Kwangmin Kim - 완전 블록 설계 개관 — CRD, RBD, Latin Square 의 정통 분석

1 정의

정의: Complete Block Design

각 block (homogeneous 그룹) 에 모든 처치가 정확히 한 번씩 포함되는 설계. 처치 효과 검정의 분모를 줄여 검정력을 높이는 도구.

세 표준 형태:

CRD (Completely Randomized Design): block 없음, 처치만 무작위 배정.
RBD (Randomized Block Design): block 내에서 처치 무작위 배정.
Latin Square: block 두 차원 (예: 행·열) × 처치, 각 처치가 각 행·각 열에 정확히 1번.

2 Fisher 의 3 대 원리

정통 DOE 의 핵심 원칙 (Fisher, 1925):

Replication (반복): 처치당 여러 관측 → 잔차 분산 추정.
Randomization (무작위 배정): 교란을 우연 변동으로 변환.
Local Control (국소 통제): 외생 변동을 줄이는 설계 (블록, 매칭). CRD 에서는 생략 — 그래서 검정력 ↓.

직관: 3 원리의 통합

Replication 없이는 잔차 분산 추정 불가능 (= 검정 불가능).

Randomization 없이는 처치와 교란 변수가 혼동.

Local Control 없이는 외생 변동 (예: 토양 비옥도) 이 잔차에 흡수되어 검정력 ↓.

Complete Block design 은 이 3 원리를 다음과 같이 결합: - 각 block 안에 모든 처치 (replication). - block 내 처치 순서 무작위 배정 (randomization). - block 효과 분리 (local control).

3 CRD 의 한계와 RBD 의 동기

3.1 CRD

$Y_{ij} = \mu + \tau_j + \varepsilon_{ij}$. 모든 분산이 $\varepsilon$ 으로 들어감 → 검정력 낮음.

블록 변수 (예: 토양 비옥도, 환자 baseline) 를 무시.

3.2 RBD

블록 (예: 토양 비옥도) 의 분산을 별도 항으로 분리.

\[ Y_{ij} = \mu + \tau_j + \beta_i + \varepsilon_{ij} \]

블록 효과 $\beta_i$ 가 처치 효과 $\tau_j$ 의 검정 분모에서 빠진다 → 잔차 분산 감소 → 검정력 ↑.

직관: 블록은 “공통 변동 차감”

농학에서 한 plot 의 토양 비옥도가 토대로 더 비옥하면 모든 처치의 수확량이 다 같이 ↑. 블록을 빼면 그 공통 효과가 차감되어 처치 간 진짜 차이가 더 잘 보인다.

이는 ANCOVA (G-MAX9) 의 covariate 통제와 같은 정신. 블록은 이산화된 covariate.

ANCOVA: 연속 covariate. RBD: 이산 block 변수.

둘 다 외생 변동을 통제 → 검정력 ↑.

4 Latin Square — 두 블록 차원

블록이 두 차원일 때 (행·열 효과 모두 통제):

\[ Y_{ijk} = \mu + \tau_l + \beta_i + \gamma_j + \varepsilon_{ijk} \]

각 처치가 각 행·각 열에 정확히 1번. 자유도 효율적이지만 처치 수 = 행 수 = 열 수 제약.

5 Ch.2 의 4 단계

G-MON2-0  개관 (현재 글)
    │
    ▼
G-MON2-1  CRD: Randomization, Local Control, Analysis
    │
    ▼
G-MON2-2  RBD + Latin Square
    │
    ▼
G-MON2-3  Missing Observations + Illustration
    │
    ▼
G-MON3 (Factorial)
G-MON5 (Incomplete Block — BIB)
G-MON6 (Orthogonal Latin Squares)

6 응용

분야	block 변수	처치
농학	plot, 토양	비료 종류
임상	환자 (within-subject)	약 종류
산업	작업조	공정 변경
교육	학교	교수법
IT	시간대	UI 변종
식품	패널 시식자	레시피

7 핵심 비교

설계	block 차원	처치 수	자유도
CRD	0	임의	$N - a$ residual
RBD	1	$a$ 처치 × $b$ 블록	$(a-1)(b-1)$ residual
Latin Square	2	$a = $ 행 = 열	$(a-1)(a-2)$ residual

처치 수가 적을 때 Latin Square 가 자유도 효율적. 많을 때 RBD 가 자유.

8 검정력 비교 — 가설 데이터

농학 실험: 4 비료 (A, B, C, D), 5 농장 (블록).

8.1 CRD 분석

블록 무시:

Source	$SS$	$df$	$MS$	$F$
Treatment	240	3	80	$80/26 = 3.1$
Within	416	16	26	—

$F = 3.1$, $p \approx 0.06$. marginal.

8.2 RBD 분석

블록 통제:

Source	$SS$	$df$	$MS$	$F$
Treatment	240	3	80	$80/8 = 10.0$
Block	320	4	80	$80/8 = 10.0$
Error	96	12	8	—

$F = 10.0$, $p < 0.001$. 매우 유의.

→ 블록 효과 분리로 검정력 약 3 배 ↑.

9 ANOVA 표 비교

CRD 에서 블록을 무시한 SS_within = SS_block + SS_error_RBD = 320 + 96 = 416. 이를 RBD 에서는 블록 (320) 과 잔차 (96) 로 분리.

블록 분산이 클수록 RBD 의 이득 ↑.

10 가정과 한계

10.1 일반 가정

잔차 정규성, 등분산, 독립성.
블록 × 처치 상호작용 없음 (블록 효과가 모든 처치에 같음).
무작위 배정.

10.2 설계 별 한계

CRD: 블록 정보 활용 불가 → 큰 잔차.
RBD: 블록 × 처치 interaction 추정 불가 (replicate 없으면).
Latin Square: 처치 수 = 행 수 = 열 수 제약. 처치 수 ≥ 6 면 자유도 부족.

11 사후 비교

처치 효과 유의 시 어느 처치가 다른가? Tukey HSD, Bonferroni, Scheffé.

11.1 Tukey HSD

\[ HSD = q_{\alpha; a, df_E} \cdot \sqrt{MS_E / b} \]

(RBD 의 경우, $b$ = block 수.) 두 처치 평균 차이가 HSD 보다 크면 유의.

12 ML 매핑

매핑: ML 의 fold 가 block 역할

ML 의 cross-validation 에서 fold 가 block:

Fold (block): 5 folds
Treatment: 다른 모델 또는 hyperparameter

같은 fold 의 같은 데이터에 다른 모델 평가 → RBD 형태.

# RBD ANOVA on accuracy
ols("accuracy ~ C(model) + C(fold)", data).fit()

각 fold 의 baseline 차이를 통제 후 모델 효과 검정. paired t-test 또는 RBD ANOVA 의 직접 적용.

13 본 시리즈

G-MON2-0  Complete Block 개관 (현재 글)
G-MON2-1  CRD: Randomization, Local Control
G-MON2-2  RBD + Latin Square
G-MON2-3  Missing Observations + Illustration
    ↓
G-MON3 (Factorial)

14 관련 주제

선행 지식

후속 주제

G-MON2-1: CRD
G-MON2-2: RBD + Latin Square
G-MON2-3: Missing + Illustration
G-MON5 — Incomplete Block (BIB)
G-MON6 — Orthogonal Latin Squares

다른 카테고리 연결

15 더 읽을 거리

Fisher, R. A. (1925). “Statistical Methods for Research Workers.” Oliver and Boyd — Fisher 의 3 대 원리 원조.
Cochran, W. G., Cox, G. M. (1957). “Experimental Designs” (2nd ed). Wiley — 정통 DOE 표준.
Montgomery, D. C. (2017). “Design and Analysis of Experiments” (9th ed). Wiley.
Das, M. N., Giri, N. C. (1986). “Design and Analysis of Experiments” (2nd ed). Wiley Eastern.
Box, G. E. P., Hunter, J. S., Hunter, W. G. (2005). “Statistics for Experimenters.” Wiley.

Source	\(SS\)	\(df\)	\(MS\)	\(F\)
Treatment	240	3	80	\(80/26 = 3.1\)
Within	416	16	26	—

Source	\(SS\)	\(df\)	\(MS\)	\(F\)
Treatment	240	3	80	\(80/8 = 10.0\)
Block	320	4	80	\(80/8 = 10.0\)
Error	96	12	8	—