Ch.8 §8.3 Markov Matrices, Population, and Economics — \(\lambda_{\max}\) 가 다스리는 세계

1 개요

한 줄 요약

비음 행렬 \(A \ge 0\) 의 운명은 가장 큰 고유값 \(\lambda_{\max}\) 가 결정한다. \(\lambda_{\max} = 1\) 이면 마르코프 체인처럼 정상상태로 수렴 하고, \(\lambda_{\max} > 1\) 이면 Leslie 모델처럼 지수적으로 성장 하며, \(\lambda_{\max} < 1\) 이면 Leontief 경제처럼 모든 수요를 안정적으로 충족 할 수 있다. 이 단 한 가지 사실(Perron-Frobenius 정리)이 §8.3 전체를 관통하는 골격이다.

§8.1과 §8.2가 평형 방정식 \(K u = f\) 의 골격을 다뤘다면, §8.3은 거듭제곱 \(A^k u_0\) 의 골격을 다룬다. 같은 행렬을 반복해서 곱했을 때 무엇이 살아남고 무엇이 사라지는가? 답은 거의 항상 같다 — 가장 큰 고유값에 해당하는 한 방향만이 살아남는다. 이 한 줄이 인구 통계, 사회 이동, 검색 엔진 랭킹, 산업연관표, 마르코프 연쇄 몬테카를로(MCMC), 그리고 대부분의 강화학습 가치 반복(value iteration)을 모두 설명한다.

이 절은 다음 세 가지 주요 사례를 다룬다.

사례	행렬	\(\lambda_{\max}\)	의미
마르코프 체인	열 합이 1인 비음 행렬	\(= 1\)	보존되는 분포가 정상상태로 수렴
Leslie 인구 모델	출산·생존 행렬	자유 (보통 \(\approx 1\))	\(\lambda_{\max} > 1\) 이면 성장, \(< 1\) 이면 멸종
Leontief 경제	소비행렬	\(< 1\) 이어야	모든 양의 수요를 충족 가능

세 사례의 수학은 사실상 한 정리 — Perron-Frobenius — 의 다른 얼굴이다.

2 마르코프 행렬: 정의와 두 성질

정의 — 행렬 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 이 다음 두 조건을 만족하면 마르코프 행렬(column-stochastic) 이라 한다.

1. 비음(nonnegative): 모든 성분 \(a_{ij} \ge 0\).
2. 열 합 = 1: 모든 \(j\) 에 대해 \(\sum_{i} a_{ij} = 1\).

(행 합이 1인 관습도 존재하나 Strang은 열 합 관습을 따른다. 두 관습은 단지 \(A\) 와 \(A^\top\) 의 차이다.)

왜 이 두 성질이 핵심인가 — 두 성질이 함께 다음 두 사실을 강제하기 때문이다.

• 비음 벡터 \(u_0 \ge 0\) 에 \(A\) 를 곱해도 결과 \(A u_0\) 는 여전히 비음이다 (확률은 음수가 될 수 없다).
• 성분 합이 1인 벡터(확률 분포)에 \(A\) 를 곱해도 합이 그대로 1이다 (확률의 총량은 보존된다).

두 번째 사실의 한 줄 증명. 모든 성분이 1인 행벡터 \(\mathbf{1}^\top = (1, \dots, 1)\) 을 생각하면, 열 합 조건은 정확히

\[ \mathbf{1}^\top A = \mathbf{1}^\top. \]

따라서 임의의 \(u_0\) 에 대해

\[ \mathbf{1}^\top (A u_0) = (\mathbf{1}^\top A) u_0 = \mathbf{1}^\top u_0. \]

성분 합이 보존된다. 이런 벡터를 확률 벡터(probability vector) 라 부르고, 마르코프 체인은 확률 벡터를 다른 확률 벡터로 보내는 사상이다.

직관: 사람·차·돈은 사라지지 않는다

열 합 = 1 의 의미는 “\(j\) 번째 상태에서 출발한 한 사람(확률 1)은 한 시점 뒤 어딘가에는 반드시 있다” 이다. 어떤 상태로도 가지 않는 것은 허용되지 않는다. 따라서 \(A^k u_0\) 의 총합은 \(k\) 가 아무리 커져도 \(u_0\) 의 총합과 같다 — 보존 법칙 이 자동으로 새겨져 있다.

3 정상상태와 \(\lambda = 1\) 의 강제 등장

마르코프 체인의 핵심 질문은 “거듭제곱 \(A^k u_0\) 가 어떤 한 분포 \(u_\infty\) 로 수렴하는가?” 이다. 만약 수렴한다면, 그 극한 \(u_\infty\) 는 다음을 만족해야 한다.

\[ A u_\infty = u_\infty. \]

즉 \(u_\infty\) 는 고유값 1에 대응하는 고유벡터 다. 그런데 \(\lambda = 1\) 이 항상 마르코프 행렬의 고유값이라는 사실은 한 줄로 보장된다.

\[ \mathbf{1}^\top A = \mathbf{1}^\top \;\Longleftrightarrow\; A^\top \mathbf{1} = \mathbf{1}. \]

즉 \(\mathbf{1}\) 은 \(A^\top\) 의 고유벡터 (고유값 1) 다. \(A\) 와 \(A^\top\) 는 같은 고유값을 공유하므로 \(A\) 도 \(\lambda = 1\) 을 가진다. 따라서 마르코프 행렬은 항상 1을 고유값으로 가진다 — 단, 그에 대응하는 고유벡터가 우리가 원하는 정상 분포가 되려면 더 조건이 필요하다.

문제는 \(\lambda = 1\) 만으로는 부족하다는 것이다. 다른 고유값의 절댓값이 1을 넘으면 거듭제곱 \(A^k\) 가 발산하거나 진동한다. 다행히 마르코프 행렬에서는 그런 일이 일어나지 않는다.

핵심 정리 — 마르코프 행렬 \(A\) 의 모든 고유값은 \(|\lambda| \le 1\) 을 만족한다.

증명 스케치 — 만약 \(|\lambda| > 1\) 인 고유값이 존재한다면, 거듭제곱 \(A^k\) 의 그 방향 성분은 발산한다. 그런데 \(A^k\) 도 마르코프 행렬이라 모든 성분이 비음이고 열 합이 1이다. 비음 성분이 1을 넘는 합으로 발산하는 것은 불가능하다 (모순). 따라서 \(|\lambda| \le 1\).

두 단계의 핵심 사실

마르코프 행렬의 두 핵심 사실을 한 표로 정리한다.

사실	한 줄 증명
\(\lambda = 1\) 은 항상 고유값	\(\mathbf{1}^\top A = \mathbf{1}^\top\) → \(A^\top \mathbf{1} = \mathbf{1}\)
모든 다른 고유값은 \(|\lambda| \le 1\)	\(A^k\) 도 마르코프 → 발산 불가

이 둘이 합쳐지면 \(\lambda_{\max} = 1\) 이고, 그 고유벡터가 정상 분포다.

남은 한 가지 문제는 “\(|\lambda| = 1\) 인 다른 고유값이 있을 가능성” 이다. 예를 들어 순열 행렬

\[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]

은 마르코프 행렬이지만 고유값이 \(\{1, -1\}\) 이라 거듭제곱이 진동한다. 이 문제를 피하려면 \(A\) (또는 어떤 거듭제곱 \(A^k\))가 strictly positive 여야 한다 (zero entry가 없음). 이 조건을 만족하는 마르코프 행렬을 regular(정칙적) 또는 primitive(원시적) 이라 부르고, 이 경우 \(\lambda = 1\) 이 strictly 가장 큰 고유값이고 정상상태로의 수렴이 보장된다.

4 손계산 예제: 렌터카 시장

Strang의 고전적 예제. 시장 전체에서 렌터카의 80% 는 덴버에, 20% 는 다른 도시에 있다고 시작하자(편의상 정확한 숫자는 다르지만 골격은 같다). 매월 다음과 같이 움직인다.

• 덴버 차량의 80% 는 덴버에 머물고, 20% 는 외부로 나간다.
• 외부 차량의 5% 는 덴버로 들어오고, 95% 는 외부에 머문다.

이 동역학은 다음 마르코프 행렬로 표현된다.

\[ A = \begin{bmatrix} 0.80 & 0.05 \\ 0.20 & 0.95 \end{bmatrix}. \]

(첫 행: 다음 시점 덴버에 있을 비율, 둘째 행: 다음 시점 외부에 있을 비율. 각 열의 합이 1.)

1단계: 고유값 찾기

대각합(trace) = \(0.80 + 0.95 = 1.75\), 행렬식 = \(0.80 \cdot 0.95 - 0.05 \cdot 0.20 = 0.76 - 0.01 = 0.75\). 두 고유값은 \(\lambda_1 + \lambda_2 = 1.75\), \(\lambda_1 \lambda_2 = 0.75\) 를 만족하므로

\[ \lambda_1 = 1, \qquad \lambda_2 = 0.75. \]

(마르코프 행렬이므로 \(\lambda_1 = 1\) 은 미리 알 수 있다.)

2단계: 고유벡터 찾기

\(\lambda_1 = 1\) 에 대해 \((A - I) x = 0\) 을 풀면

\[ \begin{bmatrix} -0.20 & 0.05 \\ 0.20 & -0.05 \end{bmatrix} x = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 \propto \begin{bmatrix} 0.05 \\ 0.20 \end{bmatrix} \propto \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}. \]

성분 합이 1이 되도록 정규화하면

\[ u_\infty = \begin{bmatrix} 0.2 \\ 0.8 \end{bmatrix}. \]

\(\lambda_2 = 0.75\) 에 대해 \((A - 0.75 I) x = 0\) 은

\[ \begin{bmatrix} 0.05 & 0.05 \\ 0.20 & 0.20 \end{bmatrix} x = 0 \;\Longrightarrow\; x_2 \propto \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}. \]

(두 성분 합이 0임에 주목하자 — 정상이 아닌 모든 마르코프 고유벡터는 합이 0이다. 이는 곧 보일 일반 사실의 사례다.)

3단계: 임의의 출발점에서의 \(u_k\)

출발 분포 \(u_0\) 를 두 고유벡터의 선형 결합으로 분해한다.

\[ u_0 = c_1 u_\infty + c_2 x_2. \]

거듭제곱은

\[ u_k = A^k u_0 = c_1 \cdot 1^k \cdot u_\infty + c_2 \cdot 0.75^k \cdot x_2 = c_1 u_\infty + c_2 (0.75)^k x_2. \]

두 번째 항은 \(k \to \infty\) 에서 \(0\) 으로 사라진다. 따라서

\[ \boxed{\;u_k \xrightarrow{k \to \infty} c_1 u_\infty.\;} \]

그리고 \(u_0\) 의 성분 합이 1이고 \(u_\infty\) 의 성분 합이 1, \(x_2\) 의 성분 합이 0이므로 \(c_1 = 1\) 이 자동으로 강제된다. 즉 어떤 출발 분포에서 시작하든 정확히 같은 정상 분포 \(u_\infty = (0.2, 0.8)\) 으로 수렴한다.

해석 — 시장이 어떤 초기 분포에서 시작하든, 결국 덴버에 20%, 외부에 80% 가 자리잡는다. 이 비율은 행렬의 두 전이 확률(0.20 vs 0.05)의 비를 그대로 반영한다 — 외부에서 덴버로 들어오는 비율이 그 반대보다 4배 작으므로, 정상상태에서 외부 비율이 4배 크다.

“정상이 아닌” 고유벡터의 합이 0인 이유

일반 사실: \(\lambda \neq 1\) 인 모든 고유벡터 \(x\) 는 성분 합이 0이다. 증명은 한 줄이다.

\[ A x = \lambda x \;\Longrightarrow\; \mathbf{1}^\top A x = \lambda \mathbf{1}^\top x. \]

\(\mathbf{1}^\top A = \mathbf{1}^\top\) 이므로 좌변은 \(\mathbf{1}^\top x\) 다. 따라서

\[ \mathbf{1}^\top x = \lambda \mathbf{1}^\top x \;\Longrightarrow\; (1 - \lambda) \mathbf{1}^\top x = 0 \;\Longrightarrow\; \mathbf{1}^\top x = 0. \]

이 사실 덕분에 임의의 출발 분포는 정확히 \(u_\infty + (\text{합 0인 성분들})\) 로 분해되고, 합 0인 부분만 거듭제곱에서 사라지면서 정상 분포가 그대로 보존된다.

5 Perron-Frobenius 정리

위 모든 사실을 일반화한 것이 Perron-Frobenius 정리 다. 마르코프 조건(열 합 = 1)이 없어도, 단지 \(A > 0\) (모든 성분이 strictly positive)이기만 하면 다음이 성립한다.

Perron-Frobenius 정리 (강한 형태, \(A > 0\))

1. 가장 큰 고유값 \(\lambda_{\max}\) 는 실수이며 양수 다.
2. 그에 대응하는 고유벡터는 모든 성분이 strictly positive 인 방향으로 잡을 수 있다.
3. \(\lambda_{\max}\) 는 단순(simple) 고유값이다 (중복도 1).
4. 다른 모든 고유값은 strictly \(|\lambda| < \lambda_{\max}\) 를 만족한다.

이 정리가 사실상 §8.3 전체를 관통한다.

• 마르코프 체인 (\(\lambda_{\max} = 1\)): 정상상태가 유일하고 strictly positive하며 다른 모든 모드가 사라진다.
• Leslie 인구 모델 (\(\lambda_{\max}\) = 장기 성장률): 어떤 초기 인구 구성에서 시작해도 같은 안정 연령 분포 (stable age distribution)에 도달한다.
• Leontief 경제 (\(\lambda_{\max} < 1\) 이 생산 가능 조건): \((I - A)^{-1}\) 의 비음성을 보장한다.

약한 형태 (\(A \ge 0\))

\(A\) 가 비음이지만 일부 성분이 0이라면 (예: Leslie 행렬, 대부분의 실제 마르코프 행렬), 정리의 일부가 약해진다 — \(\lambda_{\max}\) 는 여전히 실수 비음이고 비음 고유벡터가 존재하지만, 단순 고유값이 아닐 수 있고 정상상태로의 수렴이 깨질 수 있다 (앞서 본 순열 행렬 예시).

이 약한 경우를 구원하는 조건이 irreducible(기약)(그래프가 연결됨) + primitive(원시적)(어떤 거듭제곱 \(A^k\) 가 strictly positive)이다. 이 둘이 만족되면 강한 형태가 그대로 성립한다. 실제 응용에서 만나는 행렬은 거의 항상 이 두 조건을 만족한다.

증명의 핵심 아이디어는 다음 한 줄이다.

\[ \lambda_{\max} = \max\{ t : A x \ge t x \text{ 인 비음 } x \neq 0 \text{ 가 존재} \}. \]

즉 “\(A\) 가 어떤 비음 벡터를 적어도 \(t\) 배 이상으로 키울 수 있는 최대의 \(t\)” 를 찾는다. 이 최댓값을 달성하는 \(t\) 가 곧 \(\lambda_{\max}\) 이고, 그때의 \(x\) 가 Perron 고유벡터다. (자세한 증명은 Strang Ch.8, 또는 Ch.8 Applications 종합 개요 참조.)

6 Leslie 인구 모델: \(\lambda_{\max} > 1\) vs \(\lambda_{\max} < 1\)

Leslie 모델은 인구를 연령 그룹으로 나눈다. 예를 들어 20년 단위로 그룹 1 = \((0, 20)\), 그룹 2 = \((20, 40)\), 그룹 3 = \((40, 60)\) 이라 하자. 그룹 \(i\) 의 크기를 \(n_i\) 라 하면, 한 시점(20년 후)의 새로운 인구는

\[ \begin{bmatrix} n_1^{\text{new}} \\ n_2^{\text{new}} \\ n_3^{\text{new}} \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} F_1 & F_2 & F_3 \\ P_1 & 0 & 0 \\ 0 & P_2 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \begin{bmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{bmatrix}. \]

• 첫 행: 출산. 그룹 \(i\) 가 새 그룹 1을 \(F_i\) 만큼 만든다. 일반적으로 \(F_2\) 가 가장 크다 (가임기).
• 둘째 행: 그룹 1의 생존율 \(P_1\) 만큼이 그룹 2가 된다.
• 셋째 행: 그룹 2의 생존율 \(P_2\) 만큼이 그룹 3이 된다.

Strang의 수치 예제

\[ A = \begin{bmatrix} 0.04 & 1.10 & 0.01 \\ 0.98 & 0 & 0 \\ 0 & 0.92 & 0 \end{bmatrix}. \]

이 행렬은 \(A \ge 0\) 이지만 \(A > 0\) 은 아니다. 하지만 \(A^3 > 0\) 이므로 Perron-Frobenius가 약한 형태로 적용되고, \(\lambda_{\max} \approx 1.06\) 이라는 strictly positive 고유값과 strictly positive 고유벡터 \(x \approx (0.63, 0.58, 0.51)\) 이 존재한다.

해석 — 어떤 초기 인구 구성에서 시작하든, 충분한 시간 뒤 인구는 \(\lambda_{\max} = 1.06\) 의 비율로 매 20년마다 6% 씩 증가하며, 세 연령 그룹의 비율은 점점 \(0.63 : 0.58 : 0.51\) 로 수렴한다. 이를 안정 연령 분포(stable age distribution) 라 한다. 인구 통계학자가 한 사회의 단기적 베이비붐이나 전쟁 이후 세대 격차를 보고도 “충분한 시간이 지나면 결국 같은 모양이 된다” 고 자신 있게 말할 수 있는 것은 정확히 Perron-Frobenius 덕분이다.

결정적 임계점 — \(\lambda_{\max}\) 가 1보다 약간만 작아지면 인구는 매 단계마다 같은 비율로 줄어들어 결국 멸종에 이른다. 환경 변화나 출산율 하락이 행렬의 성분을 10% 만 바꾸어도 \(\lambda_{\max}\) 가 1 아래로 떨어질 수 있다. 따라서 민감도 분석(sensitivity analysis) — \(\lambda_{\max}\) 가 행렬 성분에 어떻게 의존하는지 — 이 모델링의 중심 도구가 된다. 결과는 다음 한 줄이다.

\[ \frac{\partial \lambda_{\max}}{\partial a_{ij}} = y_i \, x_j, \]

여기서 \(x\) 는 우고유벡터(right eigenvector), \(y\) 는 좌고유벡터(left eigenvector)다. 즉 어떤 성분의 변화에 \(\lambda_{\max}\) 가 가장 민감한지는 두 고유벡터의 곱으로 결정된다.

7 Leontief 경제: \(\lambda_{\max} < 1\) 이 생산 가능 조건

이번엔 정반대 방향. Leontief 산업연관표 는 \(n\) 개 산업이 서로의 생산물을 입력으로 사용하는 경제를 모델링한다. 행렬 \(A\) 의 성분 \(a_{ij}\) 는 “산업 \(j\) 가 단위 생산물을 만들기 위해 산업 \(i\) 의 출력을 얼마나 소비하는가” 를 나타낸다. 예를 들어 화학산업이 1단위를 만들기 위해 화학 0.2단위, 식품 0.3단위, 석유 0.4단위를 소비한다면, \(A\) 의 첫 열은 \((0.2, 0.3, 0.4)\) 다.

문제 — 외부 수요 \(y \ge 0\) (소비자, 정부, 수출이 원하는 양)을 충족하려면 각 산업이 얼마나 생산해야 하는가?

각 산업의 총 생산을 \(p\) 라 하면, 그 중 \(A p\) 만큼은 다른 산업의 입력으로 소비된다. 따라서 외부에 남는 양은 \(p - A p = (I - A) p\) 다. 외부 수요를 정확히 충족하려면

\[ (I - A) p = y \;\Longleftrightarrow\; p = (I - A)^{-1} y. \]

여기서 진짜 질문은 “\((I - A)^{-1} \ge 0\) 인가?” 다. 만약 비음이 아니라면, 양의 수요 \(y\) 를 위해 음의 생산 \(p\) 가 필요하다는 비현실적인 답이 나온다.

핵심 정리 — \((I - A)^{-1} \ge 0\) 일 필요충분조건은 \(\lambda_{\max}(A) < 1\) 이다.

증명의 직관은 기하급수다. 스칼라 기하급수

\[ \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \qquad |x| < 1 \]

의 행렬 버전은

\[ (I - A)^{-1} = I + A + A^2 + A^3 + \cdots. \]

이 급수가 수렴할 필요충분조건은 모든 고유값 \(|\lambda| < 1\) 이다. \(A \ge 0\) 이면 모든 항 \(A^k\) 가 비음이므로 합도 비음이 되고, 따라서 \((I - A)^{-1} \ge 0\) 이다.

경제학적 직관 — \(A^k\) 의 \((i, j)\) 성분은 “산업 \(j\) 의 단위 생산이 \(k\) 단계의 간접 효과를 거쳐 산업 \(i\) 의 출력을 얼마나 소비하는가” 다. 이를 모든 단계에 대해 합산한 것이 \((I - A)^{-1}\) 의 그 성분이고, 이를 Leontief 역행렬(Leontief inverse) 또는 총 요구 행렬(total requirements matrix) 이라 부른다. 어떤 산업의 단위 수요가 경제 전체에 미치는 직간접 파급효과를 한 번에 표현한 것이다.

한 줄 비교

• 마르코프: \(\lambda_{\max} = 1\), 거듭제곱이 정상상태로 수렴. 확률 보존.
• Leslie: \(\lambda_{\max}\) = 자유, 거듭제곱이 그 비율로 지수 성장. 세대 누적.
• Leontief: \(\lambda_{\max} < 1\) 필요, \((I - A)^{-1}\) 의 기하급수가 수렴. 간접 수요 누적.

세 사례 모두 같은 행렬 거듭제곱 \(A^k\) 의 거동에 대한 질문이고, 답은 모두 \(\lambda_{\max}\) 가 결정한다.

8 코드: NumPy 시뮬레이션과 Perron-Frobenius 검증

import numpy as np

# 사례 1: 렌터카 마르코프
A_markov = np.array([
    [0.80, 0.05],
    [0.20, 0.95],
])

# 임의 출발 분포에서 정상상태로 수렴 확인
u = np.array([0.5, 0.5])  # 어떤 출발이든
for k in range(50):
    u = A_markov @ u
print("정상 분포 (수치) =", u)  # ≈ [0.2, 0.8]

# 고유분해로 검증
vals, vecs = np.linalg.eig(A_markov)
print("고유값 =", vals)  # [1.   0.75]
# lambda=1 에 해당하는 고유벡터를 정규화
idx = np.argmax(vals.real)
v = vecs[:, idx].real
v = v / v.sum()
print("정상 분포 (해석) =", v)  # [0.2, 0.8]

# 사례 2: Leslie 인구 모델
A_leslie = np.array([
    [0.04, 1.10, 0.01],
    [0.98, 0.00, 0.00],
    [0.00, 0.92, 0.00],
])

vals, vecs = np.linalg.eig(A_leslie)
lam_max = np.max(np.abs(vals))
print("lambda_max =", round(lam_max, 4))   # ≈ 1.0610  → 매 세대 6% 성장

# 안정 연령 분포: lambda_max 에 해당하는 고유벡터 (양의 방향)
idx = np.argmax(vals.real)
x = vecs[:, idx].real
x = np.abs(x) / np.abs(x).sum()
print("안정 연령 분포 =", np.round(x, 3))  # 비율로 ≈ [0.366, 0.337, 0.297]

# 시뮬레이션: 한 세대만 있는 출발에서 시작
n = np.array([0.0, 1.0, 0.0])
for k in range(40):
    n = A_leslie @ n
n = n / n.sum()
print("40세대 후 (정규화) =", np.round(n, 3))   # 위의 안정 분포로 수렴

# 사례 3: Leontief 경제
A_leontief = np.array([
    [0.2, 0.3, 0.4],
    [0.4, 0.4, 0.1],
    [0.5, 0.1, 0.3],
])
vals = np.linalg.eigvals(A_leontief)
lam_max = np.max(np.abs(vals))
print("lambda_max =", round(lam_max, 4))   # ≈ 0.9 → 생산 가능

# Leontief 역행렬
L = np.linalg.inv(np.eye(3) - A_leontief)
print("Leontief 역행렬 ≥ 0 ?", np.all(L >= 0))   # True

# 외부 수요 y 에 대한 총 생산
y = np.array([10.0, 20.0, 15.0])
p = L @ y
print("총 생산 p =", np.round(p, 2))

위 세 코드는 §8.3의 모든 핵심을 한 번에 검증한다. 특히 마지막 사례에서 \(\lambda_{\max} = 0.9 < 1\) 이라는 한 숫자가 “이 경제가 어떤 양의 수요든 생산으로 충족할 수 있다” 는 사실 전체를 보장한다.

9 데이터 사이언스와의 연결

\(\lambda_{\max}\) 와 그 고유벡터의 지배 구조는 현대 ML 의 여러 알고리즘의 핵심이다.

알고리즘	행렬	무엇이 \(\lambda_{\max}\) 인가
PageRank	\(\alpha P + (1-\alpha) \frac{1}{n} \mathbf{1} \mathbf{1}^\top\)	\(\lambda_{\max} = 1\), 고유벡터 = 페이지 랭크
MCMC (Metropolis-Hastings)	전이 핵	\(\lambda_{\max} = 1\), 고유벡터 = 목표 분포
HITS (hub-authority)	\(A^\top A\), \(A A^\top\)	\(\lambda_{\max}\) = 권위/허브 점수
Spectral Clustering	정규화 라플라시안 (1−\(L\))	큰 고유값들 = 클러스터
PCA	공분산 행렬	\(\lambda_{\max}\) = 최대 분산 방향
Power Iteration	임의 행렬	\(\lambda_{\max}\) 와 고유벡터를 추출
Value Iteration (RL)	할인 베일먼 연산자	수렴 속도 = \(\gamma < 1\) (Leontief 형)
Stable Diffusion 등 forward diffusion	확률 전이	스펙트럼 갭이 수렴 속도 결정

특히 PageRank 는 §8.3의 마르코프 골격을 거의 그대로 옮긴 것이다. 웹 그래프에서 출발해 무작위 서퍼(random surfer)가 링크를 따라가는 과정을 마르코프 체인으로 모델링하고, 그 정상 분포(고유값 1에 대응하는 고유벡터)를 페이지의 중요도로 정의한다. 1998년 Brin과 Page의 원래 PageRank 논문은 사실상 §8.3의 한 응용이고, 같은 행렬이 Markov Matrices 강의노트에서도 설명된다.

MCMC 는 정반대 방향이다. 우리가 샘플링하고 싶은 목표 분포 \(\pi\) 가 주어졌을 때, \(\pi\) 가 정상 분포가 되는 마르코프 체인의 전이 핵을 설계한다. Perron-Frobenius가 그 체인의 거듭제곱이 \(\pi\) 로 수렴함을 보장하므로, 충분한 시간을 거치면 어떤 출발점에서도 \(\pi\) 의 샘플을 얻는다. 이것이 베이지안 통계학과 통계물리의 기본 도구다.

강화학습의 가치 반복 은 Leontief 형태에 가깝다. 베일먼 연산자 \(T_\pi\) 의 할인계수 \(\gamma < 1\) 이 정확히 \(\lambda_{\max} < 1\) 의 역할을 한다 — 그래서 가치 함수의 기하급수가 수렴하고 \(V = (I - \gamma P_\pi)^{-1} r\) 가 잘 정의된다. 이는 Leontief 역행렬과 같은 골격이다.

10 정리

§8.3 전체를 다음 한 표로 압축한다.

\(\lambda_{\max}\)	행렬 종류	거듭제곱 \(A^k\) 의 거동	대표 사례
\(= 1\)	마르코프 (열 합 1)	정상 분포로 수렴	렌터카, PageRank, MCMC
\(> 1\)	Leslie (가임 + 생존)	지수 성장, 안정 연령 분포	인구 통계, 생태학
\(< 1\)	Leontief (소비행렬)	\((I - A)^{-1} \ge 0\) → 생산 가능	산업연관표, 가치 반복

그리고 한 줄로:

모든 비음 행렬의 운명은 \(\lambda_{\max}\) 와 그에 대응하는 양의 고유벡터 한 쌍이 결정한다 (Perron-Frobenius). 마르코프, Leslie, Leontief 는 같은 정리의 세 응용이다.

11 관련 주제

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• Ch.8 §8.1 Matrices in Engineering — 평형 골격 \(K = A^\top C A\)
• Ch.8 §8.2 Graphs and Networks — 그래프 라플라시안과 같은 골격