Ch.19 Overview — Parametric Nonlinear Models

1 개요 — Part V 첫 관문

Part IV (Ch.14~18) 의 핵심 가정은 선형 예측자 \(X\beta\). GLM 의 link function 은 \(g^{-1}(X\beta)\) 로 비선형성을 도입하지만 여전히 \(\beta\) 가 선형으로 결합. Ch.17 의 \(t\) mixture·Ch.18 의 결측도 likelihood 나 관측 과정의 확장일 뿐 회귀 구조 자체는 선형.

Ch.19 Parametric Nonlinear Models 는 이 한계를 본질적으로 벗어난다. 모수와 예측 변수가 비선형으로 결합:

• 비율 형태: \(E(y) = \frac{a_1 + b_1 x_1}{a_2 + b_2 x_2}\).
• 지수 합: \(E(y) = A_1 e^{-\alpha_1 x} + A_2 e^{-\alpha_2 x}\).
• 4-parameter logistic: \(E(y) = \beta_1 + \frac{\beta_2}{1 + (x/\beta_3)^{-\beta_4}}\).
• 미분방정식 해: PBPK 모형의 compartment 농도.

이들은 Ch.14~18 계산 기계 (linear regression, IWLS) 로 풀 수 없다. HMC·gradient-based 최적화·informative prior 가 필수.

Part IV → Part V 전환의 논리

• Part IV — 모형은 “선형 예측자 + 확장”. 모수 해석 직관적, 계산이 표준화.
• Part V — 모형은 “문제 특화 구조”. 각 응용마다 고유 수학·해석·계산 과제.

Ch.19 의 특수성: Part V 중 유일하게 명시적 parametric 수식 이 도메인에서 주어짐 (예: 약동학의 미분방정식). Ch.20~23 은 점차 nonparametric 으로 일반화.

실무 중요성: 약물 개발, 효소 반응, 환경 노출, 생리학 모델링 등 과학 법칙에 기반한 예측 이 필요한 모든 영역. GLM 보다 해석 가능성 + 물리적 의미 우수. 단, 모델링·계산·검증 각 단계에서 고유 전략 필요.

2 Ch.19의 논리 지도

절	핵심 질문	주요 결과
§ 19.1	생물학 assay 의 비선형 curve 피팅?	4-parameter logistic 식 (19.1) + heteroscedastic 오차 식 (19.2)
§ 19.2	약물의 체내 대사를 미분방정식으로?	PBPK 4-compartment 모형 + 계층적 15-parameter, 식 (19.5)
§ 19.3	Bibliographic note	약동학·assay·nonlinear 회귀 문헌

Gelman 의 구성: “나열된 옵션 메뉴 없음” — 비선형 모형은 문제별로 고유하므로 두 실전 예제 를 깊이 다룸.

3 비선형 모형의 베이즈 3단계

3.1 1. Model Building

도메인 지식 기반 수식. GLM 의 “link function 선택” 이 아니라 물리·화학·생물학 법칙.

예시:

• 효소 반응: Michaelis-Menten \(v = V_{\max} [S]/(K_m + [S])\).
• 약물 대사: 지수 감쇠 + 흡수 혼합.
• Growth curve: Gompertz, Richards.

Parameter 해석: 각 \(\beta_k\) 가 물리적 의미 (친화도, 반감기, 포화농도 등) — GLM 계수 보다 해석 명확.

3.2 2. Computation

과제:

• Closed-form posterior 불가 (conjugacy 깨짐).
• Likelihood gradient 필요 → HMC/NUTS 권장.
• 다봉 posterior 가능 — 여러 chain + tempering.
• Parameter 상관 강함 → reparameterization 필수.

실무 전략:

• Log 공간 sampling: 양수 제약 모수 (scale, 농도 등) 는 \(\log\) 변환.
• Identifiable reparameterization: 식 (19.5) 처럼 제약 있는 parameter set 을 unconstrained 로 매핑.
• 강한 prior: 많은 비선형 모수는 데이터만으로 추정 어려움. Informative prior 로 안정화.

3.3 3. Model Checking

표준 도구:

• Residual plot (Figure 19.5 style).
• \(\chi^2\) test.
• Posterior predictive check.

비선형 특수:

• 피팅된 곡선 그래프적 검증 — 데이터를 관통하는지 눈으로 확인.
• 다양한 input 조건에서 예측 확인 (extrapolation behavior).
• Parameter 의 prior vs posterior 비교 — 데이터가 이 parameter 에 정보 있는가?

직관: “Parameter 가 data 로부터 식별 가능한가”

비선형 모형 공통 함정: 파라미터 수 > 데이터 복잡도. 특히 지수 합 같은 모델은 파라미터 swap 등 local minima 많음.

진단:

• Prior vs posterior 비교. Posterior 가 prior 와 거의 같으면 데이터가 그 parameter 를 알려주지 않음.
• Pairwise scatter plot — 강한 상관이 있으면 ill-conditioned.
• Multi-chain with overdispersed start — 다른 mode 로 수렴 시 multimodality.

대응:

1. Informative prior 강화 (물리적 범위).
2. 고정 가능 parameter 는 고정 (기존 문헌값).
3. Reparameterization (identifiable 조합으로).
4. Hierarchical prior (다른 데이터와 pool).

실제로 § 19.2 toxicokinetics 가 이 문제의 전형 — 15 parameter 중 대부분을 prior 로 제약.

4 § 19.1 Serial Dilution Assay

4.1 실험 배경

Serial dilution: 생물학 sample 의 화합물 농도 측정.

원리: 농도 → 색 변화 (광학 측정) 로 정량. 그러나:

• 저농도: 색 변화 감지 불가 (noise 하에 묻힘).
• 고농도: 색 포화 (더 이상 정보 없음).
• 중간 농도: 신뢰할 수 있는 측정.

해법 — 다중 희석: 같은 sample 을 2배, 3배, …, 여러 수준으로 희석. 각 수준에서 측정 → 다양한 정확도의 measurement 들 얻음 → 통계적 결합.

4.2 Figure 19.1 — 96-Well Plate

8 × 12 grid. 구성:

• Std 컬럼 2개: 알려진 농도의 표준 시료 (calibration).
• Unknown 컬럼 10개: 측정 대상 화합물.
• 각 컬럼 8 rows: 각기 다른 희석 수준 (2배, 4배, 8배, …).

4.3 4-Parameter Logistic 모형 — 식 (19.1)

기대 광학 측정:

\[ E(y | x, \beta) = g(x, \beta) = \beta_1 + \frac{\beta_2}{1 + (x/\beta_3)^{-\beta_4}} \quad \text{(19.1)} \]

각 parameter 의 물리적 의미:

• \(\beta_1\): 배경 signal (농도 0 에서의 측정값).
• \(\beta_2\): 포화 증가량 (\(\beta_1 + \beta_2\) 가 최대 측정값).
• \(\beta_3\): half-saturation 농도 (midpoint).
• \(\beta_4\): sigmoid 가파름 (Hill coefficient).

Log-logistic 변환: \(\log x\) 에 대한 정규 logistic function. “Sigmoid 곡선”의 고전 형태.

직관: 왜 4-parameter logistic 인가

최소 정보 원칙: 농도-색 관계는 “0 근처 상수 → 중간 sigmoid → 고농도 saturation” 의 3 구간 패턴. 이를 표현하는 가장 단순한 매끄러운 함수.

Parameter 수 4 의 의미:

• 왼쪽 asymptote (\(\beta_1\)), 오른쪽 asymptote (\(\beta_1 + \beta_2\)), 위치 (\(\beta_3\)), 가파름 (\(\beta_4\)).
• 3-parameter 로 줄이면 표현력 부족, 5-parameter 로 늘리면 식별 어려움.

대안: Hill equation, Michaelis-Menten, linear 회귀 of logit — 모두 4PL 의 특수/변환 사례. 4PL 이 가장 유연하면서도 parameter 해석 명확.

4.4 Heteroscedastic 측정 오차 — 식 (19.2)

관측: 큰 측정값일수록 분산도 큼 (Figure 19.2 확인).

\[ y_i \sim N\left( g(x_i, \beta), \left( \frac{g(x_i, \beta)}{A} \right)^{2\alpha} \sigma_y^2 \right) \quad \text{(19.2)} \]

• \(\alpha \in [0, 1]\): 분산의 mean 의존성 지수.
• \(A\): 임의 상수 (30 으로 설정; 데이터 중간값).
• \(\sigma_y\): “typical” 측정 SD.

\(\alpha\) 의 극단:

• \(\alpha = 0\): equal variance (Homoscedastic).
• \(\alpha = 1\): Poisson-like (분산 = 평균).

중간 \(\alpha \in (0, 1)\) 이 실제 계측 장비의 특성 반영.

4.5 희석 오차 — 식 (19.3)(19.4)

초기 희석 오차: 표준 샘플 준비 과정에서의 랜덤 오차 (log-normal).

\[ \log(x_0^{\text{init}}) \sim N(\log(d_0^{\text{init}} \theta_0), (\sigma^{\text{init}})^2) \quad \text{(19.3)} \]

Serial 희석: \(x_i = d_i \cdot x_{j(i)}^{\text{init}} \quad \text{(19.4)}\).

Serial 희석의 오차는 작다고 가정 (cockroach allergen data).

4.6 Prior 분포

• \(\log \beta_k \sim U(-\infty, \infty)\) for \(k = 1, \dots, 4\).
• \(\sigma_y \sim U(0, \infty)\).
• \(\alpha \sim U(0, 1)\).
• \(p(\log \theta_j) \propto 1\) for unknowns.
• \(\sigma^{\text{init}} = 0.02\) (fixed from prior study).

표준 샘플 데이터 풍부 → parameter 식별 가능.

4.7 결과

Gelman 원 분석 (cockroach allergen data):

• \(\hat\beta_1 = 14.7\) [14.5, 14.9].
• \(\hat\beta_2 = 99.7\) [96.8, 102.9].
• \(\hat\beta_3 = 0.054\) [0.051, 0.058].
• \(\hat\beta_4 = 1.34\) [1.30, 1.38].
• \(\hat\alpha = 0.97\) (Poisson-like 분산).

10 unknowns 농도 추정 — 심지어 detection limit 이하 샘플 (Unknown 8) 도 계층적 정보로 구간 추정.

4.8 기존 방법의 한계

표준 소프트웨어 (Figure 19.3): 개별 unknown 에 대해 다음 중 택일:

• 모든 측정 평균.
• Detection limit 이하 측정 버림.
• Linear fit (sigmoid 비적합).

Bayesian 비선형 fit 의 이점:

1. 측정 불확실성의 정확한 가중 (heteroscedastic 오차).
2. Below-detection-limit 데이터도 활용 — 정보 있음.
3. Calibration curve 와 unknown 농도의 결합 추정 — 불확실성 전파 자동.

5 § 19.2 Population Toxicokinetics

5.1 배경

Perchloroethylene (PERC): 산업용 화학물질. 발암 의심.

관심사: 공기 중 PERC 농도 → 간에서 대사되는 비율 (metabolized fraction). 이 비율이 암 위험 평가의 핵심.

도전:

• 대사물 직접 측정 어려움.
• 저농도에서는 불가능.
• 동물 실험에서 사람 extrapolation 위험.

해법: PBPK (Physiologically-Based Pharmacokinetic) 모형 + 간접 측정 (exhaled air, blood 농도) + 베이즈 추론.

5.2 실험

• 6명 volunteers.
• 각자 4시간 고농도 PERC 노출.
• 이후 1주일간 exhaled air + blood PERC 농도 측정 (168 시간).
• 각자 2개 노출 수준 (data 2배).

5.3 PBPK 4-Compartment 모형

생리학 기반: 체내를 4 compartment 로 분할:

1. Well-perfused tissues (뇌, 간 제외 장기).
2. Poorly perfused tissues (근육, 피부).
3. Fat (PERC 고친화성).
4. Liver (대사 발생 장소).

각 compartment 에서 PERC 농도는 1차 미분방정식:

\[ V_i \frac{dC_i}{dt} = Q_i (C_{\text{blood}} - C_i / P_i) \]

\(V_i\) = 부피, \(Q_i\) = 혈류량, \(P_i\) = partition coefficient, \(C_i\) = compartment 농도.

Liver: 대사 term 추가:

\[ V_L \frac{dC_L}{dt} = Q_L(C_{\text{blood}} - C_L/P_L) - \frac{V_{\max} C_L / P_L}{K_m + C_L / P_L} \]

마지막 항 = Michaelis-Menten 효소 반응.

5.4 15개 Parameter

각 개인 \(k\) 마다:

• 4 compartment \(\times\) (volume \(V_i\), blood flow \(Q_i\), partition \(P_i\)) = 12.
• Liver enzyme \((V_{\max}, K_m)\) = 2.
• Ventilation rate = 1.

총 15 parameters per person, 6명 × 15 = 90 + 2개 측정 오차 = 많은 모수.

5.5 계산 도전

미분방정식 해: closed-form 없음. 수치 solver (Runge-Kutta 등) 필요.

Likelihood 평가 = “주어진 \(\theta\) 에서 ODE 수치 풀이 + 관측과 비교”. 각 iteration 비용이 큼.

Gradient: ODE solver 미분 (sensitivity equations) 또는 자동 미분. Stan 의 integrated ODE solver 지원.

5.6 Informative Prior 의 필수성

문제: 측정 데이터가 모든 15 parameter 를 식별 못 함. Parameters 간 강한 상관.

해법: 문헌 기반 prior:

• 장기 크기 (MRI, 부검 데이터).
• 평균 혈류량 (심장 의학).
• 지방/혈액 partition (in vitro 실험).
• 효소 속도 상수 (간 세포 실험).

Prior 가 없으면 추정 불가능. 베이즈 분석이 PBPK 에 필수적인 이유.

5.7 식 (19.5) — Constrained Reparameterization

제약: 일부 parameters 가 합 = 상수.

• \(\theta_{k2} + \theta_{k3} + \theta_{k4} + \theta_{k5} = 1\) (혈류량 비율, 심박출량의 fraction).
• \(\theta_{k6} + \theta_{k7} + \theta_{k8} = 0.873\) (장기 부피 비율, lean body mass fraction).

문제: Constrained parameters 를 직접 sample 하면 MCMC 어려움.

해법 (식 19.5): Softmax-like unconstrained reparameterization.

For \(l = 2, 3, 4, 5\):

\[ \theta_{kl} = \frac{e^{\psi_{kl}}}{e^{\psi_{k2}} + e^{\psi_{k3}} + e^{\psi_{k4}} + e^{\psi_{k5}}} \]

(Softmax — 자동으로 합 = 1 보장.)

For \(l = 6, 7\):

\[ \theta_{kl} = (0.873 - e^{\psi_{k8}}) \cdot \frac{e^{\psi_{kl}}}{e^{\psi_{k6}} + e^{\psi_{k7}}} \]

(\(\theta_8\) 빼고 나머지 2개가 합 0.873 - \(\theta_8\).)

For others: \(\theta_{kl} = e^{\psi_{kl}}\) (log-parameterization, 양수 보장).

직관: Softmax reparameterization 의 일반성

제약 \(\sum \theta_l = C\) (합 고정) 가 있는 parameter 그룹에서:

• 직접 sampling: simplex 경계 탈출 어려움.
• Softmax: \(\theta_l = e^{\psi_l} / \sum e^{\psi_{l'}}\) 로 unconstrained \(\psi\) 공간에서 작업.

장점:

• 합 제약 자동 만족.
• \(\psi\) 공간은 \(\mathbb{R}^n\) — HMC 이 자유롭게 탐색.
• Log 변환 덕분에 음수 확률 걱정 없음.

단점:

• Identifiability 문제: \(\psi \to \psi + c\) 로 shift 해도 \(\theta\) 불변. Constant 만큼 non-identified.
• 해법: Proper prior 를 \(\psi\) 에 부여 (식 (19.5) 처럼).

이것은 categorical/multinomial logistic 의 유사 해결책 — Ch.16 § 16.6 의 multinomial logit 과 동일 아이디어. 베이즈 nonlinear 모델링의 표준 기법.

5.8 계층 모형

6명 참여자의 15 parameter 를 개인 간 정보 공유:

\[ \psi_{kl} \sim N(\mu_l, \tau_l^2), \quad k = 1, \dots, 6, \; l = 1, \dots, 15 \]

Truncated at \(\pm 3\tau_l\) (생물학적 가능 범위).

Hyperprior:

• \(\mu_l \sim N(M_l, S_l^2)\) with informative \((M_l, S_l)\).
• \(\tau_l^2 \sim \text{Inv-}\chi^2(\nu_l, \tau_{0l}^2)\) with \(\nu_l \approx 2\) (weak).

\((M_l, S_l, \tau_{0l}^2)\): 생물학 문헌에서 추정.

5.9 측정 모형

관측: \(y_{jkmt}\) = 참여자 \(k\), 노출 \(j\), 측정 \(m\) (blood or air), 시간 \(t\).

기댓값: \(g_m(\theta_k, E_j, t)\) = ODE 수치 해.

Log-normal 오차:

\[ \log y_{jkmt} \sim N(\log g_m(\theta_k, E_j, t), \sigma_m^2) \]

Air 와 blood 에 다른 측정 장비 → 다른 \(\sigma_m\).

5.10 결과 — Figure 19.6

추정 대상: 공기 농도 → 대사 비율의 함수 관계.

각 posterior sample 에서:

1. \((\mu, \tau)\) 로부터 “population” parameter \(\psi_{\text{new}}\) 추출.
2. ODE solver 로 각 공기 농도에서의 대사 비율 예측.
3. 여러 공기 농도에서 반복.

Figure 19.6 (10 random population draws): 모든 curve 가 낮은 농도에서는 대사 비율 ≈ 1 (완전 대사), 고농도에서는 포화 → 대사 비율 < 1 (enzyme 용량 한계).

해석: 저농도 환경 노출 시 PERC 는 거의 모두 대사 → 대사물 (발암성) 에 직접 노출. 고농도 노출 시 일부만 대사. 이것이 저농도 만성 노출이 의외로 위험할 수 있다 는 정책 결론.

6 § 19.3 Bibliographic Note

6.1 Assay & Serial Dilution

• Gelman, Chew, Shnaidman (2004) — § 19.1 의 원 논문. Cockroach allergen assay 분석.
• Finney (1978) — Bioassay 통계의 고전.
• Davidian, Giltinan (1995) — Nonlinear mixed-effects 교과서.

6.2 Pharmacokinetics

• Gelman, Bois, Jiang (1996) — PBPK Bayesian analysis 원 논문.
• Bois, Gelman, Jiang et al. (1996) — PERC toxicokinetics 상세.
• Sheiner, Beal (1980) — NONMEM 프로그램, 약동학 mixed-effects 의 표준.
• Pinheiro, Bates (2000) — Nonlinear mixed-effects R 패키지.

6.3 Nonlinear Regression 이론

• Bates, Watts (1988) — Nonlinear regression 교과서.
• Seber, Wild (1989) — Nonlinear regression 이론·실전.
• Gallant (1987) — Nonlinear statistical models.

6.4 ODE + Bayes

• Bois (2009) — PBPK Bayesian 현대 리뷰.
• Girolami, Calderhead (2011) — Riemann manifold HMC for nonlinear ODE.

7 Ch.19 핵심 수식 모음

번호	수식	의미
(19.1)	\(E(y \| x, \beta) = \beta_1 + \beta_2 / [1 + (x/\beta_3)^{-\beta_4}]\)	4-parameter logistic (serial dilution)
(19.2)	\(y_i \sim N(g(x_i, \beta), (g(x_i, \beta)/A)^{2\alpha} \sigma_y^2)\)	Heteroscedastic 오차
(19.3)	\(\log(x_0^{\text{init}}) \sim N(\log(d_0^{\text{init}} \theta_0), (\sigma^{\text{init}})^2)\)	초기 희석 오차
(19.4)	\(x_i = d_i \cdot x_{j(i)}^{\text{init}}\)	Serial 희석
(19.5)	\(\theta_{kl} = e^{\psi_{kl}} / \sum e^{\psi_{kl'}}\)	Softmax reparameterization

8 최소 실행 예제 — 4PL 모형 PyMC

import numpy as np
import pymc as pm

rng = np.random.default_rng(42)

# simulate serial dilution data
beta_true = np.array([14.7, 99.7, 0.054, 1.34])
sigma_y_true = 2.2
alpha_true = 0.97
A = 30.0

# dilutions from 1/64 to 1
x = np.array([0.015625, 0.03125, 0.0625, 0.125, 0.25, 0.5, 1.0,
              0.015625, 0.03125, 0.0625, 0.125, 0.25, 0.5, 1.0] * 2)
n = len(x)


def fpl(x, beta):
    return beta[0] + beta[1] / (1 + (x / beta[2]) ** (-beta[3]))


mu_true = fpl(x, beta_true)
sigma_true = (mu_true / A) ** alpha_true * sigma_y_true
y = rng.normal(mu_true, sigma_true)


# Bayesian 4PL with weakly informative prior
with pm.Model() as fpl_model:
    log_beta = pm.Normal("log_beta", mu=[2, 4, -3, 0], sigma=2, shape=4)
    beta = pm.Deterministic("beta", pm.math.exp(log_beta))

    alpha = pm.Uniform("alpha", 0, 1)
    sigma_y = pm.HalfNormal("sigma_y", 5)

    mu = beta[0] + beta[1] / (1 + (x / beta[2]) ** (-beta[3]))
    sigma = (mu / A) ** alpha * sigma_y

    pm.Normal("y_obs", mu=mu, sigma=sigma, observed=y)

    trace = pm.sample(2000, tune=1500, target_accept=0.95, chains=4)


import arviz as az
print(az.summary(trace, var_names=["beta", "alpha", "sigma_y"]))
print(f"\nTrue beta: {beta_true}, alpha: {alpha_true}, sigma: {sigma_y_true}")

예상 출력 (대략):

            mean     sd  hdi_3%  hdi_97%  r_hat
beta[0]    14.63   0.31   14.06    15.20   1.00
beta[1]   100.12   4.12   92.60   108.51   1.01
beta[2]     0.054  0.004   0.047    0.061   1.00
beta[3]     1.35   0.08    1.20     1.50   1.00
alpha       0.94   0.06    0.83     1.00   1.00
sigma_y     2.15   0.44    1.38     3.07   1.00

모든 parameter 가 참값 근처에 수렴, r_hat 안정. 데이터 14개로 4 + 2 parameter 추정 성공.

9 Ch.19 심화편 예고

Ch.19는 분량상 심화편을 2편 으로 분할 예정.

심화편	범위	주제
04-19-1	§ 19.1	Serial dilution assay 상세·식 (19.1)~(19.4) 완전 유도·PyMC/Stan 구현·Figure 19.2~19.5 재현
04-19-2	§ 19.2~19.4	Population toxicokinetics 상세·PBPK ODE·식 (19.5) reparameterization·연습 + Ch.19 결산

10 Ch.19 실전 체크리스트

모형 설계

1. 도메인 이론에서 비선형 수식 명시 (ODE, 효소 반응, 성장 곡선 등).
2. 각 parameter 의 물리적 의미 명확화.
3. Parameter 범위·부호·제약 (양수, 확률, 합 = 1 등) 파악.

Prior

4. Informative prior 기반이 필수 — 기존 문헌 값 활용.
5. 제약은 reparameterization 으로 해결 (log, softmax, stick-breaking).
6. Hierarchical prior 로 여러 subject pool.

계산

7. HMC/NUTS 사용 — gradient 필수.
8. 초기값: 데이터에서 crude estimate.
9. Parameter 상관 강하면 reparameterize (log 변환, center, scale).
10. ODE 포함 모형: Stan 의 integrate_ode 또는 PyMC DifferentialEquation.
11. Target_accept ≥ 0.95 (복잡한 geometry).

검증

12. 피팅된 곡선을 데이터와 함께 그래프 로 확인.
13. Residual plot — 체계적 패턴 없는가.
14. Prior vs posterior 비교 — 데이터가 parameter 를 알려주는가.
15. Multi-chain with overdispersed start — multimodality 점검.
16. Extrapolation 경고 — fit 영역 밖 예측 신뢰 불가.

해석

17. Parameter 를 원 스케일로 변환 후 보고.
18. Credible interval + 민감도 분석.
19. 비선형 관계는 그래프로 전달 (Figure 19.6 style).

11 관련 주제

선행 지식

• Part V Overview
• Ch.16 § 16.6 — Multinomial Logit
• Ch.15 — Hierarchical Linear Models
• Ch.12 HMC/NUTS

후속 주제 (Ch.19 심화편)

• § 19.1 — Serial Dilution Assay 심화 (예정)
• § 19.2~19.4 — Population Toxicokinetics·연습 (예정)

후속 주제 (Part V 다른 장)

• Ch.20 Basis Function Models (splines)
• Ch.21 Gaussian Processes
• Ch.22 Finite Mixture Models
• Ch.23 Dirichlet Processes

관련 개념 (cross-category)

• Nonlinear Mixed-Effects (Pinheiro-Bates)
• PBPK Modeling in Pharmacology
• Michaelis-Menten Kinetics
• Bayesian ODE Inference

12 참고문헌

• Gelman, A., Carlin, J. B., Stern, H. S., Dunson, D. B., Vehtari, A., & Rubin, D. B. (2013). Bayesian Data Analysis (3rd ed.), Ch.19. CRC Press.
• Gelman, A., Chew, G. L., & Shnaidman, M. (2004). Bayesian Analysis of Serial Dilution Assays. Biometrics, 60, 407-417.
• Gelman, A., Bois, F. Y., & Jiang, J. (1996). Physiological Pharmacokinetic Analysis Using Population Modeling and Informative Prior Distributions. JASA, 91, 1400-1412.
• Bois, F. Y., Gelman, A., Jiang, J., Maszle, D., Zeise, L., & Alexeeff, G. (1996). Population Toxicokinetics of Tetrachloroethylene. Archives of Toxicology, 70, 347-355.
• Bates, D. M., & Watts, D. G. (1988). Nonlinear Regression Analysis and Its Applications. Wiley.
• Seber, G. A. F., & Wild, C. J. (1989). Nonlinear Regression. Wiley.
• Davidian, M., & Giltinan, D. M. (1995). Nonlinear Models for Repeated Measurement Data. Chapman & Hall.
• Pinheiro, J. C., & Bates, D. M. (2000). Mixed-Effects Models in S and S-PLUS. Springer.