1 핵심 질문
§3.2에서 \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 을 완전히 풀었다. 이제 우변이 \(\mathbf{0}\) 이 아닌 \(\mathbf{b}\) 인 경우다.
\(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 의 모든 해를 어떻게 체계적으로 기술하는가?
답은 두 부분의 합이다: 특정해(particular solution) + 영공간(nullspace).
\[\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n\]
\(\mathbf{x}_p\) 는 \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 를 만족하는 임의의 해 하나, \(\mathbf{x}_n\) 은 \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 의 임의의 해다.
2 완전해 구조 — 왜 xp + xn 인가
\(\mathbf{x}_p\) 가 \(\mathbf{A}\mathbf{x}_p = \mathbf{b}\) 를 만족하고, \(\mathbf{x}_n\) 이 \(\mathbf{A}\mathbf{x}_n = \mathbf{0}\) 를 만족한다면:
\[\mathbf{A}(\mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n) = \mathbf{A}\mathbf{x}_p + \mathbf{A}\mathbf{x}_n = \mathbf{b} + \mathbf{0} = \mathbf{b}\]
따라서 \(\mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n\) 은 \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 의 해다.
반대로: \(\mathbf{x}\) 와 \(\mathbf{x}_p\) 가 모두 해라면, \(\mathbf{A}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_p) = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0}\), 즉 \(\mathbf{x} - \mathbf{x}_p \in N(\mathbf{A})\).
따라서 모든 해는 \(\mathbf{x}_p + (\text{영공간 벡터})\) 형태다. (Strang, 2016, Ch.3)
기하학적 직관: 해 집합은 원점에서 \(\mathbf{x}_p\) 만큼 이동한 “평행 이동된 영공간”이다. \(\mathbf{b} = \mathbf{0}\) 이면 해 집합 = 영공간 (원점 통과). \(\mathbf{b} \neq \mathbf{0}\) 이면 해 집합 = 영공간 + 이동량 \(\mathbf{x}_p\) (원점 불통과, 부분공간 아님).
3 첨가 행렬 [A|b]와 가해 조건
우변 \(\mathbf{b}\) 에도 같은 행 연산을 적용해야 한다. 이를 위해 첨가 행렬(augmented matrix) \([\mathbf{A}\ |\ \mathbf{b}]\) 를 소거한다.
예시: \(3 \times 4\) 행렬 \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{b} = (1, 6, 7)^\top\)
\[[\mathbf{A}\ |\ \mathbf{b}] = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 1 & 6 & 7 \end{bmatrix}\]
row3 \(-\) row1 \(-\) row2 를 수행하면:
\[[\mathbf{R}\ |\ \mathbf{d}] = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]
세 번째 행의 마지막 성분이 \(7 - 1 - 6 = 0\) 이므로 \(0 = 0\) 이다. 해가 존재한다.
만약 \(b_1 + b_2 \neq b_3\) 이었다면 세 번째 행이 \(0 = (\text{nonzero})\) 가 되어 해가 없다.
\(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 가 해를 가지려면, \(\mathbf{R}\) 에서 영행이 되는 행에 대응하는 \(\mathbf{d}\) 의 성분도 0이어야 한다.
\[\text{가해} \iff \mathbf{b} \in C(\mathbf{A}) \iff \mathbf{b} \text{ 가 } \mathbf{A}\text{의 열들의 선형결합}\]
직관: \(\mathbf{A}\) 의 행들 사이에 선형 의존 관계가 있으면, 같은 관계가 \(\mathbf{b}\) 에도 성립해야 한다. 예: 1행 + 2행 = 3행이면 반드시 \(b_1 + b_2 = b_3\) 이어야 일관성이 있다.
4 특정해 구하기: 자유 변수 = 0
\([\mathbf{R}\ |\ \mathbf{d}]\) 에서 특정해 \(\mathbf{x}_p\) 를 구하는 가장 쉬운 방법:
자유 변수를 모두 0으로 설정하고, 피벗 방정식에서 피벗 변수를 역대입으로 구한다.
위 예시에서 \(x_2 = x_4 = 0\) 으로 설정하면:
- 2번째 방정식 \(x_3 + 4(0) = 6\) → \(x_3 = 6\)
- 1번째 방정식 \(x_1 + 3(0) + 2(0) = 1\) → \(x_1 = 1\)
\[\mathbf{x}_p = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{bmatrix}\]
왜 자유 변수 = 0이 좋은가? \(\mathbf{R}\) 의 피벗 행에서 자유 변수 항이 사라지므로, 피벗 변수는 \(\mathbf{d}\) 의 해당 성분에서 바로 읽힌다. 계산이 가장 단순하다.
5 완전해 작성
영공간 특수해 \(\mathbf{s}_1 = (-3, 1, 0, 0)\), \(\mathbf{s}_2 = (-2, 0, -4, 1)\) 을 합치면 완전해:
\[\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n = \underbrace{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{bmatrix}}_{\mathbf{x}_p} + x_2 \underbrace{\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}_{\mathbf{s}_1} + x_4 \underbrace{\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}}_{\mathbf{s}_2}\]
\(x_2\) 와 \(x_4\) 는 임의의 실수다.
핵심 구분:
- \(\mathbf{x}_p\) 는 임의 상수를 곱하지 않는다 — 이것은 특정 점이다.
- \(\mathbf{x}_n\) (특수해들)은 임의 상수를 곱한다 — 이것이 무한히 많은 해를 만든다.
6 기하학적 그림
x 공간 (R^4 를 단순화하여 2D로 표현)
x_p + N(A) : Ax = b 의 해 집합 (영공간에 평행한 평면/선)
↑
xp .... xp + x_n .... (직선 또는 평면)
/
O ........... x_n ..... (원점에서의 영공간: Ax = 0 의 해)\(\mathbf{x}_p + N(\mathbf{A})\) 는 영공간 \(N(\mathbf{A})\) 의 평행이동(translate) 이다. 두 집합은 동일한 방향을 가지지만, \(\mathbf{x}_p\) 만큼 이동했다.
7 예시 1: 전열랭크 (Full Column Rank, r = n)
전열랭크 행렬은 세로로 길고 좁다 (\(m \geq n\)). 모든 열에 피벗이 있다.
\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\]
첨가 행렬을 소거하면:
\[[\mathbf{A}\ |\ \mathbf{b}] \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2b_1 - b_2 \\ 0 & 1 & b_2 - b_1 \\ 0 & 0 & b_3 + b_1 + b_2 \end{bmatrix} = [\mathbf{R}\ |\ \mathbf{d}]\]
가해 조건: \(b_3 + b_1 + b_2 = 0\) (\(\mathbf{A}\) 의 행 합이 0이므로 \(\mathbf{b}\) 의 행 합도 0이어야 함)
해의 구조: 자유 변수 없음 (\(n - r = 2 - 2 = 0\)), 영공간 = \(\{\mathbf{0}\}\)
\[\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{0} = \begin{bmatrix} 2b_1 - b_2 \\ b_2 - b_1 \end{bmatrix}\]
→ 해가 존재하면 유일하다.
전열랭크 행렬의 특성 (\(r = n\)):
| 성질 | 내용 |
|---|---|
| 피벗 열 | 모든 \(n\) 개 열이 피벗 열 |
| 자유 변수 | 없음 |
| 영공간 | \(N(\mathbf{A}) = \{\mathbf{0}\}\) |
| 해의 수 | 0개 또는 1개 |
| \(\mathbf{R}\) 형태 | \(\mathbf{R} = \begin{bmatrix} \mathbf{I}_n \\ \mathbf{0} \end{bmatrix}\) |
8 예시 2: 전행랭크 (Full Row Rank, r = m)
전행랭크 행렬은 가로로 짧고 넓다 (\(m \leq n\)). 모든 행에 피벗이 있다.
\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\]
소거:
\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} = [\mathbf{R}\ |\ \mathbf{d}]\]
가해 조건: 영행이 없으므로 조건 없음. \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 는 어떤 \(\mathbf{b}\) 에 대해서도 반드시 해를 가진다.
특정해: \(x_3 = 0\) 으로 설정 → \(\mathbf{x}_p = (2, 1, 0)^\top\)
특수해: \(x_3 = 1\) 로 설정 → \(\mathbf{s} = (-3, 2, 1)^\top\)
\[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\]
기하학적으로 이것은 \(\mathbb{R}^3\) 의 직선이다 (특정 점 + 한 방향으로의 이동).
전행랭크 행렬의 특성 (\(r = m\)):
| 성질 | 내용 |
|---|---|
| 피벗 행 | 모든 \(m\) 개 행이 피벗 행 |
| \(\mathbf{R}\) 의 영행 | 없음 |
| 가해 조건 | 항상 성립 (\(C(\mathbf{A}) = \mathbb{R}^m\)) |
| 해의 수 | 항상 무한히 많음 (\(n - r = n - m\) 개의 자유 변수) |
| \(\mathbf{R}\) 형태 | \(\mathbf{R} = [\mathbf{I}_m \ \ \mathbf{F}]\) |
9 랭크에 따른 네 가지 경우
\(m \times n\) 행렬의 랭크 \(r\) 이 \(m\), \(n\) 과 어떤 관계인지에 따라 해의 구조가 완전히 결정된다.
| 경우 | 조건 | \(\mathbf{R}\) 형태 | \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 의 해 |
|---|---|---|---|
| 1 | \(r = m = n\) (정사각 가역) | \(\mathbf{I}\) | 항상 유일해 |
| 2 | \(r = m < n\) (가로 행렬) | \([\mathbf{I}\ \mathbf{F}]\) | 항상 \(\infty\) 개의 해 |
| 3 | \(r = n < m\) (세로 행렬) | \(\begin{bmatrix}\mathbf{I}\\\mathbf{0}\end{bmatrix}\) | 해 없음 또는 유일해 |
| 4 | \(r < m\), \(r < n\) (일반 경우) | \(\begin{bmatrix}\mathbf{I}&\mathbf{F}\\\mathbf{0}&\mathbf{0}\end{bmatrix}\) | 해 없음 또는 \(\infty\) 개 |
- 경우 1, 2 (행 전랭크 \(r = m\)): \(C(\mathbf{A}) = \mathbb{R}^m\) → 임의의 \(\mathbf{b}\) 에 대해 해 존재
- 경우 1, 3 (열 전랭크 \(r = n\)): \(N(\mathbf{A}) = \{\mathbf{0}\}\) → 해가 있으면 유일
가해 조건의 기하학: \(\mathbf{b} \in C(\mathbf{A})\) 이어야 한다. \(C(\mathbf{A})\) 가 \(\mathbb{R}^m\) 의 진부분공간이면 (경우 3, 4), 대부분의 \(\mathbf{b}\) 에서 해가 없다.
10 3×4 심화 예시: 전 과정
\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 8 & 12 \\ 3 & 6 & 7 & 13 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\]
10.1 소거: [A|b] → [U|c]
\[[\mathbf{A}\ |\ \mathbf{b}] \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & b_2 - 2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_3 + b_2 - 5b_1 \end{bmatrix}\]
가해 조건: \(b_3 + b_2 - 5b_1 = 0\)
이 조건이 성립하는 \(\mathbf{b}\) 들의 집합이 바로 열 공간 \(C(\mathbf{A})\) 다 — \(\mathbb{R}^3\) 의 평면.
10.2 RREF로 변환: [R|d]
\[[\mathbf{R}\ |\ \mathbf{d}] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 2 & b_1 - \frac{3}{2}(b_2 - 2b_1) \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \frac{1}{2}(b_2 - 2b_1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]
구체적으로 \(\mathbf{b} = (0, 6, -6)^\top\) (\(b_3 + b_2 - 5b_1 = -6 + 6 - 0 = 0\), 가해 조건 충족):
\[\mathbf{x}_p = \begin{bmatrix} -9 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{s}_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{s}_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\]
\[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -9 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\]
11 왜 완전해 구조가 중요한가
머신러닝/데이터 과학에서의 의미:
- 과결정 시스템 (\(m > n\), 경우 3): 관측치 수 > 특성 수. 일반적으로 정확한 해가 없어 최소제곱법으로 근사한다.
- 과소결정 시스템 (\(m < n\), 경우 2): 관측치 수 < 특성 수. 해가 무수히 많아 정규화(regularization) 로 하나를 선택한다.
- L2 정규화 (Ridge): 영공간에서 원점에 가장 가까운 해 \(\mathbf{x}_p\) 를 선택하는 것과 동일하다.
- 희소 해 (Lasso): 영공간에서 0 성분이 많은 해를 선택한다.
선형대수 전체 구조와의 연결:
\[\text{완전해} = \mathbf{x}_p + N(\mathbf{A}) \quad \longleftrightarrow \quad \text{해 집합의 기하학}\] \[\dim(\text{해 집합}) = \dim(N(\mathbf{A})) = n - r\]
12 응용 분야
| 분야 | 상황 | 해 구조 |
|---|---|---|
| 선형 회귀 | \(m \gg n\), 과결정 | 정확한 해 없음 → 최소제곱 근사 |
| 신경망 훈련 | \(n \gg m\), 과소결정 | 무수한 해 → 경사하강이 최소 노름 해 선택 |
| 이미지 복원 | 관측 = 픽셀 일부 | 조건 \(b \in C(A)\) 가 핵심 |
| 제어 이론 | 입력-출력 방정식 | 전행랭크면 임의 목표 상태 달성 가능 |
| 회로 분석 | 키르히호프 법칙 | 영공간 = 순환 전류 (자유도) |
13 코드 예시
13.0.1 Step 1: 첨가 행렬 소거로 가해 조건 및 완전해 계산 (원리)
import numpy as np
def complete_solution(A, b):
"""
Ax = b의 완전해 x = xp + xn을 계산한다.
- xp: 특정해 (자유 변수 = 0)
- xn_basis: 영공간 기저 (특수해들의 목록)
- solvable: 가해 여부
"""
m, n = A.shape
b = b.astype(float).reshape(-1, 1)
Ab = np.hstack([A.astype(float), b]) # 첨가 행렬 [A|b]
pivot_cols = []
row = 0
for col in range(n):
pivot = None
for r in range(row, m):
if abs(Ab[r, col]) > 1e-10:
pivot = r
break
if pivot is None:
continue
Ab[[row, pivot]] = Ab[[pivot, row]]
Ab[row] /= Ab[row, col]
for r in range(m):
if r != row and abs(Ab[r, col]) > 1e-10:
Ab[r] -= Ab[r, col] * Ab[row]
pivot_cols.append(col)
row += 1
r = len(pivot_cols)
R = Ab[:, :n]
d = Ab[:, n]
# 가해 조건 확인: R의 영행에서 d도 0인지 확인
solvable = True
for i in range(r, m):
if abs(d[i]) > 1e-10:
solvable = False
break
if not solvable:
return None, None, False
# 자유 열
free_cols = [c for c in range(n) if c not in pivot_cols]
# 특정해 xp: 자유 변수 = 0
xp = np.zeros(n)
for i, pc in enumerate(pivot_cols):
xp[pc] = d[i]
# 영공간 기저 (특수해들)
xn_basis = []
for fc in free_cols:
s = np.zeros(n)
s[fc] = 1.0
for i, pc in enumerate(pivot_cols):
s[pc] = -R[i, fc]
xn_basis.append(s)
return xp, xn_basis, True
# 3×4 예시
A = np.array([
[1, 3, 0, 2],
[0, 0, 1, 4],
[1, 3, 1, 6]
], dtype=float)
b = np.array([1, 6, 7], dtype=float)
xp, xn_basis, solvable = complete_solution(A, b)
if solvable:
print(f"특정해 xp = {xp}")
print("특수해 (영공간 기저):")
for i, s in enumerate(xn_basis):
print(f" s{i+1} = {s}")
print(f"\n검증 A @ xp - b = {np.round(A @ xp - b, 10)}")
# 해 없는 경우 테스트
b_no_sol = np.array([1, 6, 8], dtype=float) # 1 + 6 ≠ 8
xp2, _, solvable2 = complete_solution(A, b_no_sol)
print(f"\nb = (1,6,8)의 가해 여부: {solvable2}") # False13.0.2 Step 2: NumPy / SciPy를 이용한 최소 노름 특정해 (실무)
import numpy as np
from scipy.linalg import lstsq, null_space
A = np.array([
[1, 3, 0, 2],
[0, 0, 1, 4],
[1, 3, 1, 6]
], dtype=float)
b = np.array([1, 6, 7], dtype=float)
# lstsq: 최소 노름 특정해 (과소결정 시스템에서 ||xp||가 최소)
xp_min_norm, residuals, rank, sv = lstsq(A, b)
print(f"최소 노름 특정해 xp = {xp_min_norm}")
print(f"||xp||^2 = {np.sum(xp_min_norm**2):.4f}")
print(f"랭크 = {rank}")
print(f"잔차 ||Axp - b|| = {np.linalg.norm(A @ xp_min_norm - b):.2e}")
# 영공간 기저 (정규직교화)
N = null_space(A)
print(f"\n영공간 기저 (정규직교):\n{N}")
# 완전해: xp + 영공간의 임의 결합
c1, c2 = 2.0, -1.5 # 임의의 계수
x_complete = xp_min_norm + c1 * N[:, 0] + c2 * N[:, 1]
print(f"\n완전해 x = xp + c1*s1 + c2*s2:")
print(f" x = {x_complete}")
print(f" 검증 Ax = b: {np.allclose(A @ x_complete, b)}")13.0.3 Step 3: 네 가지 랭크 경우 시각화
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 10))
cases = [
{
"title": "경우 1: r=m=n (정사각 가역)\n해 항상 유일",
"A": np.array([[1, 2], [3, 7]], dtype=float),
"b": np.array([3, 8], dtype=float),
"color": "steelblue"
},
{
"title": "경우 2: r=m<n (가로 행렬)\n해 항상 무한히 많음",
"A": np.array([[1, 1, 1], [1, 2, -1]], dtype=float),
"b": np.array([3, 4], dtype=float),
"color": "green"
},
{
"title": "경우 3: r=n<m (세로 행렬)\n해 없거나 유일",
"A": np.array([[1, 1], [1, 2], [-2, -3]], dtype=float),
"b": np.array([2, 3, -5], dtype=float), # b1+b2=b3 조건 충족
"color": "orange"
},
{
"title": "경우 4: r<m, r<n (일반)\n해 없거나 무한히 많음",
"A": np.array([[1, 1, 2], [2, 2, 4], [1, 1, 2]], dtype=float),
"b": np.array([3, 6, 3], dtype=float), # 가해 조건 충족
"color": "red"
}
]
for ax, case in zip(axes.flatten(), cases):
A, b = case["A"], case["b"]
m, n = A.shape
r = np.linalg.matrix_rank(A)
from scipy.linalg import lstsq, null_space
xp, res, rank, sv = lstsq(A, b)
residual = np.linalg.norm(A @ xp - b)
null_dim = n - rank
text = (
f"A: {m}×{n}, 랭크 r={r}\n"
f"n-r={null_dim} (자유 변수 수)\n"
f"잔차 ||Axp-b|| = {residual:.2e}"
)
ax.text(0.5, 0.5, text, transform=ax.transAxes,
ha='center', va='center', fontsize=11,
bbox=dict(boxstyle='round', facecolor=case["color"], alpha=0.3))
ax.set_title(case["title"], fontsize=10, fontweight='bold')
ax.axis('off')
plt.suptitle("Ax=b의 네 가지 경우 (랭크 r, 행 수 m, 열 수 n)", fontsize=13)
plt.tight_layout()
plt.show()14 핵심 정리
| 개념 | 내용 |
|---|---|
| 완전해 구조 | \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n\) (특정해 + 영공간) |
| 특정해 | 자유 변수 = 0, 피벗 변수 = \(\mathbf{d}\) 에서 역대입 |
| 가해 조건 | \(\mathbf{b} \in C(\mathbf{A})\) ↔︎ \(\mathbf{R}\) 의 영행에서 \(\mathbf{d}\) 도 0 |
| \(r = m\) (전행랭크) | \(C(\mathbf{A}) = \mathbb{R}^m\) → 항상 해 존재, \(n-m\) 개 특수해 |
| \(r = n\) (전열랭크) | \(N(\mathbf{A}) = \{\mathbf{0}\}\) → 해 있으면 유일, \(m-n\) 개 가해 조건 |
| \(r = m = n\) | 가역 행렬, 항상 유일해 \(\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}\) |
| 해 집합의 차원 | \(\dim(N(\mathbf{A})) = n - r\) |
15 관련 주제
선행 지식
- Ch.3 §3.2 — The Nullspace of A: Solving Ax = 0
- Ch.3 §3.3 — The Rank and the Row Reduced Form
- Ch.2 §2.1 — Vectors and Linear Equations
후속 주제
- Ch.3 §3.5 — Independence, Basis, Dimension — 차원 방정식 \(r + (n-r) = n\)
- Ch.4 §4.2 — Projections — 해가 없을 때 최소제곱 근사
- Ch.4 §4.3 — Least Squares Approximations — 전열랭크 행렬의 최소제곱 풀이
다른 카테고리 연결