Kwangmin Kim - FDA 12.5~12.6 — 평균 함수 가설 검정과 신뢰 대역의 쌍대성

1 이 절의 위치

Sections 12.5 + 12.6 의 역할

Ch.12.1~12.4 가 표본 평균·공분산·EFPC 의 일관성 + 함수 CLT 의 정착. Ch.12.5 + 12.6 은 함수 CLT 의 두 응용 — 가설 검정 (12.5) 과 신뢰 대역 (12.6). 두 도구가 검정-CI 쌍대성 (test-confidence duality) 으로 통합되어 Section 12.8 의 BOA 응용에서 직접 활용.

Ch.12.5 + 12.6 의 위치
    ↓
12.4 함수 CLT (Ch.10.4 KL 의 응용)
       ↓
12.5 가설 검정 — T_N ~ χ²_p
12.6 신뢰 대역 — sup-norm 분포의 quantile
       ↓
검정-신뢰 대역 쌍대성: T_N > c_α ⟺ μ_0 ∉ 신뢰 대역
       ↓
12.8 BOA 응용 — 두 도구의 직접 활용

핵심 메시지: Ch.12.5 의 가설 검정과 Ch.12.6 의 신뢰 대역이 함수 CLT 의 두 응용 — 같은 framework (KL 절단 + 가우스 함수 분포) 에서 두 다른 표현. 검정의 기각 ⟺ 신뢰 대역이 가설 평균을 미포함 — 다변량의 표준 쌍대성의 함수 일반화. 두 도구가 Section 12.8 의 BOA 응용에서 동시 활용.

1.1 두 절을 함께 다루는 이유

Sections 12.5 와 12.6 의 통합

검정과 신뢰 대역이 수학적으로 등가 — 다변량의 표준 결과의 함수 일반화:

다변량: Wald 검정 ($T = N \bar{\mathbf{X}}^T \widehat{\Sigma}^{-1} \bar{\mathbf{X}} \sim \chi^2_p$) ⟺ ellipsoidal 신뢰 영역.
함수: $T_N \sim \chi^2_p$ ⟺ 함수 sup-norm 신뢰 대역.

두 표현이 같은 정보 → 같은 framework 으로 통합 처리가 자연스러움.

1.2 비유: 두 거울에 비친 같은 객체

같은 객체를 두 거울에서 본다:

거울 A (검정): “가설이 거짓인가?” — 결정 frame.
거울 B (신뢰 대역): “추정 위치는 어디?” — 추정 frame.

같은 객체 (= 데이터), 두 표현 (= 검정 vs CI). 둘 다 보면 더 풍부한 이해.

1.3 학습 효과

두 도구의 통합 인식 — 검정과 CI 가 같은 framework.
검정의 정확한 어휘 — 통계량, p-value, power, 기각역.
신뢰 대역의 해석 — 평균 함수의 “가능 범위”.
two-sample 확장 — 두 모집단 비교의 자연스러운 일반화.

2 Section 12.5.1: 검정 문제의 정식화

2.1 가설 설정

$H_0$ vs $H_1$

귀무가설:

\[ \boxed{ H_0: \mu(t) = \mu_0(t) \quad \forall t \in [0, T]. } \]

대립가설:

\[ H_1: \mu(t) \neq \mu_0(t) \quad \text{for some } t. \]

특수 경우:

$\mu_0 \equiv 0$ — “drift 없음” (BOA 응용).
$\mu_0 \equiv c$ — “상수 평균” (예: 정상 상태).
$_0(t) = $ 알려진 함수 — 이론 모형의 검증.

2.2 직관: 함수 가설의 의미

다변량과 비교:

다변량: $H_0: \boldsymbol{\mu} = \boldsymbol{\mu}_0$ — 유한차원 벡터의 동일성.
함수: $H_0: \mu \equiv \mu_0$ — 무한차원 함수의 동일성 (모든 $t$ 에서).

함수 가설이 더 strict — 무한 점 모두 동일.

2.3 비유: 두 그래프의 일치

두 함수가 같은가? “전체 그래프가 같은가” 의 질문 — 한 점 다르면 다른 함수. 무한 정밀 비교.

2.4 표본 통계량의 후보들

$L^2$ 노름 통계량

가장 자연스러운 후보:

\[ S_N = N \|\bar{X}_N - \mu_0\|_{L^2}^2 = N \int (\bar{X}_N(t) - \mu_0(t))^2 dt. \]

문제: $S_N$ 의 한계 분포 = $\sum_{j=1}^\infty \lambda_j Z_j^2$ (가우스 함수의 노름 제곱) — 닫힌 형태 아님 + 모집단 $\lambda_j$ 의존.

해결: EFPC 좌표에서 표준화.

2.5 직관: 좌표화의 가치

함수 직접 비교 → 무한차원 → 분포가 복잡. EFPC 좌표 → 유한차원 → 표준 분포 (chi-square).

이는 다변량의 PCA + Hotelling $T^2$ 와 같은 사고.

3 Section 12.5.2: 카이제곱 검정 통계량

3.1 정의

$T_N$ 의 정의

\[ \boxed{ T_N = N \sum_{j=1}^p \frac{\langle \bar{X}_N - \mu_0, \widehat{v}_j \rangle^2}{\widehat{\lambda}_j}. } \]

$p$ = 절단 차원 (Section 12.7 의 CPV 기준).
$\widehat{v}_j, \widehat{\lambda}_j$ = 표본 EFPC 와 고유값.
$\langle \cdot, \widehat{v}_j \rangle$ = $\widehat{v}_j$ 좌표.

3.2 한계 분포

$H_0$ 하에서 $N \to \infty$:

\[ T_N \overset{d}{\to} \chi^2_p. \]

3.3 도출

함수 CLT (Theorem 12.4.1):

\[ \sqrt{N}(\bar{X}_N - \mu_0) \overset{d}{\to} G \sim N(0, C). \]

EFPC 좌표:

\[ \sqrt{N} \langle \bar{X}_N - \mu_0, \widehat{v}_j \rangle \overset{d}{\to} \langle G, v_j \rangle \sim N(0, \lambda_j). \]

표준화:

\[ \frac{\sqrt{N} \langle \bar{X}_N - \mu_0, \widehat{v}_j \rangle}{\sqrt{\widehat{\lambda}_j}} \overset{d}{\to} N(0, 1). \]

(Slutsky: $\widehat{\lambda}_j \to \lambda_j$ + 표본 EFPC 일관성.)

EFPC 의 직교성 → 좌표가 점근적으로 독립. 제곱합:

\[ T_N = \sum_{j=1}^p \left( \frac{\sqrt{N} \langle \bar{X}_N - \mu_0, \widehat{v}_j \rangle}{\sqrt{\widehat{\lambda}_j}} \right)^2 \overset{d}{\to} \sum_{j=1}^p Z_j^2 \sim \chi^2_p, \]

$Z_j \overset{iid}{\sim} N(0, 1)$. $\blacksquare$

3.4 직관: 다변량 Hotelling $T^2$ 의 함수 일반화

다변량:

\[ T^2 = N \bar{\mathbf{X}}^T \widehat{\Sigma}^{-1} \bar{\mathbf{X}} \sim \chi^2_p \quad (\text{when } \mu = 0). \]

함수: 같은 형식, EFPC 좌표에서 — $\widehat{\Sigma}^{-1}$ 의 함수 버전 이 $\widehat{\lambda}_j^{-1}$ (대각 inverse).

EFPC 가 자동 대각화 → inverse 가 단순.

3.5 비유: 다변량 검정의 “공분산 보정”

다변량: 분산이 큰 방향 무게 작게, 분산 작은 방향 무게 크게 — Hotelling $T^2$ 의 본질. 함수도 같음 — $\widehat{\lambda}_j^{-1}$ 가중치.

이는 통계적 거리 (Mahalanobis distance) 의 함수 일반화.

3.6 검정 절차

검정 단계

1. 표본 평균: x_bar(t)
2. 표본 EFPC: ŵ_j, λ̂_j (j = 1, ..., p)
3. 좌표 계산: c_j = <x_bar - μ_0, ŵ_j>
4. 통계량: T_N = N * sum (c_j^2 / λ̂_j)
5. 임계값: c_α = chi-square critical (df = p)
6. 결정: T_N > c_α → 기각
   p-value: P(χ²_p > T_N)

4 Section 12.5.3: 검정의 Power

4.1 Power 의 정의

Power Analysis

특정 alternative $\mu_1 \neq \mu_0$ 하에서 검정이 $H_0$ 를 기각할 확률:

\[ \text{Power}(\mu_1) = P(T_N > c_\alpha \mid \mu = \mu_1). \]

높은 power = 좋은 검정 (대립가설을 잘 감지).

4.2 비중심 카이제곱 분포

$\mu = \mu_1$ 하에서 표본 평균:

\[ \bar{X}_N(t) = \mu_1(t) + \frac{1}{\sqrt{N}} (\sqrt{N}(\bar{X}_N - \mu_1)) \overset{d}{\to} \mu_1 + 0. \]

좌표 차이:

\[ \sqrt{N} \langle \bar{X}_N - \mu_0, \widehat{v}_j \rangle = \sqrt{N} \langle \mu_1 - \mu_0, \widehat{v}_j \rangle + O_P(1). \]

표준화:

\[ \frac{\sqrt{N} \langle \bar{X}_N - \mu_0, \widehat{v}_j \rangle}{\sqrt{\widehat{\lambda}_j}} \overset{d}{\to} N(\delta_j, 1), \]

$\delta_j = \sqrt{N} \langle \mu_1 - \mu_0, v_j \rangle / \sqrt{\lambda_j}$.

4.3 비중심 모수

Noncentrality Parameter

\[ \boxed{ \delta^2 = \sum_{j=1}^p \delta_j^2 = N \sum_{j=1}^p \frac{\langle \mu_1 - \mu_0, v_j \rangle^2}{\lambda_j}. } \]

$T_N \overset{d}{\to} \chi^2_p(\delta^2)$ — 비중심 카이제곱.

4.4 직관: $\delta$ 의 의미

$\delta^2$ = “EFPC 좌표에서 $\mu_1 - \mu_0$ 의 표준화 거리 제곱 × $N$”.

$\delta$ 클수록 → $T_N$ 분포가 오른쪽 → power 증가.
$N$ 증가 → $\delta$ 증가 → power 증가 (자연).
$\mu_1 - \mu_0$ 가 EFPC 의 큰 모드 ($\lambda_j$ 큰 방향) 에 정렬되면 → $\delta$ 작음 → power 작음.
$\mu_1 - \mu_0$ 가 작은 모드에 정렬되면 → $\delta$ 큼 → power 큼.

4.5 역설적 결과

작은 모드의 큰 영향

$\mu_1 - \mu_0$ 가 잡음에 가까운 모드 ($\lambda_j$ 매우 작음) 에 있으면 → $\delta_j = \sqrt{N} \langle \cdot, v_j \rangle / \sqrt{\lambda_j}$ 가 매우 큼 → power 폭발.

직관: 데이터가 잘 변동하지 않는 방향에서의 일탈은 통계적으로 잘 감지됨 (signal-to-noise 가 큼).

경고: 그러나 작은 $\widehat{\lambda}_j$ 가 unstable → 실전에서는 너무 큰 $p$ 피하기.

4.6 직관: signal-to-noise 의 방향성

이 결과의 일반 통찰: 작은 분산 방향에 신호 → 강한 검정. 마치 잘 통제된 환경에서 작은 변화도 감지하는 것처럼.

4.7 비유: 정밀 저울과 표준 저울

표준 저울 ($\lambda$ 큼) → 큰 차이만 감지.
정밀 저울 ($\lambda$ 작음) → 작은 차이도 감지.

작은 EFPC 가 정밀 저울. $p$ 너무 크게 잡지 않는 이유: 정밀 저울이 너무 많으면 잡음으로 흔들림.

5 Section 12.6.1: 신뢰 대역의 정의

5.1 동시 신뢰 대역

Simultaneous Confidence Band

레벨 $1 - \alpha$ 의 신뢰 대역 $[L_-(t), L_+(t)]$:

\[ \boxed{ P(L_-(t) \leq \mu(t) \leq L_+(t) \quad \forall t) \geq 1 - \alpha. } \]

모든 $t$ 에서 동시 — 함수의 본질 추정.

5.2 직관: 함수의 “안전 영역”

신뢰 대역 = “$\mu$ 가 거의 확실히 이 안에 있다” 의 함수 영역. 점별 CI 와 다른, 동시 보장.

이를 그래프로 그리면 평균 함수 양쪽의 “튜브” — 진짜 평균이 그 안에 있음을 95% 보장.

5.3 비유: 비행기 착륙 경로

비행기의 정확한 착륙 경로 + 허용 오차 영역. 모든 시점에서 비행기가 그 영역 안에 있어야 안전 — 동시 보장.

신뢰 대역이 같은 사고.

6 Section 12.6.2: KL 기반 신뢰 대역 (개관)

6.1 함수 CLT 의 응용

함수 CLT:

\[ \sqrt{N}(\bar{X}_N - \mu) \overset{d}{\to} G \sim N(0, C). \]

신뢰 대역의 핵심 = $\sup_t |G(t)|$ 의 분포의 quantile.

6.2 KL 시뮬레이션 (간략 — 자세한 내용은 12-6 포스트)

알고리즘 개요

1. EFPC 추출: ŵ_j, λ̂_j (j = 1, ..., p)
2. B 회 반복:
   a) Z_1, ..., Z_p ~ N(0, 1)
   b) G_b(t) = sum sqrt(λ̂_j) * Z_j * ŵ_j(t)
   c) M_b = sup_t |G_b(t)|
3. q_α = (1-α)-quantile of {M_b}
4. 대역: x_bar(t) +/- q_α / sqrt(N)

자세한 알고리즘과 변형 (균일 vs 시점별 폭, Hyndman-Shang 부트스트랩) 은 별도 포스트 참조.

6.3 균일 폭 신뢰 대역의 형태

\[ \bar{X}_N(t) - \frac{q_\alpha}{\sqrt{N}} \leq \mu(t) \leq \bar{X}_N(t) + \frac{q_\alpha}{\sqrt{N}}, \quad \forall t. \]

모든 $t$ 에 같은 폭 $q_\alpha / \sqrt{N}$.

7 Section 12.5+12.6 의 통합: 검정-신뢰대역 쌍대성

7.1 다변량의 표준 쌍대성

다변량 사례

벡터 $\boldsymbol{\mu}$ 의 검정 + CI:

검정: $T^2 = N \bar{\mathbf{X}}^T \widehat{\Sigma}^{-1} \bar{\mathbf{X}} > \chi^2_{p, 1-\alpha}$ → 기각.
CI 영역: $\{\boldsymbol{\mu}: N(\bar{\mathbf{X}} - \boldsymbol{\mu})^T \widehat{\Sigma}^{-1}(\bar{\mathbf{X}} - \boldsymbol{\mu}) \leq \chi^2_{p, 1-\alpha}\}$ — ellipsoid.

쌍대성: $H_0: \boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}$ 기각 ⟺ $\mathbf{0} \notin$ CI ellipsoid.

표준 결과 — 검정과 CI 가 같은 정보의 두 표현.

7.2 함수 일반화

함수 사례의 쌍대성

검정 통계량 $T_N$ 와 신뢰 대역의 관계:

$T_N$ 이 $\chi^2_p$ 의 quantile $> c_\alpha$ → 기각.
신뢰 대역 (sup-norm) 이 $\mu_0$ 를 미포함 → 기각.

거의 등가 (단, $T_N$ 은 EFPC 좌표 기반, sup-norm 은 함수 전체 기반 — 정확히 같지 않음).

연관성:

\[ T_N = N \|\Pi_p (\bar{X}_N - \mu_0)\|_{C^{-1}}^2, \]

$\Pi_p$ = 처음 $p$ 개 EFPC 로의 사영, $\|\cdot\|_{C^{-1}}^2$ = 공분산 inverse 가중 노름 (Mahalanobis).

신뢰 대역 = sup-norm — 다른 노름이지만 같은 framework.

7.3 직관: 두 노름의 비교

$\|\cdot\|_{C^{-1}}$ (검정): 분산 작은 방향에 큰 무게 — 모든 모드 합산.
sup-norm (신뢰 대역): 모든 $t$ 에서 최대 절댓값 — 어느 한 시점이 큰 일탈만 감지.

두 노름이 다른 측면 측정 — 결과가 항상 같지는 않으나 일관 (큰 $T_N$ ⟺ 신뢰 대역 가능성 높음).

7.4 비유: 두 종류의 검사

검정 ($T_N$): 종합 점수 — 모든 항목의 가중합.
신뢰 대역 (sup-norm): 최악 항목 — 한 항목이라도 일탈 감지.

두 검사가 다른 측면이지만 보통 일관.

7.5 응용: 어느 도구를 언제

검정 vs 신뢰 대역의 선택

검정 ($T_N$) 가 적합:

종합적 일탈 감지 — 모든 EFPC 모드 통합.
명확한 결정 (기각 vs 비기각).
p-value 의 보고.

신뢰 대역이 적합:

시각화 — 평균 함수의 “가능 영역”.
시점별 분석 — 어느 $t$ 에서 일탈?
효과 크기 — 일탈의 정도.

둘 다: 표준 보고 — 검정 결정 + 신뢰 대역 시각화 (예: BOA 응용).

8 Section 12.5.4: Two-Sample 확장

8.1 두 표본 검정

$H_0: \mu_1 = \mu_2$

두 독립 표본 $X_1, \ldots, X_{N_1}$ (group 1), $Y_1, \ldots, Y_{N_2}$ (group 2):

\[ H_0: \mu_1(t) = \mu_2(t) \quad \forall t. \]

평균 함수의 동일성 — group 효과의 부재.

8.2 검정 통계량

차이 표본 평균 $\bar{X} - \bar{Y}$:

\[ \sqrt{\frac{N_1 N_2}{N_1 + N_2}} (\bar{X} - \bar{Y}) \overset{d}{\to} G \sim N(0, C), \]

$C$ = 통합 공분산 연산자 (등분산 가정).

검정 통계량:

\[ T_N = \frac{N_1 N_2}{N_1 + N_2} \sum_{j=1}^p \frac{\langle \bar{X} - \bar{Y}, \widehat{v}_j \rangle^2}{\widehat{\lambda}_j} \overset{d}{\to} \chi^2_p. \]

8.3 직관: 두 표본 평균의 차이

다변량의 Hotelling $T^2$ for two samples 의 함수 일반화 — 형식이 동일.

8.4 응용 예시

Two-Sample 응용

분야	Group 1	Group 2	검정 의미
의료	치료군	대조군	치료 효과
금융	호황기	침체기	일중 패턴 변화
환경	도시	시골	기온 곡선 차이
생물학	종 A	종 B	성장 패턴 비교
신경과학	자극	휴식	응답 곡선 비교

광범위한 응용 — 두 함수 분포의 비교.

8.5 차이 함수의 신뢰 대역

$\mu_1 - \mu_2$ 의 신뢰 대역

검정 외에 차이 함수 자체의 추정:

\[ \bar{X}(t) - \bar{Y}(t) \pm \frac{q_\alpha}{\sqrt{N_1 N_2 / (N_1 + N_2)}}, \quad \forall t. \]

대역에 0 미포함 → group 효과 존재 (검정과 일관).
대역의 형태 → 효과의 시점별 패턴.

검정-CI 쌍대성의 two-sample 버전.

8.6 직관: 효과의 시점별 패턴

대역에 0 이 어느 $t$ 에서 미포함 = 그 시점에서 group 차이 존재. 시점별 결정 가능.

이는 ANOVA 의 함수 일반화 — Functional ANOVA (FANOVA).

9 Section 12.5.5: 가설 일반화

9.1 Linear Hypotheses

일반 선형 가설

\[ H_0: A \mu = b, \]

$A$ = 선형 연산자, $b$ = 알려진 함수.

특수 경우:

$A = I, b = \mu_0$ — 단순 (Section 12.5).
$A = $ 차이 연산자, $b = 0$ — 동일성.
$A = $ 적분, $b = 0$ — 평균 적분 = 0.

같은 framework — $T_N$ 통계량을 $A \bar{X}_N - b$ 로 대체.

9.2 Functional ANOVA

$K$-group 비교

$K$ 개 group 의 평균 함수:

\[ H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_K. \]

검정 통계량:

\[ T_N = \sum_{j=1}^p \frac{\text{SS}_{\text{between}, j}}{\widehat{\lambda}_j}, \]

$\text{SS}_{\text{between}, j}$ = $j$-th EFPC 좌표의 group 사이 변동 합.

분포: $\chi^2$ 또는 $F$ (분산 추정 사용 여부에 따라).

9.3 직관: ANOVA 의 함수 일반화

다변량 ANOVA 의 자연스러운 함수 일반화 — 모든 도구 (Wilks lambda, Pillai, etc.) 의 함수 버전 존재.

10 Section 12.6.3: 신뢰 대역의 응용

10.1 가설 검정 보조

신뢰 대역으로 검정 보조

신뢰 대역으로 직접 검정:

1. 95% 신뢰 대역 [L_-, L_+] 구성
2. μ_0 의 그래프와 대역 비교
3. μ_0(t) ∈ [L_-(t), L_+(t)] for all t → 기각 안 함
   μ_0(t) ∉ for some t → 기각

시각적 검정 — 형식적 $T_N$ 보다 직관적.

10.2 효과 크기 시각화

신뢰 대역의 폭 = 추정 정확도. 좁을수록 정확.

$N$ 증가 → 폭 감소 (자연).
$\lambda_j$ 작음 → 폭 작음.
잡음 크면 → 폭 큼.

10.3 비유: 사진의 품질 표시

선명한 사진 (= 좁은 대역) vs 흐릿한 사진 (= 넓은 대역) — 시각적 표시.

10.4 보고 방식의 표준

표준 분석 보고

Section 12.5+12.6 결합한 표준 보고:

표본 평균 함수 $\bar{X}_N(t)$ plot.
95% 동시 신뢰 대역 함께 그리기.
가설 검정 결과: $T_N$, p-value, 결정.
해석: 통계적 + 실용적 (BOA 의 경제적 의미 같은).

이 4 단계가 함수 데이터의 평균 함수 분석의 표준.

11 핵심 정리와 요약

11.1 한 줄 요약

Ch.12.5 의 가설 검정 ($H_0: \mu \equiv \mu_0$ → $T_N = N \sum_{j=1}^p \langle \bar{X}_N - \mu_0, \widehat{v}_j \rangle^2 / \widehat{\lambda}_j \overset{d}{\to} \chi^2_p$, 다변량 Hotelling $T^2$ 의 함수 일반화) 와 Ch.12.6 의 동시 신뢰 대역 (KL 시뮬레이션 기반 sup-norm 분포의 quantile $q_\alpha$ 로 폭 $q_\alpha/\sqrt{N}$ 결정) 가 함수 CLT (Theorem 12.4.1) 의 두 응용 — 검정-신뢰대역 쌍대성** (test 기각 ⟺ CI 가 $\mu_0$ 미포함) 의 함수 일반화. Power 분석의 비중심 카이제곱 ($\delta^2 = N \sum \langle \mu_1 - \mu_0, v_j \rangle^2 / \lambda_j$) 으로 작은 $\lambda_j$ 모드의 큰 영향력 인식. Two-sample 확장 ($H_0: \mu_1 = \mu_2$, FANOVA) 과 일반 선형 가설 ($A\mu = b$) 의 자연스러운 일반화. Section 12.7 의 차원 결정과 Section 12.8 의 BOA 응용에서 두 도구의 직접 활용 — 검정의 종합적 결정 + 신뢰 대역의 시각적 효과 크기 표현이 표준 보고 패턴.**

11.2 학습 가이드

단계별 학습

가설 정식화 — $H_0: \mu \equiv \mu_0$ 의 정확한 의미.
EFPC 좌표화 — 무한 → 유한 환원의 핵심.
$T_N$ 의 도출 — 함수 CLT + Slutsky + 정규화.
카이제곱 분포 — 다변량 Hotelling $T^2$ 와의 비교.
Power 분석 — 비중심 카이제곱과 작은 모드의 영향.
신뢰 대역의 정의 — 동시 보장의 의미.
KL 시뮬레이션 — 알고리즘 (자세한 내용은 별도 포스트).
검정-CI 쌍대성 — 두 도구의 통합 framework.
Two-sample 확장 — 그룹 비교의 자연스러운 일반화.
표준 보고 — 4 단계 패턴.

11.3 Ch.12 의 구조

12.1: 표본 평균의 L²-일관성
12.2: 표본 공분산의 HS 일관성
12.3: EFPC 와 추정 고유값의 수렴
12.4: 함수 CLT
12.5: 평균 함수에 대한 가설 검정  ← 이 포스트
12.6: 동시 신뢰 대역  ← 이 포스트
12.7: 차원 결정 (CPV, 스크리)
12.8: BOA 응용 — 모든 도구의 통합

12.5 + 12.6 이 함수 CLT 의 두 표준 응용 — 추론의 핵심.

12 관련 주제

선행 지식

FDA 1.0 — 개요
FDA 3.1~3.2 — L² 공간과 확률 함수, Karhunen-Loève 전개
FDA 5.5~5.6 — FPCA 기반 핵 추정과 효과 없음 카이제곱 검정 — 회귀 맥락의 같은 검정 framework
FDA Ch.10 — 힐베르트 공간 이론 개관
FDA 10.3~10.4 — 선형 연산자, Hilbert-Schmidt, 스펙트럼 정리, Mercer
FDA Ch.11 — 확률 함수와 가우스 과정 — 함수 CLT 의 토대
FDA Ch.12 — 추론 개관
FDA 12.1~12.2 — 표본 평균·공분산·EFPC의 일치성

후속 주제

FDA 12.6~12.7 — 동시 신뢰 대역과 차원 결정 — 신뢰 대역의 자세한 알고리즘과 차원 결정
FDA 12.8 — BOA 주식의 누적 일중 수익률 평균 함수 추론 — 두 도구의 통합 응용

관련 개념

Hotelling $T^2$ — 다변량 평균 검정의 표준
Functional ANOVA (FANOVA) — 다그룹 평균 비교
Test-Confidence Interval Duality — 표준 통계 결과
Noncentral chi-square distribution — power 분석의 분포
Mahalanobis distance — 검정 통계량의 직관

참고문헌

Kokoszka, P., & Reimherr, M. (2017). Introduction to Functional Data Analysis, Ch.12.5~12.6. Chapman & Hall/CRC.
Horváth, L., & Kokoszka, P. (2012). Inference for Functional Data with Applications. Springer. — 더 깊은 검정 이론.
Ramsay, J. O., & Silverman, B. W. (2005). Functional Data Analysis (2nd ed.). Springer.