Sharp vs Fuzzy RDD

출처

이 글은 사전지식 기반 (교재 미확인 — agent 사전학습 기반). 핵심 인용 — Hahn, Todd, Van der Klaauw (2001), Imbens & Lemieux (2008), Angrist & Pischke (2009), Card, Dobkin, Maestas (2009).

이 글은 J-RDD 시리즈의 두 번째 글. Sharp vs Fuzzy RDD 의 구분과 Fuzzy = IV 의 연결을 다룬다.

1 진입 직관 — “엄격한 cutoff vs 느슨한 cutoff”

1.1 엄격 cutoff

시험 60 점 이상 합격, 59 점 불합격. 예외 없음. 결정론적.

1.2 느슨 cutoff

60 점 이상 우대 가능성 높지만 자동 아님. 별도 심사·면접·기타 자격 추가. 60 점 미만 일부 합격 (다른 경로). 확률적.

핵심 질문: 두 case 의 처리 방법은? — Sharp RDD vs Fuzzy RDD.

2 Sharp RDD — 결정론적

2.1 정의

\(X \geq c\) 이면 반드시 처치 받음. \(X < c\) 이면 반드시 처치 안 받음.

\[ A_i = \mathbf{1}\{X_i \geq c\} \]

2.2 추정량

\[ \tau_{Sharp} = \lim_{x \downarrow c} \mathbb{E}[Y | X = x] - \lim_{x \uparrow c} \mathbb{E}[Y | X = x] \]

Cutoff 양쪽의 outcome 평균 차이.

2.3 해석

Cutoff 의 ATT — cutoff 근처 사람들의 처치 효과.

2.4 가정

Continuity: 다른 모든 covariate 의 distribution 이 cutoff 에서 연속. No manipulation: cutoff 양쪽으로 조작 불가능.

2.5 사례

사례: 재선거 (incumbent). Lee (2008) — 50% 득표 cutoff. 정확히 50% 위면 반드시 당선.

3 Fuzzy RDD — 확률적

3.1 정의

\(X \geq c\) 이면 처치 받을 확률 이 jump — 그러나 100% 아님:

\[ P(A=1 | X = c^+) > P(A=1 | X = c^-) \]

그러나 \(P(A=1 | X = c^+) < 1\) 일 수도, \(P(A=1 | X = c^-) > 0\) 일 수도.

3.2 사례

Medicare 65 세 cutoff. 65 세 되는 순간 자격 — 그러나 일부 65 세 미만도 장애 등으로 자격, 일부 65 세 이상도 가입 안 함.

3.3 추정량 — Wald estimator

\[ \tau_{Fuzzy} = \frac{\lim_{x \downarrow c} \mathbb{E}[Y | X=x] - \lim_{x \uparrow c} \mathbb{E}[Y | X=x]}{\lim_{x \downarrow c} \mathbb{E}[A | X=x] - \lim_{x \uparrow c} \mathbb{E}[A | X=x]} \]

분자: outcome 의 cutoff jump 분모: 처치 확률의 cutoff jump

3.4 해석

Cutoff 에서의 complier 의 LATE (Local Average Treatment Effect).

Complier: cutoff 에 의해 처치 받는 사람 (위면 받음, 아래면 안 받음).

4 Fuzzy RDD = IV Special Case

4.1 IV 와의 연결

Fuzzy RDD 의 cutoff 가 instrument:

• Z (instrument): \(Z = \mathbf{1}\{X \geq c\}\) — cutoff 통과 여부
• A (treatment): 실제 처치
• Y (outcome)

4.2 가정 (LATE 식별)

1. Relevance: \(Z\) 가 \(A\) 에 영향 (cutoff 통과 시 처치 확률 높음)
2. Exclusion: \(Z\) 가 \(A\) 외 다른 경로로 \(Y\) 영향 없음 (cutoff 자체는 직접 outcome 영향 없음)
3. Monotonicity: cutoff 가 누구도 처치 받지 않게 만들지 않음 (no defiers)
4. Continuity: 다른 변수 cutoff 에서 연속

4.3 LATE

\(\tau_{Fuzzy}\) = complier 의 average treatment effect — cutoff 가 처치를 결정한 사람들 만에 대한 효과.

Always-taker (cutoff 와 무관하게 처치 받는 사람) 와 never-taker (cutoff 와 무관하게 처치 안 받는 사람) 의 효과는 추정 불가능.

5 Compliance Type — 4 가지

Type	\(A(Z=0)\)	\(A(Z=1)\)	의미
Complier	0	1	cutoff 가 처치 결정
Always-taker	1	1	항상 처치
Never-taker	0	0	항상 처치 안 받음
Defier	1	0	반대로 행동 (배제)

5.1 IV 가정

Monotonicity: defier 없음 — Imbens-Angrist (1994).

5.2 Fuzzy RDD 의 효과

Complier 만의 Local ATE. Always-taker 와 Never-taker 는 추정 안 됨.

따라서 모집단 일반화 시 신중. Complier characteristic 명시 필요.

6 Hahn, Todd, Van der Klaauw (2001)

6.1 의의

RDD 의 현대 정통 — Sharp 와 Fuzzy 의 식별 가정 명료화.

6.2 Sharp RDD 식별

Continuity 가정: \(\mathbb{E}[Y(0) | X = x]\) 와 \(\mathbb{E}[Y(1) | X = x]\) 가 cutoff 에서 연속.

그러면 cutoff 의 jump 는 처치 효과 (다른 confounding 없음).

6.3 Fuzzy RDD 식별

Sharp 가정 + IV 조건 (relevance, exclusion, monotonicity).

Wald estimator 가 complier 의 LATE 추정.

6.4 영향

이후 RDD 연구의 기초. rdrobust 등 표준 패키지의 이론 토대.

7 Card, Dobkin, Maestas (2009) — Medicare 사례

7.1 시나리오

65 세 cutoff 에서 Medicare 자격. 고령 의료 서비스 사용·결과 효과.

7.2 Fuzzy RDD

65 세 되는 순간 자격 — 그러나:

• 일부 65 세 미만 장애인 이미 자격
• 일부 65 세 이상 미가입

7.3 분석

\(X\) = 나이, \(c\) = 65 세, \(A\) = Medicare 가입, \(Y\) = 의료 사용량/지출/사망률.

7.4 결과

의료 사용량 jump, 비용 분배 변화. 사망률 에는 통계적 유의 효과 없음 — 그러나 추정 power 부족. 이후 후속 연구 (Card et al. 2008 사망률 분석) 으로 외상·사망 일부 감소.

7.5 의의

Fuzzy RDD 의 대표 응용. Medicare 의 경제·건강 영향 의 standard reference.

8 Wald Estimator 와 RDD 의 연결

8.1 Wald (전통 IV)

\[ \hat{\tau}_{Wald} = \frac{\hat{\mathbb{E}}[Y | Z=1] - \hat{\mathbb{E}}[Y | Z=0]}{\hat{\mathbb{E}}[A | Z=1] - \hat{\mathbb{E}}[A | Z=0]} \]

8.2 Fuzzy RDD

\(Z = \mathbf{1}\{X \geq c\}\) 의 local Wald — cutoff 근처 sample 만 사용:

\[ \hat{\tau}_{Fuzzy} = \frac{\bar{Y}_{X=c^+} - \bar{Y}_{X=c^-}}{\bar{A}_{X=c^+} - \bar{A}_{X=c^-}} \]

8.3 Local 2SLS

Two-Stage Least Squares with \(Z\) as instrument, cutoff 근처 sample 만.

1st stage: \(A \sim Z + (X - c)\) (좌우 별도) 2nd stage: \(Y \sim \hat{A} + (X - c)\)

9 시뮬레이션 — Fuzzy RDD

import numpy as np

np.random.seed(42)

# 시나리오: 나이 65 세 cutoff, Medicare 가입 (확률적)
n = 5000
age = np.random.uniform(55, 75, n)
cutoff = 65

# Compliance: 65 이상이면 가입 확률 80%, 미만이면 10% (장애 등)
prob_treat = np.where(age >= cutoff, 0.8, 0.1)
A = np.random.binomial(1, prob_treat)

# Outcome (의료 사용량): 나이 + 처치 효과 5
true_effect = 5.0
Y = 20 + 0.5 * age + true_effect * A + np.random.normal(0, 3, n)

# Z = cutoff 통과 여부
Z = (age >= cutoff).astype(int)

# Bandwidth
h = 5
mask = np.abs(age - cutoff) <= h
print(f"[Fuzzy RDD 시뮬레이션]\n")
print(f"진짜 효과: {true_effect}")
print(f"\nBandwidth h = {h}, n = {mask.sum()}")

# Wald estimator (단순)
left = mask & (age < cutoff)
right = mask & (age >= cutoff)

Y_left, Y_right = Y[left].mean(), Y[right].mean()
A_left, A_right = A[left].mean(), A[right].mean()

print(f"\n[Outcome 차이]")
print(f"  Y left: {Y_left:.2f}, Y right: {Y_right:.2f}")
print(f"  Outcome jump: {Y_right - Y_left:.2f}")

print(f"\n[Treatment 확률 차이]")
print(f"  A left: {A_left:.2f}, A right: {A_right:.2f}")
print(f"  Treatment jump: {A_right - A_left:.2f}")

wald = (Y_right - Y_left) / (A_right - A_left)
print(f"\nFuzzy RDD (Wald): {wald:.2f}")
print(f"  → 진짜 효과 {true_effect} 와 비교")

# Sharp RDD (잘못된 적용 — Fuzzy 인데 Sharp 로 추정)
sharp_naive = Y_right - Y_left
print(f"\n[잘못된 적용 — Sharp RDD]")
print(f"  Sharp estimate: {sharp_naive:.2f}")
print(f"  → 진짜 효과 {true_effect} 보다 작음 — 처치 확률 jump 가 1 아니어서")

10 결론

Sharp RDD 는 결정론적, Fuzzy RDD 는 확률적. Fuzzy = IV 의 special case — complier 의 LATE 추정. Wald estimator 가 표준 추정량. Hahn-Todd-Van der Klaauw 의 식별 정리.

핵심 메시지:

1. Sharp: \(A = \mathbf{1}\{X \geq c\}\), ATT at cutoff
2. Fuzzy: 확률적, \(Z = \mathbf{1}\{X \geq c\}\) as instrument
3. Fuzzy = IV special case: LATE for compliers
4. Compliance type: complier, always-taker, never-taker, defier (배제)
5. Wald estimator: outcome jump / treatment jump
6. HTV 2001: 식별 정리 정통
7. CDM 2009: Medicare 사례 — 표준 응용

다음 글: Local Linear Regression + Bandwidth.

11 관련 주제

선행 지식

• J-RDD-0 Overview
• (Phase D) Hernan Ch.16 — Instrumental Variables

Phase J 후속 글

• Local Linear Regression + Bandwidth (placeholder)
• McCrary + 진단 (placeholder)

12 참고문헌

• Hahn, J., Todd, P., Van der Klaauw, W. (2001). Identification and estimation of treatment effects with a regression-discontinuity design. Econometrica 69, 201-209.
• Imbens, G. W. & Lemieux, T. (2008). Regression discontinuity designs: A guide to practice. J. Econometrics 142, 615-635.
• Imbens, G. W. & Angrist, J. D. (1994). Identification and estimation of local average treatment effects. Econometrica 62, 467-475.
• Card, D., Dobkin, C., Maestas, N. (2009). Does Medicare save lives? QJE 124, 597-636.
• Card, D., Dobkin, C., Maestas, N. (2008). The impact of nearly universal insurance coverage on health care utilization: Evidence from Medicare. AER 98, 2242-2258.
• Lee, D. S. (2008). Randomized experiments from non-random selection in U.S. House elections. J. Econometrics 142, 675-697.
• Angrist, J. D. & Pischke, J.-S. (2009). Mostly Harmless Econometrics. Princeton.