- \(f(x)=x^{\alpha} \text{ } (x>0, \alpha \ne -1)\)
- \(f(x)=ln(1+x)\)
- \(f(x)=\sin(x)\)
1 Overview
정의 1 미분 가능한 함수 \(f(x)\) 의 \(f'(x)\) 가 존재할 때, \(f'(x)\) 의 도함수 \((f'(x))'\) 를 \[ f^{''}(x), \frac{d^2f(x)}{dx^2}, \text{ or } \frac{d^2y}{dx^2} \] 라 표기하고 \(f(x)\) 의 2차 도함수 or second derivative라고 한다.
같은 방법으로, \(n\) 차 도함수 \(f^{(n)}(x)\) or \(\frac{d^nf(x)}{dx^n}\) 가 정의 된다.
2 Example
다음의 \(n\) 차 도함수
\[ \begin{aligned} f'(x)&=\alpha x^{\alpha-1}\\ f^{''}(x)&=\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2}\\ &\vdots\\ f^{n}(x)&=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-(n-1)) x^{\alpha-n} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{1+x}\\ f^{''}(x)&=-\frac{1}{(1+x)^2}\\ f^{3}(x)&=(-1)^2\frac{1 \cdot 2 }{(1+x)^3}\\ &\vdots\\ f^{n}(x)&=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}\\ \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f'(x)&=\cos(x)=\sin(x+1\cdot\frac{\pi}{2})\\ f^{2}(x)&=(-1)\sin(x)=\sin(x+2\cdot\frac{\pi}{2})\\ f^{3}(x)&=-\cos(x)=\sin(x+3\cdot\frac{\pi}{2})\\ f^{4}(x)&=(-1)^2\sin(x)=\sin(x+4\cdot\frac{\pi}{2})\\ &\vdots\\ f^{n}(x)&=\sin(x+n\cdot\frac{\pi}{2}) \end{aligned} \]
3 Mean Value Theorem
정리 1 If A function \(f(x)\) is differentiable on \(\[a,b\]\), then there exists \(c \in (a,b)\) such that \[ \begin{aligned} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c), (a<c<b) \end{aligned} \]