- \(\text{if } 0<|x-a|<\delta \text{ then } |f(x)-L|<\epsilon\) 에서 \(|x-a|\) 와 \(|f(x)-L|\) 가 절대값으로 표기가 되어 있기 때문에 거리(distance)로 해석이 된다.
- 또한, \(|x-a|\) 는 임의의 충분히 작은 수 \(\delta\) 와 대응이 되고 \(|f(x)-L|\) 는 임의의 충분히 작은 수 \(\epsilon\) 와 대응이 되는 것을 숙지해야한다.
- 그리고 \(\epsilon - \delta\) Method 라는 표현에서도 이해에 대한 실마리를 얻을 수 있는데 \(\epsilon\) 이 먼저 정해지면 \(\delta\) 를 그 후에 결정할 수 있다. 좀 더 자세히 말하면, 궁극적으로 \(\delta\) 를 \(\epsilon\) 의 함수 \(\delta(\epsilon)\) 로 표현하여 함수의 수렴성을 증명하게 된다.
- 고등학교 때 우리는 이 표현을 \(x\) 가 \(a\) 로 한없이 가까워질 때 \(f(x)\) 의 limit은 \(L\) 이다 라고 배웠다.
- 이를 조금 더 정밀하게 해석하면, \(x\) 와 \(a\) 사이의 거리가 만족할 만큼 충분히 작아질 때, (하지만 \(x\ne a\)), \(f(x)\) 와 \(L\) 사이의 거리가 임의대로 작아 질수 있다는 것을 의미한다.
- 조건절: ’\(x\) 와 \(a\) 사이의 거리가 만족할 만큼 충분히 작아질 때, (하지만 \(x\ne a\)),
- 결과절: \(f(x)\) 와 \(L\) 사이의 거리가 임의대로 작아 질수 있다.’
- 조건절: \(|x-a|\) 가 만족할 만큼 충분히 작아질 때, (하지만 \(x\ne a\)),
- 결과절: \(|f(x)-L|\) 가 임의대로 작아 질수 있다.’
- 조건절: \(\text{if } 0<|x-a|<\delta\)
- 결과절: \(\text{ then } |f(x)-L|<\epsilon\) \[ \begin{aligned} |&f(x)-L|<\epsilon \\ -\epsilon<&f(x)-L<\epsilon \text{ }(\because \epsilon>0)\\ L-\epsilon<&f(x)<L+\epsilon\\ \end{aligned} \tag{3}\]
- \(x\) 의 범위 (see 방정식 1) : \(a-\delta<x<a+\delta\)
- \(|x-a|\) 의 범위 (see 방정식 2): \(0<|x-a|\)
- \(f(x)\) 의 범위 (see 방정식 3): \(L-\epsilon<f(x)<L+\epsilon\\\)
- find \(\delta\) corresponding to \(\epsilon=0.5\) in the definition of a limit for \(f(x)=x+5\) with \(a=1\) and \(L=6\). \[ \text{if } |x-1|<\delta \text{ then} |(x+5)-6|<0.5 \]
- Prove that \(\lim_{x \to 3} (4x-5)=7\)
1 Definition
정의 1 Let \(f\) be a function defined on some open interval that contains the number \(a\), exccept possibly at \(a\) itself. Then, \(f\) is said to converge to the real number \(L\) provided that for every number \(\epsilon>0\), there is a number \(\delta>0\) such that \[ \text{if } 0<|x-a|<\delta \text{ then } |f(x)-L|<\epsilon \]
If \(f(x)\) converges to \(L\), then \(L\) is called the limit of \(f(x)\) as \(x\) approaches \(a\) , and we write \[ \lim_{x \to a} f(x) =L \]
If a function does not coverge to a real number, it is said to diverge.
먼저, 위의 정의를 하나씩 곱 씹어보면,
그럼 본격적으로 limit의 notation, \(\lim_{x \to a} f(x) =L\) 을 해석하면,
하지만 두 번째 표현 역시 수학적이지 않다. 왜냐하면 위의 문장은 만족할 만큼 충분히 작아질 때 라는 표현 때문에 명제(statement)가 될 수 없기 때문이다. 사람의 주관마다 어떤 사람은 거리가 1 일 때 충분히 작다고 말 할 수 있고 좀 더 정밀한 사람의 경우 0.0001 이 충분히 작다고 말할 수 있기 때문이다. 또 어떤 사람은 100이 충분히 작은 거리라고 표현할 수 있는 모호성이 존재한다.
여기서, \(\lim_{x \to a} f(x) =L\) 의 해석을 분석해보고 수식화 시켜보자.
‘\(x\) 와 \(a\) 사이의 거리가 만족할 만큼 충분히 작아질 때, (하지만 \(x\ne a\)), \(f(x)\) 와 \(L\) 사이의 거리가 임의대로 작아 질수 있다.’ 는
와 같이 조건절과 결과절로 나눌 수 있다.
이를 수식으로 표현하면, 거리의 의미는 수학에서 절대값으로 표현될 수 있기 때문에
와 같이 표현 될 수 있다.
위의 정의 정의 1 의 \(\text{if } 0<|x-a|<\delta \text{ then } |f(x)-L|<\epsilon\) 를 유심히 보면 애매한 표현을 수학적으로 표현하기 위해 누구나 만족할만한 충분히 작은 수 를 임의의 양수 (every number \(\epsilon>0\) or any number \(\epsilon>0\))라고 표현하여 명제화 시키는 것을 볼 수 있다.
부등식으로 표현된 명제, \(\text{if } 0<|x-a|<\delta \text{ then } |f(x)-L|<\epsilon\) 를 대수적으로 변형시켜 분석해보자.
\[ \begin{aligned} |&x-a|<\delta \\ -\delta<&x-a<\delta \text{ }(\because \delta>0)\\ a-\delta<&x<a+\delta \end{aligned} \tag{1}\]
\[ \begin{aligned} 0<|&x-a|\text{ }(\because x \ne a) \end{aligned} \tag{2}\]
위의 간단한 부등식 조작으로 3가지 사실을 재정리했다.
이 3가지 사실을 기반으로 limit의 정의 (정의 1)를 다시 해석해보면,
\(lim_{x\to a}f(x)=L\) 은 모든 임의의 양수 \(\epsilon>0\) 에 대해서,\(x \in (a-\delta,a-\delta)\) (i.e. \(x\) 가 \((a-\delta,a-\delta)\) 범위안에 있다) 이고 \(x\ne a\) 라면 \(f(x) \in (L-\epsilon,L+\epsilon)\) 을 만족시키는 임의의 양수 \(\delta>0\) 가 존재한다
라고하는 좀 더 쉬운 해석이 가능해진다. 다른 방식으로 표현하면,
\[ \begin{aligned} \text{If } f(x) \in (L-\epsilon,L+\epsilon), &\text{then } \exists \text{ } x \in (a-\delta,a+\delta) \ni \\ f:(a-\delta,a+\delta) &\rightarrow (L-\epsilon,L+\epsilon) \end{aligned} \]
여기서, \(f(x)\in (L-\epsilon,L+\epsilon)\) 은 \(f(x)\) 를 \(L\) 의 근방 \((\text{i.e. } L-\text{neighborhood})\) 으로 한정시켰다고 표현한다. 같은 방식으로, \(x \in (a-\delta,a+\delta)\) 은 \(x\) 를 \(a\) 의 근방 \((\text{i.e. } a-\text{neighborhood})\) 한정시켰다고 표현한다. 여기서, neighborhood는 \(\epsilon\) 과 \(\delta\) 가 정해져야 결정될 수 있는 것을 볼 수 있다. 그리고 if 조건문에 의해 \(\epsilon\) 에 의해 \(\delta\) 가 정해진다는 것을 미루어 짐작할 수 있다.
이를 또 다르게 해석할 수 있는데,
\[ \begin{aligned} \text{If } \lim_{x \to a}f(x)=L, &\text{ then } \exists \delta > 0 \ni\\ \text{if } x \in (a-\delta,a+\delta), &\text{ then } f(x) \in (L-\epsilon,L+\epsilon) \end{aligned} \]
위의 표현을 해석해보면, \(x\) 가 \(a\) 로 한없이 다가가서 \(L\) 에 수렴한다면, \(x\) 를 \(a\) 근방에 한정시켜 \(f(x)\) 가 \(L\) 근방에 한정되는 임의의 양수 \(\delta\) 가 존재한다 라고 해석할 수 있다.
1.0.1 Example
Solution)
\[ \begin{aligned} -0.5<&(x+5)-6<0.5 \\ 5.5 <&x+5<6.5 \\ 0.5 <&x<1.5 \\ \text{If } 0.5 <x<1.5, &\text{ then } 5.5 <x+5<6.5 \\ \therefore \text{If }|x-1|<0.5, &\text{ then } |(x+5)-6|<0.5 (\because (0.5.1.5) \text{ is symmetric about }x=1) \end{aligned} \]
If the interval of \(x\) is not symmetric about x=a, the smaller number is chosed as \(\delta\). 만약 \(x\) 의 구간이 \(a\) 를 기준으로 대칭이 아니라면 더 짧은 근방을 \(\delta\) 로 설정한다.
\(\text{If }|x-1|<0.5, \text{ then } |(x+5)-6|<0.5\) 을 해석하면
\(a=1\) 을 중심으로 \(0.5(=\delta)\) 근방의 \(x\) 를 설정하면, \(L=6\) 을 중심으로 한 \(0.5 (=\epsilon)\) 근방의 \(f(x)\) 를 얻을 수 있다.
Proof)
The 1st step is to find \(\delta\) : \[ \begin{aligned} \text{If } |x-3|<\delta, &\text{ then } |4x-5|-7<\epsilon \\ |4x-5|-7&=|4x-12|=4|x-3| \\ 4|x-3|<\epsilon \\ \text{If } |x-3|<\delta, &\text{ then } 4|x-3|<\epsilon \\ \text{If } |x-3|<\delta, &\text{ then } |x-3|<\frac{\epsilon}{4} \\ \therefore \delta = \frac{\epsilon}{4} \end{aligned} \]
The 2nd step is to prove that the \(\delta\) works:
Given \(\epsilon>0\), choose \(\delta=\frac{\epsilon}{4}\) \[ \begin{aligned} \text{If } 0<|x-3|<\delta, &\text{ then } 4|x-3|<4\delta=4\frac{\epsilon}{4}=\epsilon \\ \text{Thus, } \text{If } 0<|x-3|<\delta, &\text{ then } |(4x-5)-7|<\epsilon \\ \therefore \lim_{x \to 3}(4x-5)=7 \end{aligned} \]
reference : james steward, Calculus