 놓침 | 누적 잔차 플롯 + 예비 로짓 플롯 |
| 희소 데이터에서 이탈도 절댓값으로 적합도 판단 | \(\chi^2\) 근사 편향 | 복제 시뮬레이션 또는 모형 비교(LR) 로 확인 |
| 연속비율의 자유도 계산 누락 | \(y_{12} = 0/0\) 같은 퇴화 셀 무시 | 퇴화 셀 제거로 자유도 1 감소 반영 |
| 비례 오즈 \(\beta\) 와 연속비율 \(\beta\) 를 직접 동일시 | 해석 혼동 | 같은 방향·유사 크기 확인, 동일 값 기대 금지 |
| 로그 변환을 데이터 기반으로만 선택 | 교란/외삽 위험 | 과학적 타당성(용량-반응 이론) 으로 보강 |
probit vs logit 차이 큰 것으로 오해 |
수치는 다르지만 결론 동일 | 위험 배수·p-value 등 실무 양 으로 해석 |
8 관련 주제
선행 지식
- Models for Polytomous Data — 개관
- Measurement Scales
- The Multinomial Distribution
- Likelihood Functions for Polytomous GLMs — 치즈 실험 적합
- Over-dispersion
후속 주제 (placeholder)
- 조건부 우도와 장해 모수 제거 (Ch.7) — 치즈 예제의 편향 개선
- Log-linear Models (Ch.6) — 다항과의 동치성
- GLM 잔차의 세 유형 — Pearson·Anscombe·Deviance 잔차
관련 개념
- 생존분석의 이산 해저드 — 연속비율과 수학적 동형
- 용량-반응 분석과 프로빗/로짓
9 참고문헌
- McCullagh, P. & Nelder, J. A. (1989). Generalized Linear Models (2nd ed.), §5.6. Chapman & Hall.
- Ashford, J. R. (1959). An approach to the analysis of data for semi-quantal responses in biological assay. Biometrics, 15, 573–581.
- McCullagh, P. (1980). Regression models for ordinal data. JRSS B, 42(2), 109–142.
- Cox, D. R. (1972). The analysis of multivariate binary data. Appl. Stat., 21, 113–120.
- Agresti, A. (2010). Analysis of Ordinal Categorical Data (2nd ed.). Wiley.