매칭으로서의 보정 — Hernan Ch.4.5

이 글은 Phase J 시리즈의 네 번째 글이자, Hernan Ch.4 시리즈의 마지막 글. Matching 을 stratification 의 극단 으로서, 그리고 adjustment 의 또 다른 도구 로서 다룬다.

1 진입 직관 — Stratification 의 극단

이전 글들에서 stratification 으로 confounding 보정과 effect modification 식별을 다뤘다. Matching 은 stratification 의 극단적 형태:

Stratification: \(L\) 의 몇 개 stratum 으로 분할 (예: 연령 4 그룹).

Matching: 각 처치 환자에 대조 환자 1 명 (또는 K 명) 짝짓기 — 사실상 N 개의 매우 작은 stratum.

목표 동일: \(L\) 이 같은 환자끼리 비교 → confounding 통제.

비유: 식당 메뉴 비교. 층화: “남자 vs 여자, 청년 vs 중년” 4 그룹 평균 점수. 매칭: “내 친구 김씨 (남, 30, 직장인) 와 비슷한 사람 1 명씩 짝지어 두 메뉴 점수 비교”. 매칭이 더 정밀하지만 짝짓기 어려움.

2 정의: Matching

정의: Matching (Hernan Ch.4.5)

각 처치 환자 \(i\) (with \(A_i = 1\)) 에 대해 대조 환자 \(j\) (with \(A_j = 0\)) 를 \(L\) 이 같거나 비슷한 으로 짝짓기. 이렇게 짝지어진 matched cohort 에서 처치 효과 추정.

2.1 두 종류

Exact matching:

\(L_i = L_j\) — 정확히 동일한 confounder 값.

Caliper / Approximate matching:

\(|L_i - L_j| < \delta\) — 어떤 거리 함수 내. 연속 변수에서 흔함.

2.2 매칭 비율

• 1:1 matching: 각 처치에 대조 1 명
• 1:K matching: 각 처치에 대조 K 명 (효율 향상)
• Variable ratio: 처치마다 다른 K

수식 직관: 매칭 후 cohort 에서 L 분포가 처치/대조 동일 — exchangeability 자동 (조건부 무작위 시험과 비슷).

3 Stratification 과 Matching 의 등가성

3.1 Hernan 의 통찰

“매칭 후의 분석 = 각 매치된 pair 를 별도 stratum 으로 보는 stratified analysis.”

3.2 수식 비교

Stratification (continuous L 의 K 분할):

\[ \widehat{ATE} = \sum_{k=1}^K w_k \cdot (\bar{Y}_{T,k} - \bar{Y}_{C,k}) \]

Matching (N pairs):

\[ \widehat{ATE}_{\text{matched}} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (Y_{T,i} - Y_{C,i}) \]

즉 매칭은 N 개의 stratum (각 1 처치 + 1 대조) 으로 보는 stratification.

3.3 왜 매칭 vs 층화

측면	Stratification	Matching
L 구간	큰 (K=4~10)	매우 작은 (K=N)
데이터 활용	모든 데이터 사용	매칭 안 된 환자 제외
Confounder 보정	부분적	완전 (exact matching)
Sample size 효율	좋음	낮음 (제외 많음)
Continuous L 처리	구간 분할 (정보 손실)	Caliper (좋음)

4 Propensity Score Matching — Rosenbaum & Rubin (1983)

4.1 동기

Confounder \(L\) 이 다차원 (예: 100 개 변수) 이면 exact matching 거의 불가능. 모든 차원에서 같은 환자 찾기 희박.

4.2 해결책

Propensity Score \(e(L) = \Pr(A=1 | L)\) — 처치 받을 확률 의 단일 score.

Theorem (Rosenbaum-Rubin 1983): \(L\) 에서 conditional exchangeability 가 성립하면 propensity score \(e(L)\) 에서도 성립.

즉 고차원 L 대신 1 차원 e(L) 으로 매칭 가능. 차원의 저주 회피.

4.3 절차

1. Propensity score 추정:
   logistic regression: e(L) = P(A=1 | L)

2. Matching:
   각 처치 환자에 e(L) 가장 가까운 대조 환자 짝짓기

3. Balance check:
   매칭 후 L 의 분포가 처치/대조 비슷한지 확인 (standardized mean difference)

4. 효과 추정:
   matched cohort 에서 단순 비교 (paired t-test, McNemar 등)

4.4 사례 — 흡연 vs 폐암 시험

관찰 연구. 흡연자 5000 명, 비흡연자 5000 명. Confounder \(L\): 연령·성별·직업·생활 습관 등 50 개 변수.

1. Logistic regression 으로 e(L) = P(흡연 | L) 추정
2. 각 흡연자에 e(L) 가장 가까운 비흡연자 1 명씩 짝짓기 (caliper 0.05)
3. Matched cohort 에서 흡연자 vs 비흡연자 폐암 발생률 비교

4.5 한계

모든 confounder 측정 가정 (no unmeasured confounding). 측정되지 않은 confounder 가 있으면 matching 도 biased.

5 Greedy vs Optimal Matching

5.1 Greedy (Nearest Neighbor)

각 처치 환자에 순차적으로 가장 가까운 대조 환자 짝짓기. 이미 매칭된 대조 환자 제외.

장점: 단순·빠름.

단점: 처치 환자 순서에 따라 결과 다름. 후반 매칭 환자에 남은 대조군의 잘 안 맞는 사람.

5.2 Optimal Matching

전체 매칭 거리 합 최소화 — Hungarian algorithm 등.

장점: 더 좋은 매칭 품질.

단점: 계산 복잡 — 큰 데이터에서 어려움.

5.3 1:K Matching

각 처치에 대조 K 명 매칭 (보통 K=2~5). 통계적 효율 향상 — variance 감소.

Trade-off: K 증가 시 덜 좋은 매칭 포함 → bias 증가 가능.

6 Matched Analysis — 통계 도구

6.1 Paired Comparison

매칭 후 각 pair 의 차이 를 계산. paired t-test, Wilcoxon signed-rank 등.

6.2 McNemar Test (이분 결과)

처치/대조 의 결과가 불일치한 pair 만 사용:

처치 결과  대조 결과	+	-
+	a	b
-	c	d

McNemar χ² = \((b - c)^2 / (b + c)\). 불일치 pair 의 비대칭 검정.

Phase B 에서 다룸 (B26). Case-control matching 의 표준 도구.

6.3 Conditional Logistic Regression

Continuous covariates 또는 Multiple matched controls 시. 각 matched set 내에서 conditional likelihood.

Phase B (B26) 에서 case-control matching 의 도구. Phase J 에서 코호트 matching 에도 동일 적용.

7 IP Weighting vs Matching — 비교

7.1 IP Weighting (Phase D)

Inverse propensity weighting: 각 환자에 \(1/e(L_i)\) (처치) 또는 \(1/(1-e(L_i))\) (대조) 가중. Pseudo-population 에서 confounding 통제.

7.2 Matching

Matched cohort 에서 직접 비교.

7.3 차이

측면	IP Weighting	Matching
데이터 활용	모든 환자	매칭된 환자만
Sample size	효율적	손실 (특히 caliper 좁으면)
Extreme weight	위험 (e≈0 또는 1)	자동 제외
추정 모집단	전체 모집단 (ATE)	Matched 모집단 (ATT 또는 비슷한 것)
Variance	보통 더 큼	보통 더 작음

7.4 Hernan 의 권고

“어느 한 방법만이 우월하지 않다. 데이터 특성·연구 질문에 따라 선택. 둘 다 시도하고 결과 비교 권장.”

8 Matching 의 한계 — 추정 가능한 모집단

8.1 핵심 통찰

Matched cohort 는 원래 모집단의 일부. 따라서 추정된 효과는 원래 모집단의 ATE 가 아닌 ATT 또는 matched 모집단의 평균.

8.2 Hernan 의 강조

“Matching ⇒ ATT (average treatment effect on the treated) 또는 비슷한 추정. 전체 모집단의 ATE 와 다를 수 있음.”

8.3 사례

50,000 명 모집단 — 처치 5,000 명, 대조 45,000 명. 각 처치 환자에 1 대조 매칭 → matched cohort 10,000 명.

매칭된 대조 5,000 명 은 전체 대조 45,000 명을 대표 안 함 — 처치자와 비슷한 특성 (propensity score 분포). 따라서 매칭된 cohort 에서 추정된 효과는 처치자에 대한 효과 (ATT).

8.4 Effect Modification 과 연결

만약 effect modification 이 propensity score 와 상관 이면 ATT ≠ ATE. Targeting 결정에 ATT 가 더 적합 (정책: “이 처치를 받는 사람들의 효과는?”).

9 사례 종합 — Smoking Cessation Trial

9.1 시험 (Hernan 의 NHEFS 데이터, Ch.12 에서 깊이)

NHEFS (National Health and Nutrition Examination Survey Epidemiologic Follow-up Study). 흡연 중단 의 체중 변화 효과 추정.

9.2 도전

관찰 연구. 흡연 중단을 결정 한 사람들이 연령·건강·동기 등에서 비흡연 지속자와 다름. Confounding.

9.3 매칭 절차

1. 9 변수 (성별·연령·인종·교육·운동·체중·평소 흡연·천식·기관지염) 로 propensity score 추정
2. Greedy 1:1 matching (caliper 0.1)
3. Matched cohort 에서 체중 변화 비교
4. McNemar test 또는 paired t-test

9.4 결과

매칭 전: 흡연 중단자 평균 체중 변화 +5 kg, 지속자 +1 kg. 단순 차이 +4 kg — biased (중단자가 평균 연령 더 많음 등).

매칭 후: +3 kg — bias 부분 보정. IP weighting 결과 (Hernan Ch.12) 와 비슷.

10 시뮬레이션 — Matching 의 효과

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(42)

# 시나리오: confounder L 이 처치와 결과 모두 영향
n = 5000
L = np.random.normal(0, 1, n)   # confounder (continuous)

# 처치: L 에 의존
prob_treat = 1 / (1 + np.exp(-(0.5 * L)))
A = (np.random.random(n) < prob_treat).astype(int)

# 결과: L 와 A 의 함수 (true effect = 0.50)
true_effect = 0.50
Y = 1.0 * L + true_effect * A + np.random.normal(0, 1, n)

# Naive (조정 없음)
naive_te = Y[A == 1].mean() - Y[A == 0].mean()
print(f"[Matching 의 효과 — confounder L 통제]\n")
print(f"진짜 효과 = {true_effect:.2f}")
print(f"Naive (조정 없음): TE = {naive_te:.3f} — biased")

# Stratification (L 을 5 분할)
print(f"\n[Stratification (5 분할)]")
quintiles = np.percentile(L, [20, 40, 60, 80])
strata = np.digitize(L, quintiles)
strat_te = 0
for s in range(5):
    mask = strata == s
    n_s = mask.sum()
    if n_s > 10 and (A[mask] == 1).sum() > 0 and (A[mask] == 0).sum() > 0:
        te_s = Y[mask & (A == 1)].mean() - Y[mask & (A == 0)].mean()
        strat_te += te_s * n_s / n
print(f"Stratified TE = {strat_te:.3f}")

# Propensity Score (logistic regression)
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
ps_model = LogisticRegression()
ps_model.fit(L.reshape(-1, 1), A)
ps = ps_model.predict_proba(L.reshape(-1, 1))[:, 1]

# 1:1 Greedy Matching (nearest PS)
print(f"\n[1:1 Greedy Matching by Propensity Score]")
treated_idx = np.where(A == 1)[0]
control_idx = np.where(A == 0)[0]
matched_pairs = []
control_used = set()

for ti in treated_idx:
    target_ps = ps[ti]
    candidates = [ci for ci in control_idx if ci not in control_used]
    if not candidates:
        break
    distances = np.abs(ps[candidates] - target_ps)
    best = candidates[distances.argmin()]
    if distances.min() < 0.05:   # caliper
        matched_pairs.append((ti, best))
        control_used.add(best)

print(f"매칭 성공 수: {len(matched_pairs)}")
matched_diffs = [Y[t] - Y[c] for t, c in matched_pairs]
matched_te = np.mean(matched_diffs)
print(f"Matched TE = {matched_te:.3f}")

# IP Weighting
print(f"\n[IP Weighting]")
ipw = np.where(A == 1, 1/ps, 1/(1-ps))
ipw_te = (Y * A * ipw).sum() / (A * ipw).sum() - (Y * (1-A) * ipw).sum() / ((1-A) * ipw).sum()
print(f"IP Weighted TE = {ipw_te:.3f}")

print(f"\n→ Matching, Stratification, IP Weighting 모두 진짜 효과 ({true_effect}) 근처 회복")
print(f"→ Naive (조정 없음) 은 biased")
print(f"→ 세 방법 모두 confounding 통제 가능 — 데이터 특성에 따라 선택")

결과 해석:

1. Naive: 진짜 효과 0.50 보다 더 큰 추정 (예: 1.0+) — confounding bias.
2. Stratification: 부분 보정 (예: 0.6).
3. Matching: 좋은 보정 (예: 0.52).
4. IP Weighting: 좋은 보정 (예: 0.48).

세 방법 모두 confounding 통제 가능. 차이는 세부 trade-off.

11 Matching 의 효과 modification 과 연결

11.1 매칭 후 분석에서

Matched cohort 에서 sub-group 별 효과 분석 — effect modification 식별.

그러나 매칭 후 sub-group 의 sample size 작음 — power 부족 가능.

11.2 권장

Matching 으로 전체 평균 추정 + 별도 stratification 또는 모델 로 effect modification 분석.

12 결론 — Ch.4 시리즈의 종합

Matching 은 stratification 의 극단. Confounding 통제와 effect modification 식별의 또 다른 도구. IP weighting 과 비슷한 유연성, 다른 trade-off.

핵심 메시지:

1. Matching = 극한적 stratification — N 개의 작은 stratum
2. Propensity Score (Rosenbaum-Rubin 1983) — 다차원 confounder 통합
3. Greedy vs Optimal: 단순함 vs 품질
4. McNemar, Conditional Logistic — matched analysis 통계
5. IP Weighting 과 비교 — 둘 다 시도 권장
6. 추정 모집단의 변화 — Matching ⇒ ATT 경향
7. Effect modification — 매칭 후 별도 분석

Ch.4 시리즈 (4 편) 종합:

• J-HER4-0: Effect modification 의 정의 + 의의
• J-HER4-1: Heterogeneity 와 stratification 식별
• J-HER4-2: 3 가지 가치 (transportability·targeting·mechanism) + adjustment
• J-HER4-3: Matching 으로서의 보정 — 이 글

다음 글부터 Ch.5 Interaction 시리즈 (4 편).

13 관련 주제

선행 지식

• Effect Modification — Ch.4 개관
• Heterogeneity 와 Stratification
• Why Care + Adjustment
• (Phase B-26) Case-control matching, McNemar test
• (Phase D) IP weighting (Hernan Ch.12)

Phase J 후속 글

• HER Ch.5 — Interaction (placeholder)
• ML HTE — Meta-learners (placeholder)

14 참고문헌

• Hernán, M. A. & Robins, J. M. (2020). Causal Inference: What If, Chapter 4. Chapman & Hall/CRC.
• Rosenbaum, P. R. & Rubin, D. B. (1983). The central role of the propensity score in observational studies for causal effects. Biometrika 70, 41-55.
• Rubin, D. B. (1973). Matching to remove bias in observational studies. Biometrics 29, 159-183.
• Stuart, E. A. (2010). Matching methods for causal inference: A review and a look forward. Statistical Science 25, 1-21.
• Austin, P. C. (2011). An introduction to propensity score methods for reducing the effects of confounding in observational studies. Multivariate Behav. Res. 46, 399-424.
• Greenland, S. & Morgenstern, H. (1989). Matched cohort studies. Stat. Med. 8, 1-15.