고차 within-subjects 단변량 분석 개관 — 2×3 와 split-plot

1 정의

정의: 고차 within design 의 두 형태

1. All-within (둘 이상의 within 요인): 모든 요인이 within-subjects. 예: 같은 환자에게 약 종류 (3) × 시점 (4).

2. Split-Plot (mixed within/between): 일부 between, 일부 within. 예: 그룹 (between) × 시점 (within). RCT 의 표준 형태.

두 형태가 ANOVA 분해와 검정 분모에서 다른 구조를 가진다.

2 All-Within 2×3 Design

요인 \(A\) (\(a\) levels), \(B\) (\(b\) levels), 모두 within. 각 피험자가 \(a \times b\) 셀 모두 측정.

\[ Y_{ijk} = \mu + \alpha_j + \beta_k + (\alpha\beta)_{jk} + \pi_i + \varepsilon_{ijk} \]

(또는 더 자세한 random structure: \(\pi_i + (\alpha\pi)_{ij} + (\beta\pi)_{ik} + (\alpha\beta\pi)_{ijk}\).)

2.1 ANOVA 표

Source	\(df\)	검정 분모
Between subjects (\(\pi\))	\(n-1\)	—
Within subjects	\(n(ab-1)\)
┌ \(A\)	\(a-1\)	\(A \times S\)
│ \(B\)	\(b-1\)	\(B \times S\)
│ \(A \times B\)	\((a-1)(b-1)\)	\(AB \times S\)
│ \(A \times S\)	\((a-1)(n-1)\)	—
│ \(B \times S\)	\((b-1)(n-1)\)	—
└ \(A \times B \times S\)	\((a-1)(b-1)(n-1)\)	—

각 within 효과는 자기 자신과 subject 의 상호작용을 분모로. 이는 “그 효과의 변동이 피험자별로 얼마나 일관된가” 를 묻는 직관적 분모.

직관: 분모가 다른 이유

\(A \times B\) 의 검정 분모는 \(A \times B \times S\) 인데, 이는 “\(A \times B\) 패턴이 피험자별로 얼마나 다른가” 를 측정.

이 변동이 작으면 (모든 피험자가 비슷한 패턴) \(A \times B\) 효과가 작아도 유의. 변동이 크면 패턴이 일관되지 않아 큰 효과만 유의.

이 분모 구조가 within-subjects 의 검정력 이득의 정확한 메커니즘 — 개인 간 분산이 자동 차감.

3 Split-Plot Design

3.1 정의

요인 \(A\) between (그룹), 요인 \(B\) within (시점).

\[ Y_{ijk} = \mu + \alpha_j + \pi_{i(j)} + \beta_k + (\alpha\beta)_{jk} + (\beta\pi)_{ik(j)} + \varepsilon_{ijk} \]

• \(i\): 그룹 \(j\) 안의 피험자 (\(i = 1, \ldots, n\)).
• \(j\): 그룹.
• \(k\): 시점.
• \(\pi_{i(j)}\): 그룹 \(j\) 안의 피험자 random.
• \((\beta\pi)_{ik(j)}\): 시점 × 피험자 within group random.

3.2 ANOVA 표

Source	\(df\)	검정 분모
Between subjects	\(an - 1\)
┌ Group (\(A\))	\(a-1\)	Subject within group
└ Subject within group	\(a(n-1)\)	—
Within subjects	\(an(b-1)\)
┌ Time (\(B\))	\(b-1\)	\(B \times S\) within group
│ \(A \times B\)	\((a-1)(b-1)\)	\(B \times S\) within group
└ \(B \times S\) within group	\(a(b-1)(n-1)\)	—

핵심: between 효과 (Group) 와 within 효과 (Time, A×B) 의 분모가 다르다.

3.3 응용 — 임상시험의 표준 lens

처치 (between) × 시점 (within) 의 split-plot 은 RCT 분석의 표준 형태.

Group A: pre → 1주 → 2주 → 4주
Group B: pre → 1주 → 2주 → 4주

처치 효과 (group 사이), 시점 효과 (모두 합쳐서), 처치 × 시점 (시간에 따른 처치 차이) 모두 검정 가능.

가장 관심: \(A \times B\) — “처치군이 대조군에 비해 시간이 지날수록 다르게 변화하는가?” 이것이 진짜 처치 효과의 직접 증거.

4 Ch.12 의 4 단계 흐름

G-MAX12-0  개관 (현재 글)
    │
    ▼
G-MAX12-1  2×3 All-Within 의 7 효과
    │
    ▼
G-MAX12-2  Split-Plot Design (Mixed Within/Between)
    │
    ▼
G-MAX12-3  Sphericity Extensions + ε Adjustments
    │
    ▼
G-MAX13 (Within-Subjects Multivariate)

5 Sphericity 의 확장

다요인 within 에서는 각 main effect 와 interaction 마다 별도의 sphericity 가정:

• \(A\) main: \(A\) levels 사이의 차이 분산이 같음.
• \(B\) main: \(B\) levels 사이의 차이 분산이 같음.
• \(A \times B\): \(A \times B\) 셀의 직교 contrast 분산이 같음.

각각 다른 ε 조정. ε 추정도 각 효과마다 별도.

자유도 1 효과 (\(a = 2\) 또는 \(b = 2\)) 는 sphericity 자동 만족.

직관: 다요인의 sphericity 점검 부담

\(2 \times 3\) within 에서: - \(A\) main (자유도 1): 자동 OK. - \(B\) main (자유도 2): sphericity 검정 + ε 필요. - \(A \times B\) (자유도 2): sphericity 검정 + ε 필요.

\(3 \times 4\) 면 모든 효과가 자유도 ≥ 2 → 모든 효과에 ε 조정.

→ 다요인 within 은 ε 조정 부담 ↑. multilevel model 이 더 깔끔.

6 다요인 within 의 검정력

요인 수가 많아지면: - 효과 수 폭증. - 각 효과의 자유도 작음 (1 또는 작은 자유도). - Subject × effect 상호작용이 분모로 들어가 자유도 추가 감소.

이 때문에 표본 (피험자 수) 이 검정력의 핵심. \(n = 10\) 이라도 \(A \times B\) 의 분모 자유도가 \((a-1)(b-1)(n-1)\) 라 충분.

6.1 표본 크기 권장

\(2 \times 3\) within 의 \(A \times B\) 검정 (자유도 2):

효과 (\(f\))	권장 \(n\)
0.10 (작음)	80~120
0.25 (중간)	15~25
0.40 (큼)	8~12

(검정력 0.80, \(\alpha=0.05\), \(\rho \approx 0.5\) 가정.)

7 Mixed Model 으로의 통합

multilevel model 이 다요인 within 의 통합 framework:

# All-within: random intercept only
md = mixedlm("Y ~ C(A) * C(B)", data, groups="subject")

# Random slope (시점 양적)
md = mixedlm("Y ~ C(A) * time", data, groups="subject", re_formula="~time")

# Split-plot
md = mixedlm("Y ~ C(group) * C(time)", data, groups="subject")

장점: - 결측 자동 처리. - 공분산 구조 자유 (CS, AR(1), UN). - 비균등 데이터 OK.

ANOVA + ε 조정의 일반화.

8 Python 코드 — 2×3 Within ANOVA

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.stats.anova import AnovaRM
from statsmodels.formula.api import mixedlm

np.random.seed(2026)
n = 12
A_levels = ["low", "high"]   # 2
B_levels = [1, 2, 3]          # 3
records = []
A_eff = {"low": 0, "high": 5}
B_eff = {1: 0, 2: 3, 3: 6}
AB_eff = {("low", 1): 0, ("low", 2): 0, ("low", 3): 0,
          ("high", 1): 0, ("high", 2): 1, ("high", 3): 2}

for subj in range(n):
    pi = np.random.normal(0, 8)
    for a in A_levels:
        for b in B_levels:
            y = (100 + A_eff[a] + B_eff[b] + AB_eff[(a, b)] + pi
                 + np.random.normal(0, 3))
            records.append({"subject": subj, "A": a, "B": b, "Y": y})

data = pd.DataFrame(records)

# 2-way within ANOVA
aovrm = AnovaRM(data, "Y", "subject", within=["A", "B"]).fit()
print("=== 2-way Within-Subjects ANOVA ===")
print(aovrm.anova_table)

# Mixed model 등치
md = mixedlm("Y ~ C(A) * C(B)", data=data, groups=data["subject"]).fit()
print("\n=== Mixed Model ===")
print(md.summary().tables[1])

9 ML 매핑 — Multi-Factor Hyperparameter

매핑: optimizer × scheduler 의 within-subjects

ML 모델 평가에서 같은 dataset (subject 역할) 에 여러 hyperparameter 조합:

Subject (dataset): 5 datasets
Within factor A (optimizer): Adam, SGD
Within factor B (scheduler): cosine, step, constant

Total cells: 6

각 dataset 에 모든 6 조합을 평가. 2×3 within ANOVA 로 분석.

장점: - 같은 dataset 의 baseline 차이 (subject random) 통제. - \(A \times B\) interaction 진단 — “어느 optimizer 가 어느 scheduler 와 잘 맞는가.”

10 본 시리즈

G-MAX12-0  개관 (현재 글)
G-MAX12-1  2×3 Within Design + 7 Effects
G-MAX12-2  Split-Plot Design
G-MAX12-3  Sphericity Extensions + ε Adjustments
    ↓
G-MAX13 (Within Multivariate)

11 가정과 한계

• 다중 sphericity: 각 효과마다 별도. ε 조정 권장.
• 균등 데이터: 결측 시점 처리 어려움. multilevel 권장.
• fixed/random 분류: split-plot 에서 그룹 random/ fixed 결정.
• 충분한 표본: 다요인 within 의 자유도 분배.

12 응용

분야	시나리오
임상 longitudinal RCT	처치 (between) × 시점 (within)
심리 실험	학습 시간 (within) × 형식 (within) — 같은 사람의 다른 조건
농학	비료 (between) × 시점 (within)
IT longitudinal A/B	변종 (between) × 측정 시점 (within)
약리학	약 (within) × 용량 (within) — crossover dose-response

13 관련 주제

선행 지식

• G-MAX11: Within-Subjects Univariate
• G-MAX10: Random/Nested

후속 주제

• G-MAX12-1: 2×3 Within Design
• G-MAX12-2: Split-Plot Design
• G-MAX12-3: Sphericity Extensions

다른 카테고리 연결

• Statistics — LDA Mixed Effects
• Statistics — LDA Three-Level

14 더 읽을 거리

• Maxwell, S. E., Delaney, H. D. (2004). “Designing Experiments and Analyzing Data: A Model Comparison Perspective” (2nd ed). Lawrence Erlbaum.
• Hedeker, D., Gibbons, R. D. (2006). “Longitudinal Data Analysis.” Wiley.
• Davis, C. S. (2002). “Statistical Methods for the Analysis of Repeated Measurements.” Springer.